——弹性力学基础教材课件

机械与运载工程学院湖南大学湖南大学College of Mechanical&Vehicle EngineeringHunan University崔向阳崔向阳弹性力学基础弹性力学基础 第二章第二章:有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳2材料力学的研究对象和内容材料力学的研究对象和内容 杆件在杆件在拉压拉压、剪切剪切、弯曲弯曲、扭转扭转和和组组 合受力合受力作用下的应力和位移作用下的应力和位移 任务任务在满足在满足 、和和 的要的要 求下以最求下以最经济经济的代价，为构件确定合理的代价，为构件确定合理 的形式和尺寸并选择适宜的材料提供必的形式和尺寸并选择适宜的材料提供必 要的理论基础和计算方法。要的理论基础和计算方法。对象对象内容内容杆状结构杆状结构 强度强度刚度刚度稳定性稳定性有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳3弹性力学的研究对象弹性力学的研究对象物体的物体的应力应力和和应变应变之间有着之间有着一一对应一一对应 的关系，且当外作用除去后，物体可的关系，且当外作用除去后，物体可 恢复原状恢复原状的特性。的特性。v弹性体弹性体仅有仅有弹性性质弹性性质的一种理想物体。的一种理想物体。v弹性力学弹性力学研究研究弹性体弹性体在在外界因素外界因素（外力作用（外力作用 温度变化、边界约束等）影响下，温度变化、边界约束等）影响下，其内部所产生的其内部所产生的应力、形变应力、形变和和位移位移 的学科。的学科。v弹性弹性有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳4弹性力学的研究对象弹性力学的研究对象v研究任务研究任务分析各种结构物或其构件在分析各种结构物或其构件在弹性阶弹性阶 段段的的应力应力和和位移位移，校核它们是否具，校核它们是否具 有所需的有所需的强度、刚度强度、刚度和和稳定性稳定性，寻，寻 求或改进它们的计算方法求或改进它们的计算方法,采取采取最最 优化优化的方案解决的方案解决安全与经济安全与经济的矛盾的矛盾v研究对象研究对象板、壳、地基、堤坝和挡土墙等板、壳、地基、堤坝和挡土墙等实实 体结构体结构，以及对杆件结构做更为严，以及对杆件结构做更为严 密精确的研究。密精确的研究。有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳5弹性力学与材料力学的区别弹性力学与材料力学的区别 材料力学基本上只研究材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴杆、梁、柱、轴等等杆状构件杆状构件，即长度远，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的研究材料力学无法研究的板板与与壳壳及其它及其它实体结构实体结构，即两个尺寸，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。1 1 1 1、研究的对象、研究的对象、研究的对象、研究的对象 弹性力学只研究弹性体和物体的弹性力学只研究弹性体和物体的弹性阶段弹性阶段；而材料力学还研究；而材料力学还研究物体的物体的塑性阶段塑性阶段，包括，包括蠕变、疲劳蠕变、疲劳等方面的问题等方面的问题。2 2 2 2、研究的范围、研究的范围、研究的范围、研究的范围 材料力学对材料力学对 或或 做一些近似假设，所得结果做一些近似假设，所得结果往往是近似的、初等的，限于一定条件下应用；而弹性力学则往往是近似的、初等的，限于一定条件下应用；而弹性力学则从从 出发，对物体的应力变形进行精确分析，所得结果出发，对物体的应力变形进行精确分析，所得结果更为精确，可用来校核材力结果。更为精确，可用来校核材力结果。3 3 3 3、研究的方法、研究的方法、研究的方法、研究的方法应力分布应力分布形变状态形变状态基本假设基本假设有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳6弹性力学的基本假设弹性力学的基本假设 现实问题往往十分复杂，科学研究不可能现实问题往往十分复杂，科学研究不可能考虑所有因素，否则问题将难以求解。只能对考虑所有因素，否则问题将难以求解。只能对各种因素进行分析，抓住主要因素，忽略次要各种因素进行分析，抓住主要因素，忽略次要因素，并概括主要因素建立一种抽象模型，对因素，并概括主要因素建立一种抽象模型，对该模型进行研究，其研究结果可用于任何符合该模型进行研究，其研究结果可用于任何符合该模型的实际物体。该模型的实际物体。抓住主要矛盾和矛盾的主要方面抓住主要矛盾和矛盾的主要方面有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳7弹性力学的基本假设弹性力学的基本假设4)4)各向同性各向同性各向同性各向同性1)1)连续性连续性连续性连续性5)5)小变形小变形小变形小变形2)2)完全弹性完全弹性完全弹性完全弹性3)3)均匀性均匀性均匀性均匀性五个五个基本基本假设假设 引入假设的主要目的在于希望能利用引入假设的主要目的在于希望能利用引入假设的主要目的在于希望能利用引入假设的主要目的在于希望能利用数学工具数学工具数学工具数学工具来研究弹来研究弹来研究弹来研究弹性力学。性力学。性力学。性力学。有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳8弹性力学的基本假设弹性力学的基本假设1 1 1 1）连续性假设）连续性假设）连续性假设）连续性假设从宏观上认为物体是连续的，则所有物理量如应力、应变和位移从宏观上认为物体是连续的，则所有物理量如应力、应变和位移都可为都可为坐标的连续函数坐标的连续函数，从而在数学推导时可利用，从而在数学推导时可利用连续连续和和极限极限的的概念，采用微积分、微分方程、微分几何、积分方程、变分等概念，采用微积分、微分方程、微分几何、积分方程、变分等数数学工具学工具对弹性力学进行研究。对弹性力学进行研究。2 2 2 2）线性完全弹性假设）线性完全弹性假设）线性完全弹性假设）线性完全弹性假设当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原形，当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样，当温度不变时，物体在任一瞬时的而不留任何残余变形。这样，当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。无关。该假定使该假定使该假定使该假定使本构关系本构关系本构关系本构关系（物理方程）成线性方程。（物理方程）成线性方程。（物理方程）成线性方程。（物理方程）成线性方程。完全弹性：弹性极限以下完全弹性：弹性极限以下完全弹性：弹性极限以下完全弹性：弹性极限以下 线性弹性：比例极限以下线性弹性：比例极限以下线性弹性：比例极限以下线性弹性：比例极限以下脆性材料的物体，在应力未超过比例极限以前，可作为近似的完脆性材料的物体，在应力未超过比例极限以前，可作为近似的完脆性材料的物体，在应力未超过比例极限以前，可作为近似的完脆性材料的物体，在应力未超过比例极限以前，可作为近似的完全弹性体。塑性材料的物体，在应力未超过屈服极限以前，可作全弹性体。塑性材料的物体，在应力未超过屈服极限以前，可作全弹性体。塑性材料的物体，在应力未超过屈服极限以前，可作全弹性体。塑性材料的物体，在应力未超过屈服极限以前，可作为近似的完全弹性体。为近似的完全弹性体。为近似的完全弹性体。为近似的完全弹性体。有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳9弹性力学的基本假设弹性力学的基本假设整个物体是由同一种材料组成的。这样，整个物体的所有各部分整个物体是由同一种材料组成的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性常数才具有相同的物理性质，因而物体的弹性常数(弹性模量和泊松弹性模量和泊松系数系数)才不随位置坐标而变才不随位置坐标而变，可取该物体中可取该物体中可取该物体中可取该物体中任一小部分任一小部分任一小部分任一小部分来分析，来分析，来分析，来分析，然后把分析结果应用于整个物体然后把分析结果应用于整个物体然后把分析结果应用于整个物体然后把分析结果应用于整个物体。3 3 3 3）均匀性假设）均匀性假设）均匀性假设）均匀性假设4 4 4 4）各向同性假设）各向同性假设）各向同性假设）各向同性假设物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。物体的弹性在各方向相同，弹性常数等物理量不随方向变化。物体的弹性在各方向相同，弹性常数等物理量不随方向变化。5 5 5 5）小变形假设）小变形假设）小变形假设）小变形假设当物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有当物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于尺寸，因而应变和转角都远小于1 1，这样，在考虑物体变形以后，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平致有显著的误差；并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程方项或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。都成为线性方程。有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳10弹性力学的基本假设弹性力学的基本假设在在在在连续性连续性连续性连续性、完全弹性完全弹性完全弹性完全弹性、均匀性均匀性均匀性均匀性、各向同性各向同性各向同性各向同性和和和和小变形小变形小变形小变形假定下，弹性假定下，弹性假定下，弹性假定下，弹性力学问题化为线性问题，可应用力学问题化为线性问题，可应用力学问题化为线性问题，可应用力学问题化为线性问题，可应用叠加原理。叠加原理。叠加原理。叠加原理。叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理：在线弹性：在线弹性：在线弹性：在线弹性(物理线性物理线性物理线性物理线性)和小变形（几何线性）情况下，和小变形（几何线性）情况下，和小变形（几何线性）情况下，和小变形（几何线性）情况下，作用于物体上几组荷载产生的应力和变形的总效应，等于每组荷作用于物体上几组荷载产生的应力和变形的总效应，等于每组荷作用于物体上几组荷载产生的应力和变形的总效应，等于每组荷作用于物体上几组荷载产生的应力和变形的总效应，等于每组荷载单独作用效应的总和。载单独作用效应的总和。载单独作用效应的总和。载单独作用效应的总和。hg gqPhg gqP=+有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳11弹性力学中的基本概念弹性力学中的基本概念1 1 1 1）外力）外力）外力）外力（体力和面力）（体力和面力）定义：其它物体对研究对象（弹性体）的作用力。定义：其它物体对研究对象（弹性体）的作用力。体力体力体力体力:分布在物体体积内的力，如重力、惯性力和电磁力等。分布在物体体积内的力，如重力、惯性力和电磁力等。oxyzfyfzPffx矢量矢量 方向沿方向沿 的极限方向的极限方向符号：符号：坐标正向为正坐标正向为正。以单位体积内所受的力来量度：以单位体积内所受的力来量度：量纲（因次）：量纲（因次）：有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳12弹性力学中的基本概念弹性力学中的基本概念面力面力面力面力:分布在物体表面的力，如流体压力和接触力等。分布在物体表面的力，如流体压力和接触力等。矢量矢量 方向沿方向沿 的极限方向的极限方向以单位面积所受的力来量度：以单位面积所受的力来量度：oxyzP符号：符号：坐标正向为正坐标正向为正。量纲（因次）：量纲（因次）：体力和面力均表示单位体积、面积上的作用力，所以考虑平衡条体力和面力均表示单位体积、面积上的作用力，所以考虑平衡条件件求合力求合力求合力求合力时，须乘以相应的体积和面积。时，须乘以相应的体积和面积。有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳13弹性力学中的基本概念弹性力学中的基本概念2 2 2 2）内力）内力）内力）内力定义：物体本身不同部分之间相互作用的力。定义：物体本身不同部分之间相互作用的力。定义：物体本身不同部分之间相互作用的力。定义：物体本身不同部分之间相互作用的力。假想切开物体，截面两边互相作用的力（合力和合力矩)，就是内力。有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳14弹性力学中的基本概念弹性力学中的基本概念3 3 3 3）应力）应力）应力）应力定义：截面上某一点处，单位截面面积上的内力值。定义：截面上某一点处，单位截面面积上的内力值。应力应力S在其作用截面上的法向在其作用截面上的法向分量为正应力分量为正应力，切向分量称，切向分量称为剪应力，用为剪应力，用表示。表示。有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳15弹性力学中的基本概念弹性力学中的基本概念显然，点p在不同截面上的应力是不同的。为分析点p的应力状态，即通过p点的各个截面上的应力的大小和方向，在p点取出的一个无穷小平行六面体。用六面体表面的应力分量来表示p点的应力状态。一点应力的要素一点应力的要素一点应力的要素一点应力的要素：大小大小大小大小方向方向方向方向作用点作用点作用点作用点作用面作用面作用面作用面有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳16一点的应力状态一点的应力状态经过物体内任一点如经过物体内任一点如经过物体内任一点如经过物体内任一点如P P P P点取出一个点取出一个点取出一个点取出一个微小的正六面体，它的棱边分别微小的正六面体，它的棱边分别微小的正六面体，它的棱边分别微小的正六面体，它的棱边分别平行于三个坐标轴而长度分别为：平行于三个坐标轴而长度分别为：平行于三个坐标轴而长度分别为：平行于三个坐标轴而长度分别为：。将每个面上的应力分解为一个。将每个面上的应力分解为一个。将每个面上的应力分解为一个。将每个面上的应力分解为一个正应力和两个切应力。正应力用正应力和两个切应力。正应力用正应力和两个切应力。正应力用正应力和两个切应力。正应力用 表示，切应力用表示，切应力用表示，切应力用表示，切应力用 表示。表示。表示。表示。vv应力下标的含意：应力下标的含意：应力下标的含意：应力下标的含意：A.A.A.A.作用面的外法线方向作用面的外法线方向作用面的外法线方向作用面的外法线方向B.B.B.B.力的指向力的指向力的指向力的指向A.A.A.A.作用面的外法线方向作用面的外法线方向作用面的外法线方向作用面的外法线方向B.B.B.B.力的指向力的指向力的指向力的指向有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳17一点的应力状态一点的应力状态如果某一个面上的如果某一个面上的外法线外法线是沿着是沿着坐标轴的正方向坐标轴的正方向，这个面上，这个面上的应力就以的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，如果某一个面上的相反，如果某一个面上的外法线外法线是沿着是沿着坐标轴的负方向坐标轴的负方向，这，这个面上的应力就以个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴正方向沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴正方向为负为负。应力的正负应力的正负应力的正负应力的正负截面两侧的物体上内力和应力都截面两侧的物体上内力和应力都是成对出现的，且数值相等，方是成对出现的，且数值相等，方向相反（向相反（作用力与反作用力作用力与反作用力），），采取上述规定则截开的两部分遵采取上述规定则截开的两部分遵守同一的规定。守同一的规定。材料力学材料力学：截面上的剪应力力截面上的剪应力力对截面上任意一点的矩为对截面上任意一点的矩为顺时针顺时针转向时，转向时，剪力为正；剪力为正；反之反之为负为负。有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳18切应力互等定理切应力互等定理 在受力物体相互垂直的两个平面上，切应力必然在受力物体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两平面的交线，成对存在，且数值相等；两者都垂直于两平面的交线，方向共同指向或背离这一交线。方向共同指向或背离这一交线。oxyzt tyx t txy t tzxt txzt tzyt tyz弹力规定弹力规定材力规定材力规定 有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳19一点的应力状态一点的应力状态v可以证明，在物体内任意一点，若已知可以证明，在物体内任意一点，若已知可以证明，在物体内任意一点，若已知可以证明，在物体内任意一点，若已知 、，即可求得经过该点的任意截面上（方向余弦已知）的正应力，即可求得经过该点的任意截面上（方向余弦已知）的正应力，即可求得经过该点的任意截面上（方向余弦已知）的正应力，即可求得经过该点的任意截面上（方向余弦已知）的正应力和切应力。故这六个应力分量完全确定了该点的应力状态。和切应力。故这六个应力分量完全确定了该点的应力状态。和切应力。故这六个应力分量完全确定了该点的应力状态。和切应力。故这六个应力分量完全确定了该点的应力状态。xyzPc ca ab b 六个应力分量的总体，可以用一六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵来表示：个列矩阵来表示：有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳20弹性力学中的基本概念弹性力学中的基本概念 弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变形状态，弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变形状态，一般有两种方式来描述：一般有两种方式来描述：1 1、给出、给出各点的位移各点的位移；2 2、给出、给出各体素的变形各体素的变形。弹性体内任一点的位移，用此位移在弹性体内任一点的位移，用此位移在x x、y y、z z三个坐标轴三个坐标轴上的投影上的投影u u、v v、w w来表示。以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴来表示。以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为位移分量。一般情况下，弹性负方向为负。这三个投影称为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移分为两类：体受力以后，各点的位移分为两类：形变有关的位移形变有关的位移和与和与形形变无关位移（刚体位移）变无关位移（刚体位移）。4 4 4 4）位移和应变）位移和应变）位移和应变）位移和应变 体素的变形可以分为两类：一类是体素的变形可以分为两类：一类是长度的变化长度的变化，一类是，一类是角角度的变化度的变化。有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳21弹性力学中的基本概念弹性力学中的基本概念 任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变(或称或称正应变正应变)，用符号，用符号 来表示。沿坐标轴的线应变，则加上相应的来表示。沿坐标轴的线应变，则加上相应的角码，分别用角码，分别用 来表示。当线素伸长时，其线应变为正。来表示。当线素伸长时，其线应变为正。反之，线素缩短时，其线应变为负。这与正应力的正负号规定相反之，线素缩短时，其线应变为负。这与正应力的正负号规定相对应。对应。任任意意两两个个原原来来彼彼此此正正交交的的线线素素，在在变变形形后后其其夹夹角角的的变变化化值值称称为为角角应应变变或或剪剪应应变变，用用符符号号 来来表表示示。两两坐坐标标轴轴之之间间的的角角应应变变，则则加加上上相相应应的的角角码码，分分别别用用 来来表表示示。规规定定当当夹夹角角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应(正的正的 引起正的引起正的 ，等等，等等)。有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳22应变分量与位移分量的关系应变分量与位移分量的关系A点在点在X方向的位移分量为方向的位移分量为u；B点在点在X方向的位移：方向的位移：ABCD-ABCD求线素求线素AB、AD的正应变的正应变 ，用位移分量来表示：，用位移分量来表示：线素线素AB的正应变为：的正应变为：同理，同理，AD的正应变为：的正应变为：有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳23应变分量与位移分量的关系应变分量与位移分量的关系A点在点在Y方向的位移分量为方向的位移分量为v；B点在点在Y方向的位移：方向的位移：求剪应变求剪应变 ，也就是线素，也就是线素AB与与AD的的之间直角的改变之间直角的改变线素线素AB的的转角转角为：为：X向线素AB的转角，Y向线素AD的转角BABBtg =aaxuxvdxxudxvdxxvv+=+-+=1)(有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳24应变分量与位移分量的关系应变分量与位移分量的关系求剪应变求剪应变 ，也就是线素，也就是线素AB与与AD的的之间直角的改变之间直角的改变X向线素AB的转角，Y向线素AD的转角同理，同理，Y向线素向线素AD的转角的转角由于变形是微小的，所以上式由于变形是微小的，所以上式可将比单位值小得多的可将比单位值小得多的 略略去，得去，得因此，剪应变为：因此，剪应变为：xuxv=ayu=byuxvxy+=+=bag有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳25几何方程几何方程以上是考察了体素在以上是考察了体素在XOY一个平面内的变形情况，一个平面内的变形情况，同样方法来考察体素在同样方法来考察体素在XOZ和和YOZ平面内的变形情况，可平面内的变形情况，可得：得：联立得到联立得到几何方程几何方程几何方程几何方程，表明应变分量与位移分量之间的关系。，表明应变分量与位移分量之间的关系。yvy=exux=eyuxvxy+=+=bagzuxwywzvzwzxyzz+=+=gge，有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳26几何方程几何方程几何方程可表示为矩阵的形式：几何方程可表示为矩阵的形式：有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳27应变分量矩阵应变分量矩阵v同一点的应力状态情况一样，可以证明，在物体内任意一点，若同一点的应力状态情况一样，可以证明，在物体内任意一点，若同一点的应力状态情况一样，可以证明，在物体内任意一点，若同一点的应力状态情况一样，可以证明，在物体内任意一点，若已知已知已知已知 、，即可求得经过该点的任意截，即可求得经过该点的任意截，即可求得经过该点的任意截，即可求得经过该点的任意截面上（方向余弦已知）的正应变和切应变。故这六个应变分量完全面上（方向余弦已知）的正应变和切应变。故这六个应变分量完全面上（方向余弦已知）的正应变和切应变。故这六个应变分量完全面上（方向余弦已知）的正应变和切应变。故这六个应变分量完全确定了该点的形变状态。确定了该点的形变状态。确定了该点的形变状态。确定了该点的形变状态。六个应变分量的总体，可以用一个列矩阵来表示：六个应变分量的总体，可以用一个列矩阵来表示：有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳28刚体位移刚体位移 由几何方程可见，当弹性体的位移分量完全确定时，应变由几何方程可见，当弹性体的位移分量完全确定时，应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全确定时，位移分分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全确定时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状的物体，可能发生量却不完全确定；这是因为，具有确定形状的物体，可能发生不同的刚体位移。为了说明这一点，试令：不同的刚体位移。为了说明这一点，试令：0=zxyzxyzyxgggeee000000=+=+=+=yuxwxwzvzvyuzwyvxu，则有：则有：积分后，得积分后，得 000-+=-+=-+=xywwzxvvyzuuyxxzzywwwwww式中的式中的 是积分常数是积分常数、zyxwvuwww000有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳29积分常数的意义积分常数的意义为为了了完完全全确确定定弹弹性性体体的的位位移移，必必须须有有六六个个适适当当的的约约束束条条件来确定件来确定 这六个刚体位移。这六个刚体位移。000-+=-+=-+=xywwzxvvyzuuyxxzzywwwwww0u 代代表表弹弹性性体体沿沿x方方向向的的刚刚体体移移动动。及及 分分别别代代表表弹弹性性体体沿沿y方方向向及及z方向的刚体移动。方向的刚体移动。0v0w 代代表表弹弹性性体体绕绕z轴轴的的刚刚体体转转动动。同同样样，及及 c 分分别别代代表表弹弹性性体体绕绕x轴轴及及y轴轴的的刚刚体体位位移。移。zwxwywzyxwvuwww、000有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳30应力应变关系，本构方程应力应变关系，本构方程 当沿当沿X轴方向的两个对面受有均匀分布轴方向的两个对面受有均匀分布的正应力时，在满足先前假定的材料性的正应力时，在满足先前假定的材料性质条件下，正应力不会引起角度的任何质条件下，正应力不会引起角度的任何改变，而其在改变，而其在X方向的单位伸长则可表方向的单位伸长则可表以方程以方程应力分量与应变分量之间的关系应力分量与应变分量之间的关系-虎克定律虎克定律 Exxe=式中式中E为弹性模量。为弹性模量。弹性体在弹性体在x方向的伸长还伴随有侧向收方向的伸长还伴随有侧向收缩，即在缩，即在y和和z方向的单位缩短可表示方向的单位缩短可表示为：为：EExzxymeme-=-=，式式中中 为为泊泊松松系系数数。上上面面方方程程既既可可用用于于简简单单拉拉伸伸，也也可可用用于于简简单单压压缩缩，且且在在弹弹性性极极限限之之内内，两两种种情情况况下下的的弹弹性性模量和泊松系数相同。模量和泊松系数相同。m有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳31应力应变关系，本构方程应力应变关系，本构方程 设设图图中中的的弹弹性性体体在在各各面面上上都都受受有有均均匀匀分分布布的的正正应应力力，则则合合成成应应变变的的分分量量可可用用叠叠加加原原理理求求得得。实实验验证证明明，只只须须将将三三个个应应力力中中的的每每一一应应力力所所引引起起的的应应变变分分量量叠叠加，就得到合成应变的分量。加，就得到合成应变的分量。单单位位伸伸长长与与应应力力之之间间的的关关系系完完全全由由两两个个物物理理常常数数E及及 所所确确定定。两两个个常常数数也也可可用来确定剪应力与剪应变之间的关系。用来确定剪应力与剪应变之间的关系。m有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳32 如如果果弹弹性性体体的的各各面面有有剪剪应应力力作作用用，如如图图所所示示，任任何何两两坐坐标标轴轴的的夹夹角角的的改改变变仅仅与与平平行行于于这这两两轴的剪应力分量有关，即得到：轴的剪应力分量有关，即得到：式式中中G称称为为剪剪切切模模量量，它它与与弹弹性性模模量量E，泊泊松松系数系数 存在如下的关系：存在如下的关系：前前面面方方程程中中的的正正应应变变与与方方程程中中的的剪剪应应变变是是各各自自独独立立的的。因因此此，由由三三个个正正应应力力分分量量与与三三个个剪剪应应力力分分量量引引起起的的一一般般情情形形的的应应变变，可可用用叠叠加加法法求求得得；即即将将上上述述六六个个关关系系式式写写在在一一起起，称称为为本本构构方方程程或或物物理理方方程程，这这种种空空间间状状态态的的应力应变关系称为广义虎克定律。应力应变关系称为广义虎克定律。应力应变关系，本构方程应力应变关系，本构方程m有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳33应力应变关系，本构方程应力应变关系，本构方程 将将应应变变分分量量表表为为应应力力分分量量的的函函数数，可可称称为为本本构构方方程程的的第第一一种种形形式式。若若将将上上式式改改写写成成应应力力分分量量表表为为应应变变分分量量的的函函数数的的形形式式，可可得本构方程的第二种形式：得本构方程的第二种形式：有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳34应力应变关系，本构方程应力应变关系，本构方程用矩阵的形式可将上式表示为：用矩阵的形式可将上式表示为：有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳35应力应变关系，本构方程应力应变关系，本构方程 D称为弹性矩阵，它完全决定于弹性常数称为弹性矩阵，它完全决定于弹性常数E和和m有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳36应力应变关系，本构方程应力应变关系，本构方程表征弹性体的弹性，也可以采用拉梅(Lame)常数G,G为弹性模量。本构方程中的弹性矩阵D亦可表示为有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳37应力应变关系，本构方程应力应变关系，本构方程本构方程的另一种形式是显然，C=D-1，它和弹性矩阵是互逆关系.其中C是柔度矩阵：有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳38平衡微分方程平衡微分方程 在物体内的任意一点在物体内的任意一点P，割取一，割取一个微小的平行六面体，棱边的长度个微小的平行六面体，棱边的长度分别为分别为PA=dx，PB=dy，PC=dz。首先，以连接六面体前后两面首先，以连接六面体前后两面中心的直线中心的直线 为矩轴，列出力矩为矩轴，列出力矩的平衡方程的平衡方程整理，并略去微量后，得整理，并略去微量后，得同样可以得出同样可以得出证明了剪应力互等定理证明了剪应力互等定理有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳39平衡微分方程平衡微分方程列出列出x轴方向的动态平衡方程轴方向的动态平衡方程由其余两个平衡方程由其余两个平衡方程 和和 可以得出与之相似的两个方可以得出与之相似的两个方程。化简，除以程。化简，除以dxdydz，得，得偏微分算子偏微分算子有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳40平衡微分方程平衡微分方程将本构方程和几何方程带入动态平衡方程可得将本构方程和几何方程带入动态平衡方程可得若作用于物体上的载荷是静态的，且物体处于静态平衡状态，若作用于物体上的载荷是静态的，且物体处于静态平衡状态，则可去掉惯性项得到静态平衡方程：则可去掉惯性项得到静态平衡方程：有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳41边界条件边界条件通常把研究对象以外的其它物体称为通常把研究对象以外的其它物体称为外界外界;把属于研究对象本把属于研究对象本身并且与外界直接接触的那些接触面称为身并且与外界直接接触的那些接触面称为边界边界。边界条件边界条件是是指指边界的形状、边界所受的外力边界的形状、边界所受的外力,以及外界给予它的位移限制以及外界给予它的位移限制。在弹性力学问题中，弹性体在弹性力学问题中，弹性体V的全部边界为的全部边界为S,一部分边界上已一部分边界上已知外力知外力 称为称为力力(自然自然)边界条件边界条件，这部分边界用，这部分边界用 表示表示;另一部分边界上弹性体的位移另一部分边界上弹性体的位移 已知，称为已知，称为位移位移(本质本质)边界条件边界条件，这部分边界用，这部分边界用 表示。这两部分边界构成弹性体表示。这两部分边界构成弹性体的全部边界，即的全部边界，即:oxy有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳42边界条件边界条件在在 上弹性体的位移已知为上弹性体的位移已知为 即有即有:用矩阵形式表示是用矩阵形式表示是位移边界条件位移边界条件弹性体在边界上单位面积的内力表示为弹性体在边界上单位面积的内力表示为 ,在边界在边界上已知弹性体单位上作用的面积力为上已知弹性体单位上作用的面积力为 力的边界条件力的边界条件根据平衡应有根据平衡应有 有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳43边界条件边界条件设边界外法线为N，其方向余弦为nx，ny，nz,则边界上弹性体的内力可由下式确定 xyzPc ca ab bN T=n力边界条件的矩阵形式可表示为：(在 内)有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳44指标记法和相关约定指标记法和相关约定下标符号下标符号 i 称为指标；称为指标；n 为维数为维数指标指标 i 可以是下标，如可以是下标，如 xi 也可以是上标，如也可以是上标，如 xi 记作记作指标的取值范围如不作说明，均表示从指标的取值范围如不作说明，均表示从13定义这类符号系统为指标符号，一般采用下标定义这类符号系统为指标符号，一般采用下标 xi（i=1,2,3）x1，x2，x3 x,y,zui（i=1,2,3）u1，u2，u3 u,v,w有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳45指标记法和相关约定指标记法和相关约定显然，指标显然，指标 i,j,k 与求和无关，可用任意字母代替。与求和无关，可用任意字母代替。为简化表达式，引入为简化表达式，引入Einstein求和约定求和约定：凡在某一项内，凡在某一项内，重复一次且仅重复一次重复一次且仅重复一次的指标，表示对该指的指标，表示对该指标在它的取值范围内求和，并称这样的指标为标在它的取值范围内求和，并称这样的指标为哑指标哑指标。于是：。于是：注意注意注意注意:求和约定仅对字母指标有效，如求和约定仅对字母指标有效，如:有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳46指标记法和相关约定指标记法和相关约定重复不止一次的指标，求和约定失败。如：重复不止一次的指标，求和约定失败。如：同一项内二对哑标应使用不同指标。如：同一项内二对哑标应使用不同指标。如：哑标可以换用不同的字母指标哑标可以换用不同的字母指标是违约的，求和时要保留求和号在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前就先求和。在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前就先求和。有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳47指标记法和相关约定指标记法和相关约定凡在同一项内不重复出现的指标称之为凡在同一项内不重复出现的指标称之为自由指标自由指标。如。如ij,其中其中i,j为自由指标，可以自由变化。三维问题中，为自由指标，可以自由变化。三维问题中，i,j的变化范围为的变化范围为1,2,3，分别和直角坐标系三个坐标轴，分别和直角坐标系三个坐标轴x,y,z对应。对应。同一个方程中各项自由标必须相同同一个方程中各项自由标必须相同 不能改变某一项的自由标，但所有项的自由标可以改变不能改变某一项的自由标，但所有项的自由标可以改变 自由指标自由指标哑指标哑指标注意注意注意注意:有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳48指标记法和相关约定指标记法和相关约定求导记号的缩写约定求导记号的缩写约定 有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳49弹性力学方程的指标记法弹性力学方程的指标记法平衡方程平衡方程平衡方程平衡方程几何方程几何方程几何方程几何方程注意注意注意注意:有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳50弹性力学方程的指标记法弹性力学方程的指标记法本构方程本构方程本构方程本构方程有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳51弹性力学方程的指标记法弹性力学方程的指标记法边界条件边界条件边界条件边界条件有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳52弹性力学方程的指标记法弹性力学方程的指标记法本构方程本构方程本构方程本构方程平衡方程平衡方程平衡方程平衡方程几何方程几何方程几何方程几何方程边界条件边界条件边界条件边界条件有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳53两种平面问题两种平面问题 弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何一个弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而任何实际弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状，并且承受力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题，只的是特殊外力，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应力分量即可。考虑部分的位移分量、应变分量和应力分量即可。平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳54平面应力问题平面应力问题另外由于平板很薄，外力又不沿厚度变化，可认为在整个薄板内各点均有：另外由于平板很薄，外力又不沿厚度变化，可认为在整个薄板内各点均有：厚度为厚度为t t的很薄的均匀木板。的很薄的均匀木板。只在边缘上受到平行于板面且只在边缘上受到平行于板面且不沿厚度变化的面力，同时，不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度体力也平行于板面且不沿厚度变化。变化。以薄板的中面为以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为面，以垂直于中面的任一直线为Z轴。由于薄板两表轴。由于薄板两表面上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：面上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：于于是是，在在六六个个应应力力分分量量中中，只只需需要要研研究究剩剩下下的的平平行行于于XOYXOY平平面面的的三三个个应应力力分分量，即量，即 ，所以称为平面应力问题。，所以称为平面应力问题。yxxyyxtt=、有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳55平面应力问题平面应力问题应力矩阵应力矩阵应力矩阵应力矩阵有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳56平面应力问题平面应力问题 由由本本构构方方程程中中后后两两式式可可知知，这这时时的的剪剪应变：应变：由本构方程中的第三式可得：由本构方程中的第三式可得：一一般般 ，并并不不一一定定等等于于零零，但但可可由由 及及 求求得得，在在分分析析问问题题时时不必考虑。于是只需要考虑不必考虑。于是只需要考虑 三三个个应应变变分分量量即即可可，于于是是应应变变矩矩阵阵可可简化为：简化为：0=zzexyxyyxgee、有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳57平面应力问题平面应力问题转化成应力分量用应变分量表示的形式：转化成应力分量用应变分量表示的形式：本构方程简化为：本构方程简化为：有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳58平面应力问题平面应力问题将上式用矩阵方程表示：将上式用矩阵方程表示：它仍然可以简写为：它仍然可以简写为：弹性矩阵弹性矩阵D则简化为：则简化为：有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳59平面应力问题平面应力问题只有只有 三个应变分量需要考虑，所以几何方程三个应变分量需要考虑，所以几何方程简化为：简化为：xyyxgee、有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳600 0y yx x平面应变问题平面应变问题 一一纵纵向向(即即Z向向)很很长长，且且沿沿横横截截面面不不变变的的物物体体，受受有有平平行行于于横横截截面面而而且且不不沿沿长长度度变变化化的的面面力力和和体体力，如图所示。力，如图所示。由由于于物物体体的的纵纵向向很很长长(在在力力学学上上可可近近似似地地作作为为无无限限长长考考虑虑)，截截面面尺尺寸寸与与外外力力又又不不沿沿长长度度变变化化；当当以以任任一一横横截截面面为为xy面面，任任一一纵纵线线为为Z轴轴时时，则则所所有有一一切切应应力力分分量量、应应变变分分量量和和位位移移分分量量都都不不沿沿Z方方向向变变化化，它它们们都都只只是是x和和y的的函函数数。此此外外，在在这这一一情情况况下下，由由于于对对称称(任任一一横横截截面面都都可可以以看看作作对对称称面面)，所所有有各各点点都都只只会会有有x和和y方方向向的的位位移移而而不不会会有有Z方方向向的的位位移移，即即 w=0，因因此此，这这种种问问题题称称为为平平面面位位移移问问题题，但但习习惯惯上上常常称称为为平平平平面面面面应应应应变变变变问问问问题题题题。有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳61平面应变问题平面应变问题既然既然w=0，而且，而且u及及v又只是又只是x和和y的函数，由几何方程的函数，由几何方程可见可见 。于是只剩下三个应变分量。于是只剩下三个应变分量 ，几何方程仍然简化为方程：几何方程仍然简化为方程：0=zxyzzgge有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳62平面应变问题平面应变问题因为因为由本构方程中后两式可得由本构方程中后两式可得又由本构方程中的第三式可见：又由本构方程中的第三式可见：在平面应变问题中，虽然在平面应变问题中，虽然但但 一般并不等于零，不过它一般并不等于零，不过它可以由可以由 及及 求得，在分析求得，在分析问题时不必考虑，于是也就只有问题时不必考虑，于是也就只有三个应力分量三个应力分量 需要需要考考虑。虑。00=zxyzgg，00=zxyztt，)(yxzm+=0=zezxyxyyxt、有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳63平面应变问题平面应变问题本构方程简化为：本构方程简化为：有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳64平面应变问题平面应变问题将上式用矩阵方程表示：将上式用矩阵方程表示：它仍然可以简写为：它仍然可以简写为：弹性矩阵弹性矩阵D则简化为：则简化为：有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳65两种平面问题两种平面问题对于两种平面问题，几何方程都是对于两种平面问题，几何方程都是物理方程都是：物理方程都是：对于平面应力对于平面应力对于平面应变对于平面应变有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳66两种平面问题两种平面问题(3D)平衡方程为：平衡方程为：有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳67在在两两种种平平面面问问题题中中，如如果果命命 ，则则由由几几何何方方程程的积分得出：的积分得出：其中其中 及及 分别代表弹性体沿分别代表弹性体沿x及及y方向的刚体移动，而方向的刚体移动，而代表弹性体绕代表弹性体绕z轴的刚体转动。轴的刚体转动。两种平面问题两种平面问题0=xyyxgee0u0vzw有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳68桁架杆件问题桁架杆件问题桁架杆件：构件在一个方向的长度远远大于另外两个方向，且其所受到的载荷均沿轴向方向。有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳69桁架杆件问题桁架杆件问题本构方程本构方程平衡方程平衡方程（静态）（静态）有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳70梁问题梁问题梁：构件在一个方向的梁：构件在一个方向的长度远远大于另外两个长度远远大于另外两个方向，且受到载荷横向方向，且受到载荷横向的作用。的作用。有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳71梁问题梁问题欧拉欧拉-伯努利梁理论（工程梁理论）伯努利梁理论（工程梁理论）为为x-z平面内的转角平面内的转角假假设设中中性性面面（中中线线）的的法法平平面面保保持持平平面面和和法法向向。因因此此，转转角角是是由由中线的斜率给出中线的斜率给出有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳72梁问题梁问题梁上任意一点的位移为：梁上任意一点的位移为：几何方程几何方程有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳73梁问题梁问题xx=E exx本构方程本构方程有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳74梁问题梁问题平衡方程平衡方程考虑y 方向力的平衡关系考虑此小单元体对 A的力矩平衡忽略二阶小量项有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳75梁问题梁问题(静态)平衡方程平衡方程有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳76板壳问题板壳问题 由两个平行平面和垂直于由两个平行平面和垂直于这两个平行面的柱面或棱这两个平行面的柱面或棱柱面所围成的图形，称为柱面所围成的图形，称为板。两平行面称为板面，板。两平行面称为板面，柱面称为板边，板面之间柱面称为板边，板面之间的垂直距离称为板厚，平的垂直距离称为板厚，平分板厚的平面称为板的中分板厚的平面称为板的中面。面。若板厚若板厚t最小板边，称为最小板边，称为薄板，否则称为厚板。薄板，否则称为厚板。有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳77薄板理论薄板理论基本假定（基本假定（Kirchhoff-LoveKirchhoff-Love假定）假定）有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳78薄板理论薄板理论薄板问题基本假设：薄板问题基本假设：(1)形变分量形变分量 都可以不计。都可以不计。由该假设可得：由此可得本构方程：(3)薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移。薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移。(2)应力分量应力分量 引起的形变可以不计。引起的形变可以不计。有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳79薄板理论薄板理论几何方程几何方程e e=-zLw有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳80薄板理论薄板理论zxyfzhxyxxxzyxyyyzO本构方程本构方程有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳81薄板理论薄板理论由由 z 方向力的平衡可知方向力的平衡可知相对于 A-A的力矩平衡可得同理可得有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳82板问题板问题薄板的平衡方程薄板的平衡方程(静态)有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳83Mindlin板理论板理论横截面不需要垂直于中面横截面不需要垂直于中面有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳84Mindlin板理论板理论,平面内的应变表示为平面内的应变表示为e e=-z Lq其中其中 ,考虑了形变分量考虑了形变分量 ，则距离中面为，则距离中面为z，平行于未变形中面的位移可表，平行于未变形中面的位移可表示为示为有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳85Mindlin板理论板理论横向剪切应变为横向剪切应变为横向剪应力为横向剪应力为有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳86有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳87附录附录FF胡克定律：弹性体的变形胡克定律：弹性体的变形 与外力成正比与外力成正比弹性体：弹簧弹性体：弹簧外力变形关系：外力变形关系：弹簧系数弹簧系数有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳88附录附录力的基本概念力的基本概念力的基本概念力的基本概念q定义定义定义定义：力是物体间的相互机械作用，其作用结果使物：力是物体间的相互机械作用，其作用结果使物：力是物体间的相互机械作用，其作用结果使物：力是物体间的相互机械作用，其作用结果使物 体的形状和运动状态发生改变体的形状和运动状态发生改变体的形状和运动状态发生改变体的形状和运动状态发生改变.q效应效应效应效应：I.I.I.I.运动状态变化运动状态变化运动状态变化运动状态变化外效应（运动效应）外效应（运动效应）外效应（运动效应）外效应（运动效应）理论理论理论理论 力学研究。力学研究。力学研究。力学研究。II.II.II.II.形状变化形状变化形状变化形状变化内效应（变形效应）内效应（变形效应）内效应（变形效应）内效应（变形效应）变变变变 形体力学研究。形体力学研究。形体力学研究。形体力学研究。q三要素三要素三要素三要素：大小、方向和作用点。：大小、方向和作用点。：大小、方向和作用点。：大小、方向和作用点。q表示方法表示方法表示方法表示方法：力是一矢量，采用矢量记号表示。：力是一矢量，采用矢量记号表示。：力是一矢量，采用矢量记号表示。：力是一矢量，采用矢量记号表示。q单位单位单位单位：国际单位制中，力的单位是牛顿（：国际单位制中，力的单位是牛顿（：国际单位制中，力的单位是牛顿（：国际单位制中，力的单位是牛顿（N N N N）1N=1kg.m/s1N=1kg.m/s1N=1kg.m/s1N=1kg.m/s2 2 2 2。有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳89工程结构的分类（按构件的几何特征）工程结构的分类（按构件的几何特征）杆件结构杆件结构杆件结构杆件结构薄壁结构薄壁结构薄壁结构薄壁结构实体结构实体结构实体结构实体结构板板板板壳壳壳壳v杆件结构：长度远大于横截面尺寸（宽和高）；杆件结构：长度远大于横截面尺寸（宽和高）；杆件结构：长度远大于横截面尺寸（宽和高）；杆件结构：长度远大于横截面尺寸（宽和高）；v薄壁结构（平板、曲壳）：两方向的尺寸（长和宽）远薄壁结构（平板、曲壳）：两方向的尺寸（长和宽）远薄壁结构（平板、曲壳）：两方向的尺寸（长和宽）远薄壁结构（平板、曲壳）：两方向的尺寸（长和宽）远 大于另一方向的尺寸（高）；大于另一方向的尺寸（高）；大于另一方向的尺寸（高）；大于另一方向的尺寸（高）；v实体结构：三方向的尺寸具有同阶大小。实体结构：三方向的尺寸具有同阶大小。实体结构：三方向的尺寸具有同阶大小。实体结构：三方向的尺寸具有同阶大小。材材弹弹有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳90杆件变形的基本形式杆件变形的基本形式组合受力与变形组合受力与变形 内容内容种类种类 外力特点外力特点 变形特点变形特点变形特点变形特点轴向拉伸轴向拉伸 及及压缩压缩剪切剪切扭转扭转平面弯曲平面弯曲有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳91附录附录强强度度构构构构件件件件抵抵抵抵抗抗抗抗破破破破坏坏坏坏的的的的能能能能力力力力有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳92附录附录刚刚度度构构构构件件件件抵抵抵抵抗抗抗抗变变变变形形形形的的的的能能能能力力力力有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳93附录附录稳稳定定性性构构构构件件件件保保保保持持持持原原原原有有有有平平平平衡衡衡衡状状状状态态态态的的的的能能能能力力力力有限单元法有限单元法 崔向阳崔向阳94附录附录应力集中现象应力集中现象dFFabcef弹力计算结果弹力计算结果弹力计算结果弹力计算结果有限元计算结果有限元计算结果有限元计算结果有限元计算结果abefcd 材料力学是基于拉应力在净截面上均匀分布的假定材料力学是基于拉应力在净截面上均匀分布的假定材料力学是基于拉应力在净截面上均匀分布的假定材料力学是基于拉应力在净截面上均匀分布的假定来求解来求解来求解来求解cdcdcdcd面上的应力的，而由弹性力学计算和有限元分面上的应力的，而由弹性力学计算和有限元分面上的应力的，而由弹性力学计算和有限元分面上的应力的，而由弹性力学计算和有限元分析结果可知