资源描述
共共 54 54 页页1 1第三十九讲 圆的方程点直线圆的位置关系共 54 页1第三十九讲 圆的方程点直线圆的位置关系共共 54 54 页页2 2回归课本回归课本回归课本回归课本1.1.1.1.圆的标准方程圆的标准方程圆的标准方程圆的标准方程(x-a)(x-a)(x-a)(x-a)2 2 2 2+(y-b)+(y-b)+(y-b)+(y-b)2 2 2 2=r=r=r=r2 2 2 2(r0),(r0),(r0),(r0),其中圆心为其中圆心为其中圆心为其中圆心为(a,b)(a,b)(a,b)(a,b),半径为半径为半径为半径为r r r r.2.2.2.2.圆的一般方程圆的一般方程圆的一般方程圆的一般方程x x x x2 2 2 2+y+y+y+y2 2 2 2+Dx+Ey+F=0(D+Dx+Ey+F=0(D+Dx+Ey+F=0(D+Dx+Ey+F=0(D2 2 2 2+E+E+E+E2 2 2 2-4F0),-4F0),-4F0),-4F0),其中圆心为其中圆心为其中圆心为其中圆心为 半径半径半径半径若若若若D D D D2 2 2 2+E+E+E+E2 2 2 2-4F=0,-4F=0,-4F=0,-4F=0,则表示点则表示点则表示点则表示点若若若若D D D D2 2 2 2+E+E+E+E2 2 2 2-4F0,-4F0,-4F0,-4Frdrdrdr;点点点点P P P P在圆上在圆上在圆上在圆上d=rd=rd=rd=r;点点点点P P P P在圆内在圆内在圆内在圆内drdrdrd r r r r2 2 2 2时时时时,点点点点P P P P在圆外在圆外在圆外在圆外;当当当当(x(x(x(x0 0 0 0-a)-a)-a)-a)2 2 2 2+(y+(y+(y+(y0 0 0 0-b)b)b)b)2 2 2 2=r r r r2 2 2 2时时时时,点点点点P P P P在圆上在圆上在圆上在圆上;当当当当(x(x(x(x0 0 0 0-a)-a)-a)-a)2 2 2 2+(y+(y+(y+(y0 0 0 0-b)-b)-b)-b)2 2 2 2 0;+F0;+F0;+F0;P P P P在圆上在圆上在圆上在圆上x x x x2 2 2 20 0 0 0+y+y+y+y2 2 2 20 0 0 0+Dx+Dx+Dx+Dx0 0 0 0+Ey+Ey+Ey+Ey0 0 0 0+F=0;+F=0;+F=0;+F=0;P P P P在在在在圆内圆内圆内圆内x x x x2 2 2 20 0 0 0+y+y+y+y2 2 2 20 0 0 0+Dx+Dx+Dx+Dx0 0 0 0+Ey+Ey+Ey+Ey0 0 0 0+F0.+F0.+F0.+F0)(r0)(r0)(r0)的位置关系的的位置关系的的位置关系的的位置关系的判断方法有判断方法有判断方法有判断方法有:(1)(1)(1)(1)几何方法几何方法几何方法几何方法圆心圆心圆心圆心(a,b)(a,b)(a,b)(a,b)到直线到直线到直线到直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0Ax+By+C=0Ax+By+C=0的距离的距离的距离的距离drdrdrdrdrdrdr直线与圆相离直线与圆相离直线与圆相离直线与圆相离.共 54 页65.直线:Ax+By+C=0与圆(x-a)2+共共 54 54 页页7 7(2)(2)(2)(2)代数方法代数方法代数方法代数方法由由由由 消元消元消元消元,得到一元二次方程得到一元二次方程得到一元二次方程得到一元二次方程其判别式为其判别式为其判别式为其判别式为,则则则则0000直线与圆相交直线与圆相交直线与圆相交直线与圆相交;=0=0=0=0直线与圆相切直线与圆相切直线与圆相切直线与圆相切;0000)0)0)0)与与与与(x-a(x-a(x-a(x-a2 2 2 2)2 2 2 2+(y-b+(y-b+(y-b+(y-b2 2 2 2)2 2 2 2=r=r=r=r2 2 2 22 2 2 2(r(r(r(r2 2 2 20)0)0)0)的圆心距为的圆心距为的圆心距为的圆心距为d,d,d,d,则则则则drdrdrdr1 1 1 1+r+r+r+r2 2 2 2两圆两圆两圆两圆相离相离相离相离;d=rd=rd=rd=r1 1 1 1+r+r+r+r2 2 2 2两圆两圆两圆两圆外切外切外切外切;|r|r|r|r1 1 1 1-r-r-r-r2 2 2 2|dr|dr|dr|dr1 1 1 1+r+r+r+r2 2 2 2两圆两圆两圆两圆相交相交相交相交;d=|rd=|rd=|rd=|r1 1 1 1-r-r-r-r2 2 2 2|两圆两圆两圆两圆内切内切内切内切;0d|r0d|r0d|r0db0ab0ab0ab0且且且且a=2c,a=2c,a=2c,a=2c,方程方程方程方程axaxaxax2 2 2 2+bx-c=0+bx-c=0+bx-c=0+bx-c=0的两个实根分别为的两个实根分别为的两个实根分别为的两个实根分别为x x x x1 1 1 1和和和和x x x x2 2 2 2,则点则点则点则点P(xP(xP(xP(x1 1 1 1,x,x,x,x2 2 2 2)()()()()A.A.A.A.必在圆必在圆必在圆必在圆x x x x2 2 2 2+y+y+y+y2 2 2 2=2=2=2=2内内内内B.B.B.B.必在圆必在圆必在圆必在圆x x x x2 2 2 2+y+y+y+y2 2 2 2=2=2=2=2上上上上C.C.C.C.必在圆必在圆必在圆必在圆x x x x2 2 2 2+y+y+y+y2 2 2 2=2=2=2=2外外外外D.D.D.D.以上三种情况都有可能以上三种情况都有可能以上三种情况都有可能以上三种情况都有可能共 54 页145.已知ab0且a=2c,方程ax2+b共共 54 54 页页1515答案答案:A:A评析评析:本题综合考查了韦达定理以及点与圆的位置关系本题综合考查了韦达定理以及点与圆的位置关系.共 54 页15答案:A评析:本题综合考查了韦达定理以及点与共共 54 54 页页1616类型一类型一类型一类型一 求圆的方程求圆的方程求圆的方程求圆的方程解题准备解题准备解题准备解题准备:无论是圆的标准方程还是圆的一般方程无论是圆的标准方程还是圆的一般方程无论是圆的标准方程还是圆的一般方程无论是圆的标准方程还是圆的一般方程,都有三个都有三个都有三个都有三个待定系数待定系数待定系数待定系数,因此求圆的方程因此求圆的方程因此求圆的方程因此求圆的方程,应用三个条件来求应用三个条件来求应用三个条件来求应用三个条件来求.一般地一般地一般地一般地,已已已已知圆心或半径的条件知圆心或半径的条件知圆心或半径的条件知圆心或半径的条件,选用圆的标准式选用圆的标准式选用圆的标准式选用圆的标准式,否则选用一般式否则选用一般式否则选用一般式否则选用一般式.另外另外另外另外,还有几何法可以用来求圆的方程还有几何法可以用来求圆的方程还有几何法可以用来求圆的方程还有几何法可以用来求圆的方程.要充分利用圆的有要充分利用圆的有要充分利用圆的有要充分利用圆的有关几何性质关几何性质关几何性质关几何性质,如如如如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”“”“”“”“半径半径半径半径,弦心距弦心距弦心距弦心距,弦长的一半构成直角三角形弦长的一半构成直角三角形弦长的一半构成直角三角形弦长的一半构成直角三角形”等等等等.共 54 页16类型一 求圆的方程共共 54 54 页页1717【典例典例典例典例1 1 1 1】求过两点求过两点求过两点求过两点A(1,4)A(1,4)A(1,4)A(1,4)B(3,2)B(3,2)B(3,2)B(3,2)且圆心在直线且圆心在直线且圆心在直线且圆心在直线y=0y=0y=0y=0上的圆上的圆上的圆上的圆的标准方程并判断点的标准方程并判断点的标准方程并判断点的标准方程并判断点P(2,4)P(2,4)P(2,4)P(2,4)与圆的关系与圆的关系与圆的关系与圆的关系.分析分析分析分析 欲求圆的标准方程欲求圆的标准方程欲求圆的标准方程欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标和圆的半径的大需求出圆心坐标和圆的半径的大需求出圆心坐标和圆的半径的大需求出圆心坐标和圆的半径的大小小小小,而要判断点而要判断点而要判断点而要判断点P P P P与圆的位置关系与圆的位置关系与圆的位置关系与圆的位置关系,只需看点只需看点只需看点只需看点P P P P与圆心的距离与圆心的距离与圆心的距离与圆心的距离和圆的半径的大小关系和圆的半径的大小关系和圆的半径的大小关系和圆的半径的大小关系;若距离大于半径若距离大于半径若距离大于半径若距离大于半径,则点在圆外则点在圆外则点在圆外则点在圆外;若若若若距离等于半径距离等于半径距离等于半径距离等于半径,则点在圆上则点在圆上则点在圆上则点在圆上;若距离小于半径若距离小于半径若距离小于半径若距离小于半径,则点在圆内则点在圆内则点在圆内则点在圆内.共 54 页17【典例1】求过两点A(1,4)B(3,2)共共 54 54 页页1818 解解解解 解法一解法一解法一解法一:设圆的标准方程为设圆的标准方程为设圆的标准方程为设圆的标准方程为(x-a)(x-a)(x-a)(x-a)2 2 2 2+(y-b)+(y-b)+(y-b)+(y-b)2 2 2 2=r=r=r=r2 2 2 2.圆心在圆心在圆心在圆心在y=0y=0y=0y=0上上上上,故故故故b=0.b=0.b=0.b=0.圆的方程为圆的方程为圆的方程为圆的方程为(x-a)(x-a)(x-a)(x-a)2 2 2 2+y+y+y+y2 2 2 2=r=r=r=r2 2 2 2.又又又又该圆过该圆过该圆过该圆过A(1,4)A(1,4)A(1,4)A(1,4)、B(3,2)B(3,2)B(3,2)B(3,2)两点两点两点两点.所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为(x+1)(x+1)(x+1)(x+1)2 2 2 2+y+y+y+y2 2 2 2=20.=20.=20.=20.共 54 页18 解解法一:设圆的标准方程为(x-a)2共共 54 54 页页1919共 54 页19共共 54 54 页页2020共 54 页20共共 54 54 页页2121共 54 页21共共 54 54 页页2222 反思感悟反思感悟反思感悟反思感悟(1)(1)(1)(1)本题解法一与解法二都使用了待定系数法本题解法一与解法二都使用了待定系数法本题解法一与解法二都使用了待定系数法本题解法一与解法二都使用了待定系数法,其中解法一设了圆的标准方程其中解法一设了圆的标准方程其中解法一设了圆的标准方程其中解法一设了圆的标准方程,解法二设了圆的一般方程解法二设了圆的一般方程解法二设了圆的一般方程解法二设了圆的一般方程,都是结合条件来求所设方程中的待定系数都是结合条件来求所设方程中的待定系数都是结合条件来求所设方程中的待定系数都是结合条件来求所设方程中的待定系数;解法三则应用解法三则应用解法三则应用解法三则应用了平面几何知识了平面几何知识了平面几何知识了平面几何知识:圆心与弦的中点的连线与弦垂直圆心与弦的中点的连线与弦垂直圆心与弦的中点的连线与弦垂直圆心与弦的中点的连线与弦垂直.一般而一般而一般而一般而言言言言,在解析几何问题中在解析几何问题中在解析几何问题中在解析几何问题中,能用上平面几何知识能用上平面几何知识能用上平面几何知识能用上平面几何知识,会使解题变会使解题变会使解题变会使解题变得相对简单得相对简单得相对简单得相对简单.(2)(2)(2)(2)无论哪种解法无论哪种解法无论哪种解法无论哪种解法,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量量量量,然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系判定点与圆的位置关系判定点与圆的位置关系判定点与圆的位置关系.共 54 页22 反思感悟(1)本题解法一与解法二都使用共共 54 54 页页2323类型二类型二类型二类型二直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系解题准备解题准备解题准备解题准备:1.:1.:1.:1.直线与圆位置关系的判定方法直线与圆位置关系的判定方法直线与圆位置关系的判定方法直线与圆位置关系的判定方法:(1)(1)(1)(1)几何法几何法几何法几何法:由圆心到直线的距离由圆心到直线的距离由圆心到直线的距离由圆心到直线的距离d d d d与半径与半径与半径与半径r r r r的大小判断的大小判断的大小判断的大小判断.当当当当drdrdrdrdrdrdr时时时时,直直直直线与圆相离线与圆相离线与圆相离线与圆相离.共 54 页23类型二直线与圆的位置关系共共 54 54 页页2424(2)(2)(2)(2)代数法代数法代数法代数法:通过直线方程与圆的方程所组成的方程组通过直线方程与圆的方程所组成的方程组通过直线方程与圆的方程所组成的方程组通过直线方程与圆的方程所组成的方程组,根据根据根据根据解的个数来研究解的个数来研究解的个数来研究解的个数来研究.若有两组不同的实数解若有两组不同的实数解若有两组不同的实数解若有两组不同的实数解,即即即即0,0,0,0,则直线与圆相交则直线与圆相交则直线与圆相交则直线与圆相交;若有两组相同的实数解若有两组相同的实数解若有两组相同的实数解若有两组相同的实数解,即即即即=0,=0,=0,=0,则直线与圆相切则直线与圆相切则直线与圆相切则直线与圆相切;若无实数解若无实数解若无实数解若无实数解,即即即即0,0,0,0,则直线与圆相离则直线与圆相离则直线与圆相离则直线与圆相离.共 54 页24(2)代数法:通过直线方程与圆的方程所组成的共共 54 54 页页25252.2.2.2.若直线与圆相交若直线与圆相交若直线与圆相交若直线与圆相交,则直线被圆截得的弦长则直线被圆截得的弦长则直线被圆截得的弦长则直线被圆截得的弦长3.3.3.3.以圆以圆以圆以圆x x x x2 2 2 2+y+y+y+y2 2 2 2=r=r=r=r2 2 2 2上一点上一点上一点上一点P(xP(xP(xP(x0 0 0 0,y,y,y,y0 0 0 0)为切点的切线方程为为切点的切线方程为为切点的切线方程为为切点的切线方程为x x x x0 0 0 0 x+yx+yx+yx+y0 0 0 0y=ry=ry=ry=r2 2 2 2.共 54 页252.若直线与圆相交,则直线被圆截得的弦长共共 54 54 页页2626【典例典例典例典例2 2 2 2】已知圆已知圆已知圆已知圆C:(x-1)C:(x-1)C:(x-1)C:(x-1)2 2 2 2+(y-2)+(y-2)+(y-2)+(y-2)2 2 2 2=25=25=25=25及直线及直线及直线及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(mR).l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(mR).l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(mR).l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(mR).(1)(1)(1)(1)证明证明证明证明:不论不论不论不论m m m m取什么实数取什么实数取什么实数取什么实数,直线直线直线直线l l l l与圆与圆与圆与圆C C C C恒相交恒相交恒相交恒相交;(2)(2)(2)(2)求直线求直线求直线求直线l l l l被圆被圆被圆被圆C C C C截得弦长最短长度及此时截得弦长最短长度及此时截得弦长最短长度及此时截得弦长最短长度及此时l l l l的直线方程的直线方程的直线方程的直线方程.共 54 页26【典例2】已知圆C:(x-1)2+(y-2)共共 54 54 页页2727 解析解析解析解析(1)(1)(1)(1)直线直线直线直线l l l l可化为可化为可化为可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,x+y-4+m(2x+y-7)=0,x+y-4+m(2x+y-7)=0,x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不论即不论即不论即不论m m m m为任为任为任为任何实数何实数何实数何实数,它恒过两直线它恒过两直线它恒过两直线它恒过两直线x+y-4=0 x+y-4=0 x+y-4=0 x+y-4=0与与与与2x+y-7=02x+y-7=02x+y-7=02x+y-7=0的交点的交点的交点的交点.两方程两方程两方程两方程联立联立联立联立,解得交点为解得交点为解得交点为解得交点为(3,1),(3,1),(3,1),(3,1),又有又有又有又有(3-1)(3-1)(3-1)(3-1)2 2 2 2+(1-2)+(1-2)+(1-2)+(1-2)2 2 2 2=525,=525,=525,=5r|r|r|r1 1 1 1+r+r+r+r2 2 2 2相离相离相离相离;|O;|O;|O;|O1 1 1 1O O O O2 2 2 2|=r|=r|=r|=r1 1 1 1+r+r+r+r2 2 2 2外切外切外切外切;|r;|r;|r;|r1 1 1 1-r-r-r-r2 2 2 2|O|O|O|O1 1 1 1O O O O2 2 2 2|r|r|r|r1 1 1 1+r+r+r+r2 2 2 2相交相交相交相交;|O;|O;|O;|O1 1 1 1O O O O2 2 2 2|=|r|=|r|=|r|=|r1 1 1 1-r-r-r-r2 2 2 2|内切内切内切内切;0|O;0|O;0|O;0|O1 1 1 1O O O O2 2 2 2|r|r|r|r1 1 1 1-r-r-r-r2 2 2 2|内含内含内含内含.共 54 页29类型三圆与圆的位置关系共共 54 54 页页3030【典例典例典例典例3 3 3 3】已知圆已知圆已知圆已知圆C C C C1 1 1 1:x:x:x:x2 2 2 2+y+y+y+y2 2 2 2-2mx+4y+m-2mx+4y+m-2mx+4y+m-2mx+4y+m2 2 2 2-5=0,-5=0,-5=0,-5=0,圆圆圆圆C C C C2 2 2 2:x:x:x:x2 2 2 2+y+y+y+y2 2 2 2+2x-+2x-+2x-+2x-2my+m2my+m2my+m2my+m2 2 2 2-3=0,-3=0,-3=0,-3=0,试就试就试就试就m m m m的取值讨论两圆的位置关系的取值讨论两圆的位置关系的取值讨论两圆的位置关系的取值讨论两圆的位置关系.分析分析分析分析 求两圆的圆心距求两圆的圆心距求两圆的圆心距求两圆的圆心距d,d,d,d,判断判断判断判断d d d d与与与与R+r,R-rR+r,R-rR+r,R-rR+r,R-r的关系的关系的关系的关系.共 54 页30【典例3】已知圆C1:x2+y2-2mx+4共共 54 54 页页3131共 54 页31共共 54 54 页页3232共 54 页32共共 54 54 页页3333(3)(3)(3)(3)当当当当r r r r1 1 1 1-r-r-r-r2 2 2 2|C|C|C|C1 1 1 1C C C C2 2 2 2|r|r|r|r1 1 1 1+r+r+r+r2 2 2 2,即即即即-5m-2-5m-2-5m-2-5m-2或或或或-1m2-1m2-1m2-1mr|r|r|r1 1 1 1+r+r+r+r2 2 2 2,即即即即m-5m-5m-5m2m2m2m2时时时时,两圆外离两圆外离两圆外离两圆外离;(5)(5)(5)(5)当当当当|C|C|C|C1 1 1 1C C C C2 2 2 2|r|r|r|r1 1 1 1-r-r-r-r2 2 2 2,即即即即-2m-1-2m-1-2m-1-2m-1时时时时,两圆内含两圆内含两圆内含两圆内含.共 54 页33(3)当r1-r2|C1C2|r1+r2共共 54 54 页页3434 反思感悟反思感悟反思感悟反思感悟 不根据圆心距与两圆半径的和、差关系不根据圆心距与两圆半径的和、差关系不根据圆心距与两圆半径的和、差关系不根据圆心距与两圆半径的和、差关系,确定两圆确定两圆确定两圆确定两圆位置关系位置关系位置关系位置关系,或用代数法求解或用代数法求解或用代数法求解或用代数法求解,造成计算繁琐造成计算繁琐造成计算繁琐造成计算繁琐.在讨论两圆的位置关系时在讨论两圆的位置关系时在讨论两圆的位置关系时在讨论两圆的位置关系时,一般用几何法而不用代数法一般用几何法而不用代数法一般用几何法而不用代数法一般用几何法而不用代数法,关于关于关于关于两圆的位置关系的讨论两圆的位置关系的讨论两圆的位置关系的讨论两圆的位置关系的讨论,应明确圆心距和两圆半径之间的和应明确圆心距和两圆半径之间的和应明确圆心距和两圆半径之间的和应明确圆心距和两圆半径之间的和差关系差关系差关系差关系.共 54 页34反思感悟不根据圆心距与两圆半径的和、差关共共 54 54 页页3535错源一错源一错源一错源一忽视特殊情形忽视特殊情形忽视特殊情形忽视特殊情形【典例典例典例典例1 1 1 1】已知圆已知圆已知圆已知圆M:(x-1)M:(x-1)M:(x-1)M:(x-1)2 2 2 2+(y-1)+(y-1)+(y-1)+(y-1)2 2 2 2=4,=4,=4,=4,直线直线直线直线a a a a过点过点过点过点P(2,3)P(2,3)P(2,3)P(2,3)且与且与且与且与圆圆圆圆M M M M交于交于交于交于A,BA,BA,BA,B两点两点两点两点,且且且且 求直线求直线求直线求直线a a a a的方程的方程的方程的方程.共 54 页35错源一忽视特殊情形共共 54 54 页页3636 错解错解错解错解 设直线设直线设直线设直线a a a a的方程为的方程为的方程为的方程为y-3=k(x-2),y-3=k(x-2),y-3=k(x-2),y-3=k(x-2),即即即即kx-y+3-2k=0.kx-y+3-2k=0.kx-y+3-2k=0.kx-y+3-2k=0.作示意图如图作示意图如图作示意图如图作示意图如图,作作作作MCABMCABMCABMCAB于于于于C.C.C.C.在直角三角形在直角三角形在直角三角形在直角三角形MBCMBCMBCMBC中中中中,由点到直线的距离公式得由点到直线的距离公式得由点到直线的距离公式得由点到直线的距离公式得 解得解得解得解得所以直线所以直线所以直线所以直线a a a a的方程为的方程为的方程为的方程为3x-4y+6=0.3x-4y+6=0.3x-4y+6=0.3x-4y+6=0.共 54 页36错解设直线a的方程为y-3=k(x-2)共共 54 54 页页3737 剖析剖析忽视了直线忽视了直线a的斜率不存在情形的斜率不存在情形.共 54 页37 剖析忽视了直线a的斜率不存在情形.共共 54 54 页页3838错源二错源二错源二错源二以偏概全以偏概全以偏概全以偏概全【典例典例典例典例2 2 2 2】求与圆求与圆求与圆求与圆C:(x-2)C:(x-2)C:(x-2)C:(x-2)2 2 2 2+(y-1)+(y-1)+(y-1)+(y-1)2 2 2 2=4=4=4=4和直线和直线和直线和直线y=0y=0y=0y=0都相切且半径都相切且半径都相切且半径都相切且半径为为为为1 1 1 1的圆的方程的圆的方程的圆的方程的圆的方程.错解错解错解错解 因为所求的圆与圆因为所求的圆与圆因为所求的圆与圆因为所求的圆与圆C C C C和直线和直线和直线和直线y=0y=0y=0y=0都相切且半径为都相切且半径为都相切且半径为都相切且半径为1,1,1,1,所以所以所以所以设其圆心为设其圆心为设其圆心为设其圆心为(a,1),(a,1),(a,1),(a,1),则则则则整理得整理得整理得整理得a a a a2 2 2 2-4a-5=0,-4a-5=0,-4a-5=0,-4a-5=0,解得解得解得解得a=5a=5a=5a=5或或或或a=-1.a=-1.a=-1.a=-1.所以所求的圆的方程为所以所求的圆的方程为所以所求的圆的方程为所以所求的圆的方程为(x-5)(x-5)(x-5)(x-5)2 2 2 2+(y-1)+(y-1)+(y-1)+(y-1)2 2 2 2=1=1=1=1或或或或(x+1)(x+1)(x+1)(x+1)2 2 2 2+(y-1)+(y-1)+(y-1)+(y-1)2 2 2 2=1.=1.=1.=1.共 54 页38错源二以偏概全共共 54 54 页页3939 剖析剖析剖析剖析 错解中共有两处错误错解中共有两处错误错解中共有两处错误错解中共有两处错误:1.:1.:1.:1.所求的圆与圆所求的圆与圆所求的圆与圆所求的圆与圆C C C C和直线和直线和直线和直线y=0y=0y=0y=0都相切都相切都相切都相切,圆不一定在圆不一定在圆不一定在圆不一定在y=0y=0y=0y=0的上方的上方的上方的上方,也有可能在下方也有可能在下方也有可能在下方也有可能在下方,所以设圆所以设圆所以设圆所以设圆心为心为心为心为(a,1)(a,1)(a,1)(a,1)是错误的是错误的是错误的是错误的;2.;2.;2.;2.两圆相切不一定是外切两圆相切不一定是外切两圆相切不一定是外切两圆相切不一定是外切,也有可能也有可能也有可能也有可能是内切是内切是内切是内切,所以所以所以所以 是错误的是错误的是错误的是错误的,没有考虑没有考虑没有考虑没有考虑内切的情形内切的情形内切的情形内切的情形.共 54 页39剖析错解中共有两处错误:1.所求的圆与共共 54 54 页页4040共 54 页40共共 54 54 页页4141共 54 页41共共 54 54 页页4242共 54 页42共共 54 54 页页4343四种方法确定圆的方程四种方法确定圆的方程四种方法确定圆的方程四种方法确定圆的方程技法一技法一技法一技法一 当圆内接一个三角形时如何确定圆的方程当圆内接一个三角形时如何确定圆的方程当圆内接一个三角形时如何确定圆的方程当圆内接一个三角形时如何确定圆的方程【典例典例典例典例1 1】已知已知已知已知ABCABC的三个顶点坐标分别是的三个顶点坐标分别是的三个顶点坐标分别是的三个顶点坐标分别是A(4,1),B(6,-3),CA(4,1),B(6,-3),C(-3,0),(-3,0),求求求求ABCABC外接圆的方程外接圆的方程外接圆的方程外接圆的方程.共 54 页43四种方法确定圆的方程共共 54 54 页页4444 解题切入点解题切入点解题切入点解题切入点 这道题可从两个角度来思考这道题可从两个角度来思考这道题可从两个角度来思考这道题可从两个角度来思考:(1):(1)待定系数法待定系数法待定系数法待定系数法,这这这这是一种常用的方法是一种常用的方法是一种常用的方法是一种常用的方法.也就是设出圆的一般式方程也就是设出圆的一般式方程也就是设出圆的一般式方程也就是设出圆的一般式方程,然后确定然后确定然后确定然后确定其中未知系数其中未知系数其中未知系数其中未知系数,但这种方法较机械且计算量较大但这种方法较机械且计算量较大但这种方法较机械且计算量较大但这种方法较机械且计算量较大;(2);(2)可以利可以利可以利可以利用用用用ABCABC外接圆的圆心处在三条边的垂直平分线上外接圆的圆心处在三条边的垂直平分线上外接圆的圆心处在三条边的垂直平分线上外接圆的圆心处在三条边的垂直平分线上,所以所以所以所以可以先求其中两条边的垂直平分线方程可以先求其中两条边的垂直平分线方程可以先求其中两条边的垂直平分线方程可以先求其中两条边的垂直平分线方程,求得的交点坐标就求得的交点坐标就求得的交点坐标就求得的交点坐标就是圆心坐标是圆心坐标是圆心坐标是圆心坐标.共 54 页44解题切入点这道题可从两个角度来思考:(1共共 54 54 页页4545共 54 页45共共 54 54 页页4646共 54 页46共共 54 54 页页4747 方法与技巧方法与技巧方法与技巧方法与技巧 相比较而言相比较而言相比较而言相比较而言,应当特别重视解法二的解题思应当特别重视解法二的解题思应当特别重视解法二的解题思应当特别重视解法二的解题思路路路路.这是一种程序化的解题过程这是一种程序化的解题过程这是一种程序化的解题过程这是一种程序化的解题过程,记住一题记住一题记住一题记住一题,则可通过这一则可通过这一则可通过这一则可通过这一方法解决所有类似问题方法解决所有类似问题方法解决所有类似问题方法解决所有类似问题.共 54 页47方法与技巧相比较而言,应当特别重视解法共共 54 54 页页4848技法二技法二技法二技法二 当圆心在直线上当圆心在直线上当圆心在直线上当圆心在直线上,且已知圆上两点时如何确定圆的且已知圆上两点时如何确定圆的且已知圆上两点时如何确定圆的且已知圆上两点时如何确定圆的方程方程方程方程【典例典例典例典例2 2 2 2】已知一圆经过点已知一圆经过点已知一圆经过点已知一圆经过点A(2,-3)A(2,-3)A(2,-3)A(2,-3)和点和点和点和点B(-2,-5),B(-2,-5),B(-2,-5),B(-2,-5),且圆心且圆心且圆心且圆心C C C C在在在在直线直线直线直线l:x-2y-3=0l:x-2y-3=0l:x-2y-3=0l:x-2y-3=0上上上上,求此圆的标准方程求此圆的标准方程求此圆的标准方程求此圆的标准方程.解题切入点解题切入点解题切入点解题切入点 圆的任何一条弦的垂直平分线都经过圆心圆的任何一条弦的垂直平分线都经过圆心圆的任何一条弦的垂直平分线都经过圆心圆的任何一条弦的垂直平分线都经过圆心,于于于于是弦是弦是弦是弦ABABABAB的垂直平分线必和直线的垂直平分线必和直线的垂直平分线必和直线的垂直平分线必和直线l:x-2y-3=0l:x-2y-3=0l:x-2y-3=0l:x-2y-3=0相交于圆心相交于圆心相交于圆心相交于圆心.共 54 页48技法二 当圆心在直线上,且已知圆上两点时如共共 54 54 页页4949共 54 页49共共 54 54 页页5050 方法与技巧方法与技巧方法与技巧方法与技巧 当圆心在直线上时当圆心在直线上时当圆心在直线上时当圆心在直线上时,一般可阐述如下问题一般可阐述如下问题一般可阐述如下问题一般可阐述如下问题:(1):(1)该该该该直线与任何一条弦的垂直平分线都相交于圆心直线与任何一条弦的垂直平分线都相交于圆心直线与任何一条弦的垂直平分线都相交于圆心直线与任何一条弦的垂直平分线都相交于圆心;(2);(2)该直线该直线该直线该直线将圆平分为面积相等的两部分将圆平分为面积相等的两部分将圆平分为面积相等的两部分将圆平分为面积相等的两部分;(3);(3)该直线与圆产生的相交该直线与圆产生的相交该直线与圆产生的相交该直线与圆产生的相交弦的弦长的一半为圆半径弦的弦长的一半为圆半径弦的弦长的一半为圆半径弦的弦长的一半为圆半径.共 54 页50方法与技巧当圆心在直线上时,一般可阐述如共共 54 54 页页5151技法三技法三技法三技法三 当圆心在直线上当圆心在直线上当圆心在直线上当圆心在直线上,且已知圆的一条切线时如何确定且已知圆的一条切线时如何确定且已知圆的一条切线时如何确定且已知圆的一条切线时如何确定圆的方程圆的方程圆的方程圆的方程【典例典例典例典例3 3 3 3】求经过点求经过点求经过点求经过点A(2,-1)A(2,-1)A(2,-1)A(2,-1)和直线和直线和直线和直线x+y=1x+y=1x+y=1x+y=1相切相切相切相切,且圆心在直线且圆心在直线且圆心在直线且圆心在直线y=-2xy=-2xy=-2xy=-2x上的圆的方程上的圆的方程上的圆的方程上的圆的方程.解题切入点解题切入点解题切入点解题切入点 已知圆的一条切线时已知圆的一条切线时已知圆的一条切线时已知圆的一条切线时,圆心到切线的距离就等圆心到切线的距离就等圆心到切线的距离就等圆心到切线的距离就等于半径于半径于半径于半径.此时此时此时此时,可用点到直线的距离公式建立等式求圆心坐可用点到直线的距离公式建立等式求圆心坐可用点到直线的距离公式建立等式求圆心坐可用点到直线的距离公式建立等式求圆心坐标或是半径标或是半径标或是半径标或是半径.共 54 页51技法三 当圆心在直线上,且已知圆的一条切线共共 54 54 页页5252共 54 页52共共 54 54 页页5353技法四技法四技法四技法四 当圆过已知圆与直线的交点时当圆过已知圆与直线的交点时当圆过已知圆与直线的交点时当圆过已知圆与直线的交点时,如何确定圆的方程如何确定圆的方程如何确定圆的方程如何确定圆的方程【典例典例典例典例4 4 4 4】已知圆已知圆已知圆已知圆x x x x2 2 2 2+y+y+y+y2 2 2 2+x-6y+3=0+x-6y+3=0+x-6y+3=0+x-6y+3=0与直线与直线与直线与直线x+2y-3=0 x+2y-3=0 x+2y-3=0 x+2y-3=0的两个交点的两个交点的两个交点的两个交点为为为为P,Q,P,Q,P,Q,P,Q,求以求以求以求以PQPQPQPQ为直径的圆的方程为直径的圆的方程为直径的圆的方程为直径的圆的方程.解题切入点解题切入点解题切入点解题切入点 这类题目最直观的解法就是求出两交点的坐标这类题目最直观的解法就是求出两交点的坐标这类题目最直观的解法就是求出两交点的坐标这类题目最直观的解法就是求出两交点的坐标,及由题目给出的数量关系求出半径及由题目给出的数量关系求出半径及由题目给出的数量关系求出半径及由题目给出的数量关系求出半径,即可求出圆的方程即可求出圆的方程即可求出圆的方程即可求出圆的方程.共 54 页53技法四 当圆过已知圆与直线的交点时,如何共共 54 54 页页5454共 54 页54
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