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第七章不等式第七章不等式7.17.1不等关系与一元二次不等式不等关系与一元二次不等式考纲要求:1.了解现实世界和日常生活中,存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.31.两个实数比较大小的方法 42.不等式的性质(1)对称性:abbb,bcac.(3)可加性:aba+cb+c;ab,cda+cb+d.(4)可乘性:ab,c0acbc;ab0,cd0acbd.(5)可乘方:ab0anbn(nN,n1).53.三个“二次”间的关系 623415 7234152.(2014四川,理4)若ab0,cd0的解集为.(用区间表示)答案解析解析关闭不等式可化为x2+3x-40,即(x-1)(x+4)0,解得-4x1.答案解析关闭(-4,1)10234155.若关于x的不等式2kx2+kx-0时不满足题意;当k0时,由0,知-3k0.综上可知,k的取值范围是-3k0.答案解析关闭-30(0(1,则a+2与 的大小关系为.答案解析解析关闭 答案解析关闭易错易混13考点1考点2考点3考点4(2)已知a1,a2(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是.答案解析解析关闭M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1),又a1(0,1),a2(0,1),a1-10,a2-10,即M-N0.MN.答案解析关闭MN知识方法易错易混14考点1考点2考点3考点4思考:比较两个数(式)大小常用的方法有哪些?解题心得:比较大小常用的方法有:作差法、作商法、构造函数法.(1)作差法的一般步骤是:作差;变形;定号;下结论.变形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.(2)作商法一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小.(3)构造函数法:构造函数,利用函数单调性比较大小.知识方法易错易混15考点1考点2考点3考点4对点训练1(1)若 ,则()A.abcB.cbaC.cabD.bac 答案解析解析关闭 答案解析关闭知识方法易错易混16考点1考点2考点3考点4(2)已知a,b是实数,且eab,其中e是自然对数的底数,则ab与ba的大小关系是.答案解析解析关闭 答案解析关闭知识方法易错易混17考点1考点2考点3考点4考点2不等式的性不等式的性质及及应用用例2(1)(2015广东汕头模拟)如果aR,且a2+aa-a2-aB.a2-aa-a2C.-aa2a-a2D.-aa2-a2a 答案解析解析关闭由a2+a0,即a(a+1)0,解得-1aa20,而a-a20,所以a-a20a2-a.故选D.答案解析关闭D知识方法易错易混18考点1考点2考点3考点4(2)设a,b为正实数.现有下列命题:若a2-b2=1,则a-b1;若|a3-b3|=1,则|a-b|1.其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)答案解析解析关闭 答案解析关闭知识方法易错易混19考点1考点2考点3考点4思考:判断多个不等式是否成立常用方法有哪些?解题心得:判断多个不等式是否成立的常用方法有:一是直接使用不等式性质,逐个验证;二是用特殊值法排除.而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考:(1)不等式两边都乘以一个代数式时,考察所乘的代数式是正数、负数或0;(2)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变;(3)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时取倒数后不等号方向不变等.知识方法易错易混20考点1考点2考点3考点4对点训练2(1)(2015陕西铜川模拟)已知a0,-1babab2B.ab2abaC.abaab2D.abab2a 答案解析解析关闭由-1b0可得bb21,又aab2a.答案解析关闭D知识方法易错易混21考点1考点2考点3考点4(2)(2015西宁二模)已知a,b,cR,那么下列命题中正确的是()答案解析解析关闭 答案解析关闭知识方法易错易混22考点1考点2考点3考点4考点3一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法例3求下列不等式的解集:(1)-x2+8x-30;(2)ax2-(a+1)x+10的解集是(-1,3),那么不等式f(-2x)0的解集是()答案解析解析关闭 答案解析关闭知识方法易错易混26考点1考点2考点3考点4(2)解关于x的不等式:ax2-22x-ax(aR).知识方法易错易混27考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混28考点1考点2考点3考点4考点4一元二次不等式恒成立一元二次不等式恒成立问题(多多维探究探究)类型一已知x的范围求参数的范围例4设函数f(x)=mx2-mx-1.(1)若对于一切实数x,f(x)0恒成立,求m的取值范围;(2)若对于x1,3,f(x)0在R上恒成立,则实数a的取值范围是.答案解析解析关闭 答案解析关闭知识方法易错易混34考点1考点2考点3考点4(2)已知函数 ,若对任意x1,+),f(x)0恒成立,则实数a的取值范围为.答案解析解析关闭 答案解析关闭知识方法易错易混35考点1考点2考点3考点41.判断不等式是否成立,主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简单.2.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一.3.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础.4.在解含有参数的不等式时,分类讨论的划分一定要明确,先进行大的分类,在每大类中再进行小的分类,注意分类要做到不重不漏.知识方法易错易混36考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混37考点1考点2考点3考点41.不等式两边同乘或同除以一个不为0的数时,要弄清这个数是正数还是负数,以便确定不等式是否改变方向.2.解不等式ax2+bx+c0时,要考虑a=0的情形.3.当0(a0)的解集是R还是与a的正负有关,要注意区分.知识方法易错易混38
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