资源描述
一、定积分的微元法二、用定积分求平面图形的面积、在直角坐标系中求平面图形的面积、在极坐标系下求平面图形的面积 三、用定积分求体积、旋转体的体积四、平面曲线的弧长第一节第一节 定积分的几何应用定积分的几何应用 微元法是运用定积分解决实际问题的常用方法.定积分所要解决的问题是求非均匀分布的整体量（如:曲边梯形面积).采用“分割取近似,求和取极限”的四个步骤,通过 分割将整体问题化为局部问题,以均匀代替非均匀（或以直代曲)求得近似值,再通过求和取极限得到精确值.其中第二步是关键.下面先回顾求曲边梯形面积的四个步骤 一、定积分的微元法 确定各部分量的近似值确定各部分量的近似值(小矩形面积小矩形面积););分割区间分割区间a,b,a,b,将所求量将所求量(曲边梯形面积曲边梯形面积 )分为部分量分为部分量(小曲边梯形面积小曲边梯形面积 ）之和）之和;求曲边梯形面积的四个步骤求曲边梯形面积的四个步骤:求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和););对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.于是面积就是将这些微元在区间上的于是面积就是将这些微元在区间上的“无限累加无限累加”,即从即从 到到 的定积分的定积分.这个方法通常称为这个方法通常称为 微元分析法微元分析法,简称简称微元法微元法.其中形式其中形式 与积分式中的被积式与积分式中的被积式 具具有有相相同同的的形形式式.如如果果把把 用用 替替代代,用用 替替代代,这这样上述四个步骤简化为两步：样上述四个步骤简化为两步：第二步找到面积微元第二步找到面积微元 求定积分求定积分.第一步选取积分变量第一步选取积分变量 并确定其范围并确定其范围 ；概括可得：凡是具有可加性连续分布的非均匀量的求和问题,一般可通过微元法得到解决操作步骤：建立坐标系,选取积分变量并确定积分区间；找到相应的微元；以此微元作积分表达式,在积分区间上求定积分.微元法在自然科学研究和生产实践中有着广泛的应用 由微元法分析：由微元法分析：其中面积微元为其中面积微元为 ，它表示高为它表示高为 、底为底为 的一个矩形面积的一个矩形面积.、在直角坐标系中求平面图形的面积、在直角坐标系中求平面图形的面积 由定积分几何意义可知由定积分几何意义可知,当当 时时,由曲线由曲线 ，直线，直线 与与 轴所围成轴所围成的曲边梯形的面积的曲边梯形的面积 为定积分为定积分即即二、用定积分求平面图形的面积二、用定积分求平面图形的面积 由定积分几何意义可知由定积分几何意义可知,当当 时时,由曲线由曲线 ，直线，直线 与与 轴所围成的曲边梯形的轴所围成的曲边梯形的面积面积A A为为 .当当 在在区区间间 上上的的值值有有正正有有负负时时，则则曲曲线线 ，直线，直线 与与 轴轴围围成成的的面面积积是是在在 轴轴上上方方和和下下方方曲曲边边梯梯形形面面积的差积的差.同样可由微元法分析同样可由微元法分析其中面积微元为其中面积微元为.一般地，根据微元法由曲线一般地，根据微元法由曲线 及及直直线线 所所围围的的图图形形（如如图所示）的面积为图所示）的面积为 注意注意：曲线曲线 的上下位置的上下位置 由微元法分析由微元法分析：(1)(1)在区间在区间 上任取小区间上任取小区间 ,在此小区间在此小区间上的图形面积近似于高为上的图形面积近似于高为 ,底为底为 的小矩形的小矩形面积面积,从而得面积微元为从而得面积微元为(2)(2)以以 为被积表达式为被积表达式,在区间在区间 作定作定积分就是所求图形的面积积分就是所求图形的面积.类似地类似地,由曲线由曲线 及直线及直线 所围成的平面图形所围成的平面图形(如图所示如图所示)的面积的面积为为 其中面积微元其中面积微元 注意注意：曲线曲线 的左右位置的左右位置.利用微元法求面积利用微元法求面积：例例1 1 计算由两条抛物线计算由两条抛物线 所围成图形的所围成图形的面积面积 解解:作出图形，确定积分变量作出图形，确定积分变量 ，解方程组解方程组 得两条抛物线的交点为得两条抛物线的交点为 (0,0)(0,0)和和(1,1)(1,1)，则积分区间为则积分区间为0,10,1 （如右图所示）（如右图所示）在积分区间在积分区间0,10,1上任取一小区间上任取一小区间 ，与之相应的窄条的面积近似地等于高为与之相应的窄条的面积近似地等于高为 、底为底为 的矩形面积（如上页图中阴影部分的面积）的矩形面积（如上页图中阴影部分的面积）,从而得面积微元从而得面积微元 求定积分得所求图形面积为求定积分得所求图形面积为 解解:(:(方法一方法一)(1)(1)作图，选定作图，选定 为积分变量，为积分变量，解方程组解方程组 得两曲线的交点为得两曲线的交点为(1,1)(1,1)，可知积分区间为可知积分区间为0,1.0,1.（如右图所示）（如右图所示）例例:求曲线求曲线 与与 轴围成平面图轴围成平面图形的面积形的面积 (2)(2)在区间在区间0,10,1上任取小区间上任取小区间 ，对应的，对应的 窄条面积近似于高为窄条面积近似于高为 底为底为 的矩形面积，从而面积微元为的矩形面积，从而面积微元为 （3 3）所求图形的面积为）所求图形的面积为 在在0,10,1上的微元为上的微元为 在在1,21,2上的微元为上的微元为 解解:(:(方方法法二二)若若选选取取 作作为为积积分分变变量量，容容易易得得出出积积分分区区间间为为0,20,2，但但要要注注意意，面面积积微微元元在在0,10,1和和1,21,2两部分区间上的表达式不同（如下图所示）两部分区间上的表达式不同（如下图所示）故所求面积为故所求面积为 这种解法比较繁琐，因此，选取适当的积分变量，可这种解法比较繁琐，因此，选取适当的积分变量，可使问题简化使问题简化 另另外外，还还应应注注意意利利用用图图形形的的特特点点（如如对对称称性性），以以简简化分析、运算化分析、运算 解解 由右图所示由右图所示 选取选取 为积分变量，为积分变量，记第一象限内阴影记第一象限内阴影 部分的面积为部分的面积为 ，利用函数图形的对称性，利用函数图形的对称性，例例3 3 求求 与与半半圆圆 所所围围图图形形的的面面积积可得图形的面积为可得图形的面积为:步骤：作草图，确定积分变量和积分限；求出面积微元；计算定积分注意：积分变量选取要适当；合理利用图形的特点（如对称性）.即曲边扇形的面积微元为即曲边扇形的面积微元为 曲边扇形的面积为曲边扇形的面积为 、在极坐标系下求平面图形的面积、在极坐标系下求平面图形的面积 计计算算由由曲曲线线 及及射射线线 围围成成的的曲边扇形的面积（如下图所示）曲边扇形的面积（如下图所示）利利用用微微元元法法，取取极极角角 为为积积分分变变量量，它它的的变变化化区区间间为为 .在在任任意意小小区区间间 上上相相应应的的小小曲曲边边扇扇形形的的面面积积可可用用半半径径为为 中中心心角角为为 的的圆圆扇扇形的面积近似代替，形的面积近似代替，解解:取取 为积分变量为积分变量,面积微元为面积微元为 于是于是 例例 计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线 上对应上对应 于于 从变到从变到 的一段的一段 曲线与极轴所围成图形的曲线与极轴所围成图形的 面积面积.（右图所示）（右图所示）例例5 5 计算双纽线计算双纽线 所围成的平面图形的面积（下图所示）所围成的平面图形的面积（下图所示）解解因因 ,故故 的变化范围是的变化范围是 ,图形关于极点和极轴均对称图形关于极点和极轴均对称 面积微元为面积微元为故所求面积为故所求面积为 设设一一立立体体介介于于过过点点 且且垂垂直直于于 轴轴的的两两平平面面之之间间，如如果果立立体体过过 且且垂垂直直于于 轴轴的的截截面面积面面积 为为 的已知的已知 连续函数，则称此立体为连续函数，则称此立体为 平行截面面积已知的立体，平行截面面积已知的立体，如右图所示如右图所示、平行截面面积已知的立体体积、平行截面面积已知的立体体积下面利用微元法计算它的体积下面利用微元法计算它的体积三、用定积分求体积三、用定积分求体积于是所求立体的体积为于是所求立体的体积为 即体积微元为即体积微元为 取取 为为积积分分变变量量,它它的的变变化化区区间间为为 ,立立体体中中相相应应于于 上上任任一一小小区区间间 的的薄薄片片的的体体积积近近似似等等于于底底面面积积为为 ,高高为为 的的扁扁柱柱体体的的体体积积(右图所示右图所示)，解：解：(法一法一)取平面与圆柱体底面的交线为取平面与圆柱体底面的交线为 轴轴,底底 面上过圆中心且垂直于面上过圆中心且垂直于 轴的直线为轴的直线为 轴轴,建立建立 坐标系坐标系.如右图所示如右图所示 此时此时,底圆的方程为底圆的方程为 立体中过点立体中过点 且且 垂直于垂直于 轴的截面轴的截面 是一个直角三角形是一个直角三角形.例例6 6 一平面经过半径为一平面经过半径为 的圆柱体的底圆中心的圆柱体的底圆中心,并与底并与底面交成角面交成角 (如下图如下图)，计算这个平面截圆柱所得立体的体，计算这个平面截圆柱所得立体的体积积.它的两条直角边的长度分别是它的两条直角边的长度分别是 及及即即 及及 于是于是截面面积为截面面积为故所求立体的体积为(法二法二)取坐标系同上（下图所示），过取坐标系同上（下图所示），过 轴上点轴上点 作垂直于作垂直于 轴的截面轴的截面,则截得矩形则截得矩形,其高为其高为 、底为、底为 ,从而截面面积为从而截面面积为 于是所求立体的体积为 从而从而,所求的体积为所求的体积为 、旋转体的体积、旋转体的体积 应用定积分计算由曲线应用定积分计算由曲线 直线直线 及及 轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周而形成的轴旋转一周而形成的 立体体积（下图所示）立体体积（下图所示）取取 为积分变量为积分变量,其变化区间为其变化区间为 ,由于过点由于过点 且且垂直于垂直于 轴的平面截得旋转体的截面是半径为轴的平面截得旋转体的截面是半径为 的圆的圆,其面积为其面积为该旋转体的体积为类似地类似地,若旋转体是由连续曲线若旋转体是由连续曲线 ,直线直线 及及 轴所围成的图形轴所围成的图形,绕绕 轴旋转轴旋转一周而成一周而成(下图所示下图所示),),解：解：如右图所示如右图所示,所求体积所求体积 例例 求由曲线求由曲线 与直线与直线 及及 轴轴所所围围成成的的图图形形绕绕 轴轴旋旋转转一一周周所所形形成成的的旋旋转转体体的的体积体积.例例8 8 求底圆半径为求底圆半径为 高为高为 的圆锥体的体积的圆锥体的体积 解解 以以圆圆锥锥体体的的轴轴线线为为 轴轴，顶顶点点为为原原点点建建立立直直角角坐标系（下图所示）坐标系（下图所示）过原点及点过原点及点 的直线方程为的直线方程为 此圆锥此圆锥 可看成由直线可看成由直线 及及 轴所围成的轴所围成的 三角形绕三角形绕 轴旋转而成，轴旋转而成，故其体积为 设有一条光滑曲线弧设有一条光滑曲线弧 ,现在现在计算它的长度（称为弧长）计算它的长度（称为弧长）所谓光滑曲线是指曲线所谓光滑曲线是指曲线 在在 上连续，在上连续，在 内各点存在不垂直于内各点存在不垂直于 轴的切线，轴的切线，并且切线随切点的移动并且切线随切点的移动 而连续转动；而连续转动；即即 在在 上连续，上连续，在在 内连续内连续四、平面曲线的弧长四、平面曲线的弧长 以以 为积分变量，相应于为积分变量，相应于 上任一小区间上任一小区间 的一段弧长的一段弧长 可用曲线在可用曲线在 点点 处切线上相应小段直线处切线上相应小段直线 的长度来近的长度来近似代替（如上图所示）似代替（如上图所示）切线上小段直线的长度为切线上小段直线的长度为 因而弧长微元（也称为弧微分）为因而弧长微元（也称为弧微分）为 从从 到到 积分得积分得 例例9 9 求曲线求曲线 的长的长 解解 函数的定义域为函数的定义域为 ，故故 于是于是 若曲线弧若曲线弧 由参数方程由参数方程 给给出，其中出，其中 在在 上具有连续导数，上具有连续导数，则弧微元为则弧微元为从而，所求弧长为从而，所求弧长为 例例1010 求曲线求曲线 上相应于从上相应于从 到到 一段的弧长（其中一段的弧长（其中 ）解解 因为因为 ，所以所以 从而从而一、变力作功二、液体的压力第二节第二节 定积分在的物理学中的应用定积分在的物理学中的应用 设设一一物物体体受受连连续续变变力力 的的作作用用,沿沿力力的的方方向向作作直直线线运运动动,求求物物体体从从 移移动动到到 ,变力变力 所作的功（如下图所示）所作的功（如下图所示）.由由于于 是是变变力力,因因此此这这是是一一个个非非均均匀匀变变化的问题化的问题.所求的功为一个整体量所求的功为一个整体量,在在 上具有可加性上具有可加性,可用定积分的微元法求解可用定积分的微元法求解.一、变力作功变力作功 在在 上任一小区间上任一小区间 .由于由于 是连续变化的是连续变化的,当当 很小时很小时 变化不大可近变化不大可近似看作常力似看作常力,因而在此小段上所作的功近似为在因而在此小段上所作的功近似为在 上的功微元上的功微元 .因此因此,从从 到到 变力所作的功为变力所作的功为 析析：这个电场对周围的电荷有作用力，由这个电场对周围的电荷有作用力，由库仑定律知，位于库仑定律知，位于 轴上距原点轴上距原点 米处的米处的单位正电荷受到的电场力大小为单位正电荷受到的电场力大小为 （牛顿），其中（牛顿），其中 为常数为常数例例1 1 把电量为把电量为+（库仑）的点电荷放在（库仑）的点电荷放在 轴原点处轴原点处,形成一个电场形成一个电场,当这个单位正电当这个单位正电荷在电场中从荷在电场中从 处沿处沿 轴至轴至 处时处时,求电场力对它所作的功（下图所示）求电场力对它所作的功（下图所示）v解解取取 为积分变量，为积分变量，其变化区间为其变化区间为 ，功微元为功微元为 于是功为于是功为v 解解建立坐标系，建立坐标系，如右图所示如右图所示.取深度取深度 为积分变量，为积分变量，其变化区间为其变化区间为0,50,5，v 例例2 2一一圆圆柱柱形形的的贮贮水水桶桶高高为为米米，底底圆圆半半径径为为米米，桶桶内内盛盛满满了了水水试试问问要要把把桶内的水全部吸出，需作多少功？桶内的水全部吸出，需作多少功？功微元功微元 所求的功为所求的功为二、液体的压力 由由物物理理学学可可知知,在在深深为为 处处液液体体的的压压强强为为 ,其其中中 是是液液体体的的密密度，度，（牛顿千克）（牛顿千克）.如如果果有有一一面面积积为为 的的平平板板，水水平平地地放放置置在在液液体体中中深深为为 处处，则则平平板板一一侧侧所所受受的的压力为压力为如果平板垂直放在液体中，那么由于液体的深度不同，就不能用上式计算平板一侧所受到的压力，须用定积分求解下面举例说明v例3一个横放的半径为一个横放的半径为 的圆柱形的圆柱形油桶盛有半桶油，油的密度为油桶盛有半桶油，油的密度为 计计算桶的圆形一侧所受的压力算桶的圆形一侧所受的压力解解建立坐标系，建立坐标系，如右图所示如右图所示 取取 为积分变量，为积分变量，它的变化区间为它的变化区间为则压力微元为则压力微元为p经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量pStudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe学习总结结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
展开阅读全文