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第四章微分法:积分法:互逆运算不定积分 二、二、基本积分表基本积分表 三、不定积分的性质三、不定积分的性质 一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念第一节不定积分的概念与性质 第四四章 一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念引例引例:一个质量为 m 的质点,下沿直线运动,因此问题转化为:已知求在变力试求质点的运动速度根据牛顿第二定律,加速度定义定义 1.若在区间 I 上定义的两个函数 F(x)及 f(x)满足在区间 I 上的一个原函数.则称 F(x)为f(x)如引例中,的原函数有 问题问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?定理定理1.存在原函数.(下章证明下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数定理定理 2.原函数都在函数族(C 为任意常数)内.证证:1)又知故它属于函数族即定义定义 2.在区间 I 上的原函数全体称为上的不定积分,其中 积分号分号;被被积函数函数;被被积表达式表达式.积分分变量量;(P185)若则(C 为任意常数)C 称为积分常数积分常数,不可丢不可丢!例如,记作不定积分的几何意义不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线积分曲线.例例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为例例2.质点在距地面处以初速力,求它的运动规律.解解:取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上,质点抛出时刻为此时质点位置为初速为设时刻 t 质点所在位置为则(运动速度)(加速度)垂直上抛,不计阻 先由此求 再由此求或或例例3.求求解解:原式 =例例4.求解解:原式=三、不定积分的性质三、不定积分的性质推论推论:若则例例5.求解解:原式 例例6.求求解解:原式=例例7.求解解:原式=例例8.求求解解:原式=内容小结内容小结1.不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表(见P188)2.直接积分法:利用恒等变形恒等变形,及 基本积分公式基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质积分性质思考与练习思考与练习1.证明 2.若(P193题7)提示提示:3.若是的原函数,则提示提示:已知4.若的导函数为则的一个原函数是().提示提示:已知求即B?或由题意其原函数为5.求下列积分:提示提示:6.求不定积分解：解：7.已知已知求 A,B.解解:等式两边对 x 求导,得作业作业P192 2 (5),(12),(14),(20),(23),(25),(26);5;6二、第二类换元法二、第二类换元法第二节一、第一类换元法一、第一类换元法换元积分法 第四四章 第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法基本思路基本思路 设可导,则有一、第一类换元法一、第一类换元法定理定理1.则有换元公式(也称配元法配元法即,凑微分法凑微分法)例例1.求解解:令则故原式原式=注注:当时注意换回原变量例例2.求解解:令则想到公式例例3.求想到解解:(直接配元)例例4.求解解:类似例例5.求解解:原式原式=常用的几种配元形式常用的几种配元形式:万能凑幂法例例6.求解解:原式=例例7.求解解:原式=例例8.求解解:原式=例例9.求解法解法1解法解法2 两法结果一样两法结果一样例例10.求解法解法1 解法解法 2 同样可证或(P199 例18)例例11.求解解:原式=例例12.求解解:例例13.求解解:原式=例例15.求解解:原式原式例例14.求解解:原式=分析分析:小结小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如思考与练习思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?2.求提示提示:法法1法法2法法3二、第二类换元法二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，定理定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,证证:令则则有换元公式例例16.求解解:令则 原式例例17.求解解:令则 原式例例18.求解解:令则 原式令于是原式例例19.求解解:令则原式当 x 0 时,类似可得同样结果.小结小结:1.第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型:令令令或令或令或第四节讲2.常用基本积分公式的补充(P205 P206)7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换倒代换 令解解:原式(P206 公式(20)例例20.求例例21.求解解:(P206 公式(23)例例22.求解解:原式=(P206 公式(22)例例23.求解解:原式(P206 公式(22)例例24.求解解:令得原式例例25.求解解:原式令例例16思考与练习思考与练习1.下列积分应如何换元才使积分简便?令令令2.已知求解解:两边求导,得则(代回原变量代回原变量)P207 2 (4),(5),(9),(11),(12),(16),(20),(21),(23),(28),(29),(30)作业作业 1.求下列积分:第三节由导数公式积分得:分部积分公式分部积分公式或1)v 容易求得;容易计算.分部积分法 第四四章 例例1.求解解:令则 原式思考思考:如何求提示提示:令则原式例例2.求解解:令则原式=例例3.求解解:令则 原式例例4.求解解:令,则 原式再令,则故 原式=说明说明:也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.解题技巧解题技巧:把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三反对幂指三”的顺序,前者为 后者为例例5.求解解:令,则原式=反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数例例6.求解解:令,则原式=例例7.求解解:令则原式令例例8.求解解:令则 原式=例例9.求解解:令则得递推公式说明说明:递推公式已知利用递推公式可求得例如,例例10.设证证:证明递推公式:说明说明:分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的 u,v 函数类型不变,解出积分后加 C)例例43)对含自然数 n 的积分,通过分部积分建立递 推公式.例例11.已知的一个原函数是求解解:说明说明:此题若先求出再求积分反而复杂.例例12.求解法解法1 先换元后分部令即则故解法解法2 直接用分部积分法内容小结内容小结 分部积分公式1.使用原则:易求出,易积分2.使用经验:“反对幂指三反对幂指三”,前 u 后3.题目类型:分部化简;循环解出;递推公式4.计算格式:例例13.求解解:令则可用表格法求多次分部积分例例14.求解解:令则原式原式原式原式=思考与练习思考与练习1.下述运算错在哪里?应如何改正?得 0=1答答:不定积分是原函数族,相减不应为 0.求此积分的正确作法是用换元法.2.求提示提示:得3.设证证:可微且其反函 数 存在,证明 作业作业 P213 4,5,9,14,18,20,21,22 ,24求不定积分解解：方法1(先分部,再换元)令则方法方法2(先换元,再分部)令则故 第四节 基本积分法:换元积分法;分部积分法 初等函数求导初等函数积分一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容:第四四章 直接积分法;一、一、有理函数的积分有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式+真分 式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和例例1.将下列真分式分解为部分分式:解解:(1)用拼凑法(2)用赋值法故(3)混合法原式=四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分:变分子为 再分项积分 例例2.求解解:已知例1(3)例例3.求解解:原式说明说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.例例5.求求解解:原式例例4.求求解解:常规法 例例6.求求解解:原式(见P363 公式21)注意本题技巧注意本题技巧本题用常规方法解很繁二二、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,令万能代换(参考下页例7)t 的有理函数的积分1.三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则例例7.求求解解:令则例例8.求求解解:说明说明:通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换2.简单无理函数的积分简单无理函数的积分令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换 化为有理函数的积分.例如:令例例11.求解解:令则原式例例12.求解解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的最小公倍数 6,则有原式令例例13.求解解:令则原式原式内容小结内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积分法,简便计算.简便,思考与练习思考与练习如何求下列积分更简便?解解:1.2.原式作业作业P218 3,6,8,15,18,20,22 1.求不定积分解：解：令则,故分母次数较高,宜使用倒代换.2.求不定积分解：解：原式=前式令;后式配元第五节积分计算比导数计算灵活复杂,为提高求积分已把常用积分公式汇集成表,以备查用.如 P347附录.积分表的结构:按被积函数类型排列 积分表的使用:1)注意公式的条件2)注意简单变形的技巧 注注:很多不定积分也可通过 Mathematica,Maple 等数学软件的符号演算功能求得.的效率,积分表的使用 第四四章 例例1.求解解:应使用P368 公式105.例例2.求解法解法1 令则原式(P364 公式 37)例例2.求解法解法2 令则原式(P363 公式 21)二、第二类换元法二、第二类换元法一、第一类换元法一、第一类换元法例例2.求想到公式例例3.求想到例例4.求解解:类似例例5.求解解:原式原式 常用的几种配元形式常用的几种配元形式:万能凑幂法例例9.求解法解法1解法解法2 两法结果一样两法结果一样例例10.求解法解法1 例例12.求解解:例例13.求解解:思考与练习思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?二、第二类换元法二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，例例16.求解解:令则例例17.求解解:令则例例18.求解解:令则例例19.求解解:令则小结小结:1.第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型:令令令或令令7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换倒代换 令由导数公式积分得:分部积分公式分部积分公式或1)v 容易求得;容易计算.分部积分法例例4.求解解:令,则 原式再令,则解题技巧解题技巧:把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三反对幂指三”的顺序,前者为 后者为反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数例例7.求解解:令则原式令例例9.求解解:令则得递推公式习题课一、求不定积分的基本方法二、几种特殊类型的积分 不定积分的计算方法不定积分的计算方法 第第四章章 一、一、求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法1.直接积分法通过简单变形通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法求不定积分的方法.2.换元积分法 第一类换元法 第二类换元法第二类换元法 注意常见的换元积分类型注意常见的换元积分类型,如掌握如掌握 P205P206 公式公式(16)(24)的推导方法的推导方法(代换代换:)3.分部积分法分部积分法使用原则使用原则:1)由由易求出易求出 v;2)比比好求好求.一般经验一般经验:按按“反反,对对,幂幂,指指,三三”的顺的顺序序,排前者取为排前者取为 u,排后者取为排后者取为计算格式计算格式:列表计算列表计算多次分部积分的多次分部积分的 规规 律律快速计算表格快速计算表格:特别:当当 u 为为 n 次多项式时次多项式时,计算大为简便计算大为简便.例例1.求解:原式原式例例5.求解:例例7.证明递推公式证:注:或或二、几种特殊类型的积分二、几种特殊类型的积分1.一般积分方法有理函数有理函数分解分解多项式及多项式及部分分式之和部分分式之和指数函数有理式指数函数有理式指数代换指数代换三角函数有理式三角函数有理式万能代换万能代换简单无理函数简单无理函数三角代换三角代换根式代换根式代换2.需要注意的问题需要注意的问题(1)一般方法不一定是最简便的方法一般方法不一定是最简便的方法,(2)初等函数的原函数不一定是初等函数初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合要注意综合使用各种基本积分法使用各种基本积分法,简便计算简便计算.因此不一因此不一定都能积出定都能积出.例如,例例10.求解:令令则则原式 作业作业P222 总习题四总习题四 6,9,16,19,29,37
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