力学-习题课7教材课件

1刚体刚体 习题课习题课2基本知识点公式基本知识点公式 质心定义、转动惯量定义质心定义、转动惯量定义 角速度线速度关系角速度线速度关系 动量守恒、角动量守恒、能量守恒动量守恒、角动量守恒、能量守恒 动力学方程动力学方程 成立条件37.1.1 设地球绕日作圆周运动.求地球自转和公转的角速度为多少rad/s?估算地球赤道上一点因地球自转具有的线速度和向心加速度.估算地心因公转而具有的线速度和向心加速度（自己搜集所需数据）.一、基本公式：定义&关系二、具体应用：4.7.3.1 用积分法证明:(1)质量为m长为l的均质细杆对通过中心且与杆垂直的轴线的转动惯量等于(2)质量为m、半径为R的均质薄圆盘对通过中心且在盘面内的 转动轴的转动惯量为 一、基本公式：定义&关系到轴之间的距离5二、具体应用：(1)(1)建立水平方向建立水平方向o ox x坐坐标 (2)6 令 应用7(B)(A)8一、多段积分上半段L下半圆：910基本公式：(*动量守恒，角动量守恒，碰撞：非弹：动能不守恒 弹性：都守恒*)F=ma=dp/dt,M=IadL/dtxzN具体应用：f11N故已F,OA可求f,here f=0水平方向竖直方向f与初始状态有关,如果F作用dt时间后状态讨论。12基本公式：碰撞中机械能/动量/角动量守恒否？碰撞后摆动：动能势能守恒具体应用：得到13取杆的最低点为重力势能零点。初始势能动能末态势能14应用动力学方程求解问题：F Ff假设子弹和杆子相互作用时间为dt相互之间作用力为F，在dt时间内，相互作用使得杆子下端点速度从0到v1,使得子弹速度从v0到v1,则应用动力学方程15进一步地，能否以下端点为参考点，应用动力学方程求解该题。例题的解法是以上端点为参考点应用动力学方程求解。因力矩为零，所以角动量守恒！注：以质心为参考点时，动力学方程MdL/dt是对的，当参考点加速度为0时，上述动力学方程也可应用！当参考点加速度不为0时，。方程形式？比如以下端点为参考点时！16基本公式：动量守恒/角动量守恒 成立否碰撞：非弹：动能不守恒 弹性：都守恒 F=ma=dp/dt,M=IadL/dt17具体应用对新质心角动量守恒 18注：新质心有平动速度，但是是常数，也可以求出。19基本公式：线速度、角速度关系，无滑动条件,M=Ia具体应用：20(1)xzyFf?21xyFf(2)22(3)xyfF=0，a=023(4)yFfFM=2FR24基本公式：动力学方程运动状态具体应用：(1)合力0，合力距0F1F2以O为轴线得：o25(2)267.2.3 长度为的均质杆，令其竖直地立于光滑的桌面上，然后放开手，由于杆不可能绝对沿铅直方向，故随即到下.求杆子的上端点运动的轨迹（选定坐标系，并求出轨迹的方程式）.刚体：BBCOC2728分析受力及坐标如图。z轴垂直纸面向里。列方程：(对T2情况同T1，下面a2应为a1，)29解得 3031321如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。待测如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。待测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上，线刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上，线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为与线轴垂直，轮轴的轴体半径为r，线的另一端通过定滑，线的另一端通过定滑轮悬挂质量为轮悬挂质量为m的重物，已知转动架惯量为的重物，已知转动架惯量为I0，并测得，并测得m自静止开始下落自静止开始下落 h 高度的时间为高度的时间为 t,求待测物体的转动惯求待测物体的转动惯量量I，不计两轴承处的摩擦，不计滑轮和线的质量，线的，不计两轴承处的摩擦，不计滑轮和线的质量，线的长度不变长度不变.hII0rm33解解分别以质点分别以质点 m 和转动系统和转动系统 I+I0 作为研究对象，作为研究对象，受力分析如图受力分析如图.xyO342 如图表示小型火箭发射架如图表示小型火箭发射架.火箭重量为火箭重量为W=1.5 kN，重，重心在心在C处处.导轨重量为导轨重量为 W=4 kN，重心为，重心为C 处处.支杆支杆ABC xyABE0.3m0.2m30 C重量可以不计重量可以不计.A、B 和和 E 处均系光滑铰链连接处均系光滑铰链连接.BE=2.0m,BAE=30,支架支架其它部分尺寸和夹角如图所其它部分尺寸和夹角如图所示；重心示；重心C和和C 与节点与节点 B 在一条直线上且此直线与导在一条直线上且此直线与导轨垂直轨垂直.求导轨在求导轨在 E 处和支处和支杆在杆在 B 处所受的力处所受的力.35C xyABE0.3m0.2m30 C解解 受力分析如图受力分析如图.建立建立直角坐标系直角坐标系 Exyz，得，得选择过选择过E点点 z 轴为定轴轴为定轴解以上三方程得解以上三方程得363将长为将长为l,质量为质量为 m1 的均匀梯子斜靠在墙角下的均匀梯子斜靠在墙角下,已知已知梯子与墙面间以及梯子与地面间的静摩擦因数分别为梯子与墙面间以及梯子与地面间的静摩擦因数分别为 1 和和 2，为使质量为，为使质量为m2 的人爬到梯子顶端时的人爬到梯子顶端时,梯子尚梯子尚未发生滑动未发生滑动.试求梯子与地面间的最小夹角试求梯子与地面间的最小夹角.lO37m1g解解平衡条件平衡条件 lO联立求解得：联立求解得：38 例题例题 如图所示的装置叫做阿特伍德（Atwood）机，用一细绳跨过定滑轮，而在绳的两端各悬质量为 m1 和 m2 的物体，其中 m1m2，求它们的加速度及绳两端的张力 T1 和 T2，设绳不可伸长，质量可忽略，它与滑轮之间无相对滑动；滑轮的半径为 R，质量为 m，且分布均匀。解解 选取固定于地面的坐标系，令 x 轴坚直向上，取逆时针方向为正的转动方向。列运动方程式：m1m2T1T2a1a2xmgN39由于绳子不可伸长且不打滑，因不计绳的质量上述方程联立求解可得：本题有利于理解“理想滑轮理想滑轮”的条件。40 例题例题 如图所示，一质量为 m 的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端，穿出后速度损失3/4，求子弹穿出后，棒的角速度 ，已知棒长为 l，质量为 M.解解 以 f 代表棒对子弹的阻力，对于子弹有子弹对棒的反作用力 对棒的冲量矩为41思考题：1、此题可否用子弹和棒的总角动量守恒来作？2、子弹和棒的总动量在水方向上是否守恒？3、若将杆换成软绳系一质量为M的重物，在水平 方向上动量是否守恒？4、机械能是否守恒？42 例题例题 如图所示，将一根质量为 m 的长杆用细绳从两端水平地挂起来，其中一根绳子突然断了，另一根绳内的张力是多少？解解 设杆长为2l，质心运动定理和角动量定理给出绳断的一刹那的运动方程：式中转动惯量 。因在此时刻悬绳未断的一端的速度为0，从而在质心的加速度和角加速度之间有如下关系：得绳中张力43例 半径为r的圆环A沿着半径为R的固定圆环B的外侧作纯滚动，A的环心绕着B的环心做圆周运动的角速度为，求：（1）A环绕着环心O转动的角速度（2）A环瞬心M的加速度43纯滚的约束条件：接触点无相对运动44例 两个质量同为m、半径同为R匀质实心滑轮，用不可伸长轻绳连接，定滑轮可无摩擦的转动。将系统从静止释放，求下面滑轮的平动加速度。44上面的滑轮下面的滑轮质心运动相对质心的转动运动约束关系45 例题例题 如图所示，一匀质细棒可绕水平轴 O 转动，已知棒长为 l，质量为 m，开始时将棒置于水平状态，然后由静止摆下，求棒摆到竖直的瞬间：（1）棒的角速度；（2）棒的转动动能；（3）质心的加速度（不计摩擦阻力）。cOcOFyFx46 解解 （1）棒的角速度 对转轴 O，细棒除受重力矩外不受其他外力矩（O 轴上的反力通过轴），故细棒的机械能守恒。设细棒在水平位置时的重力势能为势能零点，则总机械能细棒摆到竖直位置时的角速度设为 ，则机械能47（2）棒的转动动能必须注意，在这里不能把棒的动能写成（3）质心的加速度 由线量和角量的关系可算出又因棒在竖直位置时的角加速度 （因此时合力矩为零）故48还可以由质心运动定律求出棒在竖直位置时，O 轴对棒的反力 Fx 和 Fy：49 例题例题 一质量为 m，长为 l 的匀质细杆，铅直地放置在光滑的水平地面上。当杆自静止倒下时，求地面对杆端的支撑力。解解 由机械能守恒知，当杆与铅直线成 角时，由于没有摩擦力，质心 C 铅直下落。考察细杆着地点 A 的运动。它的运动可看成一方面随质心以速度 vc下CNmg50降，另一方面又以线速度 绕质心转动。后者在铅直方向上的分量为 ，方向向上。实际上 A 点的运动限制在水平面上，铅直速度为0，即上述两个铅直速度应相互抵消。故有51A 端受地面的支撑力为52例 质量 m、长 l 的匀质细杆绕水平轴在竖直平面内自由摆动。将杆水平静止释放后，当摆角为时，求（1）杆的旋转角速度和角加速度；（2）转轴对杆的支持力。52机械能守恒角动量定理5353轴对杆的作用力轴对杆的作用力质心运动定理切向径向mg54例 滑轮的质量M，半径为R。滑轮与轴无摩擦，与绳有摩擦、无滑动。求物块的加速度和摩擦因数的取值范围？54m1m25555可能的运动必是m1下降56例 匀质细杆的A端、B端和中央位置O处各有一光滑小孔。先让杆在光滑的水平桌面上绕O孔以角速度0顺时针旋转。操作：当杆运动到同一位置时，依次以A、B、O为转轴，求最后绕O转动时角速度的方向和大小。56细杆相对O、A、B的转动惯量正方向5757杆相对A点(桌面上)的角动量A点操作不影响杆相对A点的角动量，故杆的角动量守恒。B、O点的操作可作类似处理质心速度5858杆相对B点的角动量杆相对O点的角动量质心速度质心角动量为零59例 在水平的光滑细杆上，套着两个半径相同的匀质圆柱体。开始时1以角速度0绕细杆转动，同时以速度v0朝2运动，2静止。两者发生弹性碰撞，碰撞力在接触面上均匀分布，接触面之间的摩擦因数 处处相同。求碰后两者的速度和角速度。59两个圆柱体的碰撞是正碰，碰撞力不影响各自相对质心的转动动能两个圆柱体平动动能守恒6060上述结果适合满足条件若不满足上述条件，则必在二者角速度相等时摩擦力消失。碰撞力和摩擦力都是内力，系统的角动量守恒。6161瞬心位于接触点瞬心的加速度可分解为 O点的加速度与 M相对 O点的加速度O点的加速度M相对 O点的加速度瞬心的加速度62例 乒乓球在水平地面上向右运动，并逆时针转动，乒乓球与地面的摩擦因数为，试求乒乓球最后达到的稳定运动状态。626363经时间 t，右行速度和逆时针方向的角速度分三种情况讨论（1）经某段时间后，速度和角速度同时为零此后乒乓球处于静止状态6464（2）经某段时间后，有该阶段的末态为此后，摩擦力仍朝左，右行速度减小，顺时针角速度增大当满足条件时，摩擦力消失，小球达到右行纯滚状态6565（3）经某段时间后，有该阶段的末态为此后，摩擦力仍朝左，左行速度增大，逆时针角速度减小当满足条件时，摩擦力消失，小球达到左行纯滚状态66例 匀质细杆直立在光滑地面上，因不稳定而倾倒。在细杆全部着地前，它的下端是否会跳离地面？66杆在倾倒过程中无水平外力杆的质心竖直向下运动杆跳离地面的临界条件质心速度与角速度的关系67例 物体落地为什么会翻转？67设刚体落地速度v0与光滑地面的碰撞是弹性的质心运动刚体转动机械能守恒P0点速度反向68思考题 两个质量比为 4：1 的小球用长 l 的轻质细杆相连，重球在上，与竖直方向成300的夹角自由落下，下端轻球触地前的速度为v0，碰撞为弹性碰撞。试求细杆落地前能翻转成竖直的条件。686969机械能定理将角速度代入，两边对时间求导支持力杆的下端不会跳离地面70思考题 长 l 匀质细杆在水平光滑的桌面上沿细杆方向以速度 v0 匀速运动，计算细杆离开桌子边缘后的运动。70