高等数学第一章课件

第一章第一章 函数函数1.1 集合及其运算集合及其运算1.2 实数实数1.3 笛卡尔乘积笛卡尔乘积1.4 函数函数1.5 线性函数、正弦和余弦函数线性函数、正弦和余弦函数1.6 经济和管理中几个常用的函数经济和管理中几个常用的函数 1.1 集合及其运算集合及其运算 集合的概念集合的概念 集合（Set）：要研究的某些特定对象放在一起就是一个集合。相应地每个对象称为这个集合的元素（Eelement）。用大写英文字母表示集合，小写英文字母表示元素。集合的表示方法：列举法和描述法。1.列举法列举法：就是把所有元素都列出来，用大括号括起来。例如：如果令表示由2、3、4三个数组成的集合，用列举法将其写成：=2,3,42.描述法描述法：用语言描述出所有元素的共有特征。若令表示所有正整数集合,列举便很困难,则我们可以简单地描述其元素,写成：此式读作：“I是所有元素X 都是整数的集合”.集合间的关系集合间的关系 子集子集（Subset）：若集合A中每个元素都属于集合B，则称A为B 的子集子集.相等相等（Equal）:若两个集合A和B有相同的元素。则称A与B相等相等，记为A=B.A=B 的充要条件是集合的运算集合的运算 并集并集(Union):设A和B是两个集合,由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A和集合B的并集并集,交集交集(Intersection):设A和B是两个集合,由既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合,称为集合A和集合B的交集交集,空集:如果A和B没有公共元素，则称集合A和集合B的交集是空集，记为集合的并和交的性质：令A,B,C是X的三个子集,(ii)结合律:(iii)分配律:差集差集(Difference):设A,B是X的两个子集,由属于集合A但不属于集合B的元素组成的集合,称为集合A和集合B的差集差集,(i)交换律:补集补集(Complement):由X中但不属于集合A的元素组成的集合,称为集合A的补集补集).映射映射(Map):设是两个非空集合,如果存在一个规则使得对于中任何一个元素按照规则在中有一个唯一确定的元素与对应，那么称这个规则限集(Countable Infinite Set).1.2 1.2 实数实数 有理数和无理数统称为实数,把数轴叫做实直线实直线。上界上界(Upper Bound):若存在一个实数u(不一定属于X),满足对X中的任意则称u是X的上界上界(Upper Bound).这时称X是有上界的(Bounded Above).类似地，可以定义下界下界(Lower Bound).上确界上确界(Supremum):令X是的一个有上界的子集，若s是X的一个上界，且对于任意的都存在一个记为s=sup X;类似地，可以定义X的下确界下确界(Infimum)。上确界是最小上界，下确界是最大下界（下确界）阿基米德（阿基米德（ArchimedeamArchimedeam）性质）性质:对于任意的实数1.3 笛卡尔乘积笛卡尔乘积例例1 1假设某班有学生30人，其学号分别为1,2,30,成绩依次为100，95，90，85，80，84，82，81，70，69，69，69，68，68，67，66，66，65，65，65，65，60，60，60，60，60，29，28，60，某班学生的成绩单可以用一个有序数组的集合来表示:二元有序数组（29，28）意味着学号为29的学生成绩28分.如果将平面看成是该平面上所有的点构成的集合，则上面的对应规则就是平面与之间的一个双之间的一个双射，习惯上将1.41.4函数函数数量、常量、变量和参数数量、常量、变量和参数交易商品的量和交易商品的价格都用数来表示，这时的数叫做数量数量（Quality），在研究过程中大小保持不变的量叫做常量常量（Constant);在研究过程中大小可以变化的量叫做变量变量（Variable);我们经常用P（Price）表示价格，用C（Cost）表示成本，用R（Receipts）表示收益。变量经常以与某个数乘积的形式出现，例如表达式8P 或0.8R，这时我们将8、0.8称作这个变量的系数系数（Coefficient）。在研究过程中我们可以用小写字母 等表示给定的常量或系数，这时把这个常量叫做这个模型中的参数参数（Parameter）。函数的概念函数的概念 定义域指的就是使这个公式有意义的实数的全体.例例1 1 判断下面函数是否相同,并说明理由.应法则和定义域都相同.分段函数分段函数（Piecewise function）：如果一个函数的对应法则在定义域的不同部分用不同的公式表示,则称这样的函数为分段函数分段函数.例例3 3 指出下列函数的定义域和值域.例例4 4 某工厂生产某型号车床,年产量为100台,分若干批进行生产,每批生产准备费为2000元,设产品均匀投放市场,且上一批用完后立即生产下一批,即平均库存量为批量的一半.设每年每台库存费为100元.试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系.几种特殊类型的函数几种特殊类型的函数 类似地可以定义有下界的函数有下界的函数和有界函数有界函数(Bounded function)。例例1010证明证明 1.4 1.4 线性函数、正弦和余弦函数线性函数、正弦和余弦函数 线性函数线性函数 称为这条直线的斜率斜率(Slope),b称为这条直线在 Y 轴上的截距截距(Intercept)和Y 轴的交点的纵坐标.例例1 1对于一般商品而言,市场对该种商品的需求量总是随着价格的上扬而有所下降.对于这个经济现象我们怎样用数学语言来描述呢?具体解释如下:这个函数是减函数,随着自变量的增加,因变量减少,符合需求随价格变化的本质特征.参数b是价格为零时的需求量,即社会的最大需求量最大需求量(Maximum demand).例例2 2 家具厂的经理发现,每天生产100把椅子所需的费用为22000元,而每天生产300把椅子需要48000元.(a)将所需费用表示为生产椅子数的函数,假定其为线性的.然后画出图像.（b)图像的斜率是多少?它代表什么意义?(c)图像的 轴截距是多少?它代表什么意义?经济意义：每多生产一把椅子，需增加费用120元；图像的y 轴截距是10000，表示即使一把椅子不生产，也需要费用10000元.正弦、余弦函数正弦、余弦函数 有下面的恒等式：*常用的三角恒等式常用的三角恒等式 由正弦函数和余弦函数的定义及勾股定理，有余弦公式余弦公式由两点间距离公式，正弦公式正弦公式证明：(略)余弦的减法公式余弦的减法公式由余弦公式和两点间距离公式，得由此得因此有余弦的加法公式余弦的加法公式正弦的加法公式正弦的加法公式由余弦的减法公式，得 由此，正弦的减法公式正弦的减法公式倍角公式倍角公式半角公式半角公式将加法公式和减法公式的两端相加或相减，得三角函数的积化和差公式由正弦的加法公式，有1.6 1.6 由已知函数衍生新的函数由已知函数衍生新的函数 四则运算四则运算 注意注意：定义左边是函数相加，而右边是函数值相加。有时为了叙述和书写方便我们直接将正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数统称为三角函数三角函数(Trigonometric function)。它被称为有理函数有理函数(Rational function).复合运算复合运算 反函数反函数 对于给出的一个函数，如何寻找它的反函数？xy例例5 5 已知显然这个函数是单值映射，所以可以定义反函数。1.6 1.6 经济和管理中几个常用的函数经济和管理中几个常用的函数 折旧函数折旧函数 假设一个面包店有一台价值为20000元人民币的烤箱，随着时间的推移它会逐渐贬值，因此烤箱的价值V是烤箱购置以来的时间他t（单位：年)的函数，称为折折旧函数旧函数(Depreciation function).成本函数成本函数 用字母q表示某种产品的产量，用字母C 表示生产数量为q时的总成本，称为成本函数成本函数(Cost function)，记为 生产成本可以分成两部分：固定成本固定成本(Fixed cost)，即使什么都不生产也要被算入；可变成本可变成本(Variable cost)，它们由产量决定.例如，面包店为了生产面包，生产所需要的厂房和机器设备是固定成本，即使一个面包都没做它们也要被算入总成本.劳动力和原材料的费用是可变成本，因为这些费用由制作面包的量来决定.如果该面包店的固定成本为10万元，每个面包的成本是10元，那么成本函数例例2 2 某工厂生产某产品,每日最多生产200单位.它的日固定成本为150元,生产一个单位产品的可变成本为16元.求该厂日成本函数及平均成本函数.收益函数和利润函数收益函数和利润函数 R 表示售出数量为q的某种商品所获得的收入，称为收收益函数益函数(Revenue function)，记为利润（Profit），通常记作利润函数利润函数(Profitfunction)定义为：例例3 3 已知某厂单位产品的可变成本为15元，每天的固定成本为2000元，如这种产品出厂价为20元，求(1)每天的利润函数；(2)若不亏本，该厂每天至少生产多少单位这种产品.例例4 4 求出面包店的利润函数.例例5 5 某电器厂生产一种新产品,在定价时不单是根据生产成本而定,还要请各销售单位来出价,即他们愿意以什么价格来购买.根据调查得出需求函数为该厂生产该产品的固定成本是270000元,而单位产品的变动成本为10元.为获得最大利润,出厂价格应为多少?例例6 6 已知某商品的成本函数与收入函数分别是试求该商品的盈亏平衡点,并说明盈亏情况.需求函数和供给函数需求函数和供给函数 表示供给量时，称为供给函数供给函数(Supplyfunction)（也称为供给曲线）。市场均衡市场均衡 如果需求量等于供给量,则这种商品就达到了市场均市场均衡衡(Market equilibrium)，这时的供给量（需求量）称为市场均衡数量市场均衡数量(Equilibrium quantity)，这时的价格称为市场均衡价格市场均衡价格(Equilibrium price)则在市场均衡的状态下：当市场价格高于均衡价格时,将出现供过于求的现象,而当市场价格低于均衡价格时,将出现供不应求的现象.例例9 9 某种商品的供给函数和需求函数分别为求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.（1）求新的供给函数；（2）求新的均衡价格和均衡数量；（3）在征收的5元税中，多少由消费者支付？多少 由生产者支付？因为5元被政府拿走。新的均衡价格为33元；均衡数量为34。在政府不征税的前提下该种商品的均衡价格为30元，均衡数量为40，而现在的均衡价格为33元，均衡数量为34。因此在征收的5元税中，消费者支付了3元，生产者支付了2元，并且价格上升，需求量下降。利息问题利息问题 利息是指借款者向贷款者支付的报酬,利息又有存款利息、贷款利息、债券利息、贴现利息等几种主要形式.贴现问题贴现问题 票据的持有人,为在票据到期以前获得资金,从票面金额中扣除未到期期间的利息后,得到所余金额的现金称为贴现贴现(Discounting).确定第n年后价值为R元钱的现值.假设在这n年之间复利年利率r不变.利用复利计算公式有 得到第n 年后价值为R 元钱的现值为式中R表示第n年后到期的票据金额,r表示贴现率贴现率(Discount rate),p表示现在进行票据转让时银行付给的现金.若票据持有者手中持有若干张不同期限及不同面额的票据,且每张票据的贴现率都是相同的,则一次性向银行转让票据而得到的现金本章的关键词本章的关键词 集合集合 上确界上确界 下确界下确界 邻域邻域 内点内点 区间区间 映射映射 单射单射 满射满射 双射双射 有限集有限集 无限集无限集 可数无限集可数无限集 函数函数 定义域定义域 值域值域 图像图像 分段函数分段函数 递增函数递增函数 递减函数递减函数 奇函数奇函数 偶函数偶函数 周期函数周期函数 复合函数复合函数 反函数反函数 线性函数线性函数 比例函数比例函数 常值函数常值函数 恒等函数恒等函数 多项式函数多项式函数 有序数组有序数组 笛卡尔乘积笛卡尔乘积 正弦函数正弦函数 余弦函数余弦函数 正切函数正切函数 余切函数余切函数 有理函数有理函数 需求函数需求函数供给函数供给函数 利润函数利润函数 成本函数成本函数 均衡价格均衡价格 复利复利 贴现贴现