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返回返回上页上页下页下页目录目录第七章第七章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用推广推广一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意:善于类比善于类比,区别异同区别异同7/31/20241返回返回上页上页下页下页目录目录主主 要要 内内 容容第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 第二节第二节 偏导数偏导数第三节第三节 全微分全微分 第四节第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式 第六节第六节 多元微分学在几何上的应用多元微分学在几何上的应用 第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度 第八节第八节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法 7/31/20242返回返回上页上页下页下页目录目录第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 第七章第七章(Conception of functions of several variables)四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性一、平面点集一、平面点集 n 维空间维空间二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限五、小结与思考练习五、小结与思考练习7/31/20243返回返回上页上页下页下页目录目录一、平面点集一、平面点集 n 维空间维空间1.邻域邻域点集称为点 P0 的 邻域邻域.例如例如,在平面上,(圆邻域圆邻域)在空间中,(球邻域球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点 P0 的去心邻域去心邻域记为7/31/20244返回返回上页上页下页下页目录目录在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为.因为方邻域与圆邻域可以互相包含.7/31/20245返回返回上页上页下页下页目录目录(1)内点、外点、边界点内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P:若存在点 P 的某邻域 U(P)E,若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一任一邻域 U(P)既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点;则称 P 为 E 的边界点边界点 .的外点,显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的边界点可能属于 E,也可能不属于 E.2.区域区域7/31/20246返回返回上页上页下页下页目录目录若对任意给定的 ,点P 的去心邻域内总有E 中的点,则称 P 是 E 的聚点聚点.聚点可以属于 E,也可以不属于 E(因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集导集.E 的边界点)(2)聚点聚点7/31/20247返回返回上页上页下页下页目录目录D 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；若点集 E E,则称 E 为闭集；若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;.E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E;(3)开区域及闭区域开区域及闭区域7/31/20248返回返回上页上页下页下页目录目录开区域闭区域例如，例如，在平面上7/31/20249返回返回上页上页下页下页目录目录 整个平面 点集 是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.o 对区域 D,若存在正数 K,使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K,则称 D 为有界域有界域,界域界域.否则称为无无7/31/202410返回返回上页上页下页下页目录目录n 元有序数组的全体称为 n 维空间维空间,n 维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第 k 个坐标坐标.记作即一个点点,当所有坐标称该元素为 中的零元,记作 O.3.n 维空间维空间7/31/202411返回返回上页上页下页下页目录目录的距离距离记作中点 a 的 邻域邻域为规定为 与零元 O 的距离为7/31/202412返回返回上页上页下页下页目录目录二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例:圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式7/31/202413返回返回上页上页下页下页目录目录点集 D 称为函数的定义域定义域;数集称为函数的值域值域 .特别地,当 n=2 时,有二元函数当 n=3 时,有三元函数映射称为定义在 D 上的 n 元函数元函数,记作定义定义1 设非空点集7/31/202414返回返回上页上页下页下页目录目录定义域为圆域说明说明:二元函数 z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面 .三元函数 定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球单位闭球例如例如,二元函数7/31/202415返回返回上页上页下页下页目录目录三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义2 设 n 元函数点,则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n=2 时,记二元函数的极限可写作：P0 是 D 的聚若存在常数 A,对一记作都有对任意正数 ,总存在正数,切7/31/202416返回返回上页上页下页下页目录目录求证：证证:故总有要证要证（课本（课本 例例5）例例1 设7/31/202417返回返回上页上页下页下页目录目录求证：证：证：故总有要证要证（自学课本（自学课本 例例6）例例2（补充题）（补充题）设7/31/202418返回返回上页上页下页下页目录目录 若当点趋于不同值或有的极限不存在，解解:设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k 值不同极限不同值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.函数例例3 讨论函数7/31/202419返回返回上页上页下页下页目录目录仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.不同不同.如果它们都存在,则三者相等.例如例如,显然与累次极限但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在.二重极限7/31/202420返回返回上页上页下页下页目录目录四、四、多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3 设 n 元函数定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续,则称此函数在 D 上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称 n 元函数连续.连续,7/31/202421返回返回上页上页下页下页目录目录在点(0,0)极限不存在,又如又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周结论结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.例如例如,函数7/31/202422返回返回上页上页下页下页目录目录解解:原式例例6 求函数的连续域.解解:（补充题）（补充题）例例5（课本（课本 例例9）求7/31/202423返回返回上页上页下页下页目录目录*(4)f(P)必在D 上一致连续.在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;(3)对任意(有界性定理有界性定理)(最值定理最值定理)(介值定理介值定理)(一致连续性定理一致连续性定理)闭域闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)定理：定理：若 f(P)在有界闭域 D 上连续,则7/31/202424返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结1.区域区域 邻域:区域连通的开集 2.多元函数概念多元函数概念n 元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数7/31/202425返回返回上页上页下页下页目录目录有4.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续3.多元函数的极限多元函数的极限7/31/202426返回返回上页上页下页下页目录目录习题习题71 1(2),(3)；3；5（偶数题）；（偶数题）；6（偶数题）；（偶数题）；7（1）；）；8；9课外练习课外练习思考与练习思考与练习1.习题习题71 7（2）令 x=k y，若令,则 可见极限不存在7/31/202427返回返回上页上页下页下页目录目录2.设求解法解法1 令7/31/202428返回返回上页上页下页下页目录目录求解法解法2 令即2.设7/31/202429返回返回上页上页下页下页目录目录是否存在？解：解：所以极限不存在.3.7/31/202430返回返回上页上页下页下页目录目录在全平面连续.证证:为初等函数,故连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得4.证明7/31/202431谢谢！
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