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3.1.3 概率的基本性质3.1.3 概率的基本性质概率的基本性质1.1.掌握事件的关系、运算与概率的性质；掌握事件的关系、运算与概率的性质；(重点重点)2.2.正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系区别与联系.(难点难点)1.掌握事件的关系、运算与概率的性质；掌握事件的关系、运算与概率的性质；(重点重点)集合知识回顾：集合知识回顾：1.1.集合之间的包含关系：集合之间的包含关系：BA2.2.集合之间的运算：集合之间的运算：BA（1 1）交集：）交集：ABAB（2 2）并集：）并集：A BA B（3 3）补集：）补集：BAABAABAB集合知识回顾：集合知识回顾：1.集合之间的包含关系：集合之间的包含关系：BA2.集合之间的运算集合之间的运算比如掷一个骰子，可以按如下定义事件，例如：比如掷一个骰子，可以按如下定义事件，例如：事件事件A A：出现：出现1 1点点事件事件B B：出现：出现2 2点点事件事件C C：出现：出现3 3点点事件事件D D：出现的点数小于或等于：出现的点数小于或等于3 3思考：事件思考：事件D D与事件与事件A,B,CA,B,C什么关系？什么关系？这样我们把每一个结果可看作元素，而每一个事件可看这样我们把每一个结果可看作元素，而每一个事件可看作一个集合作一个集合.因此，事件之间的关系及运算几乎等价于集合之间的关因此，事件之间的关系及运算几乎等价于集合之间的关系与运算系与运算.比如掷一个骰子，可以按如下定义事件，例如：事件比如掷一个骰子，可以按如下定义事件，例如：事件A：出现：出现1点事点事在掷骰子的试验中，我们可以定义许多事件，如：在掷骰子的试验中，我们可以定义许多事件，如：C C1 1=出现出现 1 1 点点 ；C C2 2=出现出现 2 2 点点；C C3 3=出现出现 3 3 点点 ；C C4 4=出现出现 4 4 点点 ；C C5 5=出现出现 5 5 点点；C C6 6=出现出现 6 6 点点 ；D D1 1=出现的点数不大于出现的点数不大于 1 1；D D2 2=出现的点数大于出现的点数大于3 3；D D3 3=出现的点数小于出现的点数小于 5 5；E=E=出现的点数小于出现的点数小于 7;7;F=F=出现的点数大于出现的点数大于 6;G=6;G=出现的点数为偶数出现的点数为偶数 ;H=H=出现的点数为奇数出现的点数为奇数 ;在掷骰子的试验中，我们可以定义许多事件，如：在掷骰子的试验中，我们可以定义许多事件，如：事件的关系与运算事件的关系与运算你能写出这个试验中出现的其他一些事件吗你能写出这个试验中出现的其他一些事件吗?你能类比集合与集合的关系、运算，探讨它们之间的关系你能类比集合与集合的关系、运算，探讨它们之间的关系与运算吗？与运算吗？事件的关系与运算事件的关系与运算思考思考1 1 事件事件C C1 1=出现出现1 1点点 与事件与事件H=H=出现的点数为奇数出现的点数为奇数 有什么关系？有什么关系？事件事件C C1 1发生，则事件发生，则事件H H也一定会发生，这时我们说事也一定会发生，这时我们说事件件H H包含事件包含事件C C1 1,记作记作H CH C1 1思考思考1 事件事件C1=出现出现1点点与事件与事件H=出现的点数为奇数出现的点数为奇数 一般地，对于事件一般地，对于事件A A与事件与事件B B，如果事件，如果事件A A发生，则事发生，则事件件B B一定发生，这时称事件一定发生，这时称事件B B包含事件包含事件A A（或称事件（或称事件A A包含包含于事件于事件B B）,记作记作与集合类比，如图：与集合类比，如图：注注:(:(1)1)不可能事件记作不可能事件记作(2)(2)任何事件都包含不可能事件任何事件都包含不可能事件.BA 一般地，对于事件一般地，对于事件A与事件与事件B，如果事件，如果事件A发生，则事发生，则事BA例例1 1 若若9090分以下记为优，某一学生数学测验成绩分以下记为优，某一学生数学测验成绩 记记A=95A=95分分100100分，分，B=B=优，优，说出说出A A、B B之间的关系之间的关系.例例1 若若90分以下记为优，某一学生数学测验成绩分以下记为优，某一学生数学测验成绩思考思考2 2 事件事件C C1 1=出现出现 1 1 点点 ,与事件与事件D D1 1=出现的点数出现的点数不大于不大于11有什么关系？有什么关系？如果事件如果事件C C1 1发生，那么事件发生，那么事件D D1 1一定发生，反过来也对一定发生，反过来也对,这时我们说这两个事件相等，记作这时我们说这两个事件相等，记作C C1 1=D=D1 1.思考思考2 事件事件C1=出现出现 1 点点,与事件与事件D1=若事件若事件A A发生必有事件发生必有事件B B发生；反之事件发生；反之事件B B发生必有事发生必有事件件A A发生，即若发生，即若B AB A，且，且A BA B，那么称事件，那么称事件A A与事件与事件B B相等，记为相等，记为 A=B.A=B.AB若事件若事件A发生必有事件发生必有事件B发生；反之事件发生；反之事件B发生必有事发生必有事AB思考思考3 3 事件事件=出现出现1 1点或点或5 5点点,事件事件C C1 1=出现出现1 1点点 与事与事件件C C5 5=出现出现5 5点点 有什么关系？有什么关系？若事件若事件C C1 1或或C C5 5发生，则事件发生，则事件K K发生，反过来，也正确发生，反过来，也正确.这时我这时我们称事件们称事件K K为事件为事件C C1 1与事件与事件C C5 5的并事件（或和事件），记作的并事件（或和事件），记作K=CK=C1 1CC5 5.思考思考3 事件事件=出现出现1点或点或5点点,事件事件C1=出现出现1点点A A 若某事件发生当且仅当事件若某事件发生当且仅当事件A A发生或事件发生或事件B B发生，则称此事发生，则称此事件为事件件为事件A A与事件与事件B B的并事件（或和事件）的并事件（或和事件）,记为记为 B B如图：如图：A 若某事件发生当且仅当事件若某事件发生当且仅当事件A发生或事件发生或事件B发生，则称此事发生，则称此事例例2 2 抽查一批零件抽查一批零件,记事件记事件A=“A=“都是合格品都是合格品”，B=“B=“恰有一件不合格品恰有一件不合格品”,C=“C=“至多有一件不合格品至多有一件不合格品”.说出事件说出事件A A、B B、C C之间的关系之间的关系.例例2 抽查一批零件抽查一批零件,记事件记事件A=“都是合格品都是合格品”，思考思考4 4 事件事件D D2 2=出现的点数大于出现的点数大于3 ,3 ,事件事件D D3 3=出现的点数小于出现的点数小于5 5 与事件与事件C C4 4=出现出现 4 4 点点 有什么关系？有什么关系？当事件当事件D D2 2发生且事件发生且事件D D3 3也发生时，事件也发生时，事件C C4 4发生发生.这时我这时我们称事件们称事件C C4 4为事件为事件D D2 2与事件与事件D D3 3的交事件（或积事件），的交事件（或积事件），记作记作C C4 4=D=D2 2DD3 3（或（或D D2 2D D3 3）.思考思考4 事件事件D2=出现的点数大于出现的点数大于3 ,B B 若某事件发生当且仅当事件若某事件发生当且仅当事件A A发生且事件发生且事件B B发生，则发生，则称此事件为事件称此事件为事件A A与事件与事件B B的交事件（或积事件），记作的交事件（或积事件），记作 A A如图：如图：B 若某事件发生当且仅当事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件发生且事件B发生，则发生，则 例例3 3 某项工作对视力的要求是两眼视力都在某项工作对视力的要求是两眼视力都在1.01.0以上以上.记记事件事件 A=“A=“左眼视力在左眼视力在1.01.0以上以上”事件事件 B=“B=“右眼视力在右眼视力在1.01.0以上以上”事件事件 C=“C=“视力合格视力合格”说出事件说出事件A A、B B、C C的关系的关系.例例3 某项工作对视力的要求是两眼视力都在某项工作对视力的要求是两眼视力都在1.0以上以上.记事件记事件思考思考5 5 事件事件I=I=出现的点数大于出现的点数大于5 5 与与 事件事件D D3 3=出现的点数小于出现的点数小于5 5 有什么关系？有什么关系？事件事件I I和事件和事件D D3 3不会同时发生不会同时发生.思考思考5 事件事件I=出现的点数大于出现的点数大于5 与与 事件的互斥事件的互斥若若ABAB为不可能事件（为不可能事件（），那么称事件），那么称事件A A与与事件事件B B互斥，其含义是：事件互斥，其含义是：事件A A与事件与事件B B在任何一次试验中不在任何一次试验中不会同时发生会同时发生.AB如图：如图：事件的互斥如图：事件的互斥如图：思考思考6 6 事件事件G=G=出现的点数为偶数出现的点数为偶数 与与 事件事件H=H=出现的点数为奇数出现的点数为奇数 有什么关系？有什么关系？GH=,GH=GH=,GH=必然事件，即事件必然事件，即事件G,HG,H中必有一个发生中必有一个发生.互为对立事件互为对立事件.思考思考6 事件事件G=出现的点数为偶数出现的点数为偶数与与对立事件对立事件 若若ABAB为不可能事件，为不可能事件，ABAB为必然事件，那么称事为必然事件，那么称事件件A A与事件与事件B B互为对立事件互为对立事件.其含义是：事件其含义是：事件A A与事件与事件B B在在任何一次试验中有且仅有一个发生任何一次试验中有且仅有一个发生.A AB B如图：如图：对立事件对立事件AB如图：如图：例例4 4 判断下面给出的每对事件是互斥事件还是对立事件判断下面给出的每对事件是互斥事件还是对立事件.从从4040张扑克牌（四种花色从张扑克牌（四种花色从1 110 10 各各1010张）中任取一张张）中任取一张:“抽出红桃抽出红桃”和和“抽出黑桃抽出黑桃”；“抽出红色牌抽出红色牌”和和“抽出黑色牌抽出黑色牌”.互斥事件互斥事件对立事件对立事件例例4 判断下面给出的每对事件是互斥事件还是对立事件判断下面给出的每对事件是互斥事件还是对立事件.从从40(1)(1)对立事件是一种特殊的互斥事件，两个事件对立，则对立事件是一种特殊的互斥事件，两个事件对立，则两个事件必是互斥事件；反之，两事件是互斥事件，未必两个事件必是互斥事件；反之，两事件是互斥事件，未必是对立事件是对立事件.(2)(2)事件事件A A的对立事件常记为的对立事件常记为(1)对立事件是一种特殊的互斥事件，两个事件对立，则两个事件对立事件是一种特殊的互斥事件，两个事件对立，则两个事件事件与集合之间有怎样的对应关系？事件与集合之间有怎样的对应关系？集合是集合是A A的补集的补集事件与集合之间有怎样的对应关系？事件与集合之间有怎样的对应关系？集合是集合是A的补集的补集概率的几个基本性质概率的几个基本性质（1 1）任何事件的概率的范围：）任何事件的概率的范围：不可能事件的概率是不可能事件的概率是P(A)=0;P(A)=0;必然事件的概率是必然事件的概率是P(A)=1.P(A)=1.概率的几个基本性质概率的几个基本性质（2 2）概率的加法公式）概率的加法公式 (互斥事件同时发生的概率互斥事件同时发生的概率)当事件当事件A A与事件与事件B B互斥时，互斥时，ABAB的频率的频率f fn n(AB)=f(AB)=fn n(A)+f(A)+fn n(B)(B)由此得到概率的加法公式：由此得到概率的加法公式：如果事件如果事件A A与事件与事件B B互斥，则互斥，则P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B)互斥事件互斥事件（2）概率的加法公式）概率的加法公式(互斥事件同时发生的概率互斥事件同时发生的概率)互斥事件互斥事件（3 3）对立事件的概率）对立事件的概率当事件当事件A A与与B B对立时对立时,A,A发生的概率为发生的概率为P(A)=1-P(B)P(A)=1-P(B)当一个事件的概率不容易直接求出，但其对立事件的当一个事件的概率不容易直接求出，但其对立事件的概率容易求时，可运用此公式概率容易求时，可运用此公式.即即“正难则反正难则反”.计算带来计算带来方便方便（3）对立事件的概率计算带来方便）对立事件的概率计算带来方便例例5 5 如果从不包括大小王的如果从不包括大小王的5252张扑克牌中随机抽取一张，张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件那么取到红心（事件A)A)的概率是的概率是 ，取到方片（事件，取到方片（事件B B）的）的概率是概率是问：（问：（1 1）取到红色牌（事件）取到红色牌（事件C C）的概率是多少？）的概率是多少？（2 2）取到黑色牌）取到黑色牌(事件事件D D）的概率是多少？）的概率是多少？例例5 如果从不包括大小王的如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，张扑克牌中随机抽取一张，(2011(2011东北师大附中模拟东北师大附中模拟)下列命题：下列命题：将一枚硬币抛将一枚硬币抛两次，设事件两次，设事件M:“M:“两次出现正面两次出现正面”，事件，事件N N：“只有一只有一次出现反面次出现反面”，则事件，则事件M M与与N N互为对立事件互为对立事件.若事件若事件A A与与B B互为对立事件，则事件互为对立事件，则事件A A与与B B为互斥事件为互斥事件.若事件若事件A A与与B B为互斥事件，则事件为互斥事件，则事件A A与与B B互为对立事件互为对立事件.若事件若事件A A与与B B互为对立事件，则事件互为对立事件，则事件ABAB为必然事件为必然事件.其中，真命题其中，真命题是是()()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)(2011东北师大附中模拟东北师大附中模拟)下列命题：下列命题：将一枚硬币抛两次，将一枚硬币抛两次，解析：解析：选选B.B.对对，将一枚硬币抛两次，共出现，将一枚硬币抛两次，共出现 正，正正，正，正，反正，反，反，正反，正，反，反反，反 四种结果，则事件四种结果，则事件M M与与N N是互斥事件，但不是对立事件，故是互斥事件，但不是对立事件，故错错.对对,对立对立事件首先是互斥事件，故事件首先是互斥事件，故正确正确.对对,互斥事件不一定互斥事件不一定是对立事件是对立事件,如如中两个事件，故中两个事件，故错错.对对,事件事件A A、B B为对立事件，则在一次试验中为对立事件，则在一次试验中A A、B B一定有一个要发生，一定有一个要发生，故故正确正确.解析：选解析：选B.对对，将一枚硬币抛两次，共出现，将一枚硬币抛两次，共出现正，正正，正，正，正，1.(20111.(2011临沂模拟临沂模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，若生产中出现乙级品的概率为丙均属于次品，若生产中出现乙级品的概率为0.030.03，丙级，丙级品的概率为品的概率为0.010.01，则对成品抽查一件，恰好得正品的概率，则对成品抽查一件，恰好得正品的概率为为()()(A)0.99 (B)0.98 (C)0.97 (D)0.96(A)0.99 (B)0.98 (C)0.97 (D)0.96解析：解析：记事件记事件A=A=甲级品甲级品，B=B=乙级品乙级品，C=C=丙级品丙级品.事件事件A A、B B、C C彼此互斥，且彼此互斥，且A A与与BCBC是对立事件是对立事件.所以所以P(A)=P(A)=1-P(BC)=1-P(B)-P(C)=1-0.03-0.01=0.96.1-P(BC)=1-P(B)-P(C)=1-0.03-0.01=0.96.D D1.(2011临沂模拟临沂模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、D2.2.（20112011江苏高考）从江苏高考）从1 1，2 2，3 3，4 4这四个数中一次随这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是机地取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是_解析：解析：从从1 1，2 2，3 3，4 4这四个数中一次随机取两个数，共有这四个数中一次随机取两个数，共有（1,21,2），（），（1,31,3），（），（1,41,4），（），（2,32,3），（），（2,42,4），），（3,43,4）6 6个基本事件，其中一个数是另一个数的两倍的有个基本事件，其中一个数是另一个数的两倍的有（1,21,2），（），（2,42,4）2 2个基本事件，所以其中一个数是另个基本事件，所以其中一个数是另一个的两倍的概率是一个的两倍的概率是 【答案答案】2.（2011江苏高考）从江苏高考）从1，2，3，4这四个数中一次随这四个数中一次随3.3.某检查员从一批产品中抽取某检查员从一批产品中抽取8 8件进行检查，记录其中的次件进行检查，记录其中的次品数品数,记：记：A=A=次品数少于次品数少于5;B=5;B=次品数恰为次品数恰为22C=C=次品数多于次品数多于3;D=3;D=次品数至少为次品数至少为11试写出下列事件的基本事件组成：试写出下列事件的基本事件组成：AB,AC,BC;AB,AC,BC;3.某检查员从一批产品中抽取某检查员从一批产品中抽取8件进行检查，记录其中的次品数件进行检查，记录其中的次品数,4.4.从某班级中随机抽查一名学生，测量他的身高，记从某班级中随机抽查一名学生，测量他的身高，记事件事件 A=“A=“身高在身高在1.70 m 1.70 m 以上以上”，B=“B=“身高不高于身高不高于1.70 m”1.70 m”说出事件说出事件A A与与B B的关系的关系.事件事件A A与与B B互为对立事件互为对立事件.4.从某班级中随机抽查一名学生，测量他的身高，记从某班级中随机抽查一名学生，测量他的身高，记5.5.甲、乙两人下棋，若和棋的概率是甲、乙两人下棋，若和棋的概率是0.50.5，乙获胜的概，乙获胜的概率是率是0.3.0.3.求求：（1 1）甲获胜的概率；）甲获胜的概率；（2 2）甲不输的概率）甲不输的概率.解解：(1)(1)“甲获胜甲获胜”是是“和棋或乙获胜和棋或乙获胜”的对立事件的对立事件,甲获胜的概率为：甲获胜的概率为：1 1（0.5+0.30.5+0.3）=0.2;=0.2;(2)(2)设事件设事件A=A=甲不输甲不输，B=B=和棋和棋，C=C=甲获胜甲获胜 则则A=BC,A=BC,因为因为B,CB,C是互斥事件，是互斥事件，所以所以 P(A)=P(B)+P(C)=0.5+0.2=0.7.P(A)=P(B)+P(C)=0.5+0.2=0.7.5.甲、乙两人下棋，若和棋的概率是甲、乙两人下棋，若和棋的概率是0.5，乙获胜的概率是，乙获胜的概率是0.概率的基本性质概率的基本性质事件的关系与运算事件的关系与运算包含关系包含关系概率的基本性质概率的基本性质相等关系相等关系并并(和和)事件事件交交(积积)事件事件互斥事件互斥事件对立事件对立事件必然事件的概率为必然事件的概率为1 1不可能事件的概率为不可能事件的概率为0 0概率的加法公式概率的加法公式对立事件概率计算公式对立事件概率计算公式0P(A)10P(A)11.1.概率的基本性质框架图概率的基本性质框架图概率的基本性质事件的关系与运算包含关系概率的基本性质相等关系概率的基本性质事件的关系与运算包含关系概率的基本性质相等关系2.2.概率的基本性质概率的基本性质(1)0P(A)1;(1)0P(A)1;(2)(2)当事件当事件A A、B B互斥时，互斥时，P(AB)=P(A)+P(B);P(AB)=P(A)+P(B);(3)(3)当事件当事件A A、B B对立时，对立时，P(AB)=P(A)+P(B)=1P(AB)=P(A)+P(B)=1或或P(A)=1-P(B).P(A)=1-P(B).2.概率的基本性质概率的基本性质
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