数学中使用的一般科学方法课件

第二章第二章数学中使用的一般数学中使用的一般科学方法科学方法在在科科学学的的发发展展过过程程中中，凡凡是是对对人人类类的的认认识识产产生生过过积积极极作作用用的的思思想想家家，不不论论是是哲哲学学家家或或是是科科学学家家，都都对对科科学学中中的的思思想想方方法法和和研研究究方方法法进进行行过过考考察察与与分分析析，科科学学方方法法就就是是在在他他们们的的研研究究和探索中诞生的。和探索中诞生的。综综观观人人类类的的科科学学认认识识史史，大大凡凡以以算算法法为为主主导导的的数数学学发发展展时时期期，人人们们常常常常将将数数学学归归并并到到自自然然科科学学范范畴畴之之内内，而而在在以以演演绎绎为为主主导导的的数数学学发发展时期，人们则将数学独立于自然科学之外。展时期，人们则将数学独立于自然科学之外。第二章第二章数学中使用的一般数学中使用的一般科学方法科学方法在在当当代代，由由于于计计算算机机的的出出现现以以及及由由此此引引起起一一场场迅迅猛猛的的技技术术革革命命，数数学学中中“构构造造性性观观念念的的抬抬头头有有了了一一些些明明显显的的趋趋势势。”（吴吴文文俊俊），而而这这种种趋趋势势致致使使数数学学及及数数学学教教育育界界过过分分偏偏重重形形式式，强强调调逻逻辑辑思思维维能能力力，忽忽视视了了数数学学的的活活的的灵灵魂魂，对对于于使用逻辑方法以外的科学方法不予重视。使用逻辑方法以外的科学方法不予重视。第二章第二章 数学中使用的一般数学中使用的一般科学方法科学方法20世世 纪纪 最最 伟伟 大大 的的 数数 学学 家家 冯冯 诺诺 伊伊 曼曼（J.Von.Neumann）在在内内的的许许多多大大数数学学家家都都认认为为数数学学和和其其他他自自然然科科学学一一样样源源于于经经验验。冯冯诺诺伊伊曼曼就就曾曾指指出出：“大大多多数数最最好好的的数数学学灵灵感感来来源源于于经经验验”，“在在一一门门数数学学远远离离其其经经验验之之源源而而发发展展时时，存存在在着着一一种种危危险险，即即这这门门学学科科会会沿沿着着一一些些最最省省力力的的方方向向发发展展，并并分分为为数数众众多多而而无无意意义义的的支支流流。唯唯一一的的解解决决办办法法是是使使其其回回到到其其本本源源，返老还童。返老还童。”（引自（引自数学家谈数学本质数学家谈数学本质）第二章第二章 数学中使用的一般数学中使用的一般科学方法科学方法菲菲尔尔兹兹奖奖获获得得者者，日日本本数数学学家家小小平平邦邦彦彦说说过过：“物物理理学学可可以以说说是是研研究究自自然然现现象象中中物物理理现现象象的的科科学学，在在同同样样的的意意义义上上，数数学学就就是是研研究究自自然然现现象象中中数数学学现现象象的的科科学学。”由由此此可可见见，在在数数学学研研究究和和解解题题中中广广泛泛运运用用一一般般科科学学方方法法是是不不可可避避免免的的。因因为为数数学学的的研研究究对对象象是是形形式式化化的的思思想想材材料料，尽尽管管它它起起源源于于经经验验，有有的的直直接接依依赖赖于于经经验验，但但毕毕竞竞舍舍弃弃了了事事物物的的具具体体内内容容。因因此此，数数学学在在使使用用一一般般科科学学方方法法时时，必必然然有有所所侧侧重重，具具有自己的特点。有自己的特点。2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 一一般般的的科科学学方方法法中中，观观察察和和实实验验是是收收集集科科学学事事实实，获获取取感感性性经经验验的的基基本本途途经经，是是形形成成、发发展展和和检检验验自自然然科科学学理理论论的的实实践践基基础础。观观察察与与实实验验在在数数学学研研究究中中也也是是一一种种最最基基本本的的主主要要方方法法之一。之一。观察察是是人人们对事事物物或或问题的的数数学学特特征征通通过视觉获得得信信息息，运运用用思思维辩认其其形形式式、结构构和和数数量量关关系系，从从而而发现某某些些规律律或或性性质、获获得得科科学知识与经验知识学知识与经验知识的的重要重要方法。方法。2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 尽尽管管观观察察是是最最原原始始最最基基本本的的方方法法之之一一，但但它它是是进进行行数数学学思思维维必必须须的的和和第第一一位位的的方方法法，在在数数学学知知识识的的发发现现和和数数学学问问题题的的解解决决过过程程中中，观观察也是常用的有效方法之一。察也是常用的有效方法之一。数数学学中中的的观观察察按按观观察察的的特特征征可可分分为为定定性性观观察察（对对对对象象的的特特征征、性性质质、关关系系的的观观察察）和和定定量观察（对对象间的数量关系的观察）两种。量观察（对对象间的数量关系的观察）两种。2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 在在数数学学活活动动中中，常常常常通通过过观观察察来来收收集集新新材材料料，发发现现新新事事实实，并并通通过过观观察察可可以以认认识识数数学学的的本质、揭示数学的规律、探求数学方法。本质、揭示数学的规律、探求数学方法。数数学学活活动动中中的的观观察察有有利利于于发发现现数数学学对对象象的的特特征征、性性质质与与关关系系，发发现现数数学学命命题题。在在数数学学中中靠靠观观察察获获得得的的命命题题（或或猜猜想想）很很多多。例例如如，哥哥德巴赫猜想、费马大定理等都是由观察提出的。德巴赫猜想、费马大定理等都是由观察提出的。2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 再再如如：设设f f为为整整数数n n的的素素数数因因子子的的个个数数，按按f f的的偶偶性性或或奇奇性性分分别别称称为为“偶偶分分解解”或或“奇奇分分解解”，如如30=23530=235为为奇奇分分解解，而而60=223560=2235为偶分解。则：为偶分解。则：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 偶偶 奇奇 奇奇 偶偶 奇奇 偶偶 奇奇 奇奇 偶偶 偶偶 11 12 13 14 15 1611 12 13 14 15 16 奇奇 奇奇 奇奇 偶偶 偶偶 偶偶2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 通通过过观观察察可可猜猜测测：奇奇分分解解与与偶偶分分解解的的个个数数大大致致相相等等。现现已已证证明明：在在前前n n个个整整数数中中，当当n n很很大时，偶分解和奇分解大约一样多。大时，偶分解和奇分解大约一样多。GG波波利利亚亚曾曾试试到到n=1500n=1500，并并猜猜想想n n22时时，在在前前n n个个整整数数中中，偶偶分分解解从从不不占占多多数数。数数学学家家DHDH兰兰姆姆曾曾一一直直算算到到n=600000n=600000时时，波波利利亚亚的的猜猜想仍成立。但至今尚未证明。想仍成立。但至今尚未证明。2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 欧欧拉拉曾曾经说过：“今今天天人人们所所知知道道的的数数的的性性质，几几乎乎都都是是由由观察察所所发现的的，并并且且早早在在用用严格格论证确确认其其真真实性性之之前前就就被被发现了了。甚甚至至到到现在在还有有许多多关关于于数数的的性性质是是我我们所所熟熟悉悉而而不不能能证明明的的；只只有有观察察才才使使我我们知知道道这些些性性质。因因此此我我们认识到到，在在仍仍然然是是很很不不完完善善的的数数论中中，还得得把把最最大大的的希希望望寄寄托托在在观察察之之中中；这些些观察察将将导致致我我们继续获得得以以后后尽尽力力予予以以证明明的的新新的的性性质。”2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 欧欧拉拉又又指指出出了了观察察的的局局限限性性，告告诫人人们要要把把“这类仅从从观察察为旁旁证而而仍仍未未被被证明明的的知知识，必必须谨慎慎地地与与真真理理区区别开开来来，”“”“不不要要轻易易地地把把观察察所所发现的的和和仅从从归纳为旁旁证的的关关于于数数的的那那样一一些些性性质信以信以为真。真。”数数学学解解题题过过程程中中，观观察察有有利利于于探探索索发现解决问题的思路，预见题目的结果。发现解决问题的思路，预见题目的结果。2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 数数学学解解题题中中的的观观察察比比一一般般的的审审题题和和分分析析的的意意义义更更深深远远，往往往往贯贯穿穿整整个个解解题题过过程程的的始始终终。一一般般来来说说，在在数数学学解解题题过过程程中中，前前一一个个观观察察所所获获得得的的感感知知又又为为下下一一个个观观察察提提供供了了条条件件，观观察察不不断断深深入入，从从而而洞洞察察问问题题的的本本质质。观观察察包包含含对对数数学学问问题题的的精精密密细细致致的的考考察察，以以及及积积极极合合理理的思索。的思索。2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 实实验验是是根根据据研研究究问问题题的的需需要要，按按照照研研究究对对象象的的自自然然状状态态和和客客观观规规律律，人人为为地地变变革革、控控制制和和模模拟拟客客观观对对象象，在在有有利利的条件下获取经验材料的研究方法。的条件下获取经验材料的研究方法。实实验验方方法法有有助助于于数数学学理理论论的的研研究究与与发发展展；有有助助于于启启发发数数学学解解题题思思路路；有有助助于在数学教学中创设思维情景。于在数学教学中创设思维情景。2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 由由于于实实验验总总是是和和观观察察相相互互联联系系，观观察察常常常常可可用用实实验验作作基基础础，而而实实验验又又可可使使观观察察得得到到的的性性质质或或规规律律得得以以重重现现或或验验证证，实实验验乃乃观观察察的的发发展展与与深深化化。而而实实验验比比观观察察有有更更大大的的优优越越性性，主主要要表表现现在在以以下下两两个方面：个方面：2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 （1 1）实验方方法法具具有有简化化和和纯化化数数学学对象象的的作作用用。因因为实验可可借借助助专门仪器器工工具具，人人为地地变更更、控控制制和和模模拟客客观对象象，因因而而能能把把握握实验者者的的需需要要，突突出出某某些些主主要要因因素素，排排除除或或减减少少其其他他次次要要的的、偶偶然然因因素素的的干干扰，使使研研究究对象象中中为研研究究者者所所需需要要的的某某些些属属性性或或关关系系在在简化化、纯化化的的形形态下暴露出来，从而准确地下暴露出来，从而准确地认识它。它。2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 （2 2）实验方方法法可可以以重重复复进行行或或多多次次再再现被被研研究究的的对象象，以以便便进行行反反复复的的观察察。数数学学不不是是实验性性的的科科学学，因因此此不不能能将将观察察到到的的结果果、实验性性的的验证作作为判判断断数数学学命命题的的真真假假性性的的充充分分依依据据，但但它它们在在数数学学发现及及探探求求数数学学问题的的解解决决思思路路的的过程是起着重要作用的程是起着重要作用的。2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 观观察察和和实实验验是是数数学学思思维维的的基基本本方方式式，在在发发现现数数学学问问题题、探探求求解解决决问问题题的的方方法法中都有重要作用。中都有重要作用。欧欧拉拉也也曾曾指指出出：“数数学学这这门门学学科科，需要观察，也需要实验。需要观察，也需要实验。”下下面面我我们将将通通过一一些些例例子子来来说明明观察与察与实验在数学研究中的重要作用。在数学研究中的重要作用。2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验例例1 1、兔子繁殖问题、兔子繁殖问题 1313世世纪初初，意意大大利利数数学学家家裴裴波波那那契契在在他他所所著著的的算算盘书中中，提提出出了了一一个个十十分分有有趣趣的的题目：目：“有有一一个个人人把把一一对对小小兔兔子子放放在在四四面面都都围围着着的的地地方方，他他想想知知道道一一年年以以后后总总共共有有多多少少对对兔兔子子。假假定定一一对对小小兔兔子子经经过过一一个个月月以以后后就就长长大大成成为为一一对对大大兔兔子子。而而一一对对大大兔兔子子经经过过一一个个月月就就不不多多不不少少恰恰好好生生一一对对小小兔兔子子（一一雌雌一一雄雄），并并且且这这些些生下的小兔子都不死。生下的小兔子都不死。”2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 这是一个算术问题，但是用普通的算术公这是一个算术问题，但是用普通的算术公式是难以计算的，为了寻求兔子繁殖的规律，式是难以计算的，为了寻求兔子繁殖的规律，我们引进记号：我们引进记号：1表示已长大成熟的一对大兔子；表示已长大成熟的一对大兔子；0表示未成熟的一对小兔子；表示未成熟的一对小兔子；用用 表示在表示在n月月1日总共有兔子的对数，用日总共有兔子的对数，用 分别表示分别表示n月月1日大兔子的对数和小兔子日大兔子的对数和小兔子的对数，则通过观察得到兔子的繁殖规律列成的对数，则通过观察得到兔子的繁殖规律列成下表下表:2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验观察观察此表可得：此表可得：n123456701123581011235112358 132.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 进一步考虑，又可得：进一步考虑，又可得：（1 1）2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验（2 2）由由以以上上观察察和和归纳所所得得的的结果果，我我们们有有理理由由猜猜想想兔兔子子的的繁繁殖殖规规律律可可以以用用一一个个明确的递推关系来描述，即明确的递推关系来描述，即2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 上上面面的的结果果纯粹粹是是建建立立在在观察察和和实验的的基基础之之上上的的，是是否否带有有普普遍遍意意义，亦亦即即对一一切切结论是否成立，是否成立，还需要需要进行行严格格论证。对于于递推关系式推关系式 其其正正确确性性是是肯肯定定的的，这可可以以用用数数学学归纳法法加加以以证明明，后后人人为纪念念兔兔子子繁繁殖殖问题的的提提出出人人，将将数数列列称称为裴裴波波那那契契数数列列，这个个数数列列的的每每一一项都都叫叫做做裴裴波波那那契契数数，裴裴波波那那契契数数列列在在数数学学、物物理理、化化学学、天天文文等等学学科科中中经常常出出现，并并且且有有许多多有有趣的性趣的性质。2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 当当代代最最著著名名的的数数学学教教育育家家波波利利亚所所说：“数数学学家家好好似似自自然然科科学学家家，在在他他用用一一个个新新观察察到到的的现象象来来检验一一个个所所猜猜想想的的一一般般规律律时，他他向向自自然然界界提提出出问题：我我猜猜想想这规律律是是真真的的，它它真真的的成成立立吗？假假如如结果果被被实验明明确确证实，那那就就有有某某些些迹迹象象说明明这个个规律律可可能能是是真真实的的，自自然然界界可以可以给你是或非的回答。你是或非的回答。”2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验例例2 2、投针问题、投针问题 17771777年，法国科学家蒲丰提出并解决了一年，法国科学家蒲丰提出并解决了一个概率问题：投针问题。这个问题给人们以巨个概率问题：投针问题。这个问题给人们以巨大的启迪：数学与实验不仅有缘，而且有着十大的启迪：数学与实验不仅有缘，而且有着十分密切的关系。投针问题用数学语言表述如下：分密切的关系。投针问题用数学语言表述如下：平平面面上上画画着着一一些些间间隔隔为为 的的一一组组平平行行线线，在在平平面面上上随随机机的的投投掷掷一一枚枚长长为为 并并且且质质量量均均匀匀的的针，假定针，假定 ，试求此针与平行线相交的概率。，试求此针与平行线相交的概率。2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 从几何概率来看，投针问题的解法是：用从几何概率来看，投针问题的解法是：用M表示针的中点，表示针的中点，X表示表示M到与它最近的一条平行到与它最近的一条平行线的距离，线的距离，表示针与这一平行线的交角（图表示针与这一平行线的交角（图2.1）。）。图2.1a2那么那么决定了平面上一个矩形决定了平面上一个矩形S；同时为了使针与一平同时为了使针与一平行线相交，当且仅当行线相交，当且仅当X，满足不等式满足不等式2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 于于是是，我我们们的的问问题题就就等等价价于于在在S S中中随随机机地地掷掷一一点点，求求此此点点落落在在区区域域A A中中的的概概率率（图图2.22.2）由由积积分分的的几几何何意意义义可可知知，区区域域A A的面积是的面积是 故所求的概率故所求的概率A图2.22.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 投针问题的结果，提供了用实验方法求投针问题的结果，提供了用实验方法求 值值的的理理论论依依据据。设设n是是投投针针的的总总次次数数，m是是针针与平行线之一相交的次数，与平行线之一相交的次数，由概率的统计定由概率的统计定义，义，近似等于近似等于 ，于是得，于是得 在历史上，有不少人利用上述结果做过实在历史上，有不少人利用上述结果做过实验。验。18501850年，瑞士数学家沃尔夫在苏黎世，用年，瑞士数学家沃尔夫在苏黎世，用一根长一根长36mm36mm的针，平行线的距离为的针，平行线的距离为45mm45mm，投掷投掷了了50005000次，得到的近似值为次，得到的近似值为3.15963.1596。18551855年，英国人史密斯投掷了年，英国人史密斯投掷了32003200次，得次，得到的近似值到的近似值3.15533.1553。18641864年，英国人福克斯投年，英国人福克斯投郑了了11001100次。得次。得到的近似到的近似值为3.14193.1419。19011901年，意大利拉泽里尼投郑了年，意大利拉泽里尼投郑了34803480次，次，得到的值准确到第六位小数，但有人对些结果得到的值准确到第六位小数，但有人对些结果持怀疑态度。持怀疑态度。2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 蒲丰投针实验提示了数学方法的多蒲丰投针实验提示了数学方法的多样性和灵活性，投针问题被认为是数学样性和灵活性，投针问题被认为是数学史上最早的几何概率的研究成果。史上最早的几何概率的研究成果。由于由于几何概率的研究要以有关图形集合的测几何概率的研究要以有关图形集合的测度为基础，因而自然要导致积分几何的度为基础，因而自然要导致积分几何的建立。建立。2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 在现代，由于大型电子计算机的出现，一在现代，由于大型电子计算机的出现，一种新型的数学实验近似计算方法种新型的数学实验近似计算方法蒙特卡罗蒙特卡罗方法方法迅速地发展起来。这种方法以概率和统计迅速地发展起来。这种方法以概率和统计的理论、方法为基础，将所求的问题同一定的的理论、方法为基础，将所求的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。多用于求繁难或抽样，以获得问题的近似解。多用于求繁难的积分。解线性方程组、偏微分方程等问题。的积分。解线性方程组、偏微分方程等问题。下面来说明这种方法的基本思路。下面来说明这种方法的基本思路。2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 例如要计算积分例如要计算积分 的值。的值。由由积积分分的的几几何何意意义义就就是是要要求求计计算算图图2.3中中的的区域区域A的面积。即的面积。即xy110SA图2.3=区域区域A的面积的面积 由几何概率的定义，这就相当于由几何概率的定义，这就相当于“向正方形向正方形S中随机地掷一点中随机地掷一点”，求此点落在区域，求此点落在区域A中的概率中的概率 ，又由概率的统计定义，为求得，又由概率的统计定义，为求得 的近似值，只的近似值，只要求得此点落在区域要求得此点落在区域A中的频率，即中的频率，即2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 随机地掷一点于正方形的试验可以由计随机地掷一点于正方形的试验可以由计算机来做，并且可以由计算机来算出算机来做，并且可以由计算机来算出n次试验次试验中落在区域中落在区域A的频率的频率概率的近似值，也就概率的近似值，也就是积分是积分 的近似值。当试验次数的近似值。当试验次数n充分充分大时，它与大时，它与 的误差可以很大的概率控制在的误差可以很大的概率控制在所需要的精确度内。由于大型计算机的运算所需要的精确度内。由于大型计算机的运算速度很快，所以可在很短的时间内求得所要速度很快，所以可在很短的时间内求得所要求的结果。求的结果。2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 人人们们在在学学习习数数学学或或解解决决数数学学问问题题的的过过程程中中，也也免免不不了了观观察察和和实实验验。而而决决定定观观察察与与实实验验的的质质量量的的主主要要条条件件是是目目的的性性、计计划划性性、全全面面性性以以及及主主体体的的良良好好知知识识结结构构。深深入入的的观观察察和和良良好好的的实实验验可可引引起起广广泛泛的的联联想想和和知知识识迁迁移移，使使我我们们不不断断地地调调整整步步骤骤，通通过过简简单单的的情情形形，去去理理解解和和发发现现研研究究对对象象的的性性质质和和规规律律，还还可可使使我我们们更更快快地地产产生顿悟，找到解决问题的关键。生顿悟，找到解决问题的关键。2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 例如，为了得到例如，为了得到 “三三角角形形内内角角之之和和等等于于180180o o”这这个个定定理理，我我们们可可通通过下面的两个实验：过下面的两个实验：一一是是用用量量角角器器分分别别测测量量三三个个内内角角的的大大小小，然然后后求求和；和；图2.4ABCD 二是在纸上裁下一个三角形（记为二是在纸上裁下一个三角形（记为ABC）如图）如图2.4所示，剪下所示，剪下A与与B，把它们和把它们和C拼在一起。这时可发现拼在一起。这时可发现CD恰好为恰好为BC之延长线。通过实验，不仅帮之延长线。通过实验，不仅帮助我们建立命题，而且实验二还指出了这助我们建立命题，而且实验二还指出了这个命题证明方法的启示。个命题证明方法的启示。2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 例例3 3、如如果果正正整整数数N N（N N1 1）的的正正约数数的个数是奇数，求的个数是奇数，求证N N是完全平方数。是完全平方数。此此题题的的证证明明方方法法并并不不显显然然，我我们们可可以以做做一一个个实实验验，去去观观察察n n个个特特殊殊的的正正整整数数，其其中中包包括括一一些些非非完完全全平平方方数数和和一一些些完完全全平平方方数数，考考虑虑它它们们的的正正约约数数的的个个数数呈呈现现什么规律，这些规律是怎样产生的？什么规律，这些规律是怎样产生的？2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验对非完全平方数的正约数个数的观察对非完全平方数的正约数个数的观察N正约数正约数个数2356712301，21，31，51，2，3，61，71，2，3，4，6，121，2，3，5，6，10，15，3022242682.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验对完全平方数的正约数个数的观察对完全平方数的正约数个数的观察N正约数正约数个数491625361001961，2，41，3，91，2，4，8，161，5，251，2，3，4，6，9，12，18，361，2，4，5，10，20，25，50，1001，2，4，7，14，28，49，98，19633539992.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 通通过过观观察察，我我们们得得到到：对对非非完完全全平平方方数数来来说说，它它们们的的正正约约数数序序列列中中，距距首首未未两两端端等等距距离离的两个正约数的乘积为的两个正约数的乘积为N N，如如 12=112=26=3412=112=26=34；对对完完全全平平方方数数来来说说，它它们们的的正正约约数数序序列列中中，除除了了首首未未两两端端等等距距离离的的两两个个正正约约数数的的乘乘积积为为N N之外，中间还剩一个正约数，如之外，中间还剩一个正约数，如 36=136=218=312=49=636=136=218=312=49=62 22.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 以以上上实验，也也使使我我们更更加加确确信信：正正约数数的的个个数数是是偶偶数数的的正正整整数数必必为非非完完全全平平方方数数；正正约数数的的个个数数是是奇奇数数的的正正整整数数必必为完全平方数。完全平方数。根根据据实验中中我我们所所观察察到到的的正正整整数数的的正正约数数的的个个数数规律律的的启启示示，得得到到本本例例的的证法如下：法如下：2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验习题习题1、用数学用数学归纳法法证明裴波那契数列明裴波那契数列的递的递推关系式：推关系式：并求出并求出裴波那契数列裴波那契数列的通项。的通项。2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 比比较较是是确确定定有有关关事事物物的的共共同同点点和和不不同同点点的的思维方法。思维方法。比比较的的过程程是是先先对有有关关事事物物进行行分分析析，区区别每每个个事事物物各各方方面面的的特特征征，再再将将有有关关事事物物按按其其特特征征进行行对比比，得得出出哪哪些些方方面面具具有有共共同同性性，哪哪些些方方面面又又有有区区别性性，从从而而鉴别这些些事事物物间的的异异同同，比比较是是概概括括的的基基础，通通过抽抽象象得得出出的的属属性性是在比是在比较以后才能以后才能认识其共性的。其共性的。2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 比比较较可可以以在在相相同同或或相相异异的的对对象象之之间间进进行行，也可以在同类对象的不同方面进行。也可以在同类对象的不同方面进行。通通过过比比较较，可可以以从从思思想想上上把把握握现现实实世世界界对对象象的的本本质质特特征征和和非非本本质质特特征征，反反映映客客观观事事物物相相互互对对立立又又相相互互联联系系而而存存在在的的实实际际情情况况，达达到到正正确确认认识识事事物物的的目目的的。正正如如俄俄国国教教育育家家乌乌申申斯斯基基所所说说：“比比较较是是一一切切理理解解和和一一切切思思维维的的基基础础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的我们正是通过比较来了解世界上的一切的”。2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类在人们的社会实践，特别是在科学研究中，在人们的社会实践，特别是在科学研究中，比较作为一种科学方法普遍地被应用。比较作为一种科学方法普遍地被应用。在数学研究中通过比较方法确定研究对象在数学研究中通过比较方法确定研究对象的共同点和差异点，为开发新的研究领域提供的共同点和差异点，为开发新的研究领域提供指导与线索。数学中的许多发现都是应用比较指导与线索。数学中的许多发现都是应用比较方法完成的。方法完成的。数数学学中中的的比比较较是是多多方方面面的的，有有量量的的大大小小的的比比较较，有有形形式式结结构构关关联联的的比比较较，也也有有实实质质方方面面的的比比较较。比比较较的的目目的的是是把把握握有有关关事事物物的的区区别别和和联系，达到正确认识事物。联系，达到正确认识事物。2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 例如，数学家们发现，除欧几里得几何之外，还例如，数学家们发现，除欧几里得几何之外，还存在两种非欧几里得几何，对于欧几里得存在两种非欧几里得几何，对于欧几里得几何几何原本原本第五公设来说，这两种非欧几里得几何分别对应于第五公设来说，这两种非欧几里得几何分别对应于下列两个公理下列两个公理:罗巴切夫斯基几何罗巴切夫斯基几何 已知在一平面内有一条直已知在一平面内有一条直线线 和和不不在在上上的的一一点点P P，则则过过点点P P至至少少存存在在两两条条平平行行于于 的的直线。直线。黎曼几何黎曼几何 已知在一平面内有一条直线已知在一平面内有一条直线 和不在和不在上的一点上的一点P P，则过点则过点P P不存在任何平行于不存在任何平行于 的直线。的直线。数学家数学家们在关于欧几里得几何、在关于欧几里得几何、罗巴切夫斯基几巴切夫斯基几何、黎曼几何的比何、黎曼几何的比较研究，研究，给出了三套迥然相异的命出了三套迥然相异的命题系统。系统。2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 在数学教与学中应用比较可以帮助在数学教与学中应用比较可以帮助我们找出数学概念、数学命题之间的联我们找出数学概念、数学命题之间的联系与区别，从而确切地去理解数学概念系与区别，从而确切地去理解数学概念系统，澄清一些易于混淆的概念、定理、系统，澄清一些易于混淆的概念、定理、公式和法则。公式和法则。比比较较在在数数学学的的教教与与学学中中不不仅仅是是一一种种科科学学的的认认识识方方法法，而而且且已已发发展展成成为为一一种种独立的数学解题方法。独立的数学解题方法。2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 不不等等式式的的证证明明方方法法，因因题题而而异异，但但是是比较法是一种普适性较大的方法。比较法是一种普适性较大的方法。例例1 1、证法一：作差法，因为证法一：作差法，因为2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 证法二：作商法，因为证法二：作商法，因为 这就证明了这就证明了2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类例例2 2、分析：由图形的特征上分析：由图形的特征上可以联想有面积关系：可以联想有面积关系：比较题中待证式与上式的异同可知，由于两式结构相同，比较题中待证式与上式的异同可知，由于两式结构相同，只需从面积关系入手进行转化即可，于是思路打开。只需从面积关系入手进行转化即可，于是思路打开。ABCPxzy2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类比较（比较（1）、（）、（2）两式，即得结论。）两式，即得结论。2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类例例3、2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类注：注：本题的证法虽很简单，但其变形的技巧是本题的证法虽很简单，但其变形的技巧是很高的。很高的。本题的证明中，利用了不等式的对称性，本题的证明中，利用了不等式的对称性，增加了一个补充假设，从而给论证带来了很大增加了一个补充假设，从而给论证带来了很大的方便，这种技巧在证明对称不等式时常用。的方便，这种技巧在证明对称不等式时常用。本题可作如下的推广：本题可作如下的推广：2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 分分类类是是以以比比较较为为基基础础，按按照照事事物物间间性性质质的的异异同同，将将相相同同性性质质的的对对象象归归为为一一类类，不不同同性性质质的的对对象象归归入入不不同同类类别别的的思思维维方方法法。分分类类的的目目的的在在于于使使知知识识条条理理化化，并并进进而而系系统统化化，促促进进认认识识结结构构的的发发展展，分分类类方方法法虽虽侧侧重重于于理理性性思思维维，但但是是条条理理化化、系系统统化化的的信信息息便便于于检检索索和和储储存存，对对知知识识的的巩巩固固、理理解解的的深深化化、后后续续学学习习的的进进行行和和问题的解决都起着重要的指导作用。问题的解决都起着重要的指导作用。2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 观观察察、比比较较是是分分类类的的前前提提，分分类类是是观察、比较的结果。观察、比较的结果。当当面面临较复复杂的的对象象时，人人们往往往往会会考考虑将将对象象按按某某种种特特征征分分成成几几个个部部分分，逐逐一一加加以以研研究究，再再综合合之之，以以达达到到认识对象象全全体体的的目目的的。这种种分分类方方法法在在科科学学研究中是广研究中是广为运用的。运用的。2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 在在数数学学中中则把把分分类作作为一一种种揭揭示示概概念念外外延延的的逻辑方方法法，当当我我们要要弄弄清清某某个个数数学学概概念念是是由由哪哪几几种种子子概概念念构构成成的的时候候，就就提提出出了了概概念念分分类（或或称称为概概念念划划分分）的任的任务。用用二二分分法法分分类，条条理理清清楚楚，对于于从从整整体体上上认识种种概概念念与与属属概概念念之之间的的关关系系较为有利。有利。2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 概念的分概念的分类必必须遵守以下遵守以下规则：1 1分分类类所所得得的的各各子子项项外外延延的的总总和和，应应当与被分类的概念的外延相等。当与被分类的概念的外延相等。2 2分分类所所得得的的各各子子项，应当当是是互互相相排排斥的。斥的。3.3.分分类类应应取取被被分分类类概概念念最最邻邻近近的的属属概概念念,按步骤和层次逐步进行按步骤和层次逐步进行,不能越级。不能越级。4 4分分类应按同一按同一标准准进行。行。2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 一一切切事事物物都都必必须须分分门门别别类类加加以以研研究究，才才能能条条理理清清楚楚、泾泾渭渭分分明明，作作为为反反映映现现实实世世界界各各种种现现象象普普遍遍联联系系和和制制约约关关系系的的数数学学，是是以以概概念念为为支支柱柱的的，没没有有分分类类，数数学学概概念念就就不不复复存存在在，也也无法发展。无法发展。分分类往往往往可可使使复复杂的的问题简单化化，使使隐晦晦的的条条件件变为明明显，从从而而有有助助于于我我们分分别思思考考，各各个个击破破，大大到到一一个个数数学学分分支支学学科科，小小到到某某个个具具体体问题，几几乎乎一一切切数数学学问题都都与与分分类有有关关。学学会会在在不不同同的的场合合把把复复杂的的对象象按按需需要要进行行分分类，是数学研究中一种很重要的基本功，是数学研究中一种很重要的基本功。2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类在解答某些数学问题时，分类讨论在解答某些数学问题时，分类讨论法是根据问题的不同情况分类求解的一法是根据问题的不同情况分类求解的一种极为重要的数学方法，对于分类方法种极为重要的数学方法，对于分类方法的分析、研究和掌握，有利于培养周密、的分析、研究和掌握，有利于培养周密、全面的数学思维，有利于培养综合分析全面的数学思维，有利于培养综合分析问题的能力。问题的能力。下面我们将通过一些典型例题来说下面我们将通过一些典型例题来说明分类讨论法在数学解题中的应用。明分类讨论法在数学解题中的应用。2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类例例4、试讨论空间三平面的一切可能的位置关系。、试讨论空间三平面的一切可能的位置关系。分析：空间三平面的位置关系是一个复杂的关系。分析：空间三平面的位置关系是一个复杂的关系。怎样分类才能做到无重复有无遗漏呢？应抓住分类各怎样分类才能做到无重复有无遗漏呢？应抓住分类各个阶段的分类标准。个阶段的分类标准。首先抓三个平面有无重合，在有二个重合的条件首先抓三个平面有无重合，在有二个重合的条件下再按与第三个平面是相交还是平行进行分类；对三下再按与第三个平面是相交还是平行进行分类；对三个平面都不重合的情况下再按有几个平面平行来分类；个平面都不重合的情况下再按有几个平面平行来分类；对三个平面都不平行的情况再按三条交线是否重合，对三个平面都不平行的情况再按三条交线是否重合，平行、相交来分类。平行、相交来分类。这样逐级进行分类，才可避免重这样逐级进行分类，才可避免重复与遗漏。复与遗漏。2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 三个平面的一切可能的位置关系为：三个平面的一切可能的位置关系为：1 1三个平面重合三个平面重合 2 2二个平面重合二个平面重合 3 3三个平面平行三个平面平行 4 4两个平面平行两个平面平行 5 5三个平面两两相交三个平面两两相交2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 例例5 5、有有标标有有0 0、1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7、8 8的的卡卡片片9 9张张，从从中中选选3 3张张，用用其其数数字字组组成成无无重重复复数数字字的的三三位位数数。如如果果卡卡片片6 6也也可可以以当当9 9用用，试试问问：这样组成的三位数有多少个？这样组成的三位数有多少个？解解：由由卡卡片片6 6的的特特殊殊性性，按按6 6进进行行分分类类，分分为三类：为三类：（1 1）不不含含6 6，这这样样的的三三位位数数由由0 0、1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、7 7、8 8、中选三个数字组成，共有、中选三个数字组成，共有 个。个。2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 （2 2）含含6 6不不含含零零，这这样样的的三三位位数数由由1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7、8 8中选三个数字组成，但由于中选三个数字组成，但由于6 6必须取，因而，共有必须取，因而，共有 个。个。（3 3）含）含6 6又含零，这样的三位数有又含零，这样的三位数有 个。个。综综合合（1 1）、（2 2）、（3 3）可可知知，这这样样的的三三位位数数总总共共有有 个。个。2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 例例6、试证不小于、试证不小于5的质数的平方与的质数的平方与1的差必的差必为为24的倍数。的倍数。分析：如何表示不小于分析：如何表示不小于5的质数，是解决本题的质数，是解决本题的关键，而质数又无简单的通项公式。因而进一的关键，而质数又无简单的通项公式。因而进一步去考虑将不小于步去考虑将不小于5的质数扩大为不小于的质数扩大为不小于5的自然的自然数，并分为如下六类：数，并分为如下六类：6n，6n+1，6n+2，6n+3，6n-2，6n-1。因为不小于。因为不小于5的质数不可能为偶数或的质数不可能为偶数或3的倍数，所以不小于的倍数，所以不小于5的质数只可能落在的质数只可能落在 之之中，若我们能证明：中，若我们能证明：，则命题也自然，则命题也自然得证。得证。2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类事实上，事实上，2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 例例7、若、若 都是自然数，求证：都是自然数，求证：能被能被30整除。整除。分析：因为分析：因为2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 运运用用分分类法法解解决决数数学学问题的的关关键，就就在在于于分分类对象象或或范范围要要选得得准准，并并找找到到适适当当的的分分类标准准。为此此就就必必须运运用用辩证的的逻辑思思维，具具体体事事物物具具体体分分析析，在在表表面面上上极极为相相似似的的事事物物之之间看看出出它它们本本质上上的的差差异异点点，在在表表面面上上差差异异极极大大的的事事物物之之间看看出出它它们本本质上上的的相相同同点点，发现事事物物的的本本质特特征征。这样才才能能揭揭示示数数学学对象象之之间的的内内在在联系，暴露所涉及范系，暴露所涉及范围的制的制约关系。关系。2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 例例8 8、已已知知在在2020个个城城市市之之间间共共辟辟有有172172条条航航线线，证证明明：利利用用这这些些航航线线，可可以以从从其其中中任任何何一一个个城城市飞抵其余任何一个城市（包括中转后抵达）。市飞抵其余任何一个城市（包括中转后抵达）。证：假假设其其中中存存在在某某个个城城市市A A，由由它它仅能能飞抵抵n n1919个城市，我个城市，我们将所有的城市分将所有的城市分为两两类：一是将一是将A A及由及由A A可以可以飞抵的抵的n n个城市个城市归入入X X类；二是将二是将A A不能不能飞抵的抵的19-n19-n个城市个城市归入入Y Y类。2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 于于是是在在分分属属X X类类与与Y Y类类的的任任意意两两个个城城市市之之间间都都没没有有航航线线连连接接（否否则则由由A A即即可可以以经经过过中中转转而而飞飞抵抵属属于于Y Y类类城城市市）。这样一来，航线的总数目就应超过。这样一来，航线的总数目就应超过 注意到注意到0n180n18，对于这样的整数对于这样的整数n n，显然（显然（n-19n-19）(n+1)-19(n+1)-19。于是就有于是就有 190+190+（n-19n-19）（）（n+1n+1）171171条。条。这这与与已已知知的的共共有有172172条条航航线线的的事事实实相相矛矛盾盾，可可见见不不存存在在所所述述城城市市A A，即即是是说说，由由这这2020个个城城市市中中的的任任一一城城市市都都可可飞抵其余任何一个城市。飞抵其余任何一个城市。2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类习题习题1、若、若都是自然数，求证：都是自然数，求证：能被能被30整除。整除。2、已知三个平面两两相交，有三条交线。、已知三个平面两两相交，有三条交线。证明：这三条交线交于一点或互相平行。证明：这三条交线交于一点或互相平行。3、2.32.3提出数学猜想的一般方法：提出数学猜想的一般方法：归纳与类比归纳与类比猜想是根据某些已知的事实材料和猜想是根据某些已知的事实材料和数学知识，通过理论思维的能动性，对数学知识，通过理论思维的能动性，对未知量及其关系所作出的一种猜测性的未知量及其关系所作出的一种猜测性的推断。恩格斯说过：推断。恩格斯说过：“只要自然科学在只要自然科学在思维着，它的发展形式就是假说。思维着，它的发展形式就是假说。”数数学猜想是数学研究的一个科学方法，也学猜想是数学研究的一个科学方法，也是数学发展的一种重要形式。是数学发展的一种重要形式。2.32.3提出数学猜想的一般方法：提出数学猜想的一般方法：归纳与类比归纳与类比 无无论是是数数学学家家或或是是正正在在学学习数数学学的的学学生生，在在研研究究数数学学、学学习数数学学时，令令人人最最感感到到困困惑惑也也是是最最引引人人入入胜的的环节之之一一，就就是是如如何何发现定定理理以以及及怎怎样才才能能证明明定定理。理。牛牛顿说过：“没没有有大大胆胆的的猜猜想想，就就做做不不出出伟大大的的发现。”波波利利亚也也说过：“对于于正正积极极搞搞研研究究的的数数学学家家来来说，数数学学也也许往往往往像像猜猜想想游游戏：在在你你证明明一一个个数数学学定定理理之之前前，你你必必须猜猜想想到到这个个定定理理，在在你你搞搞清清楚楚证明明细节之之前，你必前，你必须先猜想出先猜想出证明的主明的主导思想。思想。”2.32.3提出数学猜想的一般方法：提出数学猜想的一般方法：归纳与类比归纳与类比 由由于于猜猜想想都都是是对对事事物物的的现现象象和和规规律律的的推推测测，尚尚未未达达到到确确切切可可靠靠的的认认识识，因因而而有有待待于于进进一一步步通通过过科科学学实实验验来来检检验验或或证证实实，作作为为数数学学猜猜想想，则则应应通通过过严严格格的的论论证以确认。证以确认。在在数数学学发展展的的历史史上上，曾曾经有有过许多多著著名名的的猜猜想想，如如哥哥德德巴巴赫赫猜猜想想、费马猜猜想想（费马大大定定理理）、欧欧拉拉猜猜想想（3636名名军官官问题）、黎黎曼曼猜猜想想、比比勃勃巴巴赫赫猜猜想想、希希尔尔伯伯特特猜猜想想（希希尔尔伯伯特特2323个个问题）和和四四色色猜猜想想等等等等。这些些猜猜想想，有有的的经过长期期努努力力得得到到了了证明明；有有的的则给出出了了否否定定的的解解决决；还有有更更多多的的猜猜想想人人们正正在在继续努努力力，或或有有所所进展展或或突突破破，或或接接近近于于解解决决，或或尚尚未未取取得得重重大大的成果的成果。2.32.3提出数学猜想的一般方法：提出数学猜想的一般方法：归纳与类比归纳与类比 众众多多的的数数学学家家在在研研究究和和探探索索猜猜想想的的过过程程中中，不不仅仅极极大大地地丰丰富富了了数数学学本本身身的的内内容容，而而且且推推动动着数学向前发展。着数学向前发展。那那么么猜猜想想是是怎怎样在在某某些些事事实的的基基础上上，借借助助于于逻辑思思维而而逐逐步步形形成成的的呢呢？我我们说，这主主要是在要是在观察和比察和比较的基的基础上通上通过归纳和和类比。比。拉拉普普拉拉斯斯说说过过：“甚甚至至在在数数学学里里，发发现现真真理的主要工具也是归纳和类比。理的主要工具也是归纳和类比。”2.32.3提出数学猜想的一般方法：提出数学猜想的一般方法：归纳与类比归纳与类比 高高斯斯也也说说过过：“在在数数论论中中由由于于意意外外的的幸幸运运颇颇为为经经常常，所所以以用用归归纳纳法法可可萌萌发发出出极极漂漂亮亮的的新新的真理。的真理。”归纳法法是是从从个个别事事实中中概概括括出出一一般般原原理理的的科科学学方方法法，归纳法法有有完完全全归纳法法和和不不完完全全归纳法之分。法之分。我我们这里里所所论述述的的主主要要是是不不完完全全归纳法法，它它是是指指由由个个别性性前前提提推推出出一一般般性性结论的的推推理理方方法法。2.32.3提出数学猜想的一般方法：提出数学猜想的一般方法：归纳与类比归纳与类比从逻辑观点上来看，不完全归纳法是根据从逻辑观点上来看，不完全归纳法是根据某类事物的部分对象具有某种属性，而推出该某类事物的部分对象具有某种属性，而推出该类事物全部对象都具有这种属性的一般性结论类事物全部对象都具有这种属性的一般性结论的一种推理方法，其推理模式为：的一种推理方法，其推理模式为：2.32.3提出数学猜想的一般方法：提出数学猜想的一般方法：归纳与类比归纳与类比 归纳法法是是由由一一定定数数量量的的单称称陈述述出出发，通通过思思维的的“顿悟悟”过渡渡到到全全称称陈述述，这就就是是猜猜想想，由由归纳法法提提出出的的猜猜想想，虽然然不不具具备演演绎推推理理的的那那种种必必然然性性，但但它它是是一一种种经过若若干干事事例例验证了了的的猜猜想想，经过验证的的事事例例越越多多，猜猜想想的的置置信信度度就越高。就越高。不不完完全全归归纳纳方方法法的的主主要要意意义义在在于于其其猜猜测测和和发现性，是数学创造性思维的一种基本方法。发现性，是数学创造性思维的一种基本方法。2.32.3提出数学猜想的一般方法：提出数学猜想的一般方法：归纳与类比归纳与类比 在在数数学学发发展展史史上上，通通过过归归纳纳法法提提出出的的猜猜想想不不计其数。著名的哥德巴赫猜想就是一例。计其数。著名的哥德巴赫猜想就是一例。17421742年年，德德国国的的一一位位中中学学数数学学教教师哥哥德德巴巴赫赫根根据据奇奇数数77=53+17+777=53+17+7，461=449+7+5=257+199+5461=449+7+5=257+199+5等等个个别例例子子看看出出，每每次次相相加加的的三三个个数数都都是是素素数数，于于是是他他提提出出猜猜想想，所所有有大大于于5 5的的奇奇数数都都可可以以分分解解为三三个个素素数数之之和和，他他将将此此猜猜想想告告诉欧欧拉拉，欧欧拉拉肯肯定定了了他他的的想想法法，并并补充充提提出出：所所有有大大于于4 4的的偶偶数数都都可可分分解解为两两个个素素数数之之和和，这二二者者后后来来即即称称为哥哥德巴赫猜想。德巴赫猜想。2.32.3提出数学猜想的一般方法：提出数学猜想的一般方法：归纳与类比归纳与类比 这这个个猜猜想想提提出出至至今今已已有有近近260260多多年年的的历历史史，在在这这漫漫长长的的岁岁月月里里，也也有有人人对对此此提提出出过过怀怀疑疑，于于是是不不断断有有人人进进行行过过大大量量的的验验算算，至至今今已已验验算算到到5105108 8以以内内的的偶偶数数都都是是对对的的。虽虽然然到到目目前前，哥哥德德巴巴赫赫猜猜想想尚尚未未被被证证明明为为正正确确，也也没没有有人人予予以以否否定定，但但是是围围绕绕这这个个猜猜想想所所作作的的研研究究，却却积积累累了了相相当当多多的的资资料料与与成成果果，特特别别近近半半个个世世纪纪以以来来，进进展展迅迅速速，成成绩绩显显著著，达达到到了了非非常常精精深深的的境境界界，在在这这些些成成绩绩中中，包包括括陈陈景景润润，王王元元等等在在内的我国数论学派占世界领先地位。内的我国数论学派占世界领先地位。2.32.3提出数学猜想的一般方法：提出数学猜想的一般方法：归纳与类比归纳与类比 通通过过归归纳纳方方法法提提出出猜猜想想，尔尔后后又又被被证证明明是是正正确确的的，这这样样的的例例子子当当然然很很多多，如关于凸多面体的欧拉定理如关于凸多面体的欧拉定理F+V=E+2 其中其中F F，V V，E E分