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专题二求范二求范围常用的方法常用的方法范范围问题是高中数学中最是高中数学中最为普遍的普遍的问题之一之一,在高中数学的主要在高中数学的主要知知识板板块中都有大量的范中都有大量的范围类试题,下面从解下面从解题方法的角度方法的角度对其其简要介要介绍.建立函数模型的方法建立函数模型的方法方法一方法一 思路点思路点拨拨:(1)(1)椭圆椭圆和双曲和双曲线线的公共元素的公共元素为为半焦距半焦距c,c,以其以其为变为变量建立求量建立求解目解目标标的函数关系式的函数关系式;答案答案:(1)C(1)C(2)(2015(2)(2015湖南十三校二湖南十三校二联联)在在锐锐角角ABCABC中中,AC=6,B=2A,AC=6,B=2A,则边则边BCBC的取的取值值范范围围是是.思路点思路点拨拨:(2)(2)求出角求出角A A的取的取值值范范围围,以其以其为变为变量表达量表达BC,BC,利用三角函数性利用三角函数性质质得出其范得出其范围围.方法方法总结总结 选选定一个定一个变变量建立求解目量建立求解目标标的函数关系式的函数关系式,利用函数的性利用函数的性质质得出其取得出其取值值范范围围,这这是求范是求范围问题围问题最最为为基本、基本、应应用最用最为为广泛的方法广泛的方法,是函数思想在数学解是函数思想在数学解题题中的主要体中的主要体现现之一之一.分离参数的方法分离参数的方法方法二方法二 思路点思路点拨拨:(1)(1)由由题题意知定意知定义义域上存在域上存在x,x,使得使得g(x)=-h(x)g(x)=-h(x)成立成立,即方程即方程g(x)=-h(x)g(x)=-h(x)有解有解,分离参数后求函数分离参数后求函数值值域即得域即得a a的取的取值值范范围围;答案答案:(1)B(1)B方法方法总结总结 在方程有解、不等式恒成立等在方程有解、不等式恒成立等问题中求参数取中求参数取值范范围时,如果参数能如果参数能够分离出来分离出来,即方程或不等式的一端即方程或不等式的一端为参数参数,另一端另一端为某个某个变量的函数量的函数,则只要研究函数的性只要研究函数的性质即可根据即可根据问题的具体的具体设问得出参得出参数的取数的取值范范围.参数与参数与变变量整体量整体处处理的方法理的方法方法三方法三 思路点思路点拨拨:(1)(1)即即f(x)0f(x)0在在(1,2)(1,2)上恒成立上恒成立,化化为为一元二次不等式在一元二次不等式在(1,2)(1,2)上恒成立上恒成立,结结合函数合函数图图象分象分类讨论类讨论其成立的其成立的a a的取的取值值范范围围;思路点思路点拨拨:(2)(2)即增函数即增函数f(x)f(x)满满足足f(x)mf(x)m2 2-2am+1-2am+1对对所有所有x-1,1,x-1,1,a-1,1a-1,1恒成立恒成立,即即f(x)f(x)maxmaxmm2 2-2am+1-2am+1对对a-1,1a-1,1恒成立恒成立,化化为为关于关于a a的一次不等式在的一次不等式在-1,1-1,1上恒成立上恒成立问题问题即可即可.答案答案:(2)(-,-22,+)0(2)(-,-22,+)0方法方法总结总结 在参数与在参数与变变量交量交织织在一起在一起,分离参数不方便的情况下分离参数不方便的情况下,把把参数作参数作为为常数常数,构成一个含参数的函数、不等式、方程等构成一个含参数的函数、不等式、方程等,根据根据问题问题的的实际实际情况从整体上得出参数情况从整体上得出参数满满足的条件得出其取足的条件得出其取值值范范围围.方法四方法四 直接使用数形直接使用数形结合的方法合的方法思路点思路点拨拨:画出函数画出函数f(x)f(x)的的图图象象,问题问题等价于等价于f(x-1)f(x-1)的的图图象不在象不在f(x)f(x)图图象象下方下方,结结合函数合函数图图象得出象得出实实数数a a满满足的不等式即得足的不等式即得.方法方法总结总结 数形数形结合是广泛使用的一种数学方法合是广泛使用的一种数学方法.在求参数范在求参数范围问题中中,使用数形使用数形结合的思想就是通合的思想就是通过图形位置的形位置的变化找到化找到满足足题意的参意的参数所需要的条件数所需要的条件,进而得出参数的取而得出参数的取值范范围.方法五方法五 根据几何意根据几何意义求参数求参数思路点思路点拨拨:(1)(1)根据两点根据两点间间的距离公式得出的距离公式得出(x-a)(x-a)2 2+(x-ln a)+(x-ln a)2 2的几何意的几何意义义;方法方法总结总结 给给数学表达式数学表达式赋赋予一定的几何意予一定的几何意义义,把把“式式”的的问题转问题转化化为为“几何几何图图形形”的的问题问题,以形助数是数形以形助数是数形结结合方法一个重要方面合方法一个重要方面,其其关关键键是熟悉一些数学公式、法是熟悉一些数学公式、法则则的几何意的几何意义义.化参数与函数最化参数与函数最值值比比较较的方法的方法方法六方法六 方法方法总结总结 求不等式恒成立、等式恒成立等求不等式恒成立、等式恒成立等问题问题中参数范中参数范围围的主要方的主要方法之一就是化参数与函数最法之一就是化参数与函数最值值的比的比较较,得出参数得出参数满满足的不等式求得其足的不等式求得其范范围围.思路点思路点拨拨:求出求出4T4Tn n的范的范围围,解不等式即可解不等式即可.化参数与函数化参数与函数值值域端点域端点值值比比较较的方法的方法方法七方法七方法方法总结总结 在函数、数列在函数、数列问题问题中有些函数不存在最中有些函数不存在最值值,该类问题该类问题中参中参数数值值就要与就要与值值域的端点域的端点值进值进行比行比较较,值值得注意的是得注意的是“等号等号”能否取得能否取得.思路点思路点拨拨:函数函数y=f(x),y=axy=f(x),y=ax的的图图象在象在(0,4)(0,4)上有三个不同交点上有三个不同交点,作出作出图图象象,根据根据图图象确定象确定实实数数a a满满足的条件足的条件.方法八方法八 根据根据图图形形临临界位置确定参数界位置确定参数满满足条件的方法足条件的方法方法方法总结总结 已知函数零点个数求参数取已知函数零点个数求参数取值范范围时,把函数分解把函数分解为两个两个函数函数(其中一个不含参数其中一个不含参数,另一个含参数另一个含参数),),利用数形利用数形结合法确定含参数合法确定含参数的函数的函数图象与不含参数的函数象与不含参数的函数图象的位置象的位置,通通过临界位置得出参数界位置得出参数满足的条件足的条件,即可得出参数的取即可得出参数的取值范范围.思路点思路点拨拨:(1)f(x)(1)f(x)存在存在变变号零点号零点;方法九方法九 二次函数、二次不等式的方法二次函数、二次不等式的方法答案答案:(1)B(1)B 思路点思路点拨拨:(2)f(x)(2)f(x)有且只有一个有且只有一个变变号零点号零点.(2)(2)若函数若函数f(x)=xf(x)=x4 4-ax-ax3 3+x+x2 2-2-2有且有且仅仅有一个极有一个极值值点点,则实则实数数a a的取的取值值范范围围是是.方法方法总结总结 在在导数中有一数中有一类问题可以化可以化归为二次函数是否存在零点、二次函数是否存在零点、二次不等式在某区二次不等式在某区间上恒成立等上恒成立等,可以利用可以利用“二次二次”函数函数问题得出参得出参数数满足的条件求得参数的取足的条件求得参数的取值范范围.思路点思路点拨拨:利用指数函数与利用指数函数与对对数函数数函数图图象的特点象的特点,得出得出m+n=4,m+n=4,进进行常数代行常数代换换后利用基本不等式后利用基本不等式.方法十方法十 基本不等式法基本不等式法方法方法总结总结 基本不等式是最基本不等式是最值值和范和范围问题围问题最常用的工具之一最常用的工具之一,在使用在使用时时注意其使用条件注意其使用条件(一正、二定、三相等一正、二定、三相等).).思路点思路点拨拨:(1)(1)只要只要ax-yax-y在不等式在不等式组组表示的平面区域的表示的平面区域的顶顶点点处处的取的取值值不大不大于于3 3即可即可;方法十一方法十一 建立求解目建立求解目标标不等式不等式(组组)的方法的方法 答案答案:(1)B(1)B答案答案:(2)C(2)C 答案答案:(3)(1,3(3)(1,3思路点思路点拨拨:(3)(3)建立关于双曲建立关于双曲线线离心率的不等式离心率的不等式.方法方法总结总结 建立求解目建立求解目标的不等式的不等式(组),),通通过解不等式解不等式(组)得出求解得出求解目目标的取的取值范范围是求解范是求解范围问题中一个基本方法中一个基本方法,很多很多问题均可使用均可使用这个方法解决个方法解决,如一元二次方程如一元二次方程实根根问题、直、直线与与圆锥曲曲线的位置关的位置关系系问题等等.范范围问题的方法和的方法和类型型远不止上述所不止上述所论,我我们可以全面回可以全面回顾一一轮复复习的各个章的各个章节,加以加以补充完善充完善.
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