典型例题一数项级数课件

典型例题典型例题一一.数项级数数项级数例1（91，一）已知级数 ，求 的和。典型例题一.数项级数1解 因故从而解 因2例2（05，三）设若 发散，收敛，则下列结论正确的是 A.收敛，发散；B.C.B.收敛，发散；D.C.收敛；E.D.收敛。例2（05，三）设若 发散，3解 选D.因为而收敛的级数加上括号仍收敛;A,B中的 ,均发散;C.发散级数加上括号不一定收敛。解 选D.因为4例3（04，三）设有以下命题：若 收敛，则 收敛。若 收敛，则 收敛。若 ，则 发散。若 收敛，则 ,都收敛。则以上命题中正确的是 A.B.C.D.例3（04，三）设有以下命题：5解答：错误；如令 ，显然，发散，而 收敛。正确；因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性。正确；因为 可得到 不趋向于零，所以 发散。错误；如令 ，显然，都发 散，而 收敛。故选B。解答：错误；如令 ，显然，6例4（04，一）设为正项级数,下列结论中正确的是A.若 ，则级数 收敛。B.若存在非零常数 ，使得 ,则级数发散。C.若级数 收敛，则 。D.若级数 发散，则存在非零常数 ，使得 例4（04，一）设为正项级数,下列结论中正确的是7解答：用排除法：取 ，则 ，但 发散，排除A,D。又取 ，则级数 收敛，但 ，排除C，故应选B。也可用比较判别法的极限形式:而级数 发散，因此 发散.故应选B。解答：用排除法：取 ，则 8例5（02，一）设 且 则级数 A.发散；B.绝对收敛；C.条件收敛；D.收敛性根据所给条件不能判断。例5（02，一）设 9解答：选C.由 ，且 ，知 令则 从而 收敛,但 而 发散,故 条件收敛.解答：选C.由 ，且 10注意：本题不可以用莱布尼兹判别法来说明C正确，因为不能得证数列单调减少。注意：本题不可以用莱布尼兹判别法来说明C11例6（03，三）设 ，则以下命题正确的是A 若 条件收敛，则 与 都收敛。B 若 绝对收敛，则 与 都收敛。C 若 条件收敛，则 与 的敛散性不定。D 若 绝对收敛，则 与 的敛散性不定。例6（03，三）设 ，12解答：选B；若 绝对收敛，即 收敛，当然有 收敛，再根据 及收敛级数的运算性质知 与 都收敛。解答：选B；若 绝对收敛，即 13例7（92，一）设 ，则级数A 与 都收敛；B 与 都发散；C 收敛，发散；D 发散，收敛。例7（92，一）设 14解答：选C；因故 满足莱布尼兹判别法条件，因此收敛,又因当 时，与 是等价无穷小,即 ，且 发散，所以 发散。解答：选C；因15例8(06,一)若级数 收敛，则级数（A）收敛.（B）收敛.（C）收敛.（D）收敛.解答:选D.例8(06,一)若级数 收敛，则级数16例9（04，一）设有方程 ,其中 为正整数，证明此方程存在唯一正实根 。并证明当 时，级数 收敛。【分析】利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性。而正项级数的敛散性可用比较法判定。例9（04，一）设有方程 17【证】记 。由 及连续函数的介值定理知，方程 存在正实数根 。当 时，可见 在 上单调增加，故方程存在惟一正实数根 .【证】记 18由 与 知 故当 时，。而正项级数 收敛，所以当 时，级数 收敛。注：本题是利用介值定理和级数判敛的综合题。由 与 19例10.设 ,证明对于任意的常数 收敛.证：利用定积分的换元法，令 ，得 因当 时，收敛，故原级数收敛。例10.设 20例11.（98，一）已知 ,且 若级数 发散,证明 收敛.证：单减，且 有下界。存在，设为 ，则 若 ，由莱布尼兹定理知，收敛，与题设矛盾，故 。例11.（98，一）已知 ,且 21于是，从而 由于 是公比 的几何级数，故收敛，由比较判别法，原级数收敛。于是，22例12判断下列级数的敛散性：例12判断下列级数的敛散性：23二、幂级数例题解答幂级数例题解答例1（02，三）设幂级数 与 的收敛半径分别为 与 ，则幂级数 的收敛半径为 A.5 B.C.D.二、幂级数例题解答24本题在大纲所要求的内容范围之内求解需附加条件：均存在，否则无法求解。解答 假设上述条件满足，选A。本题在大纲所要求的内容范围之内求解需25注：若 存在（设为R），则幂级数的收敛半径为R；反之不然，即若 的收敛半径为R，但是 不一定存在，这是一个易出错的问题。注：若 存在（设为R），则幂级数的26例2 下列命题是否正确？A.幂级数 的收敛半径为 ,则 B.若 不存在，则幂级数没有收敛半径;C.若 的收敛域为 且 存在，则幂级数 的收敛域也为 ；D.的收敛域为 且 存在,则E.的收敛域为 。例2 下列命题是否正确？27解答：D正确A错误，原因见例1，不一定存在；B错误，幂级数的收敛半径必存在且唯一；C错误，取 ，的收敛区间为 ；解答：D正确28例3 幂级数 在 处条件收敛，求其收 敛域。解：令 ，则原级数变为 。当 时，由阿贝尔定理，在 收敛即 ，于是 即 是幂级数的收敛区间。当 时，原级数为 ，而由幂级数在 处 条件收敛，知条件收敛，所以，所求收敛域为 。例3 幂级数 在 29例4 求下列幂级数的收敛域：解：(1)由于幂级数出现“缺项”情况，不能直接套用求收敛半径的公式，而可以直接利用正项级数的比值判别法。(2)不是公式所要求的幂级数形式,要先作变量代换例4 求下列幂级数的收敛域：30故当 ，即 时,原级数绝对收敛，因此收敛半径为 。当 时,原级数为故收敛域为典型例题一数项级数课件31(2)令 ，则原级数变为 故当 时，收敛，又 当 时，发散,而 时，收敛,故 的收敛域为 .将 代入 得 ，所以，原级数的收敛域为 。(2)令 ，则原级数变为32例5 设 为一等差数列,且 ,求 的收敛域.解：记数列 的公差为 ，则 故收敛半径为1。当 时，原级数变为 且 ，发散因此，原级数的收敛域为 。例5 设 为一等差数列,且 33例6(05,三)求幂级数 在区间 内的和函数 .（06，三）求幂级数 的收敛域 及和函数 .例6(05,三)求幂级数 34例7(05,一)求 的收敛区间与和函数.（06，三）求幂级数 的收敛域及和函数.例7(05,一)求 35例8(03,三)求幂级数 的和函数 及其极值.例8(03,三)求幂级数 36例9(04,三)设级数 的和函数为 .求:(I)所满足的一阶微分方程;(II)的表达式.【分析】对 进行求导，可得到所满足的一阶微分方程，解方程可得 的表达式。本题综合了级数求和问题与微分问题。例9(04,三)设级数 37例10(02,三)(1)验证函数 满足微分方程 (2)利用(1)的结果求幂级数 的和函数。例10(02,三)38例11(00,三)设求 。【分析】本题主要考查定积分计算和级数求和。先要求出 ，然后再求级数 的和，一般需借助幂级数求和。例11(00,三)设39例12 (01,三)已知 (为正整数),且 ,求函数项级数 之和。【分析】本题是微分方程求解和幂级数求和的综合题。首先由 求出 的表达式，然后再求之和。例12 (01,三)已知 40例13(01,一)设 试将 展开成 的幂级数,并求级数的和.典型例题一数项级数课件41例14(03,一)将函数 展开成 的幂级数,并求级数 的和.(06,一）将函数 展开成x的幂级数 。例14(03,一)将函数 42例15 求 的和.【分析】数项级数求和有二种方法：求级数部分和的极限；利用函数项级数的和函数。解 考虑 则两边求导，得：上式中令 ，有 例15 求 的和.43例16 已知 ,证明:【分析】先证明一个函数的导数在某个区间上恒为零，则函数为常数,再计算某个函数值确定常数。例16 已知 ,44三、傅氏级数三、傅氏级数例1 已知 ,.是 的周期为1的三角级数的和函数,求 ,的值.解：由狄思克雷收敛定理，因 为间断点，故 因 为连续点，故 三、傅氏级数45例2 设其中求典型例题一数项级数课件46解：由 的表达式知，周期为2，且为偶延拓。解：由 的表达式知，周期为2，且为偶延拓。47例3 设 在 上将 展开成傅氏级数,并求 之和。【分析】在 上满足收敛定理的条件,知 且 为 上的偶函数。解例3 设 48 由于 在 上连续且为偶函数，因此在 上有令 ，得 由于 在 上连续且为偶函数49例4(03,一)设 ,则它的傅里叶系数 _.【分析】将 展开,展开式为余弦级数其系数计算公式为 例4(03,一)设 50解 根据余弦级数的定义，有本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算。解 根据余弦级数的定义，有51