数列修改课件

第一课时数列的概念及其简单表示第一课时数列的概念及其简单表示知识梳理知识梳理一、数列的定义按照_称为数列，数列中的_叫做这个数列的_项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列二、通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的_，即anf(n)数列的实质是定义域为正整数集N*(或N*的有限子集1,2,3，n)的函数通项公式anf(n)即为函数的解析式其中：项数n相当于自变量，项an相当于函数值三、递推公式如果已知数列an的第一项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即anf(an1)或anf(an1，an2，)，那么这个式子就叫做数列 an的 _ 如 数 列 an中，a1 1，an 1 2an1(n2)，其中式子an12an1(n2)就是数列an的递推公式四、数列的表示1列举法：如1,3,5,7,9，.2图象法：由(n，an)点构成3解析法：用通项公式表示，如an2n1.4递推法：用前几项的值与它相邻的项之间的关系表示各项，如a11，an12an1(n2)五、数列分类有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列六、数列an的前n项和数列an的前n项和记为Sn，即Sna1a2an.注意：前n项和：Sna1a2a3an1ang(n)也为n的函数七、数列an的前n项和Sn与通项an的关系_注意：如果求出的a1也满足n2时的an，则可统一写成同一个关系式，否则分段书写八、求数列中最大、最小项的方法若an最大，则 ，若an最小，则 ，考虑数列的单调性答案答案:一、一定顺序排列着的一列数每个数项二、通项公式三、递推公式七、基础自测基础自测1(2010年石景山区模拟)已知数列对任意的p，qN*满足apqapaq，且a26，那么a10等于 ()A165B33C30D21解析：由已知a4a2a212，a8a4a424，a10a8a230.答案：C 求下列数列的一个通项公式：(1)1，1,1，1，；(2)3,5,9,17,33，；(5)5,55,555,5555，.思路分析：此类问题虽无固定模式，但也有其规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求解析：(1)an(1)n1或ancos(n1)；(2)an2n1;点评：已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑：(1)符号用(1)n与(1)n1(或(1)n1)来调节，这是因为n和n1奇偶交错(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系(3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列(后面将复习到)和其他方法来解决(4)此类问题无固定模式，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法变式探究变式探究1根据下面各数列前几项，写出一个通项公式答案：答案：变式探究变式探究2(2011年成都模拟)设数列an中，a12，an1ann1，则通项an_.解析：a12，an1ann1，anan1(n-1)1，an1an2(n-2)1，an2an3(n-3)1，a3a221，a2a111，a1211.将以上各式相加得：an(n-1)(n-2)(n-3)21n1答案：已知数列an的通项公式 an ,试问数列an有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若无，说明理由解析：当n0，an1an；当n9,an1an0，an1an；当n9,an1an0，an1an；故a1a2a3a11所以，数列an有最大项，为第9,10项点评：求数列an的最大项，最小项时，考虑数列的单调性，即通过对an的单调性进行讨论1对数列概念的理解(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中的元素的无序性，因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列要注意把数列中的数(项)和集合中的元素区分开来：数列中的数是有顺序的；而集合中的元素是没有顺序的(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现(3)数列的项与项数数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号(4)数列是一个定义域为正整数集N N*(或它的有限子集1,2,3，n)的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式2数列的通项的求法(1)公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式(2)已知Sn(即a1a2anf(n)，求an.用作差法(3)已知a1a2anf(n)，求an.用作商法(4)若an1anf(n)，求an.用累加法an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)(5)已知 f(n)，求an.用累乘法(6)已知递推关系，求an.用构造法(构造等差、等比数列)特别地，形如ankan1b、ankan1bn(k，b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an.形如an 的递推数列都可以用倒数法求通项注意事项：(1)用anSnSn1求数列的通项公式时，要注意此等式成立的条件(n2时，anSnSn1，当n1时，a1S1)(2)一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式anSnSn1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解(3)并不是每一个数列都有通项公式，如果一个数列有通项公式，那么它的通项公式在形式上可以不止一个数列的通项公式是研究数列的关键，应切实掌握求通项公式的各种方法2(2010年辽宁卷)已知数列an满足a133，an1an2n，则 的最小值为_解析：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1212(n1)3333n2n，所以答案：第二课时等差数列（第二课时等差数列（1）第六章数列知识梳理二二 d d 充要充要 一次一次 充要充要 二次二次 递增递增 小小 递减递减 大大 知识梳理知识梳理一、等差数列的概念1定义：如果一个数列_，那么这样的数列做等差数列，记作数列 ，首项记作a1，公差记作d.2符号表示：_二、通项公式若数列 为等差数列，则an_am_.三、前n项和公式_.答案：答案：一、1.从第二项开始，每一项与前一项的差都是同一个常数 2an1and(nN*)二、a1(n1)d(nm)d 三、Sn na1 d四、等差中项如果三数a，A，b成等差数列，则A叫做a和b的_，A_.五、等差数列的判定方法1定义法：_(常数)(nN*)是等差数列2中项公式法：_(nN*)是等差数列3通项公式法：_(nN*)是等差数列4前n项和公式法：_(A，B是常数)(nN*)是等差数列答案：答案：四、等差中项五、1.an1and2.2an1anan23.anknb(k，b是常数)4.SnAn2Bn六、用函数观点认识等差数列1andna1d(d0)时是关于n的一次函数2Sn n2 n(d0)时是关于n的、常数项为零的二次函数七、等差数列的重要性质 1在等差数列 中，若pqmn，则有_；若2mpq，则有_(p，q，m，nN*)(简称为下标和性质)答案：答案：七、1.apaqaman2amapaq2在等差数列 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an，ank，an2k，an3k，为等差数列，公差为_3若数列 是公差为d的等差数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等差数列，公差为_答案：答案：2.kd3.k2d5已知等差数列an其前n项和为Sn，且S1010，S2030，则S30_.解析：S10，S20S10，S30S20成等差数列，2(S20S10)S10S30S20，4010S3030，S3060.答案：60A直接用公式求等差数列的通项公式及其前直接用公式求等差数列的通项公式及其前n n项和项和 高考总复习高考总复习数学数学高考总复习高考总复习数学数学第第2424讲讲 要点探究要点探究第第2424讲讲 要点探究要点探究答案答案 D 高考总复习高考总复习数学数学高考总复习高考总复习数学数学高考总复习高考总复习数学数学用函数方法求等差数列的项的最值反思小结：本题考查的内容有两方面：一是等差数列及其前n项和公式的运用；二是求数列中项的最值本题解法采用的是以函数单调性的方法判断数列的单调性进而求得数列中项的最大、最小值一般的，如果函数y=f(x)在某一区间是减函数，则数列在由此区间内所有的正整数组成的集合上是递减数列五年高考 (2011年富阳新中模拟)在等差数列an中，若a4a6a8a10a12120，则2a10a12的值为_解析：a4a12a6a102a8，由a4a6a8a10a12120得5a8120，a824，于是2a10a122(a82d)(a84d)a824.答案：24点评：本题根据题设条件巧妙运用了等差数列的下标和性质，通项公式的变式，使解答过程很简捷 A2012 B2011 C2010 D2009解析：f(ab)f(a)f(b)，f(1n)f(1)f(n)2f(n)，nN*，2，答案：A2函数f(x)对任意正整数a、b满足条件f(ab)f(a)f(b)，且f(1)2.则 的值是()已知两个等差数列5,8,11，和3,7,11，都有100项，问它们有多少相同的项？并求出所有相同项的和思路分析：(1)两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数(2)由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解法来求解解析：解法一：设两个数列相同项按原来的前后次序组成的新数列为 ，则a111，数列5,8,11，和3,7,11的公差分别为3与4，的公差d3412，an12n1.又因为数列5,8,11，和3,7,11，的第100项分别是302和399，an12n1302即n25.25，又nN*，所以两个数列有25个相同的项其和S251125 123875.解法二：设数列5,8,11，和3,7,11，分别为 ，则an3n2，bn4n1.设 中的第n项与 中的第m项相同，即3n24m1，n m1，又m，nN*，设m3r，(rN*)，得n4r1.从而有25个相同的项，且公差为12，4设 为等差数列，Sn为数列 的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列 的前n项和，求：(1)Tn；(2)Tn的最小值解析：(1)设等差数列 的公差为d，则解得a12，d1.数列 是等差数列，其首项为2，公差为 .变式探究变式探究5已知数列an，bn满足a12，b11，且 (n2)(1)令cnanbn，求证：数列cn是等差数列，并求其通项公式；(2)求数列an的通项公式及前n项和公式Sn.解析：(1)证明：证明：由题设得anbn(an1bn1)2(n2)，即cncn12(n2)，易知cn是首项为a1b13，公差为2的等差数列，通项公式为cn2n1.(2)由题设得anbn (an1bn1)(n2)，令dnanbn，则dn dn1(n2)易知dn是首项为a1b11，公比为 的等比数列，通项公式为dn .1(2010年福建卷)设等差数列 的前n项和为Sn，若a111，a4a66，则当Sn取最小值时，n等于()A6B7C8D9解析：设该数列的公差为d，则a4a62a18d2(11)8d6，解得d2，所以Sn11n 2n212n(n6)236，所以当n6时，Sn取最小值答案：A知识梳理知识梳理一、等比数列的定义一般地，一个数列_，即 q(nN*)，则这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的_，公比通常用字母q 表示(q0)二、等比数列的通项公式an_.答案：一、从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数 公比 二、a1qn1三、等比数列的前n项和Sn 四、等比数列的中项公式如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做_，即_答案：四、a与b的等比中项G 五、等比数列的主要性质1anamqnm(n，mN*)2对于任意正整数m、n、r、s，只要满足mnrs，则_3对于任意正整数p、r、s，如果pr2s，则_4对任意正整数n1，有 an1an1.5对于任意非零实常数b，ban也是等比数列6若an、bn是等比数列，则anbn也是等比数列答案：五、2.amanaras3.apar7等比数列 中，如果an0，则logaan是等差数列8若数列logaan成等差数列，则an成等比数列9若数列 是等比数列，则数列a2n，a2n1，a3n1，a3n2，a3n等都是等比数列10若等比数列 的公比q1，前n项和为Sn，则Sm，S2mSm，S3mS2m成等比数列，所以(S2mSm)2Sm(S3mS2m).基础自测基础自测1(2010年全国卷)已知各项均为正数的等比数列an，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6()A5B7C6D4解析：由等比数列的性质知a1a2a3(a1a3)a2a 5，a7a8a9(a7a9)a8a 10，所以a2a850 ，答案：A2(2010年辽宁卷)设Sn为等比数列 的前n项和，已知3S3a42,3S2a32，则公比q()A3 B4 C5 D6解析：两式相减得，3a3a4a3，a44a3，答案：B2(2011年深圳罗湖区检测)设等比数列an的公比q1，前n项和为Sn.已知a32，S45S2，求an的通项公式解析：由得1q45(1q2)，(q24)(q21)0，(q2)(q2)(q1)(q1)0，因为q1，两边取对数得lg(1 an1)是公比为2的等比数列(2)由(1)知lg(1an)2n1lg(1a1)lg 32n1，1an32n1(*)Tn(1a1)(1a2)(1an)32032132232n1312222n132n1.由(*)式得an32n11.(3)an1 2an，an1an(an2)，高考总复习高考总复习数学数学高考总复习高考总复习数学数学高考总复习高考总复习数学数学高考总复习高考总复习数学数学高考总复习高考总复习数学数学高考总复习高考总复习数学数学高考总复习高考总复习数学数学高考总复习高考总复习数学数学高考总复习高考总复习数学数学即时训练已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699.又Sn表示an的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是()A21 B20C19 D18解析：an为等差数列，a1a3a5105a335，a2a4a699a433，da4a333352，高考总复习高考总复习数学数学高考总复习高考总复习数学数学高考总复习高考总复习数学数学例4在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值思路探究此题可有多种解法，一般可先求出通项公式，利用不等式组确定正负转折项，或者利用性质确定正负转折项，然后求其和的最值高考总复习高考总复习数学数学高考总复习高考总复习数学数学12n13，nN*，当n12或13时，Sn有最大值，S12S13130.解法二：由a120，S10S15，解得公差d，S10S15，S15S10a11a12a13a14a150，a11a15a12a142a13，a130.d0，a1，a2，a11，a12均为正数，而a14及以后的各项均为负数当n12或13时，Sn有最大值，S12S13130.高考总复习高考总复习数学数学思维拓展求等差数列前n项和的最值，常用的方法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；利用等差数列的前n项和SnAn2Bn(A、B为常数)为二次函数，利用二次函数的性质求最值高考总复习高考总复习数学数学高考总复习高考总复习数学数学高考总复习高考总复习数学数学高考总复习高考总复习数学数学突破方法高考总复习高考总复习数学数学高考总复习高考总复习数学数学 (1)在等差数列 中，已知a49，a96，Sn63，求n.(2)若一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，且所有项的和为390，求这个数列的项数思路分析：先运用等差数列的通项公式求出公差和首项，再代入前n项和公式即可求得项数n.解析：(1)设首项为a1，公差为d，63Sn18n n(n1)，得：n6或n7.高考总复习高考总复习数学数学(2)a1a2a334，又anan1an2146，a1ana2an1a3an2，两式相加得：3(a1an)180，a1an60，由Sn 390，得n13.点评：解决等差数列的问题时，通常考虑两类方法(1)基本量法，即运用条件转化成关于a1和d的方程；(2)巧妙运用等差数列的性质，可化繁为简高考总复习高考总复习数学数学 已知数列an的前n项和Sn12nn2，求数列|an|的前n项和Tn.思路分析：由Sn12nn2知Sn是关于n的无常数项的二次函数(nN*)，可知an为等差数列，求出an，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出Tn.解析：当n1时，a1S1121211；当n2时，anSnSn112nn212(n1)(n1)2132n.n1时适合上式，an的通项公式为an132n.由an132n0，得n ，即当1n6(nN*)时，an0；当n7时，an0.高考总复习高考总复习数学数学(1)当1n6(nN*)时，Tn|a1|a2|an|a1a2an12nn2.(2)当n7(nN*)时，Tn|a1|a2|an|(a1a2a6)(a7a8an)(a1a2an)2(a1a6)Sn2S6n212n72.点评：此类求和问题先由an的正负去掉绝对值符号，然后分类讨论转化成an的求和问题高考总复习高考总复习数学数学变式探究变式探究1数列an中，a18，a42，且满足an22an1an0，nN*.(1)求数列an的通项；(2)设Sn|a1|a2|an|，求Sn.解析：(1)由an22an1an0得，2an1anan2，所以数列an是等差数列，d 2，an2n10，nN*.高考总复习高考总复习数学数学当n6，nN*时，高考总复习高考总复习数学数学变式探究变式探究2(2011年宝鸡模拟)设数列an的通项公式为anpnq(nN*，p0)数列bn定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式anm成立的所有n中的最小值(1)若p ，q ，求b3；(2)若p2，q1，求数列bn的前2m项和公式解析：高考总复习高考总复习数学数学根据bm的定义可知当m2k1时，bmk(kN*)；当m2k时，bmk1(kN*)b1b2b2m(b1b3b2m1)(b2b4b2m)(123m)234(m1)高考总复习高考总复习数学数学 已知数列an是一个等差数列，且a21，a55.(1)求an的通项an；(2)求an前n项和Sn的最大值解析：(1)设 的公差为d，由已知条件，所以ana1(n1)d2n5.(2)Snna1 dn24n4(n2)2.所以n2时，Sn取到最大值4.高考总复习高考总复习数学数学2(2010年浙江卷)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6150.(1)若S55，求S6及a1；(2)求d的取值范围解析：解得a17，所以S63，a17.高考总复习高考总复习数学数学(2)因为S5S6150，所以(5a110d)(6a115d)150，即2a 9da110d210，故(4a19d)2d28，所以d28，故d的取值范围为d2 或d2 .高考总复习高考总复习数学数学高考总复习高考总复习数学数学 已知an为等差数列，前10项的和S10100，前100项的和S10010，求前110项的和S110.思路分析：(1)运用方程的思想，将题目条件应用公式表示成关于首项a1与公差d的两个方程(2)运用前n项和公式：SnAn2Bn.(3)巧妙运用前n项和、等差数列的性质(下标和的性质)，可化繁为简解析：解法一：设 的首项为a1，公差d，则高考总复习高考总复习数学数学S110110a1 110109d110.解法二：为等差数列，故可设SnAn2Bn，解得110AB1.S1101102A110B110(110AB)110.解法三：a11a1002高考总复习高考总复习数学数学点评：解决等差(比)数列的问题时，通常考虑两类方法(1)基本量法，即运用条件转化成关于a1和d(q)的方程；(2)巧妙运用等差(比)数列的性质(如下标和的性质、子数列的性质、和的性质)，可化繁为简高考总复习高考总复习数学数学3(2009年长沙一中期末考)各项不为零的等差数列an中，2a3a 2a110，则a7的值为_4高考总复习高考总复习数学数学变式探究变式探究3(2010年厦门模拟)设等差数列 an 的前n项和为Sn，若S410，S515，则a4的最大值为_解析：等差数列an的前n项和为Sn，且S410，S515.a43d314故a4的最大值为4.答案：4135写在最后写在最后成功的基础在于好的学习习惯成功的基础在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits谢谢聆听 学习就是为了达到一定目的而努力去干,是为一个目标去战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard,Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal