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一、行列式的性质一、行列式的性质性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.记记说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质性质性质性质2 2 2 2 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式.推论推论推论推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面如果某一行（列）子可以提到行列式符号的外面如果某一行（列）元素全为元素全为0，则行列式为，则行列式为0.性质性质性质性质3 3 3 3 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.证明证明证明证明设行列式设行列式是由行列式是由行列式 变换变换 两行得到的两行得到的,于是于是则有则有即当即当 时时,当当 时时,故故证毕证毕对换与排列的奇偶性的关系对换与排列的奇偶性的关系定理定理一个排列中的任意两个元素对换，排列一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性改变奇偶性证明证明设排列为设排列为对换对换 与与除除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变.当当 时，时，的逆序数不变的逆序数不变;经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1,经对换后经对换后 的逆序数不变的逆序数不变，的逆序数减少的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为设排列为当当 时，时，现来对换现来对换 与与次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性.推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零.证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 性质性质行列式中如果有两行（列）元素成比行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零证明证明性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和.则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：例如例如性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变例如例如性质性质6 6 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证证同理同理相同相同关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质例例二、应用举例二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值解解例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式解解将第将第 都加到第一列得都加到第一列得例例3 3证明证明证明证明 证证用数学归纳法用数学归纳法例例2证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式 (行列式中行与列具有同等行列式中行与列具有同等的地位的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立样成立).计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值列式的值三、小结三、小结行列式的行列式的6个性质个性质思考题思考题思考题解答思考题解答解解
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