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2.2 圆的一般方程12.2 圆的一般方程1圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2指出下面圆的圆心和半径:(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a0)特征:直接看出圆心与半径 复习2圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2指出下 x2 y 2DxEyF0 把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开,得-22222202=-+-+rbabyaxyx由于a,b,r均为常数结论:任何一个圆方程可以写成下面形式 动动手3 x2 y 2DxEyF0 把圆的标准方1.是不是任何一个形如 x2 y 2DxEyF0 方程都表示的曲线是圆呢?思考2.下列方程表示什么图形?(1)x2+y2-2x+4y+1=0;(2)x2+y2-2x-4y+5=0;(3)x2+y2-2x+4y+6=0.41.是不是任何一个形如 思考2.下列方程表示什么图形?4 将将左边配方,得左边配方,得(1)当)当时时,它表示以它表示以为圆心为圆心,以以为半径的圆为半径的圆;D2+E2-4F05 将左边配方,得(1)当时,(2)当当D2E24F0时时,方方程程表表示示一一个个点点 ;(3)当当D2E24F0时,方程时,方程无实数解无实数解,不表示任何图形不表示任何图形所以形如x2 y 2DxEyF0(D2+E2-4F0)可表示圆的方程6(2)当D2E24F0时,方程表示一个点 圆的一般方程:x2 y 2DxEyF0圆的一般方程与标准方程的关系:(D2+E2-4F0)(1)a=-D/2,b=-E/2,r=没有xy这样的二次项(2)标准方程易于看出圆心与半径一般方程突出形式上的特点:x2与y2系数相同并且不等于0;7 圆的一般方程:x2 y 2DxEyF0 例1、判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径(1)x2+y2-2x+4y-4=0(2)2x2+2y2-12x+4y=0(3)x2+2y2-6x+4y-1=0(4)x2+y2-12x+6y+50=0(5)x2+y2-3xy+5x+2y=0是圆心(1,-2)半径3是圆心(3,-1)半径不是不是不是8 例1、判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心1.已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于2.x2+y2-2ax-y+a=0 是圆的方程的充要条件是 练习9已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3 下列方程各表示什么图形下列方程各表示什么图形?若是圆则若是圆则求出圆心、半径求出圆心、半径.a例例2:10 下列方程各表示什么图形?若是圆则a例2:10巩固:巩固:4-6-32或或-211巩固:4-6-32或-211(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:一般方程一般方程标准方程标准方程小结一:12(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:一般方程标准方程小 举例例1:求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的方程,并求出这个圆的半径和圆心坐标.几何方法方法一:yxM1(1,1)M2(4,2)0圆心:两条弦的中垂线的交点圆心:两条弦的中垂线的交点半径:圆心到圆上一点半径:圆心到圆上一点13 举例例1:求过三点O(0,0),M1(1,1),因为O(0,0),A(1,1),B(4,2)都在圆上(4-a)2+(2-b)2=r2(a)2+(b)2=r2(1-a)2+(1-b)2=r2解:设所求圆的标准方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2待定系数法方法二:所求圆的方程为:即(x-4)2+(y+3)2=25a=4b=-3r=5解得 举例例1:求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的方程,并求出这个圆的半径和圆心坐标.14因为O(0,0),A(1,1),B(4,2)都在圆上(4-举例例1:求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的方程,并求出这个圆的半径和圆心坐标.解:设所求圆的一般方程为:因为O(0,0),A(1,1),B(4,2)都在圆上,则F=0D+E+F+2=04D+2E+F+20=0所求圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0即(x-4)2+(y+3)2=25待定系数法方法三:F=0D=-8E=6解得15 举例例1:求过三点O(0,0),M1(1,1),小结二(特殊情况时,可借助图象求解更简单)注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.16 小结二(特殊情况时,可借助图象求解更简单)注意:求圆的例4.已知一曲线是与两定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为1/2的点的轨迹,求此曲线的方程,并画出曲线.举例yx.O.(-1,0)A(3,0)M(x,y)直译法17例4.已知一曲线是与两定点O(0,0)、A(3,0)距离的练习:已知点P在圆C:上运动,求线段OP的中点M的轨迹方程。18练习:181.本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为(用配方法求解)3.给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?2.圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程标准方程(圆心,半径)小结191.本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为(用配方法求几何方法 求圆心坐标 (两条直线的交点)(常用弦的中垂线)求半径 (圆心到圆上一点的距离)写出圆的标准方程待定系数法列关于a,b,r(或D,E,F)的方程组解出a,b,r(或D,E,F),写出标准方程(或一般方程)小结求圆的方程20几何方法 求圆心坐标
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