高等数学教学课件2

目录 上页 下页 返回 结束 一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数五、单侧导数第一节第一节导数的概念导数的概念 第二章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、引例引例1.变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为自由落体运动目录 上页 下页 返回 结束 2.曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率目录 上页 下页 返回 结束 两个问题的共性共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:电流强度是电量增量与时间增量之比的极限目录 上页 下页 返回 结束 二、导数的定义二、导数的定义定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导可导,在点的导数导数.目录 上页 下页 返回 结束 不存在,就说函数在点 不可导.若也称在若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意注意:就称函数在 I 内可导.的导数为无穷大.若极限目录 上页 下页 返回 结束 落在平静水面上的石头，产生同心落在平静水面上的石头，产生同心波纹，若最后一圈波半径的增大速波纹，若最后一圈波半径的增大速率总是率总是6m/s，问在，问在2s末扰动水面面末扰动水面面积增大的速率为多少？积增大的速率为多少？目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 求函数的导数步骤求函数的导数步骤:目录 上页 下页 返回 结束 说明：说明：对一般幂函数(为常数)例如，例如，（以后将证明）目录 上页 下页 返回 结束 例例.求函数的导数.解解:则即类似可证得目录 上页 下页 返回 结束 例例.求函数的导数.解解:即目录 上页 下页 返回 结束 例例解解目录 上页 下页 返回 结束 原式是否可按下述方法作:例例.证明函数在 x=0 不可导.证证:不存在,例例6.设存在,求极限解解:原式目录 上页 下页 返回 结束 三、三、导数的几何意义导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;若切线与 x 轴垂直.曲线在点处的切线方程切线方程:法线方程法线方程:目录 上页 下页 返回 结束 例例 求求曲曲线线 y=x2 在在点点(1,1)处处的的切切线线和和法法线方程线方程.解解从从例例 1 知知(x2)|x=1=2,即即点点(1,1)处处的的切线斜率为切线斜率为 2，所以所以,切线方程为切线方程为y 1=2(x-1).即即y=2 x-1.法线方程为法线方程为目录 上页 下页 返回 结束 例例 7问问曲曲线线 y=ln x 上上何何处处的的切切线线平平行行直直线线 y=x+1？解解 设点设点 (x0,y0)处的切线平行直线处的切线平行直线 y=x+1，根据导数的几何意义及导函数与导数的关系，可知根据导数的几何意义及导函数与导数的关系，可知即即 x0=1，代入，代入 y=lnx 中，得中，得 y0=0，所以曲线在所以曲线在点点(1,0)处的切线平行直线处的切线平行直线 y=x+1.目录 上页 下页 返回 结束 四、四、函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.证证:设在点 x 处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点 x 连续.注意注意:函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:在 x=0 处连续,但不可导.即目录 上页 下页 返回 结束 设解解:又例例.所以 在处连续.即在处可导.处的连续性及可导性.目录 上页 下页 返回 结束 设解解:又例例.所以 在处连续.即在处不可导.处的连续性及可导性.目录 上页 下页 返回 结束 在点的某个右右 邻域内五、五、单侧导数单侧导数若极限则称此极限值为在 处的右右 导数导数,记作即(左)(左左)例如例如,在 x=0 处有定义定义2.设函数有定义,存在,目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2.函数在点且存在简写为在点处右右 导数存在定理定理3.函数在点必 右右 连续.(左左)(左左)若函数与都存在,则称显然:在闭区间 a,b 上可导在开区间 内可导,在闭区间 上可导.可导的充分必要条件是且目录 上页 下页 返回 结束 在在 x=1 处的连续性与可导性处的连续性与可导性.解解先求在先求在 x=1 时的时的 y.当当 x 0 时，时，y=f(1+x)-f(1)=2(1+x)3-2=6 x+6(x)2+2(x)3，=6+6 x+2(x)2.目录 上页 下页 返回 结束 从而知从而知因此因此所以函数在所以函数在 x=1 处连续，但不可导处连续，但不可导.容易算出容易算出又又目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;目录 上页 下页 返回 结束 1.设存在,则2.已知则目录 上页 下页 返回 结束 3.设,问 a 取何值时,在都存在,并求出解解:显然该函数在 x=0 连续.故时此时在都存在,目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 解解:因为 设存在,且求所以目录 上页 下页 返回 结束 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.的和、差、积、商(除分母为 0的点外)都在点 x 可导,且下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题.目录 上页 下页 返回 结束 此法则可推广到任意有限项的情形.证证:设 则故结论成立.例如,目录 上页 下页 返回 结束(2)证证:设则有故结论成立.推论推论:(C为常数)目录 上页 下页 返回 结束 例例1.解解:目录 上页 下页 返回 结束(3)证证:设则有故结论成立.推论推论:(C为常数)目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求证证证:类似可证:END