拉普拉斯变换基本原理和性质课件

第第1414章章 线性动态电路的线性动态电路的 复频域分析复频域分析l重点重点(1)(1)拉普拉斯变换的基本原理和性质拉普拉斯变换的基本原理和性质(2)(2)掌握用拉普拉斯变换分析线性电掌握用拉普拉斯变换分析线性电 路的方法和步骤路的方法和步骤 下 页(3)(3)网网络函数的概念络函数的概念(4)(4)网络函数的极点和零点网络函数的极点和零点第14章 线性动态电路的重点(1)拉普拉斯变换的基本原理 拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数把时间函数f(t)与复变函数与复变函数F(s)联系起来，把时域联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程以便求解。微分方程变换为频域的代数方程以便求解。应用应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。又称运算法。14.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义1.拉氏变换法拉氏变换法下 页上 页 拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(例例一些常用的变换一些常用的变换对数变换对数变换下 页上 页乘法运算变换乘法运算变换为加法运算为加法运算相量法相量法时域的正弦运算时域的正弦运算变换为复数运算变换为复数运算拉氏变换拉氏变换F(s)(频域象函数频域象函数)对应对应f(t)(时域原函数时域原函数)例一些常用的变换对数变换下 页上 页乘法运算变换为加法运算相下 页上 页2.拉氏变换的定义拉氏变换的定义定义定义 0,)区间函数区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式：的拉普拉斯变换式：正变换正变换反变换反变换s 复频率复频率下 页上 页2.拉氏变换的定义定义 0,)区间积分下限从积分下限从0 开始，称为开始，称为0 拉氏变换拉氏变换 。积分下限从积分下限从0+开始，称为开始，称为0+拉氏变换拉氏变换 。积分域积分域下 页上 页注意今后讨论的均为今后讨论的均为0 拉氏变换。拉氏变换。0,0区间区间 f(t)=(t)时此项时此项 0象函数象函数F(s)存在的条件：存在的条件：积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换。积分下限从0如果存在有限常数如果存在有限常数M和和 c 使函数使函数 f(t)满足：满足：则则f(t)的拉氏变换式的拉氏变换式F(s)总存在，因为总可总存在，因为总可以找到一个合适的以找到一个合适的s 值使上式积分为有限值。值使上式积分为有限值。下 页上 页象函数象函数F(s)用大写字母表示用大写字母表示,如如I(s)，U(s)。原函数原函数f(t)用小写字母表示用小写字母表示，如，如 i(t),u(t)。如果存在有限常数M和 c 使函数 f(t)满足：则3.3.典型函数的拉氏变换典型函数的拉氏变换 (1)单位阶跃函数的象函数单位阶跃函数的象函数下 页上 页3.典型函数的拉氏变换(1)单位阶跃函数的象函数下 页上(3)指数函数的象函数指数函数的象函数(2)单位冲激函数的象函数单位冲激函数的象函数下 页上 页(3)指数函数的象函数(2)单位冲激函数的象函数下 页上 页14.2 14.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质1.1.线性性质线性性质下 页上 页证证14.2 拉普拉斯变换的基本性质1.线性性质下 页上 页证例例1解解例例2解解 根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行相乘及加减计算。函数的象函数再进行相乘及加减计算。下 页上 页结论例1解例2解 根据拉氏变换的线性性质，2.2.微分性质微分性质下 页上 页证证若若足够大足够大02.微分性质下 页上 页证若足够大0例例解解下 页上 页利用导数性质求下列函数的象函数利用导数性质求下列函数的象函数例解下 页上 页利用导数性质求下列函数的象函数推广：推广：解解下 页上 页推广：解下 页上 页下 页上 页3.3.积分性质积分性质证证应用微分性质应用微分性质下 页上 页3.积分性质证应用微分性质下 页上 页例例解解下 页上 页例解4.4.延迟性质延迟性质下 页上 页证证4.延迟性质下 页上 页证例例1例例2求矩形脉冲的象函数求矩形脉冲的象函数解解根据延迟性质根据延迟性质求三角波的象函数求三角波的象函数解解下 页上 页TTf(t)01Ttf(t)0例1例2求矩形脉冲的象函数解根据延迟性质求三角波的象函数解下求周求周期函数的拉氏变换期函数的拉氏变换 设设f1(t)为一个周期的函数为一个周期的函数例例3解解下 页上 页.tf(t)1T/2 T0求周期函数的拉氏变换 设f1(t)为一个周期的函数例3解下 下 页上 页对于本题脉冲序列对于本题脉冲序列5.5.拉普拉斯的卷积定理拉普拉斯的卷积定理下 页上 页对于本题脉冲序列5.拉普拉斯的卷积定理下 页上 页证证下 页上 页证14.3 14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法：由象函数求原函数的方法：(1)利用公式利用公式(2)对简单形式的对简单形式的F(s)可以可以查拉氏变换表得原函数查拉氏变换表得原函数下 页上 页(3)把把F(s)分解为简单项的组合分解为简单项的组合部分分式部分分式展开法展开法14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开 用拉氏利用部分分式可将利用部分分式可将F(s)分解为：分解为：下 页上 页象函数的一般形式象函数的一般形式待定常数待定常数讨论利用部分分式可将F(s)分解为：下 页上 页象函数的一般形式待定常数的确定：待定常数的确定：方法方法1 1下 页上 页方法方法2 2求极限的方法求极限的方法令令s=p1待定常数的确定：方法1下 页上 页方法2求极限的方法令s=下 页上 页例例解法解法1下 页上 页例解法1解法解法2下 页上 页原函数的一般形式原函数的一般形式解法2下 页上 页原函数的一般形式下 页上 页K1、K2也是一对共轭复数也是一对共轭复数注意下 页上 页K1、K2也是一对共轭复数注意下 页上 页下 页上 页例例解解下 页上 页例解下 页上 页下 页上 页下 页上 页例例解解下 页上 页例解下 页上 页 n=m 时将时将F(s)化成真分式和多项式之和化成真分式和多项式之和 由由F(s)求求f(t)的步骤：的步骤：求真分式分母的根，求真分式分母的根，将真分式展开成部分分式将真分式展开成部分分式 求各部分分式的系数求各部分分式的系数 对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换 。下 页上 页小结 n=m 时将F(s)化成真分式和多项式之和 由F(s)求例例解解下 页上 页例解下 页上 页14.4 14.4 运算电路运算电路基尔霍夫定律的时域表示：基尔霍夫定律的时域表示：1.1.基尔霍夫定律的运算形式基尔霍夫定律的运算形式下 页上 页根据拉氏变换的线性性质得根据拉氏变换的线性性质得KCL、KVL的运算形式的运算形式对任一结点对任一结点对任一回路对任一回路14.4 运算电路基尔霍夫定律的时域表示：1.基尔霍夫定律的u=Ri2.2.电路元件的运算形式电路元件的运算形式 电阻电阻R的运算形式的运算形式取拉氏变换取拉氏变换电阻的运算电路电阻的运算电路下 页上 页uR(t)i(t)R+-时域形式：时域形式：R+-u=Ri2.电路元件的运算形式 电阻R的运算形式取拉氏变换电 电感电感L的运算形式的运算形式取拉氏变换取拉氏变换,由微分性质得由微分性质得L的的运算运算电路电路下 页上 页i(t)+u(t)-L+-sLU(s)I(s)+-时域形式：时域形式：sL+U(s)I(s)-电感L的运算形式取拉氏变换,由微分性质得L的运算电路下 页 电容电容C的运算形式的运算形式C的的运算运算电路电路下 页上 页i(t)+u(t)-C时域形式：时域形式：取拉氏变换取拉氏变换,由积分性质得由积分性质得+-1/sCU(s)I(s)+-1/sCCu(0-)+U(s)I(s)-电容C的运算形式C的运算电路下 页上 页i(t)+u 耦合电感的运算形式耦合电感的运算形式下 页上 页i1*L1L2+_u1+_u2i2M时域形式：时域形式：取拉氏变换取拉氏变换,由微分性质得由微分性质得互感运算阻抗互感运算阻抗 耦合电感的运算形式下 页上 页i1*L1L2+_u1+_耦合电感耦合电感的运算电路的运算电路下 页上 页+-+sL2+sM+sL1-+耦合电感下 页上 页+-+sL2+sM+sL1-受控源的运算形式受控源的运算形式受控源的运算电路受控源的运算电路下 页上 页时域形式：时域形式：b i1+_u2i2_u1i1+R取拉氏变换取拉氏变换+_+R 受控源的运算形式受控源的运算电路下 页上 页时域形式：b 3.3.RLC串联电路的运算形式串联电路的运算形式下 页上 页u(t)RC-+iLU(s)R1/sC-+sLI(s)时域电路时域电路 拉氏变换拉氏变换运算电路运算电路运算阻抗运算阻抗3.RLC串联电路的运算形式下 页上 页u(t)RC-+下 页上 页运算形式的运算形式的欧姆定律欧姆定律u(t)RC-+iL+-U(s)R1/sC-+sLI(s)+-Li(0-)拉氏变换拉氏变换下 页上 页运算形式的欧姆定律u(t)RC-+iL+-U 下 页上 页+-U(s)R1/sC-+sLI(s)+-Li(0-)下 页上 页+-U(s)R1/sC-+sLI(s)+-L 电压、电流用象函数形式；电压、电流用象函数形式；元件用运算阻抗或运算导纳表示；元件用运算阻抗或运算导纳表示；电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。下 页上 页电路的运算形式电路的运算形式小结例例给出图示电路的运算电路模型。给出图示电路的运算电路模型。1F100.5H50V+-uC+-iL51020解解t=0 时开关打开时开关打开uc(0-)=25V iL(0-)=5A时域电路时域电路 电压、电流用象函数形式；元件用运算阻抗或运算导纳表示；注意附加电源注意附加电源下 页上 页1F100.5H50V+-uC+-iL51020200.5s-+-1/s25/s2.5V5IL(s)UC(s)t 0 运算电路运算电路注意附加电源下 页上 页1F100.5H50V+-uC+-14.5 14.5 应用拉普拉斯变换法应用拉普拉斯变换法分析线性电路分析线性电路 由换路前的电路计算由换路前的电路计算uc(0-),iL(0-)；画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附加电源的作用；加电源的作用；应用前面各章介绍的各种计算方法求象函数；应用前面各章介绍的各种计算方法求象函数；反变换求原函数。反变换求原函数。下 页上 页1.1.运算法的计算步骤运算法的计算步骤14.5 应用拉普拉斯变换法 由换路前的电路计算uc(0-)例例1(2)画运算电路画运算电路解解(1)计算初值计算初值下 页上 页电路原处于稳态，电路原处于稳态，t=0 时开关闭合，试用运算时开关闭合，试用运算法求电流法求电流 i(t)。1V1H11Fi+-11/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s例1(2)画运算电路解(1)计算初值下 页上 页电路原处(3)应用回路电流法应用回路电流法下 页上 页1/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s(3)应用回路电流法下 页上 页1/ss11/sI(s)+下 页上 页(4)反变换求原函数反变换求原函数下 页上 页(4)反变换求原函数下 页上 页例例2，求，求uC(t)、iC(t)。图示电路图示电路RC+ucis解解画运算电路画运算电路1/sC+Uc(s)R下 页上 页例2，求uC(t)、iC(t)。图示电路RC+i下 页上 页1/sC+Uc(s)R下 页上 页1/sC+Rt=0时打开开关时打开开关,求电感电流和电压。求电感电流和电压。例例3下 页上 页解解计算初值计算初值+-i10.3H0.1H10V23i2画运算电路画运算电路10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-23t=0时打开开关,求电感电流和电压。例3下 页上 页解下 页上 页10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-23注意下 页上 页10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-UL1(s)下 页上 页10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-23UL1(s)下 页上 页10/s0.3s1.5V 0.1sI3.75ti1520下 页上 页uL1-6.56t-0.375(t)00.375(t)uL2t-2.1903.75ti1520下 页上 页uL1-6.56t-0.37下 页上 页注意 由于拉氏变换中用由于拉氏变换中用0-初始条件，初始条件，跃变情况自跃变情况自动包含在响应中，动包含在响应中，故不需先求故不需先求 t=0+时的跃变时的跃变值。值。两个电感电压中的冲击部分大小相同而方向两个电感电压中的冲击部分大小相同而方向相反，故整个回路中无冲击电压。相反，故整个回路中无冲击电压。满足磁链守恒。满足磁链守恒。下 页上 页注意 由于拉氏变换中用0-初始条件，跃变情况自上 页上 页14.6 14.6 网络函数的定义网络函数的定义1.网络函数网络函数H（s）的定义）的定义 线性线性时不变网络在单一电源激励下，其线性线性时不变网络在单一电源激励下，其零状态响应的像函数与激励的像函数之比定义为零状态响应的像函数与激励的像函数之比定义为该电路的网络函数该电路的网络函数H(s)。下 页上 页14.6 网络函数的定义1.网络函数H（s）的定义 由于激励由于激励E(s)可以是电压源或电流源，响应可以是电压源或电流源，响应R(s)可以是电压或电流，故可以是电压或电流，故 s 域网络函数可以是驱域网络函数可以是驱动点阻抗（导纳），转移阻抗（导纳），电压动点阻抗（导纳），转移阻抗（导纳），电压转移函数或电流转移函数。转移函数或电流转移函数。下 页上 页注意若若E(s)=1，响应响应R(s)=H(s)，即即网络函数是该响网络函数是该响应的像函数。网络函数的原函数是电路的冲击应的像函数。网络函数的原函数是电路的冲击响应响应 h(t)。2.2.网络函数的应用网络函数的应用由网络函数求取任意激励的零状态响应由网络函数求取任意激励的零状态响应由于激励E(s)可以是电压源或电流源，响应R(s)可以是电压例例下 页上 页1/4F2H2i(t)u1+-u21解解画运算电路画运算电路例下 页上 页1/4F2H2i(t)u1+-u21解下 页上 页I1(s)4/s2sI(s)U1(s)U2(s s)2+-1下 页上 页I1(s)4/s2sI(s)U1(s)U2(s)例例下 页上 页解解画运算电路画运算电路电路激励为电路激励为，求冲激响应，求冲激响应GC+ucissC+Uc(s)G例下 页上 页解画运算电路电路激励为，求冲激响应GC+iss下 页上 页3.应用卷积定理求电路响应应用卷积定理求电路响应结论 可以通过求网络函数可以通过求网络函数H(s)与任意激励的与任意激励的象函数象函数E(s)之积的拉氏反变换求得该网络在任何之积的拉氏反变换求得该网络在任何激励下的零状态响应激励下的零状态响应。下 页上 页3.应用卷积定理求电路响应结论 K1=3,K2=-3例例解解下 页上 页图示电路图示电路，冲击响应，冲击响应，求，求uC(t)。线性无源线性无源电阻网络电阻网络+-usCuc+-K1=3,K2=-3例解下 页上 页图示电路，冲击14.7 14.7 网络函数的极点和零点网络函数的极点和零点1.1.极点和零点极点和零点下 页上 页当当 s=zi 时时，H(s)=0，称称 zi 为零点，为零点，zi 为重根，为重根，称为重零点；称为重零点；当当 s=pj 时时，H(s)，称称 pj 为极点，为极点，pj 为重根，为重根，称为重极点；称为重极点；14.7 网络函数的极点和零点1.极点和零点下 页上 页当2.2.复平面（或复平面（或s 平面）平面）在复平面上把在复平面上把 H(s)的极点用的极点用 表示表示 ，零，零点用点用 o 表示。表示。零、极点分布图零、极点分布图下 页上 页zi，Pj 为复数为复数j o02.复平面（或s 平面）在复平面上把 H(s)的极例例绘出其极零点图。绘出其极零点图。解解下 页上 页例绘出其极零点图。解下 页上 页下 页上 页24 -1j o0o下 页上 页24-1jo0o14.8 14.8 极点、零点与冲激响应极点、零点与冲激响应零零状状态态e(t)r(t)激励激励 响应响应下 页上 页1.1.网络函数与冲击响应网络函数与冲击响应零零状状态态(t)h(t)1 R(s)冲击响应冲击响应H(s)和冲激响应构成一对拉氏变换对。和冲激响应构成一对拉氏变换对。结论14.8 极点、零点与冲激响应零e(t)r(t)激励 响应H0=-10例例 已知网络函数有两个极点为已知网络函数有两个极点为s=0、s=-1，一个单，一个单零点为零点为s=1，且有，且有 ，求，求H(s)和和 h(t）。解解由已知的零、极点得：由已知的零、极点得：下 页上 页H0=-10例 已知网络函数有两个极点为s=0、s=-下 页上 页2.2.极点、零点与冲击响应极点、零点与冲击响应 若网络函数为真分式且分母具有单根，则网若网络函数为真分式且分母具有单根，则网络的冲击响应为：络的冲击响应为：讨论当当Pi为负实根时，为负实根时，h(t)为衰减的指数函数，为衰减的指数函数，当当Pi为正实根时，为正实根时，h(t)为增长的指数函数；为增长的指数函数；极点位置不同，响应性质不同，极点反极点位置不同，响应性质不同，极点反映网络响应动态过程中自由分量的变化规律。映网络响应动态过程中自由分量的变化规律。注意下 页上 页2.极点、零点与冲击响应 若网络函数为真下 页上 页j0 不稳定电路不稳定电路 稳定电路稳定电路下 页上 页j0不稳定电路稳定电路下 页上 页j0当当Pi为共轭复数时，为共轭复数时，h(t)为衰减或为衰减或增长的正弦函增长的正弦函数；数；不稳定电路不稳定电路 稳定电路稳定电路下 页上 页j0当Pi为共轭复数时，h(t)为衰减或增长下 页上 页j0当当Pi为为虚根虚根时，时，h(t)为为纯正弦函数纯正弦函数，当当Pi为零时，为零时，h(t)为实数；为实数；注意 一个实际的线性电路是稳定电路，其网络函一个实际的线性电路是稳定电路，其网络函数的极点一定位于左半平面。根据的极点分布情况数的极点一定位于左半平面。根据的极点分布情况和激励变化规律可以预见时域响应的全部特点。和激励变化规律可以预见时域响应的全部特点。下 页上 页j0当Pi为虚根时，h(t)为纯正弦函数，当14.9 14.9 极点、零点与频率响应极点、零点与频率响应 令网络函数令网络函数H(s)中复频率中复频率s=j，分析，分析H(j)随随变化的特性，根据网络函数零、极点的分布可以确变化的特性，根据网络函数零、极点的分布可以确定正弦输入时的频率响应。定正弦输入时的频率响应。对于某一固定的角频率对于某一固定的角频率下 页上 页14.9 极点、零点与频率响应 令网络函数H(s)中复幅频特性幅频特性相频特性相频特性下 页上 页例例定性分析定性分析RC串联电路以电压串联电路以电压uC为输出时电路为输出时电路的频率响应。的频率响应。RC+_+u2_uS解解幅频特性相频特性下 页上 页例定性分析RC串联电路以电压uC一个极点一个极点下 页上 页RC+_+u2_uS用线段用线段M1表示表示j-1/RCM11M2j1j20一个极点下 页上 页RC+uS用线段M1表示j-1/幅频特性幅频特性相频特性相频特性下 页上 页|H(j)|1低通特性低通特性0123|(j)|-/20123幅频特性相频特性下 页上 页|H(j)|1低通特性01若以电压若以电压uR为输出时电路的频率响应为：为输出时电路的频率响应为：下 页上 页RC+_+u2_uS|H(j)|1/RC10.7070j-1/RCM1N111 o0若以电压uR为输出时电路的频率响应为：下 页上 页RC+u下 页上 页u下 页上 页u