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典型例题典型例题一一.数项级数数项级数例1(91,一)已知级数 ,求 的和。典型例题一.数项级数1解 因故从而解 因2例2(05,三)设若 发散,收敛,则下列结论正确的是 A.收敛,发散;B.C.B.收敛,发散;D.C.收敛;E.D.收敛。例2(05,三)设若 发散,3解 选D.因为而收敛的级数加上括号仍收敛;A,B中的 ,均发散;C.发散级数加上括号不一定收敛。解 选D.因为4例3(04,三)设有以下命题:若 收敛,则 收敛。若 收敛,则 收敛。若 ,则 发散。若 收敛,则 ,都收敛。则以上命题中正确的是 A.B.C.D.例3(04,三)设有以下命题:5解答:错误;如令 ,显然,发散,而 收敛。正确;因为改变、增加或减少级数的有限项,不改变级数的收敛性。正确;因为 可得到 不趋向于零,所以 发散。错误;如令 ,显然,都发 散,而 收敛。故选B。解答:错误;如令 ,显然,6例4(04,一)设为正项级数,下列结论中正确的是A.若 ,则级数 收敛。B.若存在非零常数 ,使得 ,则级数发散。C.若级数 收敛,则 。D.若级数 发散,则存在非零常数 ,使得 例4(04,一)设为正项级数,下列结论中正确的是7解答:用排除法:取 ,则 ,但 发散,排除A,D。又取 ,则级数 收敛,但 ,排除C,故应选B。也可用比较判别法的极限形式:而级数 发散,因此 发散.故应选B。解答:用排除法:取 ,则 8例5(02,一)设 且 则级数 A.发散;B.绝对收敛;C.条件收敛;D.收敛性根据所给条件不能判断。例5(02,一)设 9解答:选C.由 ,且 ,知 令则 从而 收敛,但 而 发散,故 条件收敛.解答:选C.由 ,且 10注意:本题不可以用莱布尼兹判别法来说明C正确,因为不能得证数列单调减少。注意:本题不可以用莱布尼兹判别法来说明C11例6(03,三)设 ,则以下命题正确的是A 若 条件收敛,则 与 都收敛。B 若 绝对收敛,则 与 都收敛。C 若 条件收敛,则 与 的敛散性不定。D 若 绝对收敛,则 与 的敛散性不定。例6(03,三)设 ,12解答:选B;若 绝对收敛,即 收敛,当然有 收敛,再根据 及收敛级数的运算性质知 与 都收敛。解答:选B;若 绝对收敛,即 13例7(92,一)设 ,则级数A 与 都收敛;B 与 都发散;C 收敛,发散;D 发散,收敛。例7(92,一)设 14解答:选C;因故 满足莱布尼兹判别法条件,因此收敛,又因当 时,与 是等价无穷小,即 ,且 发散,所以 发散。解答:选C;因15例8(06,一)若级数 收敛,则级数(A)收敛.(B)收敛.(C)收敛.(D)收敛.解答:选D.例8(06,一)若级数 收敛,则级数16例9(04,一)设有方程 ,其中 为正整数,证明此方程存在唯一正实根 。并证明当 时,级数 收敛。【分析】利用介值定理证明存在性,利用单调性证明惟一性。而正项级数的敛散性可用比较法判定。例9(04,一)设有方程 17【证】记 。由 及连续函数的介值定理知,方程 存在正实数根 。当 时,可见 在 上单调增加,故方程存在惟一正实数根 .【证】记 18由 与 知 故当 时,。而正项级数 收敛,所以当 时,级数 收敛。注:本题是利用介值定理和级数判敛的综合题。由 与 19例10.设 ,证明对于任意的常数 收敛.证:利用定积分的换元法,令 ,得 因当 时,收敛,故原级数收敛。例10.设 20例11.(98,一)已知 ,且 若级数 发散,证明 收敛.证:单减,且 有下界。存在,设为 ,则 若 ,由莱布尼兹定理知,收敛,与题设矛盾,故 。例11.(98,一)已知 ,且 21于是,从而 由于 是公比 的几何级数,故收敛,由比较判别法,原级数收敛。于是,22例12判断下列级数的敛散性:例12判断下列级数的敛散性:23二、幂级数例题解答幂级数例题解答例1(02,三)设幂级数 与 的收敛半径分别为 与 ,则幂级数 的收敛半径为 A.5 B.C.D.二、幂级数例题解答24本题在大纲所要求的内容范围之内求解需附加条件:均存在,否则无法求解。解答 假设上述条件满足,选A。本题在大纲所要求的内容范围之内求解需25注:若 存在(设为R),则幂级数的收敛半径为R;反之不然,即若 的收敛半径为R,但是 不一定存在,这是一个易出错的问题。注:若 存在(设为R),则幂级数的26例2 下列命题是否正确?A.幂级数 的收敛半径为 ,则 B.若 不存在,则幂级数没有收敛半径;C.若 的收敛域为 且 存在,则幂级数 的收敛域也为 ;D.的收敛域为 且 存在,则E.的收敛域为 。例2 下列命题是否正确?27解答:D正确A错误,原因见例1,不一定存在;B错误,幂级数的收敛半径必存在且唯一;C错误,取 ,的收敛区间为 ;解答:D正确28例3 幂级数 在 处条件收敛,求其收 敛域。解:令 ,则原级数变为 。当 时,由阿贝尔定理,在 收敛即 ,于是 即 是幂级数的收敛区间。当 时,原级数为 ,而由幂级数在 处 条件收敛,知条件收敛,所以,所求收敛域为 。例3 幂级数 在 29例4 求下列幂级数的收敛域:解:(1)由于幂级数出现“缺项”情况,不能直接套用求收敛半径的公式,而可以直接利用正项级数的比值判别法。(2)不是公式所要求的幂级数形式,要先作变量代换例4 求下列幂级数的收敛域:30故当 ,即 时,原级数绝对收敛,因此收敛半径为 。当 时,原级数为故收敛域为典型例题一数项级数课件31(2)令 ,则原级数变为 故当 时,收敛,又 当 时,发散,而 时,收敛,故 的收敛域为 .将 代入 得 ,所以,原级数的收敛域为 。(2)令 ,则原级数变为32例5 设 为一等差数列,且 ,求 的收敛域.解:记数列 的公差为 ,则 故收敛半径为1。当 时,原级数变为 且 ,发散因此,原级数的收敛域为 。例5 设 为一等差数列,且 33例6(05,三)求幂级数 在区间 内的和函数 .(06,三)求幂级数 的收敛域 及和函数 .例6(05,三)求幂级数 34例7(05,一)求 的收敛区间与和函数.(06,三)求幂级数 的收敛域及和函数.例7(05,一)求 35例8(03,三)求幂级数 的和函数 及其极值.例8(03,三)求幂级数 36例9(04,三)设级数 的和函数为 .求:(I)所满足的一阶微分方程;(II)的表达式.【分析】对 进行求导,可得到所满足的一阶微分方程,解方程可得 的表达式。本题综合了级数求和问题与微分问题。例9(04,三)设级数 37例10(02,三)(1)验证函数 满足微分方程 (2)利用(1)的结果求幂级数 的和函数。例10(02,三)38例11(00,三)设求 。【分析】本题主要考查定积分计算和级数求和。先要求出 ,然后再求级数 的和,一般需借助幂级数求和。例11(00,三)设39例12 (01,三)已知 (为正整数),且 ,求函数项级数 之和。【分析】本题是微分方程求解和幂级数求和的综合题。首先由 求出 的表达式,然后再求之和。例12 (01,三)已知 40例13(01,一)设 试将 展开成 的幂级数,并求级数的和.典型例题一数项级数课件41例14(03,一)将函数 展开成 的幂级数,并求级数 的和.(06,一)将函数 展开成x的幂级数 。例14(03,一)将函数 42例15 求 的和.【分析】数项级数求和有二种方法:求级数部分和的极限;利用函数项级数的和函数。解 考虑 则两边求导,得:上式中令 ,有 例15 求 的和.43例16 已知 ,证明:【分析】先证明一个函数的导数在某个区间上恒为零,则函数为常数,再计算某个函数值确定常数。例16 已知 ,44三、傅氏级数三、傅氏级数例1 已知 ,.是 的周期为1的三角级数的和函数,求 ,的值.解:由狄思克雷收敛定理,因 为间断点,故 因 为连续点,故 三、傅氏级数45例2 设其中求典型例题一数项级数课件46解:由 的表达式知,周期为2,且为偶延拓。解:由 的表达式知,周期为2,且为偶延拓。47例3 设 在 上将 展开成傅氏级数,并求 之和。【分析】在 上满足收敛定理的条件,知 且 为 上的偶函数。解例3 设 48 由于 在 上连续且为偶函数,因此在 上有令 ,得 由于 在 上连续且为偶函数49例4(03,一)设 ,则它的傅里叶系数 _.【分析】将 展开,展开式为余弦级数其系数计算公式为 例4(03,一)设 50解 根据余弦级数的定义,有本题属基本题型,主要考查傅里叶级数的展开公式,本质上转化为定积分的计算。解 根据余弦级数的定义,有51
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