《控制系统的稳定》PPT课件

第 四 章 控 制 系 统 的 稳 定 4.1 李 雅 普 诺 夫 稳 定 性 概 念 4.2 李 雅 普 诺 夫 稳 定 性 间 接 判 别 法 4.3 李 雅 普 诺 夫 稳 定 性 直 接 判 别 法 4.4 线 性 定 常 系 统 的 李 雅 普 诺 夫 稳 定 性 分 析 4.5 李 雅 普 诺 夫 稳 定 性 分 析 的 应 用第 四 章 控 制 系 统 的 李 雅 普 诺 夫 稳 定 性 分 析 如 果 对 于 所 有 t， 满 足 的 状 态 称 为 平 衡 状 态 （ 平 衡点 ） 。 ( , ) 0e ex f x t ex 0 x 1) 平 衡 状 态 : 4.1 李 雅 普 诺 夫 稳 定 性 概 念 平 衡 状 态 的 各 分 量 不 再 随 时 间 变 化 ； 若 已 知 状 态 方 程 ， 令 所 求 得 的 解 x ,便 是 平 衡 状 态 。 （ 1） 只 有 状 态 稳 定 ， 输 出 必 然 稳 定 ； （ 2） 稳 定 性 与 输 入 无 关 。2) 李 雅 普 诺 夫 稳 定 性 定 义 ： 如 果 对 于 任 意 小 的 0， 均 存 在 一 个 ， 初 始 状 态 满 足 时 ，系 统 运 动 轨 迹 满 足 lim ， 则 称 该 平 衡 状 态 x e 是 李 雅 普 诺 夫 意 义 下 稳定 的 ， 简 称 是 稳 定 的 。 表 示 状 态 空 间 中 x0点 至 xe点 之 间 的 距 离 ， 其 数 学 表 达 式 为 ：0),( 0 t exx0 extxtx ),;( 00exx 0 2021100 )()( nenee xxxxxx 3) 一 致 稳 定 性 ： 通 常 与 、 t0 都 有 关 。 如 果 与 t0 无 关 ， 则 称 平 衡 状 态 是 一 致 稳 定 的 。 定 常 系 统 的 与 t0 无 关 ， 因 此 定 常 系 统 如 果 稳 定 ， 则 一 定 是 一 致 稳 定 的 。 4） 渐 近 稳 定 性 ： 系 统 的 平 衡 状 态 不 仅 具 有 李 雅 普 若 夫 意 义 下 的 稳 定 性 ， 且 有 ： t extxtx 0),;(lim 00 称 此 平 衡 状 态 是 渐 近 稳 定 的 。 5） 大 范 围 稳 定 性 ： 当 初 始 条 件 扩 展 至 整 个 状 态 空 间 ， 且 具 有 稳 定 性 时 ， 称 此 平 衡 状 态 是 大 范 围 稳 定 的 ，或 全 局 稳 定 的 。 此 时 。 , ( ) ,S x 6） 不 稳 定 性 ： 不 论 取 得 得 多 么 小 ， 只 要 在 内 有 一 条 从 x 0 出 发 的 轨 迹 跨 出 ， 则 称 此 平衡 状 态 是 不 稳 定 的 。 ( )S ( )S 注 意 ： 按 李 雅 普 诺 夫 意 义 下 的 稳 定 性 定 义 ， 当 系 统 作 不 衰 减 的 振 荡 运 动 时 则 认 为 是 稳 定的 ， 同 经 典 控 制 理 论 中 的 稳 定 性 定 义 是 有 差 异 的 。 经 典 控 制 理 论 的 稳 定 是 李 雅 普 诺 夫 意 义下 的 一 致 渐 近 稳 定 。 稳 定 性 定 义 的 平 面 几 何 表 示 设 系 统 初 始 状 态 x0 位 于 平 衡 状 态 xe 为 球 心 、 半 径 为 的 闭 球 域内 ， 如 果 系 统 稳 定 ， 则 状 态 方 程 的 解 在 的 过 程 中 ， 都 位 于 以 xe 为 球 心 ，半 径 为 的 闭 球 域 内 。 （ a） 李 雅 普 诺 夫 意 义 下 的 稳 定 性 （ b） 渐 近 稳 定 性 （ c） 不 稳 定 性 4.2 李 雅 普 诺 夫 稳 定 性 间 接 判 别 法 李 雅 普 诺 夫 第 一 法 （ 间 接 法 ） 是 利 用 状 态 方 程 解 的 特 性 来 判 断 系 统 稳 定 性 的 方法 ， 它 适 用 于 线 性 定 常 、 线 性 时 变 及 可 线 性 化 的 非 线 性 系 统 。 线 性 定 常 系 统 的 特 征 值 判 据 系 统 渐 近 稳 定 的 充 要 条 件 是 ： 系 统 矩 阵A的 全 部 特 征 值 位 于 复 平 面 左 半 部 ， 即证 明 ： (略 ) Axx 0)Re( i ni ,1 李 雅 普 诺 夫 第 二 法 （ 直 接 法 ） 基 本 原 理 ： 根 据 物 理 学 原 理 ， 若 系 统 贮 存 的 能 量 （ 含动 能 与 位 能 ） 随 时 间 推 移 而 衰 减 ， 系 统 迟 早 会 到 达 平 衡 状 态 。 实 际 系 统 的 能 量 函 数 表 达 式 相 当 难 找 ， 因 此 李 雅 普 诺 夫 引 入 了 广 义 能 量 函 数 ， 称 之 为李 雅 普 诺 夫 函 数 。 它 与 及 t 有 关 ， 是 一 个 标 量 函 数 ， 记 以 ； 若 不 显含 t ， 则 记 以 。 考 虑 到 能 量 总 大 于 零 ， 故 为 正 定 函 数 。 能 量 衰 减 特 性 用 或 表 示 。 实 践 表 明 ， 对 于 大 多 数 系 统 ， 可 先 尝 试 用 二 次 型 函 数 作 为 李 雅 普 诺 夫 函 数 。4.3 李 雅 普 诺 夫 稳 定 性 直 接 判 别 法 nxx ,1 ( , )V x t( )V x ( , )V x t ( )V xPxx T 4.3.1 标 量 函 数 定 号 性 正 定 性 ： 标 量 函 数 在 域 S中 对 所 有 非 零 状 态 有 且 ， 则称 均 在 域 S内 正 定 。 如 是 正 定 的 。负 定 性 ： 标 量 函 数 在 域 S中 对 所 有 非 零 x有 且 ， 则 称 在域 S内 负 定 。 如 是 负 定 的 。 如 果 是 负 定 的 ， 则 一 定 是 正 定 的 。负 （ 正 ） 半 定 性 ： ， 且 在 域 S内 某 些 状 态 处 有 ， 而 其 它 状 态 处均 有 （ ） ， 则 称 在 域 S内 负 （ 正 ） 半 定 。 设 为 负 半 定 ， 则 为 正 半 定 。 如 为 正 半 定不 定 性 : 在 域 S内 可 正 可 负 ， 则 称 不 定 。 如 是 不 定 的 。 ( )V x )0( x 0)( xV 0)0( V2221)( xxxV ( )V x 0)( xV 0)0( V ( )V x)()( 2221 xxxV ( )V x ( )V x ( )V x0)0( V ( )V x 0)( xV0)( xV 0)( xV ( )V x( )V x ( )V x 221 )2()( xxxV ( )V x ( )V x 21)( xxxV 二 次 型 函 数 是 一 类 重 要 的 标 量 函 数 ， 记 nnnn nnT xxpp ppxxPxxxV 11 1111)(其 中 ， P 为 对 称 矩 阵 ， 有 。 jiij pp 当 的 各 顺 序 主 子 行 列 式 均 大 于 零 时 ， 即 0,0,0 1 1112221 121111 nnn npp pppp ppp 则 正 定 ， 且 称 P为 正 定 矩 阵 。 当 P的 各 顺 序 主 子 行 列 式 负 、 正 相 间 时 ， 即 ( )V x 0)1(,0,0 1 1112221 121111 nnn nn pp pppp ppp 则 负 定 ， 且 称 P为 负 定 矩 阵 。 若 主 子 行 列 式 含 有 等 于 零 的 情 况 ， 则 为 正 半 定 或负 半 定 。 不 属 以 上 所 有 情 况 的 不 定 。( )V x ( )V x( )V x 正 。的 所 有 主 子 行 列 式 均 为即正 定阵 矩正 定 的 充 分 必 要 条 件 是二 次 型一赛 尔 维 斯 特 准 则 即为 实 对 称 矩 阵其 中 单 项 式 的 纯 量 函 数各 项 均 为 自 变 量 的 二 次二 次 型 则二 次 型 及 赛 尔 维 斯 特 准三 PP PXXxV PPPPP PPP PPPxPX T Tjiij nnnn n, )(.1 )( , x x x xXV(x) :. n 1 2 1 1 12 11n2 1T 二次型赛乐维斯特准则 正 定即负 定矩 阵 负 定 的 充 分 必 要 条 件 是二 次 型 PP PXXxV pPP PPP PP PPP T nnnn n , )(2. 0 0 0 21 11211n 2221 12112 111 征 值 。不 足 之 处 是 需 要 计 算 特来 确 定 的 特 征 值可 根 据的 正 定 性对 称 矩 阵为 此 负 半 定 及 不 定 性 较 困 难的 正 半 定特 别 是性 的 正 定来 确 定 矩 阵依 据 其 主 子 行 列 式 的 值的 所 有 主 子 行 列 式 较 多由 于 较 高 阶 数 的 正 半 定即负 半 定是 矩 阵 负 半 定 的 充 分 必 要 条 件二 次 型 的 所 有 主 子 行 列 式 非 负即正 半 定是 矩 阵 正 半 定 的 充 分 必 要 条 件二 次 型 , , , , ,)(4. ,)(3. PPP PPPP PXXxV PP PXXxV TT 有 的 为 负正 它 的 特 征 值 有 的 为不 定 的 充 分 必 要 条 件 是不 大 于 零 是 它 的 特 征 值 均 为负 半 定 的 充 分 必 要 条 件不 小 于 零 是 它 的 特 征 值 均 为正 半 定 的 充 分 必 要 条 件 它 的 特 征 值 均 为 负负 定 的 充 分 必 要 条 件 是 它 的 特 征 值 均 为 正正 定 的 充 分 必 要 条 件 是二 ,5. .4. .3. .2. .1 0)( PPPPP P 定理： 0192 1 1 10 010 x x 1 1- 2- 1- 2 1 2- 1 10 x x 242210 xV(x)21 32 132 1 323121232221 xx xxxxxxxx解 323121232221 242210 xV(x) .)(.1 xxxxxxxx xV 的 正 定 性确 定 二 次 型例 正 定V(x) 051 1- 2- 1- 2 1 2- 1 103 设 系 统 状 态 方 程 为 ， 其 平 衡 状 态 满 足 ,不 失 一 般 性 地 把状 态 空 间 原 点 作 为 平 衡 状 态 ,并 设 在 原 点 邻 域 存 在 对 x 的 连 续 一 阶 偏 导 数 。 4.3.2 李 雅 普 诺 夫 第 二 法 诸 稳 定 性 定 理 ),( txfx 0),0( tf( , )V x t( , )V x t ( , )V x t( , )V x t定 理 1 若 （ 1） 负 定 ； 则 原 点 是 渐 近 稳 定 的 。 负 定 表 示 能 量 随 时 间 连 续 单 调 地 衰 减 ， 故 与 渐 近 稳 定 性 定 义 叙 述 一 致 。( , )V x t ( , )V x t 定 理 2 若 （ 1） 正 定 ； （ 2） 负 半 定 ， 且 在 非 零 状 态 不 恒 为 零 ； 则 原 点 是 渐 近稳 定 的 。( , )V x t ( , ) 0V x t ),;( 00 txtx0),( txV 负 半 定 表 示 在 非 零 状 态 存 在 ， 但 在 从 初 态 出 发 的 轨 迹 上 ， 不 存 在的 情 况 ， 于 是 系 统 将 继 续 运 行 至 原 点 。 状 态 轨 迹 仅 是 经 历 能 量 不 变 的 状 态 ， 而 不会 维 持 在 该 状 态 。 ( , )V x t ( , )V x t0),( txV 定 理 3 若 （ 1） 正 定 ； （ 2） 负 半 定 ， 且 在 非 零 状 态 恒 为 零 ； 则 原 点 是 李 雅 普， 表 示 系 统 能 维 持 等 能 量 水 平 运 行 ， 使 系 统 维 持 在 非 零 状 态沿 状 态 轨 迹 能 维 持诺 夫 意 义 下 稳 定 的 。而 不 运 行 至 原 点 。 ( , )V x t ( , )V x t ( , )V x t ( , )V x t ( , )V x t 定 理 4 若 （ 1） 正 定 ； （ 2） 正 定 ； 则 原 点 是 不 稳 定 的 。正 定 表 示 能 量 函 数 随 时 间 增 大 ， 故 状 态 轨 迹 在 原 点 邻 域 发 散 。正 定 ， 当 正 半 定 ， 且 在 非 零 状 态 不 恒 为 零 时 ， 则 原 点 不 稳参 考 定 理 2可 推 论 ：定 。 注 意 ： 李 雅 普 诺 夫 第 二 法 诸 稳 定 性 定 理 所 述 条 件 都 是 充 分 条 件 。( , )V x t ( , )V x t( , )V x t),;( 00 ttxtxV 0),( txV0 x 0),( txV0),( txV具 体 分 析 时 ， 先 构 造 一 个 李 雅 普 诺 夫 函 数 ， 通 常 选 二 次 型 函 数 ， 求 其 导 数再 将 状 态 方 程 代 入 ， 最 后 根 据 是 否 有 恒 为 零 ： 令将 状 态 方 程 代 入 ， 若 能 导 出 非 零 解 ， 表 示 对 ，若 导 出 的 是 全 零 解 ， 表 示 只 有 原 点 满 足 的 条 件 。的 定 号 性 判 别 稳 定 性 。 的 条 件 是 成 立 的 ；)( 2221121 xxxxx )( 2221212 xxxxx 0 1 x 02 x 02 x 01 x)()( 2221 xxxV 2211 22)( xxxxxV )(2)( 2221 xxxV ( , )V x t ( , )V x t例 4-1 试 用 李 雅 普 诺 夫 第 二 法 判 断 下 列 非 线 性 系 统 的 稳 定 性 。 解 令 及 ， 可 以 解 得 原 点 （ ） 是 系 统 的 唯 一 平 衡 状 态 。， 则 将 状 态 方 程 代 入 有 显 然 负 定 ， 根 据 定 理 1， 原 点 是 渐 近 稳 定 的 。 鉴 于 只 有 一 个 平 衡 状 态 ， 该 非 线 性与 t 无 关 ， 系 统 大 范 围 一 致 渐 近 稳 定 。取 李 雅 普 诺 夫 函 数 为 系 统 是 大 范 围 渐 近 稳 定 的 。 因判 断 在 非 零 状 态 下 21 xx 212 xxx 021 xx 22212)( xxxV )(2)( 212 xxxxV 021 xx 0)( xV 012 xx 0)( xV)(xV ( , )V x t2221)( xxxV 222)( xxV 02 x 01 x0)( xV 0)( xV )(xV例 4-2 试 判 断 下 列 线 性 系 统 平 衡 状 态 的 稳 定 性 。 ，解 令 得 知 原 点 是 唯 一 的 平 衡 状 态 。 选 则当 时 ， ； 当 时 ，故 不 定 ， 不 能 对 稳 定 性 作 出 判 断 ， 应 重 选选 ， 则 考 虑 状 态 方 程 后 得 对 于 非 零 状 态 （ 如） 存 在 ， 对 于 其 余 非 零 状 态 ， ， 故根 据 定 理 2， 原 点 是 渐 近 稳 定 的 ， 且 是 大 范 围 一 致 渐 近 稳 定 。负 半 定 。)0( 21 kkxx 12 xx 021 xx 2221)( kxxxV 022)( 1221 xkxxkxxV0)( xV例 4-3 试 判 断 下 列 线 性 系 统 平 衡 状 态 的 稳 定 性 。 ，解 由 可 知 原 点 是 唯 一 平 衡 状 态 。 选 ， 考 虑 状 态 方 程 则 有 对 所 有 状 态 ， ， 故 系 统 是 李 雅 普 诺 夫 意 义 下 稳 定 的 。 21 xx 212 xxx 2221)( xxxV 222)( xxV )(xV 1x0,0 21 xx 0)( xV0)( xV )(xV例 4-4 试 判 断 下 列 线 性 系 统 平 衡 状 态 的 稳 定 性 。 解 原 点 是 唯 一 平 衡 状 态 。 选 ， 则 ， 与故 存 在 非 零 状 态 （ 如 使而 对 其 余 任 意 状 态 有 ， 故根 据 定 理 4的 推 论 ， 系 统 不 稳 定 。 无 关 ，) 正 半 定 。1 2 1z z 2 1 2 2z z z 解 1 1 1z z 是 系 统 的 唯 一 平 衡 状 态 ， 方 程 中 的 常 数 项 可 以 看 作 是 阶 跃 输 入 作 用 的 1 1 1x z ， 2 2 1x z 得 到 21 xx 212 xxx 原 状 态 方 程 在 Z 状 态 空 间 （ 1， 1） 处 稳 定 性 判 别 问 题 就 变 成 变 换 后 状 态 方 程 在 X2221)( kxxxV 对 其 求 导 考 虑 状 态 方 程 得 到 222221 22)( xxxxV 系 统 原 点 是 大 范 围 一 致 渐 近 稳 定 的 ， 因 而 原 系 统 在 平 衡 状 态 （ 1， 1） 处 是 大 结 果 。 作 坐 标 变 换选状 态 空 间 原 点 处 稳 定 性 的 判 别 问 题 。围 一 致 渐 近 稳 定 的 。注 意 ： 一 般 不 能 用 李 雅 普 诺 夫 函 数 去 直 接 判 别 非 原 点 的 平 衡 状 态 稳 定 性 。例 4-5 试 判 断 下 列 线 性 系 统 平 衡 状 态 的 稳 定 性 。 例 4-6 试 判 断 下 列 非 线 性 系 统 平 衡 状 态 的 稳 定 性 。 2x ax x 解 这 实 际 上 是 一 个 可 线 性 化 的 非 线 性 系 统 的 典 型 例 子 。 令 0 x得 知 系 统 有 两 个 平 衡 状 态 ， 0 x 和 x a对 位 于 原 点 的 平 衡 状 态 ， 选 2( )V x x 2 3 2( ) 2 2 2 ( )V x ax x x a x 于 是 ， 当 0a 时 ， 系 统 在 原 点 处 的 平 衡 状 态 是 局 部 ( )x a根 据 定 理 4， 当 0a 时 原 点 显 然 是 不 稳 定 的0a 时 原 点 也 是 不 稳 定 的 0)(,0 xVx 从 状 态 方 程 直 接 看 出 。x a ， 作 坐 标 变 换 z x a ， 得 到 新 的 状 态 方 程 2z az z 因 此 ， 通 过 与 原 状 态 方 程 对 比 可 以 断 定 ： 对 于 原 系 统 在 状 态 空 间 x a处 的 平 衡 状 态 ， 当 0a 时 是 局 部 一 致 渐 近 稳 定 的 ； 当 0a 时 是 不 稳 定 的 ，0a 时 也 是 不 稳 定 的 。 一 致 渐 近 稳 定 的 。或 系 统 发 散 ， 也 可 以当对 于 平 衡 状 态当 有 4.4 线 性 定 常 系 统 的 李 雅 普 诺 夫 稳 定 性 分 析4.4.1 连 续 系 统 渐 近 稳 定 的 判 别 设 系 统 状 态 方 程 为 Axx ， A平 衡 状 态 。 可 以 取 下 列 正 定 二 次 型 函 数 作 为 李 雅 普 诺 夫 函 数 PxxxV T)(xAPPAxxPxPxxxV TTTT )()( QAPPAT ( ) TV x x Qx 根 据 定 理 1， 只 要 Q正 定 （ 即 )(xV 负 定 ） 则 系 统 是 大 范 围 一 致 渐 近 稳 定 的 。 于 是 线 性P， 存 在 满 足 式 的Q 为 非 奇 异 矩 阵 ， 故 原 点 是 唯 一求 导 并 考 虑 状 态 方 程令得 到定 常 连 续 系 统 渐 近 稳 定 的 判 定 条 件 可 表 示 为 ： 给 定 一 正 定 矩 阵正 定 矩 阵 。 ( )V x(#) (#) 先 指 定 正 定 的 Q 阵 ， 然 后 验 证 P 阵 是 否 正 定 。注 ： ( ) 定 理 5 （ 证 明 从 略 ） 系 统 x Ax 渐 近 稳 定 的 充 要 条 件 为 ： 给 定 正 定 实 对 称 矩 阵 Q正 定 实 对 称 矩 阵 P 使 式 成 立 。 ， 存 在 该 定 理 为 系 统 的 渐 近 稳 定 性 判 断 带 来 实 用 上 的 极 大 方 便 。( ) - x1(s)=y(s)x3(s)u(s) x2(s) K例 4-7 试 用 李 雅 普 诺 夫 方 程 确 定 使 图 所 示 系 统 渐 近 稳 定 的 值 范 围 。1ks 12s 1s例 4-7 系 统 框 图解 由 图 示 状 态 变 量 列 写 状 态 方 程 uKxKx 0010 120 010稳 定 性 与 输 入 无 关 ， 可 令 0u 。 由 于 0det KA ， A非 奇 异 ， 原 点 为 唯 一 的 平 衡 状Q 为 正 半 定 矩 阵态 。 取 100 000 000Q则 23)( xQxxxV T ， )(xV 负 半 定 。 令 0)( xV ， 有 03 x ， 考 虑 状 态 方 程 中 313 xKxx ， 解 得 01 x ； 考 虑 到 21 xx ， 解 得 02 x ， 表 明 唯 有 原 点 存 在 0)( xV 令 QPAPAT 100 000 00010 120 010110 021 00 332313 232212 131211332313 232212 131211 Kppp ppp pppppp ppp pppK展 开 的 代 数 方 程 为 6个 ， 即 02 13 Kp ， 02 121123 ppKp ， 0131233 ppKp 042 2212 pp ， 03 222313 ppp ， 022 3323 pp解 得 KKKK KKKKKK KKKKKP 21262120 21221232126 021261212 12 2使 P 正 定 的 条 件 为 ： 12 2 0K 及 0K 。 故 0 6K 时 ， 系 统 渐 近 稳 定 。 由 于 是 线 性 定常 系 统 ， 系 统 大 范 围 一 致 渐 近 稳 定 。 （ 二 ） 应 用 定 理 判 稳 步 骤 ：一 个 李 氏 函 数 ， 为 系 统 的系 统 渐 近 稳 定 ， 且 ，是 否 正 定 。 若判 据 ， 判由 。， 求 出由 。， 取设 。， 通 常确 定 系 统 的 平 衡 状 态 PxxxV PPSylvester PIPAPA IQPxxxV xx TT T ee )( 0)4( )3( )()2( 0)1( 。试 确 定 该 系 统 的 稳 定 性 唯 一 的 平 衡 状 态 ，为 非 奇 异 ， 原 点 是 一 个设 二 阶 系 统 的 方 程 为例A xxxx 2121 22 3084 函 数是 这 个 系 统 的 一 个 李 氏并 且且 满 足 ，矩 阵， 存 在 一 个 正 定 的 对 称的 一 个 正 定 对 称 矩 阵 要 条 件 是 ： 对 任 给处 大 范 围 渐 近 稳 定 的 充系 统 在设 离 散 系 统 为 )()()( 0 0 )()1( kPxkxkxV QPPGG PQx x kGxkxTT e e )()1()()2( ,0)()()( 01 kxvkxVkxV PkPxkxkxV PT 表 示变 量 的 变 化 率 用 差 分 来 为 实 对 称 矩 阵 。数 为， 设 所 选 的 一 个 李 氏 函）证 明 ： （4.4.2 离 散 系 统 渐 近 稳 定 的 判 别 为 系 统 李 氏 函 数 。且 ： ， 系 统 渐 近 稳 定 ，是 否 正 定 。 若） 、 判 断（ 解 出， 由） 、 取（ ） 、 确 定（ 、 判 稳 步 骤 )()()( 032 ;12 kPxkxkxV PP PIPPGGIQ x T Te 值 范 围 。为 渐 近 稳 定 的 ， 确 定 使 系 统 平 衡 状 态试 用 李 雅 普 诺 夫 直 接 法 。且设 线 性 离 散 系 统 为例 kx kkG kGxkx e 0 0,020 100 010 )()1( 94 是 渐 近 稳 定 的 。正 定 ， 系 统 在 平 衡 状 态， 矩 阵分 母试当 （求 得 ，代 入 是 正 定 的 ，解 ： 设 Pk kkkk kkkP IPPGG IQT )0(2 )2(1 )23)2(10 )2(1)2(1 20 001 100 010 001 222 22 4.4.3线 性 时 变 系 统 稳 定 性 分 析 方 程黎 卡 提 ， 。设 Riccati tPtAtPtPtAtQ xVtQ xtQx xtAtPtPtPtAx xtPxxtPxxtPxxV tPtxtPtxtxV txtAx TT TT TTT T )()()()()()( 0)(0)( )( )()()()()( )()()()( 0)(,0)()()(),( )()( 4.5 李 雅 普 诺 夫 稳 定 性 分 析 的 应 用一 、 线 性 定 常 系 统 设 计 （ 古 典 校 正 ） 不 稳 定 系 统 （ 校 正 ） 稳 定pbuxx)pApA(x )buAx(pxpx)buAx( xpxpxx)x(V )x(Vppxx)x(V buAxx:SISO TTT TT TTT 22 01 、 正 定，、 0)(22 00)( 2pbxkpbux pbkxu pApAQQxV TT TT同 时 选， 选 ， 即 状 态 反 馈 。是 状 态 变 量 的 线 性 组 合而此 时 系 统 渐 近 稳 定pbkxu T 使 系 统 达 到 渐 近 稳 定 。来 校 正的 稳 定 系 统 。 试 确 定 属 于 李 氏 意 义 下， 系 统 处 于 临 界 振 荡 ，为 所 示 ， 对 应 微 分 方 程、 设 系 统 的 结 构 图 如 图例 ,)(10.4 11 tuuxx uxuxxxxxV IpIxxpxxxxxV uxx xx TT 21221 222112 21 2)22)( ,)( （则选解 ： 状 态 方 程 正 常 数，当 kkx)x(Vkxu 02 222 ， 系 统 渐 进 稳 定外 ， 其 值 均 为 不 恒 等 于除 00ex)x(V :)t(kx)t(r)t(u )t(r 2 ： 则若 存 在二 、 系 统 动 态 性 能 估 算 xxxVxxQ xxxVxxP QQxxxpApAxxV ppxxxV xAxx TT TT TTTT e minmax minmaxminmax minmax)( ,0)( 0,)()()2( 0,)()1( 0 则 。最 小的 特 征 值 中 ， 最 大同 样 设则 ： 最 小 特 征 值 为最 大 特 征 值 为的 特 征 值 中 ，设 渐 进 稳 定 时 ， 在线 性 系 统 所 需 的 时 间 。 到到式 ， 即 可 估 算 出和利 用 所 需 时 间到从 曲 线 之 间 。 条 特 征的 时 间 曲 线 总 包 含 在 两由 上 图 ， 可 见 )T(xV )(xV)x(V)()( )()T(xV )(xVlnT )()T(xV )(xVlnT TTT T)T(xV)(xV )t(xV s smaxminmins smin maxmaxs maxssmins ss 021 20 100 三 、 应 用 李 氏 直 接 法 求 系 统 参 数 最 优 化最 优 化 问 题 。 为 参 数的 可 调 用 参 数 值 的 问 题达 到 极 小 ， 确 定 过 程 中 要 求 其 性 能 指 标转 移 到为 可 调 参 数 。 在 系 统 由 数中 有 某 个 （ 或 某 些 ） 参是 渐 进 稳 定 的 ， 若系 统 在 初 态对 AQxdtxJ x)(x Ax )(x,u,Axx T ee 0 00 00 pxx)x(V Tdtdt )x(dVQxdtxJ Qxxdt )x(dV)x(V pxx)x(V T TT 000 021 、 最 优 化确 定 可 调 参 数 值对 上 式 求 极 小 值 ， 即 可有 ，由 于 系 统 渐 进 稳 定 ， )(xV)(px)(xJ )(xt )(px)(x)(px)(x T TT 000 000 )(aJ aJ)( )(px)(xJ)( QpApAp)( a AQ)(x,Axx)( i iTT i极 值 点 的 必 要 条 件， 参 数的 极 小 值 ， 对 每 一 可 调求求 二 次 型 性 能 指 ，确 定 矩 阵 定 可 调 参 数（ 特 征 值 均 为 负 ） 并 指 为 稳 定 矩 阵， 判 定及确 定 初 态建 立、 求 解 最 优 化 参 数04 0032 013 最 优 值 。由 此 可 得 到 可 调 参 数 的极 值 点 的 充 分 条 件， )(aJi 022 四 、 求 最 优 控 制 U 求 U最 优 保 证 系 统 渐 进 稳 定 ， 设 U=-kx使 二 次 型 指标 dtRuu)Qxx(J TT 0 为 最 小 。 212 21 21 mf : , 0m f xSinxlgx xx xx Sinlg ，于 是 有选 取 统 ， 其 运 动 方 程 为具 有 空 气 阻 尼 的 单 摆 系 总 能 量 等 于 其 动 能 与定 性 问 题 。 单 摆 系 统 的 的 稳平 衡 状 态现 在 确 定 单 摆 系 统 的 零于 是 有得即 ： 如 下 ：态确 定 单 摆 系 统 的 平 衡 状 0X )2,1,0,(n 0nX 00 0mf 0 0)( ee12 212 ee eSinxx xSinxlgxxf X 是 渐 近 稳 定 的又 由 于为 负 半 定而 正 定有 氏 函 数 为势 能 之 和 ， 于 是 选 取 李 0 0)(,)( )( 0,0)( 0,0)( 2 1)cos1()( : 22222211 2221 eX xV fxlxxmlxmglSinxxV xV xxV xxV xmlxmglxV