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第五节 典型例题 n阶行列式的计算是学习线性代数的基础，阶行列式的计算是学习线性代数的基础，在以后的各章中都要用到它。这里主要应该掌在以后的各章中都要用到它。这里主要应该掌握的基本方法是：握的基本方法是：1.用用n阶行列式的性质把一般行列式化成阶行列式的性质把一般行列式化成特殊行列式（如上三角行列式等）来计算。特殊行列式（如上三角行列式等）来计算。2.用用n阶行列式的展开定理，把行列式按阶行列式的展开定理，把行列式按某一行（列）展开，即化高阶行列式为低某一行（列）展开，即化高阶行列式为低阶行列式来计算。阶行列式来计算。(Laplace定理定理)3.其他方法：对于具有特殊形式的行列式，其他方法：对于具有特殊形式的行列式，有一些特殊的方法：递推、归纳、加边等有一些特殊的方法：递推、归纳、加边等.1 证明证明用数学归纳法用数学归纳法证明范得蒙证明范得蒙(Vandermonde)行列式行列式例例1(1)23 n-1阶范德蒙行列式阶范德蒙行列式注意注意：范德蒙行列式是等于零：范德蒙行列式是等于零a1,a2,an中至中至少有两元素相等少有两元素相等.4例例2计算计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。5解解6上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知7例例3计算计算n阶行列式阶行列式加边法加边法：行列式的每行或每列除对角线上元素：行列式的每行或每列除对角线上元素外分别是某个数的倍数外分别是某个数的倍数.89 这种形式的行列式简称这种形式的行列式简称“两边加一对角线两边加一对角线”行列式，它必可利用行列式性质化为三角形行列式，它必可利用行列式性质化为三角形行列式而求得其值，所以行列式而求得其值，所以101112例例4计算计算n阶行列式阶行列式13解解将左上角的将左上角的x改写为改写为(x a)a，第一列的，第一列的(a)均改写为均改写为0(a)，于是第一列各元素均为两，于是第一列各元素均为两项之和，于是项之和，于是即即（1）14利用类似的方法，可得利用类似的方法，可得（2）故从式故从式（1）与与（2）中可以消去中可以消去Dn-115例例5计算计算n阶行列式阶行列式16解法解法1化为三角行列式化为三角行列式 此题的特点与此题的特点与2例例6相同相同.把各行都加把各行都加到第一行上，然后提出公因式到第一行上，然后提出公因式x+(n 1)a，得得(-a)(-a)(-a)1718解法解法2化为两边加一对角线行列式化为两边加一对角线行列式(-1)(-1)(-1)192021加边法加边法将将Dn添加一行、一列，构成添加一行、一列，构成n+1阶行列式。阶行列式。解法解法3(-1)(-1)(-1)22把行列式的第把行列式的第2、3、n+1列分列分别提出公因子别提出公因子x-a，得，得2324解法解法4递推法递推法 将将Dn的第一列元素都写成两个元素之和，然的第一列元素都写成两个元素之和，然后将后将Dn拆成两个拆成两个n阶行列式的和，再利用递推关系阶行列式的和，再利用递推关系2526例例6 计算行列式计算行列式27解：此类型行列式称为三对角线型，常采用方法是将解：此类型行列式称为三对角线型，常采用方法是将两条次对角线中某一条上元素全化为零或递推法两条次对角线中某一条上元素全化为零或递推法.2829=30=n+1.31例例7用行列式定义计算用行列式定义计算32解解33p经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量pStudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe写在最后谢谢你的到来学习并没有结束，希望大家继续努力Learning Is Not Over.I Hope You Will Continue To Work Hard演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
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