资源描述
第二章第二章 物理系统的数学模物理系统的数学模型型 2012年年9月月本章简介本章简介n控制系统的数学模型时域、复数域、频域控制系统的数学模型时域、复数域、频域n典型环节的传递函数典型环节的传递函数n方块图和信号流图方块图和信号流图n典型系统的数学模型典型系统的数学模型7/23/20242物理系统的数学模型物理系统的数学模型数学模型数学模型：用数学的方法和形式表示和描述系统中用数学的方法和形式表示和描述系统中用数学的方法和形式表示和描述系统中用数学的方法和形式表示和描述系统中各变量间的关系。各变量间的关系。各变量间的关系。各变量间的关系。分析和设计控制系统，首先要建立它的数学模型。分析和设计控制系统，首先要建立它的数学模型。分析和设计控制系统，首先要建立它的数学模型。分析和设计控制系统，首先要建立它的数学模型。工程控制中常用的数学模型有三种：n时域：微分方程时域：微分方程n复域：传递函数复域：传递函数n频域：频率特性频域：频率特性7/23/20243各类模型间的关系7/23/202442.1 时域数学模型时域数学模型微分方程微分方程RLCur(t)uc(t)i(t)例一例一 RLC电路电路试建立以电容上电压试建立以电容上电压 为输出变量，输入为输出变量，输入电压电压 为输入变量的运动方程。为输入变量的运动方程。7/23/20245依据：电学中的基尔霍夫定律依据：电学中的基尔霍夫定律 （两边求导）（两边求导）7/23/20246例二例二 弹簧阻尼系统弹簧阻尼系统机械位移系统机械位移系统,物体在外力物体在外力F(t)F(t)作用下产生作用下产生位移位移y(t)y(t)，写出运动方程写出运动方程。输入输入F(t)F(t)，输出输出y(t)y(t)理理论依据论依据:牛顿第二定律牛顿第二定律,物体所受的合外力等于物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘物体质量与加速度的乘积积.7/23/20247mF1(弹簧弹簧的拉力的拉力)F(t)外力外力mgF2阻尼器的阻力阻尼器的阻力7/23/20248发现发现,物理结构不同的元件或系统物理结构不同的元件或系统,可以具有相同形式的数可以具有相同形式的数学模型学模型,例如，前述的例如，前述的RLCRLC无源网络和弹簧无源网络和弹簧-质量质量-阻尼器机阻尼器机械系统的数学模型均是二阶微分方程，械系统的数学模型均是二阶微分方程，相似系统相似系统揭示了不揭示了不同物理现象间的本质相似关系，利用它可以同物理现象间的本质相似关系，利用它可以:许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样其运动规律可能完全一样,可以用一个运动方可以用一个运动方程来表示，称它们为结构相似系统程来表示，称它们为结构相似系统(1)(1)用一个简单系统去研究与其相似的复杂系统用一个简单系统去研究与其相似的复杂系统;(2)(2)为控制系统的计算机数字仿真提供了基础为控制系统的计算机数字仿真提供了基础.(3)3)二阶系统是一个十分典型的、有代表性的系统二阶系统是一个十分典型的、有代表性的系统.7/23/20249推广到一般情况，系统的时域推广到一般情况，系统的时域数学模型数学模型 其中，其中，(i =0,1,2,.n;j=0,1,2.m)均均为实数，由系统本身的结构参数所决定。为实数，由系统本身的结构参数所决定。微分方程微分方程7/23/202410综上所述，列写元件微分方程的步骤可归纳如下：综上所述，列写元件微分方程的步骤可归纳如下：根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量和输出量；定其输入量和输出量；分析元件工作中所遵循的物理或化学规律，列写相分析元件工作中所遵循的物理或化学规律，列写相应的微分方程；应的微分方程；消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程，便是元件时域的数学模型。一般应将微分分方程，便是元件时域的数学模型。一般应将微分方程写为标准形式，即与输入量有关的项写在方程方程写为标准形式，即与输入量有关的项写在方程的右端，与输出量有关的项写在方程的左端，方程的右端，与输出量有关的项写在方程的左端，方程两端变量的导数项均按降幂排列。两端变量的导数项均按降幂排列。7/23/202411线性系统的基本特性线性系统的基本特性 叠加原理叠加原理 两个外作用同时加于系统所产生的总输出，等于各个外两个外作用同时加于系统所产生的总输出，等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和，且外作用的数值增作用单独作用时分别产生的输出之和，且外作用的数值增大若干倍时，其输出亦相应增大同样的倍数。因此对线性大若干倍时，其输出亦相应增大同样的倍数。因此对线性系统进行分析和设计时，如果有几个外作用同时加于系统，系统进行分析和设计时，如果有几个外作用同时加于系统，则可将它们分别处理，依次求出各个外作用单独加入时系则可将它们分别处理，依次求出各个外作用单独加入时系统的输出，然后将它们叠加。统的输出，然后将它们叠加。线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解 当系统微分方程列写出来后，只要给定输入量和初始条当系统微分方程列写出来后，只要给定输入量和初始条件，便可对微分方程求解，并由此了解系统输出量随时间变化件，便可对微分方程求解，并由此了解系统输出量随时间变化的特性。线性定常微分方程的求解方法有经典法、的特性。线性定常微分方程的求解方法有经典法、拉氏变换法拉氏变换法和数值计算方法。和数值计算方法。7/23/202412非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化实际上所有现实中的系统都不实际上所有现实中的系统都不是线性的，为了便于分析和求是线性的，为了便于分析和求解，通常要对系统进行解，通常要对系统进行“理想理想化化”和和“线性化线性化”处理；处理；手段手段:a.忽略非线性忽略非线性;b.小偏差小偏差线性化法线性化法,取某平衡状态点取某平衡状态点A,泰泰勒级数展开勒级数展开,小范围内以直代曲小范围内以直代曲.一般地一般地,自动控制系统在正常情况下都处于一个稳定的工作状态，自动控制系统在正常情况下都处于一个稳定的工作状态，而其被控量的偏差一般不会很大，只是而其被控量的偏差一般不会很大，只是“小偏差小偏差”。在建立控制系。在建立控制系统的数学模型时，通常是将系统的稳定工作状态作为起始状态，仅统的数学模型时，通常是将系统的稳定工作状态作为起始状态，仅仅研究小偏差的运动情况，因而这种小偏差线性化方法对于控制系仅研究小偏差的运动情况，因而这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的。统大多数工作状态是可行的。7/23/2024132-2 2-2 控制系统的复数域数学模型控制系统的复数域数学模型-传递函数传递函数 拉氏变换法求解系统微分方程时，可得到控制系统在复数拉氏变换法求解系统微分方程时，可得到控制系统在复数域中的数学模型域中的数学模型传递函数。传递函数不仅可表征系统的动态性能，传递函数。传递函数不仅可表征系统的动态性能，且可用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制且可用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制论中广泛应用的论中广泛应用的频率法和根轨迹法频率法和根轨迹法，就是以传递函数为基础的，就是以传递函数为基础的，传传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。1 1 传递函数的传递函数的定义和性质定义和性质 定义定义 线性定常系统的传递函数线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时定义为初始条件为零时,输出输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为记为G(S),),即即:（2-16）7/23/202414 用拉氏变换法求解线性系统的微分方程时用拉氏变换法求解线性系统的微分方程时,可以可以得到控制系统在复数域的数学模型得到控制系统在复数域的数学模型传递函数传递函数.传传递函数不仅可以表征系统的动态性能递函数不仅可以表征系统的动态性能,而且可以用而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响.拉普拉斯变换方法求解的拉普拉斯变换方法求解的优点优点：拉普拉斯变换法可以直接将微分方程变换成代拉普拉斯变换法可以直接将微分方程变换成代数方程，简化求解过程；数方程，简化求解过程；可以同时获得解的瞬态分量和稳态分量；可以同时获得解的瞬态分量和稳态分量；可以求得微分方程的全解。可以求得微分方程的全解。7/23/202415设线性定常系统的设线性定常系统的n阶线性常微分方程为阶线性常微分方程为设设 r(t)和和 c(t)及其各阶导数在及其各阶导数在 t=0 时的值均为零时的值均为零,即零初始条件即零初始条件,对上式中各项分别求拉氏变换对上式中各项分别求拉氏变换,令令C(s)=Lc(t),R(s)=Lr(t)可可得得 s 的代数方程为的代数方程为7/23/202416式中式中于是于是,由定义得系统的传递函数为由定义得系统的传递函数为 (2-17)ui(t)uo o(t)CRLi(t)例例2-8 试求例试求例2-1 RLC无源网络的传递函数无源网络的传递函数解解:该网络微分方程已求出该网络微分方程已求出,如式如式(2-1)7/23/202417 在零初始条件下在零初始条件下,对上式进行拉氏变换对上式进行拉氏变换,令令Uo(s)=Luo(t),Ui(s)=Lui(t)得得(2-18)由传递函数定义得网络传递函数为由传递函数定义得网络传递函数为(2-19)性质性质 传递函数是复变量传递函数是复变量 s 的有理真分式函数的有理真分式函数,具有复变函数具有复变函数的所有性质的所有性质.有有mn且所有系数均为实数且所有系数均为实数.7/23/202418 在零初始条件下在零初始条件下,对上式进行拉氏变换对上式进行拉氏变换,令令Uo(s)=Luo(t),Ui(s)=Lui(t)得得(2-18)由传递函数定义得网络传递函数为由传递函数定义得网络传递函数为(2-19)性质性质 传递函数是复变量传递函数是复变量 s 的有理真分式函数的有理真分式函数,具有复变函数具有复变函数的所有性质的所有性质.有有mn且所有系数均为实数且所有系数均为实数.7/23/202419 传递函数是一种传递函数是一种用系统参数表示用系统参数表示输出量与输入量之间关系输出量与输入量之间关系的表达式的表达式,它只它只取决于系统或元件的结构和参数取决于系统或元件的结构和参数,而与输而与输入量的形式无关入量的形式无关,也不反映系统内部的任也不反映系统内部的任何信息何信息.因此因此,可以用图可以用图2-5的方块图表示的方块图表示一个具有传递函数一个具有传递函数G(s)的线性系统的线性系统.图图2-5 2-5 传递函数的图示传递函数的图示G(s)R(s)C(s)传递函数与微分方程有传递函数与微分方程有相通性相通性.在零初始条件下，若将在零初始条件下，若将微分方程的算符微分方程的算符d/dt 用复数用复数 s 置换便得到传递函数置换便得到传递函数;反之亦可反之亦可.传递函数传递函数 G(s)的拉氏反变换是脉冲响应的拉氏反变换是脉冲响应 g(t).脉冲响应脉冲响应g(t)是系统在单位脉冲是系统在单位脉冲 输入时的输出响应输入时的输出响应,此时此时,7/23/202420 传递函数是在零初始条件下定义的传递函数是在零初始条件下定义的,控制系统的零初始控制系统的零初始条件有两方面的含义条件有两方面的含义:一是指输入量是在一是指输入量是在t0时才作用于系统时才作用于系统,因此在因此在t=0-时输入量及其各阶导数均为零时输入量及其各阶导数均为零;二是指输入量加于二是指输入量加于系统之前系统之前,系统处于稳定的工作状态系统处于稳定的工作状态,即即输出量及其各阶导数输出量及其各阶导数在在t=0-时的值也为零时的值也为零.现实的工程控制系统多属此类情况现实的工程控制系统多属此类情况.物理意义物理意义例例2-9 试求例试求例2-2电枢控制直流电机的传递函数电枢控制直流电机的传递函数解解:在例在例2-2中已求得电枢控制直流电机简化后的微分方程为中已求得电枢控制直流电机简化后的微分方程为(2-20)(2-20)根据线性系统叠加原理根据线性系统叠加原理,可分别求出可分别求出ua(t)到到 m(t)和和Mc(t)到到 m(t)的传递函数的传递函数.先求先求 ,为此令为此令Mc(t)=0,则有则有7/23/202421在零初始条件下在零初始条件下,对上式各项求拉氏变换对上式各项求拉氏变换,则则得得(2-21)(2-21)由传递函数定义由传递函数定义,于是有于是有(2-22)(2-22)同理同理,令令 ua(t)=0,可求得可求得(2-23)(2-23)7/23/202422式中式中,-称为传递函数称为传递函数的的零点零点;-称为传递函数的称为传递函数的极点极点.2 传递函数的零点和极点传递函数的零点和极点 传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后,可写可写为如下形式为如下形式(2-24)7/23/202423 传递函数的零点和极点可以是实数传递函数的零点和极点可以是实数,也可是复数也可是复数,系数系数K*=b0/a0称为传递系数或称为传递系数或根轨迹增益根轨迹增益.这种用零点和极点表示这种用零点和极点表示传递函数的方法传递函数的方法,在根轨迹法中使用较多在根轨迹法中使用较多.在复数平面上表示传递函数的零点和极点时在复数平面上表示传递函数的零点和极点时,称为传递函称为传递函数的零极点分布图数的零极点分布图.在图中一般用在图中一般用 表示零点表示零点,用用 表示极表示极点点.传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后,也也可以写为如下因子连乘积的形式可以写为如下因子连乘积的形式(2-25)7/23/202424定义：输入是正弦信号时，系统的稳态输出与系统的输入之比 只要将系只要将系统传递函数中的函数中的用用便可便可获得系得系统代替代替,的的频率特性。率特性。传递函数函数:2.3 控制系统的频域数学模型控制系统的频域数学模型频率特性频率特性频率特性率特性:7/23/2024252.4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数 1 1）比例环节）比例环节:其输出量和输入量的关系，由下面其输出量和输入量的关系，由下面的代数方程式来表示的代数方程式来表示式中式中 环节的放大系数，为一常数。环节的放大系数，为一常数。传递函数为：传递函数为：特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。7/23/202426实例：实例：电子放大器，齿轮，电阻电子放大器，齿轮，电阻(电位器电位器)，感应，感应式变送器等。式变送器等。7/23/202427传递函数为：传递函数为：实例实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。拟计算机中的积分器等。2 2）积分环节）积分环节:其输出量和输入量的关系，由下其输出量和输入量的关系，由下面的微分方程式来表示面的微分方程式来表示输出量与输入量的积分成正比例，输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。当输入消失，输出具有记忆功能。7/23/2024283 3）微分环节：）微分环节：是积分的逆运算，是积分的逆运算，其输出量和输入量其输出量和输入量的关系，由下式来表示的关系，由下式来表示传递函数为：传递函数为：式中式中 环节的时间常数。环节的时间常数。实例：实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。函数即为微分环节。输出量正比输入量变化的速度，输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。能预示输入信号的变化趋势。7/23/202429 测速发电机的数学描述测速发电机的数学描述 输输 入：入：(t)(t)电动机电动机D D转子（与测速发电机同轴）的转角转子（与测速发电机同轴）的转角输输 出：出：u uf f(t(t)测速发电机的电枢电压测速发电机的电枢电压微分方程：微分方程：传递函数：传递函数：G G（s s）=Ks=Ks 频率特性：频率特性：G（j）=jK 7/23/2024304 4）惯性环节）惯性环节:其输出量和输入量的关系，由下其输出量和输入量的关系，由下面的常系数非齐次微分方程式来表示面的常系数非齐次微分方程式来表示传递函数为：传递函数为：式中式中 T T 环节的时间常数。环节的时间常数。含一个储能元件，对突变的含一个储能元件，对突变的输入输入,其输出不能立即发现其输出不能立即发现实例：实例：RCRC网络，直流伺服电动机的网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。传递函数也包含这一环节。7/23/202431 RC电路电路 输入输入u ur r(t(t)输出输出u uc c(t(t)传递函数：传递函数：7/23/202432直流电机输入量输入量:ud 电枢电压电枢电压输出量：输出量：id 电枢电流电枢电流传递函数传递函数:式中式中 Ld 电枢回路电感；电枢回路电感；Rd 电枢回路电阻；电枢回路电阻；d 电枢绕组的时间常数；电枢绕组的时间常数；7/23/2024335 5）振荡环节：）振荡环节：其输出量和输入量的关系，由下面的其输出量和输入量的关系，由下面的二阶微分方程式来表示。二阶微分方程式来表示。传递函数为：传递函数为：实例：实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。电路的输出与输入电压间的传递函数。环节中有两个独立的储能元件，并环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡可进行能量交换，其输出出现振荡是无阻尼振荡角频率，为阻尼比。7/23/202434RLC电路电路传递函数：传递函数：7/23/2024356 6）延迟环节：）延迟环节：其输出量和输入量的关系，由下式来其输出量和输入量的关系，由下式来表示表示传递函数为：传递函数为：式中式中 延迟时间延迟时间实例：实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节模型就包含有延迟环节。输出量能准确复现输入量，但输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。须延迟一固定的时间间隔。7/23/202436小结小结（1）不同物理性质的系统，可以有相同形式的传不同物理性质的系统，可以有相同形式的传 递函数。递函数。例如：前面介绍的振荡环节中两个例子，一个是机械系统，例如：前面介绍的振荡环节中两个例子，一个是机械系统，另一个是电气系统，但传递函数的形式完全相同。另一个是电气系统，但传递函数的形式完全相同。（2）同一个系统，当选取不同的输入量、输出量）同一个系统，当选取不同的输入量、输出量 时，就可能得到不同形式的传递函数。时，就可能得到不同形式的传递函数。例如：电容例如：电容,输入输入电流，输出电流，输出电压，则是积分环节。电压，则是积分环节。反之，输入反之，输入电压，输出电压，输出电流，则为微分环节。电流，则为微分环节。7/23/202437习题：2-1 (c),(d)2-2 2-4(1),(3)2-57/23/202438
展开阅读全文