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三大定理大家请认真看书第三章典型例题2用洛必达法则应注意的事项用洛必达法则应注意的事项只要是只要是则可一直用下去则可一直用下去;(3)每用完一次法则每用完一次法则,要将式子整理化简要将式子整理化简;(4)为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限的其它性质结合使用的其它性质结合使用.(2)在用法则之前在用法则之前,式子是否能先化简式子是否能先化简;3例例解解4例例解解5例解第一章第九节定理36例解7解解先把此定式因式分离出来先把此定式因式分离出来8例例解解极限不存在极限不存在洛必达法则失效洛必达法则失效.9例解10解先把此定式因式分离出来 当导数比的极限不存在时,不能断定函数比的极限不存在,用法则求极限有两方面的局限性其一12例解极限不存在洛必达法则失效.13可能永远得不到结果!分子，分母有单项无理式时,不能简化.其二其二用法则求极限有两方面的局限性14如其实:杜波塔托夫的一个著名例子.15步骤:关键或将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型162008年考研数学三解17例解第一章第九节定理3圣诞节18例解19注意注意但求某些未定式极限不要单一使用洛必达但求某些未定式极限不要单一使用洛必达应将所学方法综合运用应将所学方法综合运用.尤其是下述两种方法尤其是下述两种方法,可使问题大大简化可使问题大大简化.各类未定式极限问题各类未定式极限问题,洛必达法则是最常用洛必达法则是最常用的工具的工具,法则法则,20 (1)存在极限为非零的因子存在极限为非零的因子,可根据积的极限可根据积的极限运算法则先求出其极限运算法则先求出其极限.(2)凡乘积或商的非零无穷小因式凡乘积或商的非零无穷小因式,可先用简可先用简单形式的等价无穷小替换单形式的等价无穷小替换.务必记住常用的等价无穷小务必记住常用的等价无穷小.21函数单调性的判别法单调区间求法第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性曲线凹凸性的判别法曲线的拐点及其求法第三章 微分中值定理与导数的应用22问题如上例,函数在定义区间上不是单调的,定义若函数在其定义域的某个区间内是单调的,的分界点二、单调区间求法但在各个部分区间上单调则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间23方法然后判定区间内导数 的符号.24区间内有限个或无穷多个离散点处导数为零,如,注不影响区间的单调性.单调增加.25又如,内可导,且等号只在(无穷多个离散点)处成立,故内单调增加.27(concave and convex)三、曲线凹凸性的判别法1.定义如何研究曲线的弯曲方向28函数的函数的极值极值及其求法及其求法最大值最小值问题最大值最小值问题第五节第五节 函数的极值与函数的极值与 最大值最小值最大值最小值第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用(extreme value)29注注如如,(1)驻点驻点.可导函数可导函数的极值点的极值点驻点却不一定是极值点驻点却不一定是极值点.但函数的但函数的必是必是驻点驻点,30极值点也可能是导数不存在的点极值点也可能是导数不存在的点.如如,但但(2)不可导不可导.是极小值点是极小值点.31一般求极值的步骤一般求极值的步骤求导数求导数;求驻点与不可导点求驻点与不可导点;求相应区间的导数符号求相应区间的导数符号,判别增减性判别增减性;求极值求极值.(1)(2)(3)(4)32例例解解(1)(2)驻点驻点:导数不存在的点导数不存在的点:33(3)列表列表.求相应区间的导数符号求相应区间的导数符号,判别增减性判别增减性,确定极值点和极值确定极值点和极值.非非极极值值极极小小值值不存在不存在极极大大值值驻点驻点:导数不存在的点导数不存在的点:34定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)极大值极大值(极小值极小值).极值的二阶充分条件极值的二阶充分条件 对于对于驻点驻点,有时还可以利用函数在该点有时还可以利用函数在该点处的处的二阶导数二阶导数的正负号来判断极值点的正负号来判断极值点.35注注仍用第一充分条件仍用第一充分条件定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)不能不能应用应用.事实上事实上,可能有极大值可能有极大值,也可能有极小值也可能有极小值,也可能没有极值也可能没有极值.如如,分别属于上述三种情况分别属于上述三种情况.36充分条件来判定有无极值充分条件来判定有无极值;对于只有驻点而没有导数不存在的点对于只有驻点而没有导数不存在的点,可用第二充分条件判断有无极值可用第二充分条件判断有无极值.运用第一、第二充分条件需要注意运用第一、第二充分条件需要注意:若函数有导数不存在的点时若函数有导数不存在的点时,则可用第一则可用第一(1)(2)则则37定理定理4 4极大极大 值值.(小小)38如如,则则,39设设是方程是方程的一的一解解,若若且且则则在在(A)取得极大值取得极大值(B)取得极小值取得极小值(C)在某邻域内单调增加在某邻域内单调增加(D)在某邻域内单调减少在某邻域内单调减少提示提示得得A利用方程利用方程,代入代入042=+-yyy40(1)其中最大其中最大(小小)者者 求连续函数求连续函数 f(x)在闭区间在闭区间a,b上的最大上的最大(小小)值的方法值的方法:找出极值点和端点值比较就行找出极值点和端点值比较就行将闭区间将闭区间a,b内所有驻点和导数不存在的内所有驻点和导数不存在的区间端点区间端点的的就是就是 f(x)最值必在端最值必在端(2)点处达到点处达到.点点(即为即为极值嫌疑点极值嫌疑点)处的函数值和处的函数值和函数值函数值 f(a),f(b)比较比较,在闭区间在闭区间a,b上的最大上的最大(小小)值值.当当 f(x)在闭区间在闭区间a,b上上单调单调时时,41例例解解 因因驻点驻点:导数不存在的点导数不存在的点:xxxxf2)1(3132)(32231-=-42仅需计算仅需计算:比较得比较得:因因是偶函数是偶函数,最大值最大值为为最小值最小值为为驻点驻点:导数不存在的点导数不存在的点:
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