-扭转正式课件

1.1.1.1.圆轴扭转时的变形是用相对扭转角圆轴扭转时的变形是用相对扭转角圆轴扭转时的变形是用相对扭转角圆轴扭转时的变形是用相对扭转角 来度量的来度量的来度量的来度量的 3-5 杆在扭转时的变形杆在扭转时的变形一、扭转变形一、扭转变形一、扭转变形一、扭转变形其中其中其中其中 d d 代表相距为代表相距为代表相距为代表相距为 d dx x 的两横截面间的相对扭转角的两横截面间的相对扭转角的两横截面间的相对扭转角的两横截面间的相对扭转角.l l 的一段杆两端面间的相对扭转角的一段杆两端面间的相对扭转角的一段杆两端面间的相对扭转角的一段杆两端面间的相对扭转角 可按下式计算可按下式计算可按下式计算可按下式计算 当等直圆杆相距当等直圆杆相距当等直圆杆相距当等直圆杆相距L L L L 的两横截面之间，扭矩的两横截面之间，扭矩的两横截面之间，扭矩的两横截面之间，扭矩T T T T 及材料的及材料的及材料的及材料的切变模量切变模量切变模量切变模量G G G G为常量时，有：为常量时，有：为常量时，有：为常量时，有：dx13.3.3.3.刚度条件刚度条件刚度条件刚度条件2.2.2.2.单位长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角 扭转角，扭转角，扭转角，扭转角，GIGIp p 称作抗扭刚度称作抗扭刚度称作抗扭刚度称作抗扭刚度 称作许可称作许可称作许可称作许可单位长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角对于精密机器的轴对于精密机器的轴 0.150.30 ()/m；对于一般的传动轴对于一般的传动轴 2()/m。当当当当T T T T或截面尺寸在各段不同时，两端截面相对扭转角按或截面尺寸在各段不同时，两端截面相对扭转角按或截面尺寸在各段不同时，两端截面相对扭转角按或截面尺寸在各段不同时，两端截面相对扭转角按代数相加代数相加代数相加代数相加 ：2 图示钢制实心圆截面轴，已知：图示钢制实心圆截面轴，已知：M1=1 592 Nm，M2=955 Nm，M3=637 Nm，lAB=300 mm，lAC=500 mm，d=70 mm，钢的切变模量钢的切变模量G=80 GPa。试求横截面试求横截面C 相对于相对于B的扭转角的扭转角 BC。例题例题 3-531.用截面法求出用截面法求出I I、IIII两段轴内的扭矩分别为两段轴内的扭矩分别为解：解：M1=1 592 Nm，M2=955 Nm，M3=637 Nm42.分别计算分别计算A A相对于相对于B截面截面、C截面相对于截面相对于A截面截面的扭转的扭转角角 BA、AC ：53.C截面相对于截面相对于B截面的扭转角为截面的扭转角为 BC的转向与的转向与M3相同。相同。6例题例题例题例题3-6 3-6 某汽车的主传动轴某汽车的主传动轴某汽车的主传动轴某汽车的主传动轴 是用是用是用是用 40 40 号钢的电焊钢管制成号钢的电焊钢管制成号钢的电焊钢管制成号钢的电焊钢管制成,钢管钢管钢管钢管外径外径外径外径D D=76mm,=76mm,壁厚壁厚壁厚壁厚d d d d=2.5=2.5=2.5=2.5mm,mm,轴传递的力偶矩轴传递的力偶矩轴传递的力偶矩轴传递的力偶矩MMe e=1.98kNm,=1.98kNm,材料的许用切应力材料的许用切应力材料的许用切应力材料的许用切应力 =100MPa,=100MPa,切变模量为切变模量为切变模量为切变模量为 G G=80GPa,=80GPa,轴的轴的轴的轴的许可许可许可许可扭角扭角扭角扭角 =2=2 /mm.试校核轴的试校核轴的试校核轴的试校核轴的强度和刚度强度和刚度强度和刚度强度和刚度.Ddd dMeMe7解：轴的扭矩解：轴的扭矩解：轴的扭矩解：轴的扭矩轴的内、外径之比轴的内、外径之比轴的内、外径之比轴的内、外径之比由强度条件由强度条件由强度条件由强度条件 由刚度条件由刚度条件由刚度条件由刚度条件Ddd dMeMe（-）=100MPa=100MPa =2=2 /mm满足强度和刚度要求满足强度和刚度要求8例题例题例题例题3-7 3-7 两端固定的圆截面杆两端固定的圆截面杆两端固定的圆截面杆两端固定的圆截面杆ABAB,在截面在截面在截面在截面C C处受一个扭转力偶矩处受一个扭转力偶矩处受一个扭转力偶矩处受一个扭转力偶矩MMe e的作用的作用的作用的作用,如图所示如图所示如图所示如图所示.已知杆的抗扭刚度已知杆的抗扭刚度已知杆的抗扭刚度已知杆的抗扭刚度 GIGIp p,试求杆两端的支反力偶试求杆两端的支反力偶试求杆两端的支反力偶试求杆两端的支反力偶矩矩矩矩.CMeabABl9解解解解:去掉约束去掉约束去掉约束去掉约束,代之以约束反力偶矩代之以约束反力偶矩代之以约束反力偶矩代之以约束反力偶矩 这是一次超静定问题这是一次超静定问题这是一次超静定问题这是一次超静定问题,须建立一个须建立一个须建立一个须建立一个补充方程补充方程补充方程补充方程 ACBMeMeAMeB C C截面相对于两固定端截面相对于两固定端截面相对于两固定端截面相对于两固定端A A和和和和B B的相对扭转角相等的相对扭转角相等的相对扭转角相等的相对扭转角相等.杆的变形相容条件是杆的变形相容条件是杆的变形相容条件是杆的变形相容条件是CMeabABl10CMeabABl（1 1 1 1）变形几何方程）变形几何方程）变形几何方程）变形几何方程（2 2 2 2）由物理关系建立补充方程）由物理关系建立补充方程）由物理关系建立补充方程）由物理关系建立补充方程解得解得解得解得ACBMeMeAMeB ACAC=BCBC代入：代入：11例题例题例题例题3-3-8 8 图图图图 示一长为示一长为示一长为示一长为 l l 的组合杆的组合杆的组合杆的组合杆,由不同材料的实心圆截面杆和由不同材料的实心圆截面杆和由不同材料的实心圆截面杆和由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆组成空心圆截面杆组成空心圆截面杆组成空心圆截面杆组成,内外两杆均在线弹性范围内工作内外两杆均在线弹性范围内工作内外两杆均在线弹性范围内工作内外两杆均在线弹性范围内工作,其抗扭刚度其抗扭刚度其抗扭刚度其抗扭刚度G Ga aI Ip pa a 、G Gb bI Ip pb b .当此组合杆的两端各自固定在刚性板上当此组合杆的两端各自固定在刚性板上当此组合杆的两端各自固定在刚性板上当此组合杆的两端各自固定在刚性板上,并在刚性并在刚性并在刚性并在刚性板处受一对矩为板处受一对矩为板处受一对矩为板处受一对矩为 MMe e 的扭转力偶的作用试求分别作用于内、外杆的扭转力偶的作用试求分别作用于内、外杆的扭转力偶的作用试求分别作用于内、外杆的扭转力偶的作用试求分别作用于内、外杆上的扭转偶矩上的扭转偶矩上的扭转偶矩上的扭转偶矩.MeMelAB12解：解：解：解：1 1）列平衡方程）列平衡方程）列平衡方程）列平衡方程这是一次超静定问题这是一次超静定问题这是一次超静定问题这是一次超静定问题.MeMeMelABMaMb13MbMaMeMeMelAB 变形相容条件是内、外杆变形相容条件是内、外杆变形相容条件是内、外杆变形相容条件是内、外杆的扭转变形应相同的扭转变形应相同的扭转变形应相同的扭转变形应相同.2 2）变形几何方程：）变形几何方程：）变形几何方程：）变形几何方程：3 3）物理关系：）物理关系：）物理关系：）物理关系：14代入变形几何方程代入变形几何方程代入变形几何方程代入变形几何方程,得补充方程得补充方程得补充方程得补充方程MbMaMeMeMelAB代入代入平衡方程平衡方程平衡方程平衡方程得：得：15 弹簧的螺旋角弹簧的螺旋角弹簧的螺旋角弹簧的螺旋角 55，这样的这样的这样的这样的弹簧称为密圈螺旋弹簧。近似认为，弹簧称为密圈螺旋弹簧。近似认为，弹簧称为密圈螺旋弹簧。近似认为，弹簧称为密圈螺旋弹簧。近似认为，簧丝横截面与弹簧轴线（即与力簧丝横截面与弹簧轴线（即与力簧丝横截面与弹簧轴线（即与力簧丝横截面与弹簧轴线（即与力F F）在同一平面内。在同一平面内。在同一平面内。在同一平面内。且当且当且当且当D Dd d,可以略去簧丝曲率可以略去簧丝曲率可以略去簧丝曲率可以略去簧丝曲率影响，近似用直杆公式计算。影响，近似用直杆公式计算。影响，近似用直杆公式计算。影响，近似用直杆公式计算。3-6 密圈螺旋弹簧的应力和变形密圈螺旋弹簧的应力和变形一、弹簧丝横截面上的应力一、弹簧丝横截面上的应力一、弹簧丝横截面上的应力一、弹簧丝横截面上的应力FD=2R16 簧丝的横截面上有两个簧丝的横截面上有两个簧丝的横截面上有两个簧丝的横截面上有两个内力分量内力分量内力分量内力分量F Fs s和和和和T T，根据静力根据静力根据静力根据静力平衡有：平衡有：平衡有：平衡有：FSTFPF2.2.2.2.应力的计算应力的计算应力的计算应力的计算 为便于分析为便于分析为便于分析为便于分析,将杆的斜度将杆的斜度将杆的斜度将杆的斜度近似为近似为近似为近似为0 0 截面法截面法截面法截面法1.1.1.1.内力的计算内力的计算内力的计算内力的计算 与与与与F Fs s对应的切应力：对应的切应力：对应的切应力：对应的切应力：17FSTFPF与扭矩与扭矩与扭矩与扭矩T T对应的切应力为：对应的切应力为：对应的切应力为：对应的切应力为：在靠近轴线的内侧点在靠近轴线的内侧点在靠近轴线的内侧点在靠近轴线的内侧点A A总应力达到最大值：总应力达到最大值：总应力达到最大值：总应力达到最大值：A当当当当D/d10D/d10D/d10D/d10时，（时，（时，（时，（d/2Dd/2Dd/2Dd/2D）与）与）与）与1 1 1 1相比不超相比不超相比不超相比不超过过过过5%5%5%5%，可以省略。有：，可以省略。有：，可以省略。有：，可以省略。有：18 （1 1 1 1）当）当）当）当D D/d d 较小较小较小较小,会引起很大的误差会引起很大的误差会引起很大的误差会引起很大的误差;（2 2 2 2）假定剪切引起的切应力是均匀分布的）假定剪切引起的切应力是均匀分布的）假定剪切引起的切应力是均匀分布的）假定剪切引起的切应力是均匀分布的.式中式中式中式中c c为弹簧指数为弹簧指数为弹簧指数为弹簧指数,k k为曲度系数。为曲度系数。为曲度系数。为曲度系数。3.3.3.3.强度条件强度条件强度条件强度条件公式修正公式修正公式修正公式修正;19FSTFPF 若只考虑簧杆扭转的影响，若只考虑簧杆扭转的影响，若只考虑簧杆扭转的影响，若只考虑簧杆扭转的影响，可得簧杆内单位体积的应变能可得簧杆内单位体积的应变能可得簧杆内单位体积的应变能可得簧杆内单位体积的应变能为：为：为：为：二、弹簧的变形二、弹簧的变形二、弹簧的变形二、弹簧的变形 1.1.应变能的计算应变能的计算应变能的计算应变能的计算20FSTFPF弹簧应变能为：弹簧应变能为：dA213.3.功能原理功能原理功能原理功能原理 V V =W W 当弹簧的变形为当弹簧的变形为当弹簧的变形为当弹簧的变形为 l l l l 时，外力所做的功为时，外力所做的功为时，外力所做的功为时，外力所做的功为F FF FOl ll l2.2.外力做的功外力做的功外力做的功外力做的功CCCC弹簧刚度弹簧刚度弹簧刚度弹簧刚度22例题例题例题例题3-10 3-10 某柴油机的气阀弹簧某柴油机的气阀弹簧某柴油机的气阀弹簧某柴油机的气阀弹簧,簧圈平均半经簧圈平均半经簧圈平均半经簧圈平均半经R R=59.5 mm,=59.5 mm,簧丝横簧丝横簧丝横簧丝横截面直径截面直径截面直径截面直径d d=14mm,=14mm,有效圈数有效圈数有效圈数有效圈数n n=5.=5.材料的材料的材料的材料的 =350MPa=350MPa,G G=80GPa,=80GPa,弹簧工作时总压缩变形（包括预压弹簧工作时总压缩变形（包括预压弹簧工作时总压缩变形（包括预压弹簧工作时总压缩变形（包括预压变形）变形）变形）变形）为为为为l l l l=55mm=55mm 试校核弹簧的强度试校核弹簧的强度试校核弹簧的强度试校核弹簧的强度.解：求出弹簧所受的压力解：求出弹簧所受的压力解：求出弹簧所受的压力解：求出弹簧所受的压力F F F F为为为为由由由由R R及及及及d d求出求出求出求出查表查表查表查表3.13.13.13.1查处弹簧的曲度系数查处弹簧的曲度系数查处弹簧的曲度系数查处弹簧的曲度系数k k=1.17=1.17弹簧满足强度要求弹簧满足强度要求弹簧满足强度要求弹簧满足强度要求.23 3-7 非圆截面杆的扭转非圆截面杆的扭转 非圆杆非圆杆非圆杆非圆杆,如矩形截面杆扭转后横截面将发生如矩形截面杆扭转后横截面将发生如矩形截面杆扭转后横截面将发生如矩形截面杆扭转后横截面将发生翘曲翘曲翘曲翘曲而不再是平而不再是平而不再是平而不再是平面面面面.一、基本概念一、基本概念一、基本概念一、基本概念24 （2 2）约束扭转约束扭转约束扭转约束扭转:若杆的两端受到约束而不能自由翘曲，则相若杆的两端受到约束而不能自由翘曲，则相若杆的两端受到约束而不能自由翘曲，则相若杆的两端受到约束而不能自由翘曲，则相邻两横截面的翘曲程度不同，在横截面上引起附加的正应力。这邻两横截面的翘曲程度不同，在横截面上引起附加的正应力。这邻两横截面的翘曲程度不同，在横截面上引起附加的正应力。这邻两横截面的翘曲程度不同，在横截面上引起附加的正应力。这一情况称为一情况称为一情况称为一情况称为约束扭转约束扭转约束扭转约束扭转。（1 1）自由扭转自由扭转自由扭转自由扭转:等直非圆杆在扭转时端面等直非圆杆在扭转时端面等直非圆杆在扭转时端面等直非圆杆在扭转时端面可以自由翘曲不受限制，属可以自由翘曲不受限制，属可以自由翘曲不受限制，属可以自由翘曲不受限制，属自由扭转，自由扭转，自由扭转，自由扭转，其相其相其相其相邻两横截面的翘曲程度完全相同，横截面上邻两横截面的翘曲程度完全相同，横截面上邻两横截面的翘曲程度完全相同，横截面上邻两横截面的翘曲程度完全相同，横截面上只有切应力而没有正应力。只有切应力而没有正应力。只有切应力而没有正应力。只有切应力而没有正应力。25 矩形截面扭转时矩形截面扭转时矩形截面扭转时矩形截面扭转时,横截面切应力横截面切应力横截面切应力横截面切应力如图所示，边缘上各点的切应力形成如图所示，边缘上各点的切应力形成如图所示，边缘上各点的切应力形成如图所示，边缘上各点的切应力形成与边界相切的顺流；四个角点处切应与边界相切的顺流；四个角点处切应与边界相切的顺流；四个角点处切应与边界相切的顺流；四个角点处切应力为零。力为零。力为零。力为零。整个横截面上的最大切应力发生在整个横截面上的最大切应力发生在整个横截面上的最大切应力发生在整个横截面上的最大切应力发生在长边的中点长边的中点长边的中点长边的中点.二、矩形截面自由扭转二、矩形截面自由扭转二、矩形截面自由扭转二、矩形截面自由扭转 短边中点的切应力短边中点的切应力短边中点的切应力短边中点的切应力 是短边上的最大切应力是短边上的最大切应力是短边上的最大切应力是短边上的最大切应力,且且且且思考：边界切应力方向思考：边界切应力方向26表表表表3-23-2 矩形截面杆在自由扭转时的因数矩形截面杆在自由扭转时的因数矩形截面杆在自由扭转时的因数矩形截面杆在自由扭转时的因数 、b b b b 和和和和 n n n nh/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.0 0.2080.2190.2310.2460.2560.2670.2820.2990.3070.3130.333 0.1410.1660.1960.2290.2490.2630.2810.2990.3070.3130.333 1.0000.9300.8580.7960.7670.7530.7450.7430.7430.7430.74327h h 切应力在沿长边各点处的方向均与长边相切其切应力在沿长边各点处的方向均与长边相切其切应力在沿长边各点处的方向均与长边相切其切应力在沿长边各点处的方向均与长边相切其数值除在靠近顶点处以外均相等数值除在靠近顶点处以外均相等数值除在靠近顶点处以外均相等数值除在靠近顶点处以外均相等.三、狭长矩形三、狭长矩形三、狭长矩形三、狭长矩形 狭长矩形截面的狭长矩形截面的狭长矩形截面的狭长矩形截面的 I Ip p 和和和和 WWt t：当当当当h/h/1010时时，截面称，截面称，截面称，截面称为为狭长矩形，截面上切狭长矩形，截面上切狭长矩形，截面上切狭长矩形，截面上切应力的分布情况见右图应力的分布情况见右图应力的分布情况见右图应力的分布情况见右图:28例题例题例题例题3-11 3-11 一矩形截面的等直钢杆一矩形截面的等直钢杆一矩形截面的等直钢杆一矩形截面的等直钢杆,其横截面尺寸其横截面尺寸其横截面尺寸其横截面尺寸 h h=100mm=100mm,b b =50mm=50mm,长度长度长度长度 l l=2m=2m,在杆两端作用一对扭转力偶矩在杆两端作用一对扭转力偶矩在杆两端作用一对扭转力偶矩在杆两端作用一对扭转力偶矩MM=4 kN=4 kN mm.钢的许用切应力钢的许用切应力钢的许用切应力钢的许用切应力 =100 MPa=100 MPa,切变模量切变模量切变模量切变模量 G G=80GPa=80GPa,许可许可许可许可单位单位单位单位长度扭转角长度扭转角长度扭转角长度扭转角 =1=1 /mm.试试试试校核该杆的强度和刚度校核该杆的强度和刚度校核该杆的强度和刚度校核该杆的强度和刚度.解：横截面上的扭矩解：横截面上的扭矩解：横截面上的扭矩解：横截面上的扭矩查表查表查表查表 3-2 3-2 得：得：得：得：29杆的强度和刚度满足要求。杆的强度和刚度满足要求。杆的强度和刚度满足要求。杆的强度和刚度满足要求。30例题例题3-12 图示圆截面杆图示圆截面杆AB左端固定，承受一集度为左端固定，承受一集度为t的的均布力偶矩作用。试导出计算截面均布力偶矩作用。试导出计算截面B的扭转角公式。的扭转角公式。Lt xdx解：解：取微段作为研究对象。取微段作为研究对象。Tx(x)Tx(x)L-xtTx(x)根据平衡条件求得横截面上的扭根据平衡条件求得横截面上的扭矩为：矩为：微段两端截面的相对扭转角为微段两端截面的相对扭转角为AB31LtAB32讨论abcd 33思考：从图思考：从图a所示受扭圆杆中取出的分离体如图所示受扭圆杆中取出的分离体如图b所示。由切应力互等定理可知径向截面所示。由切应力互等定理可知径向截面ABDC上有上有切应力分布如图所示。试问此径向截面上切应力切应力分布如图所示。试问此径向截面上切应力所构成的合力偶矩是与什么力偶矩平衡的？所构成的合力偶矩是与什么力偶矩平衡的？34 在扭矩在扭矩T为常量时，长度为为常量时，长度为 l 的等直圆杆所储存的的等直圆杆所储存的应变能为应变能为例例3-13 推导等直圆杆在扭转时储存的应变能推导等直圆杆在扭转时储存的应变能由由 可知，可知，有有解：解：35 当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆内蓄积的应变能为内蓄积的应变能为36 图示图示AB、CD 为等直圆杆，其扭转刚度均为为等直圆杆，其扭转刚度均为GIp，BC 为刚性块，为刚性块，D截面处作用有外力偶矩截面处作用有外力偶矩 Me。试试求：求：(1)杆系内的应变能；杆系内的应变能；(2)利用外力偶矩所作功在数值上利用外力偶矩所作功在数值上等于杆系内的应变能求等于杆系内的应变能求D 截面的扭转角截面的扭转角 D。ABCDMel/2l(a)例题例题 3-14371.用截面法分别求用截面法分别求AB和和CD杆的扭矩杆的扭矩T1和和T2T2=MeD MeT1=-MeBCD Me(b)ABCDMel/2l(a)解解:382.杆系应变能为杆系应变能为T2=MeD MeT1=-MeBCD Me(b)39其转向与其转向与Me 相同。相同。3.求求D 截面的扭转角截面的扭转角 DABCDMel/2l(a)40p经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量pStudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe学习总结结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日