蛋白质晶体学-线性变换与空间群课件

线性变换与晶体空间群线性变换与晶体空间群晶体电子密度晶体电子密度 蛋白质晶体内部结构：蛋白质晶体内部结构：三维周期重复排列三维周期重复排列，每个结晶重复单位每个结晶重复单位(分子或复合体分子或复合体)的的化学组成化学组成与与分子构象分子构象都是均一的。都是均一的。待待结晶的蛋白质结晶的蛋白质分子或复合体分子或复合体OZXY蛋白结晶母液蛋白结晶母液仅考虑核外电子的作用，忽略原子核的作用。仅考虑核外电子的作用，忽略原子核的作用。原子核原子核核外电子核外电子晶体电子密度晶体电子密度：单位体积单位体积V V所含有的平均电子数目所含有的平均电子数目N N，即，即 N/VN/V 具有具有量纲：量纲：m m-3-3蛋白质晶体内部结构抽象为蛋白质晶体内部结构抽象为充满了电子云的三维空间。充满了电子云的三维空间。1mm=107的线性尺度可以包含的线性尺度可以包含104-5个分个分子子(分子尺度分子尺度102-3)。三维尺度。三维尺度1x1x1mm3可可以包含以包含1064-125个分子。个分子。仅考虑三维体效应，忽略二维和一维边界效仅考虑三维体效应，忽略二维和一维边界效应。应。将晶体微观空间视为体积无限大空间。将晶体微观空间视为体积无限大空间。线性变换与晶体空间群线性变换与晶体空间群单位晶胞、空间点阵单位晶胞、空间点阵 任意选取由基矢量任意选取由基矢量 a,b,c 构成的坐标系，晶构成的坐标系，晶体空间任一点体空间任一点P的坐标位置矢量的坐标位置矢量r可表达为基矢可表达为基矢量量 a,b,c 的线性迭加。的线性迭加。OZXYP点，点，(xyz)或或 (r)r=xa+yb+zccbaXYZ 基于晶体内部结构的三维基于晶体内部结构的三维周期有序重复排列的性质，周期有序重复排列的性质，晶体内部结构可以抽象为称晶体内部结构可以抽象为称为单位晶胞的单位平行六面为单位晶胞的单位平行六面体的密堆积。体的密堆积。单位晶胞单位晶胞cbaXYZ每个单位晶胞可以抽象为一个几何每个单位晶胞可以抽象为一个几何点。由此产生的全部几何点构成的点。由此产生的全部几何点构成的图案称为空间点阵（或称为三维点图案称为空间点阵（或称为三维点阵）阵），其中每个几何点称为阵点。，其中每个几何点称为阵点。cba 空间点阵描述了晶体内部结构三维周期重复密堆积排列空间点阵描述了晶体内部结构三维周期重复密堆积排列的规律的规律。每个阵点是晶体结构基本重复单位的几何抽象。每个阵点是晶体结构基本重复单位的几何抽象。XYZcba单位晶胞体积：单位晶胞体积：V=a bc单位晶胞六参数：单位晶胞六参数：a,b,c,单位晶胞体积单位晶胞体积V V的计算：的计算：a a=a=a1111 i i+a+a1212 j j+a+a1313 k k b b=b=b1111 i i+b+b1212 j j+b+b1313 k k c c=c=c1111 i i+c+c1212 j j+c+c1313 k k i i,j j,k k为为虚设的直角坐标系单位矢量。虚设的直角坐标系单位矢量。V2V V 绝对坐标绝对坐标X量纲：量纲：（1=0.1nm）a为周期长度为周期长度量纲：量纲：（1=0.1nm）分数坐标分数坐标x=X/a无量纲无量纲123450-1-2-3ax (x)一维一维分析分析基于周期重复的性质，基于周期重复的性质，(x)=(x+na)(n为整数为整数)称为等余。称为等余。函数函数(x)x0 xo(x-xo)dx1(x-xo)f(x)dxf(xo)0,如果如果xxo1,如果如果xxo(x-xo)函数阵列函数阵列(x)x n=-,(x-na)L(x)01a 2a 3a4a 5a 6a-1a-2a-3a-4a123450-1-2-3ax (x)(一维一维)点阵函数点阵函数L(x)n=-,(x-na)，x-,+n为整数为整数 a为周期长度为周期长度(一维一维)晶胞电子密度函数晶胞电子密度函数 cell(x),cell(x)(一维一维)晶体电子密度函数晶体电子密度函数 crystal(x)，x-,+0,如果如果xa或或x00,如果如果0 xa crystal(x)cell L cell(x-u)L(u)du cell(x-u)(u-na)du cell(x-u)(u-na)du cell(x-na)n=-,n=-,n=-,123450-1-2-3ax (x)三维分析三维分析晶体电子密度函数是晶胞电子密度函数与空间点阵函数的晶体电子密度函数是晶胞电子密度函数与空间点阵函数的卷积卷积 crystal(r)cell L cell(r-u)L(u)du cell(r-u)(u-(n1a+n2b+n3c)du cell(r-u)(u-(n1a+n2b+n3c)du cell(r-(n1a+n2b+n3c)n1,n2,n3=-,n1,n2,n3=-,n1,n2,n3=-,n1,n2,n3均为均为整数整数a,b,c为为晶胞周期矢量晶胞周期矢量 crystal(r)cell L1.1.请使用矢量分析法推导单位晶胞体积的标量表达式。请使用矢量分析法推导单位晶胞体积的标量表达式。2.2.蛋白质晶体的一个单位晶胞能否包含半个蛋白质分蛋白质晶体的一个单位晶胞能否包含半个蛋白质分子？子？3.3.蛋白质晶体的单位晶胞的边长长度的数量级应该是蛋白质晶体的单位晶胞的边长长度的数量级应该是多少？如果实际测量表明某种晶体的单位晶胞的一个多少？如果实际测量表明某种晶体的单位晶胞的一个边长小于边长小于1010埃，该晶体是否可能是蛋白质晶体？埃，该晶体是否可能是蛋白质晶体？4.4.晶体单位晶胞密堆积系数的计算。密堆积系数单晶体单位晶胞密堆积系数的计算。密堆积系数单位晶胞所包含的全部分子的体积位晶胞所包含的全部分子的体积/单位晶胞的体积。单位晶胞的体积。线性变换与晶体空间群线性变换与晶体空间群线性变换、对称变换线性变换、对称变换单位晶胞单位晶胞XYZcba 由大及小的由大及小的等同性分析等同性分析晶体空间晶体空间单位晶胞单位晶胞单位晶胞三维周期单位晶胞三维周期重复密堆积的规律重复密堆积的规律继续寻找空间区域的等同性？继续寻找空间区域的等同性？平移平移广义旋转广义旋转物体几何位置变换物体几何位置变换变换前物体的位置变换前物体的位置变换后物体的位置变换后物体的位置 空间任意两点之间的距离保持不变的线性变换空间任意两点之间的距离保持不变的线性变换12空间空间A空间空间B广义旋转矩阵广义旋转矩阵R，平移矢量平移矢量T21r1=x1a+y1b+z1cr2=x2a+y2b+z2c距离平方距离平方DA2=|r1-r2|2r1=Rr1+T=R(x1a+y1b+z1c)+T r2=Rr2+T=R(x2a+y2b+z2c)+T 距离平方距离平方DB2=|R|2|r1-r2|2结论：结论：(1)线性变换要求线性变换要求|R|2=1 或或|R|=1(1手性相同；手性相同；1手性相反手性相反)(2)线性变换对平移矢量线性变换对平移矢量T无约束要求无约束要求平移变换平移变换平移矢量平移矢量 TxT=Ty Tz1122XYZ反演变换反演变换(x,y,z)(-x,-y,-z)变换矩阵变换矩阵 -1 0 0R=0 -1 0 =-I 0 0 -1旋转变换旋转变换XYZP(x,y,z)P(xyz)rx=rcos y=rsin x=rcos(+)=rcos cos-rsin sin=xcos-ysiny=rsin(+)=rsin cos+rcos sin=xsin +ycosz=zcos()-sin()0 sin()cos()0 0 0 1R=OXY数目有限的图形之间的对称变换数目有限的图形之间的对称变换(x,y,z)(y,-x,z)1234(-y,x,z)(-x,-y,z)相邻图形之间的几何位置依次变换所依据的相邻图形之间的几何位置依次变换所依据的R和和T是完全相同的是完全相同的12 3 4 1 N1N2 NM N1多空间区域多空间区域例例1123450-1-2-3T数目无限的图形之间的对称变换数目无限的图形之间的对称变换TT相邻图形之间的几何位置依次变换所依据的相邻图形之间的几何位置依次变换所依据的R和和T是完全相同的是完全相同的12 3 N1N2 N TR多空间区域多空间区域例例1 1例例2 213578642线性变换与晶体空间群线性变换与晶体空间群晶体学对称变换晶体学对称变换蛋白质分子晶体中不可能存在可能产生手性蛋白质分子晶体中不可能存在可能产生手性对映体的对称变换。对映体的对称变换。已有的所有研究均未已有的所有研究均未发现自然界存在发现自然界存在“蛋白蛋白质分子与其手性对映体质分子与其手性对映体共存共存”的现象。的现象。RL L氨基酸氨基酸晶体学对称变换晶体学对称变换三维欧式空间分析工具三维欧式空间分析工具实空间实空间-晶体空间晶体空间倒易空间倒易空间-衍射空间衍射空间多种晶体学结构分析函数多种晶体学结构分析函数一维、二维、三维周期排列一维、二维、三维周期排列分子复合体、多亚基寡聚体分子复合体、多亚基寡聚体 坐标系坐标系原点选取原点选取坐标轴选取坐标轴选取坐标系变换坐标系变换晶体学对称变换晶体学对称变换反演反演1XYZ(x,y,z)(-x,-y,-z)变换矩阵变换矩阵 -1 0 0R=0 -1 0 =-I 0 0 -1晶体学反演变换晶体学反演变换晶体学对称变换晶体学对称变换旋转旋转1 1，2 2，3 3，4 4，6 6ABCDdMd晶体学旋转变换：晶体学旋转变换：1 1，2 2，3 3，4 4，6 6 CD=ACsin(-90)+AB+BDsin(-90)=d(1-2cos)=Md1-2cos =M 或或 cos =(1-M)/2 或或 -1 cos =(1-M)/2 +1 M0 cos =60 6次旋转轴次旋转轴6M1 cos =0 =90 4次旋转轴次旋转轴4M2 cos =-=120 3次旋转轴次旋转轴3M3 cos =-1 =180 2次旋转轴次旋转轴2M-1 cos =+1 =0 1次旋转轴次旋转轴1晶体学一次旋转变换及其等效点系晶体学一次旋转变换及其等效点系XY1(x,y,z)变换矩阵变换矩阵 1 0 0R=0 1 0 0 0 1晶体学二次旋转变换及其等效点系晶体学二次旋转变换及其等效点系ZX12(x,y,z)(-x,y,-z)变换矩阵变换矩阵 -1 0 0R=0 1 0 0 0 -1XY晶体学四次旋转变换及其等效点系晶体学四次旋转变换及其等效点系(x,y,z)(-x,-y,z)(-y,x,z)(y,-x,z)1234变换矩阵变换矩阵 0 -1 0R=1 0 0 0 0 1XY(x,y,z)(-y,x-y,z)(y-x,-x,z)晶体学三次旋转变换及其等效点系晶体学三次旋转变换及其等效点系123变换矩阵变换矩阵 0 -1 0R=1 -1 0 0 0 1XY(x,y,z)(-y,x-y,z)(y-x,-x,z)(-x,-y,z)(y,-x+y,z)(x-y,x,z)晶体学六次旋转变换及其等效点系晶体学六次旋转变换及其等效点系123456变换矩阵变换矩阵 1 -1 0R=1 0 0 0 0 1晶体学对称变换晶体学对称变换 反演反演 旋转旋转 平移平移 反演反演 11,2,3,4,6+旋转旋转 1,2,3,4,6+平移平移 平移群平移群()I R+T旋转反演旋转反演1 1，2 2，3 3，4 4，6 6 或或 m m晶体学对称变换晶体学对称变换晶体学一次旋转反演变换即对晶体学一次旋转反演变换即对称中心（或称反演中心）及其称中心（或称反演中心）及其等效点系等效点系ZX12(x,y,z)(-x,-y,-z)变换矩阵变换矩阵 -1 0 0R=0 -1 0 0 0 -1晶体学二次旋转反演变换晶体学二次旋转反演变换即对称平面（或称镜面）及其等效点系即对称平面（或称镜面）及其等效点系ZX1,21:(x,y,z)2:(x,-y,z)变换矩阵变换矩阵 1 0 0R=0 -1 0 0 0 1XY晶体学四次旋转反演变换及其等效点系晶体学四次旋转反演变换及其等效点系(x,y,z)(-x,-y,z)(-y,x,-z)(y,-x,-z)1432变换矩阵变换矩阵 0 1 0R=-1 0 0 0 0 -1XY(x,y,z)(-y,x-y,z)(y-x,-x,z)(-x,-y,-z)(y,-x+y,-z)(x-y,x,-z)晶体学三次旋转反演变换及其等效点系晶体学三次旋转反演变换及其等效点系165432变换矩阵变换矩阵 0 1 0R=-1 1 0 0 0 -1XY1:(x,y,z)4:(x,y,-z)3:(-y,x-y,z)6:(-y,x-y,-z)2:(y-x,-x,-z)5:(y-x,-x,z)晶体学六次旋转反演变换及其等效点系晶体学六次旋转反演变换及其等效点系1,43,62,5变换矩阵变换矩阵 -1 1 0R=-1 0 0 0 0 -1螺旋旋转螺旋旋转2131324142436162636465晶体学对称变换晶体学对称变换21轴轴YX12Z一一个个周周期期长长度度12331轴轴一一个个周周期期长长度度滑移对称面滑移对称面a,b,cnd（略）略）晶体学对称变换晶体学对称变换线性变换与晶体空间群线性变换与晶体空间群晶体空间点阵的类型晶体空间点阵的类型晶体空间点阵的类型是由晶体内部结晶体空间点阵的类型是由晶体内部结构三维周期重复密堆积规律所决定的。构三维周期重复密堆积规律所决定的。在此前提下，可以根据实际需要，分在此前提下，可以根据实际需要，分割出不同体积与形状的平行六面体，割出不同体积与形状的平行六面体，其中所包含的阵点数目可以发生变化。其中所包含的阵点数目可以发生变化。初基点阵（初基点阵（P）A unit cell of primitive lattice侧面心点阵（侧面心点阵（A，B，或或 C）A unit cell of partially face-centered lattice晶体空间点阵基本类型晶体空间点阵基本类型P P、A A（B B，C C）、）、I I、F F体心点阵（体心点阵（I）A unit cell of body-centered lattice全面心点阵（全面心点阵（F）A unit cel of fully face-centered lattice晶体空间点阵基本类型晶体空间点阵基本类型P P、A A（B B，C C）、）、I I、F F不不不不存在双侧面心点阵存在双侧面心点阵存在双侧面心点阵存在双侧面心点阵晶系（晶系（The crystal systems）晶系晶系晶胞参数约束条件晶胞参数约束条件(Crystal system)(Conditions imposed on cell geometry)三斜晶系三斜晶系(Triclinic)无（无（None）单斜晶系单斜晶系(Monoclinic)a b c,90，90正交晶系正交晶系(Orthorhombic)a b c,90四方晶系四方晶系(Tetragonal)a b c,90三方晶系三方晶系(Trigonal)a b c,90，120 ORa b c,90六方晶系六方晶系(Hexagonal)a b c,90，120立方晶系立方晶系(Cubic)a b c,9014种空间点阵类型种空间点阵类型晶系晶系空间点阵类型空间点阵类型(Crystal system)(The Lattice Types)三斜晶系三斜晶系(Triclinic)P单斜晶系单斜晶系(Monoclinic)P，C正交晶系正交晶系(Orthorhombic)P，I，F，C（A，B）四方晶系四方晶系(Tetragonal)P，I三方晶系三方晶系(Trigonal)P，R六方晶系六方晶系(Hexagonal)P（与三方晶系的与三方晶系的P相同）相同）立方晶系立方晶系(Cubic)P，I，F 14种空间点阵类型中的对称性约束种空间点阵类型中的对称性约束晶系晶系空间点阵类型空间点阵类型 最高对称性最高对称性(Crystal system)(The Lattice Types)三斜晶系三斜晶系(Triclinic)P1单斜晶系单斜晶系(Monoclinic)P，C2正交晶系正交晶系(Orthorhombic)P，I，F，C（A，B）三个三个2四方晶系四方晶系(Tetragonal)P，I4三方晶系三方晶系(Trigonal)P，R3六方晶系六方晶系(Hexagonal)P（与三方晶系的与三方晶系的P相同）相同）6立方晶系立方晶系(Cubic)P，I，F四个四个3单斜晶系存在的点阵单斜晶系存在的点阵单斜晶系存在的点阵单斜晶系存在的点阵P P点阵点阵点阵点阵C C点阵点阵点阵点阵如果所谓的如果所谓的如果所谓的如果所谓的“B”B”点阵存在，可以通过重新点阵存在，可以通过重新点阵存在，可以通过重新点阵存在，可以通过重新选取单位晶胞显示选取单位晶胞显示选取单位晶胞显示选取单位晶胞显示“B”B”点阵实际为点阵实际为点阵实际为点阵实际为P P点阵点阵点阵点阵c aaccabcaac如果所谓的如果所谓的如果所谓的如果所谓的“I”I”点阵存在，可以通过重新点阵存在，可以通过重新点阵存在，可以通过重新点阵存在，可以通过重新选取单位晶胞显示选取单位晶胞显示选取单位晶胞显示选取单位晶胞显示“I”I”点阵实际为点阵实际为点阵实际为点阵实际为C C点阵点阵点阵点阵ca如果所谓的如果所谓的如果所谓的如果所谓的“F”F”点阵存在，可以通过重新点阵存在，可以通过重新点阵存在，可以通过重新点阵存在，可以通过重新选取单位晶胞显示选取单位晶胞显示选取单位晶胞显示选取单位晶胞显示“F”F”点阵实际为点阵实际为点阵实际为点阵实际为C C点阵点阵点阵点阵四方晶系存在的点阵四方晶系存在的点阵四方晶系存在的点阵四方晶系存在的点阵P P点阵点阵点阵点阵I I点阵点阵点阵点阵如果所谓的如果所谓的如果所谓的如果所谓的“F”F”点阵存在，可以通过重新点阵存在，可以通过重新点阵存在，可以通过重新点阵存在，可以通过重新选取单位晶胞显示选取单位晶胞显示选取单位晶胞显示选取单位晶胞显示“F”F”点阵实际为点阵实际为点阵实际为点阵实际为I I点阵点阵点阵点阵ababcabba如果所谓的如果所谓的如果所谓的如果所谓的“C”C”点阵存在，可以通过重新点阵存在，可以通过重新点阵存在，可以通过重新点阵存在，可以通过重新选取单位晶胞显示选取单位晶胞显示选取单位晶胞显示选取单位晶胞显示“C”C”点阵实际为点阵实际为点阵实际为点阵实际为P P点阵点阵点阵点阵ab如果所谓的如果所谓的如果所谓的如果所谓的“B”B”点阵存在，由于对称性和点阵存在，由于对称性和点阵存在，由于对称性和点阵存在，由于对称性和周期性的约束，显示周期性的约束，显示周期性的约束，显示周期性的约束，显示“B”B”点阵实际为点阵实际为点阵实际为点阵实际为I I点点点点阵阵阵阵aHHbHH aHH bHH三方晶系与六方晶系初基点阵（三方晶系与六方晶系初基点阵（P）A unit cell of primitive lattice and its corresponding hexagonal cell如果选取图中黄、绿、紫线为新坐如果选取图中黄、绿、紫线为新坐如果选取图中黄、绿、紫线为新坐如果选取图中黄、绿、紫线为新坐标系的三个坐标轴，将会产生双体标系的三个坐标轴，将会产生双体标系的三个坐标轴，将会产生双体标系的三个坐标轴，将会产生双体心单位晶胞。心单位晶胞。心单位晶胞。心单位晶胞。aHHbHH aHH bHHaR RbR RcR RbR R aR R cR R+2/3+2/3+1/3+1/3+0+0三方晶系菱面体点阵（三方晶系菱面体点阵（R）A unit cell of rhombohedral lattice and its corresponding hexagonal cellHH坐标系坐标系坐标系坐标系a aHH b bHH c cHHHH坐标系坐标系坐标系坐标系a aHH b bHH c cHH R R坐标系坐标系坐标系坐标系a aR R b bR R c cR RRR坐标系坐标系坐标系坐标系a aR R b bR R c cR R 线性变换与晶体空间群线性变换与晶体空间群非平移对称变换的组合非平移对称变换的组合与晶体学点群、晶系与晶体学点群、晶系 如果晶体中同时存在多种对称变换（对如果晶体中同时存在多种对称变换（对称元素），那么这些对称变换（对称元素）称元素），那么这些对称变换（对称元素）彼此之间的几何配置关系是什麽？彼此之间的几何配置关系是什麽？63m331独立对称变换与对称变换的组合的习惯约定独立对称变换与对称变换的组合的习惯约定约定为约定为独立对称变换独立对称变换2 2次旋转轴与对称平面的垂直相交，次旋转轴与对称平面的垂直相交，在其交点处产生一个对称中心。在其交点处产生一个对称中心。约定为对称变换的组合约定为对称变换的组合两个对称平面垂直两个对称平面垂直相交，产生一个新相交，产生一个新的二次对称轴。的二次对称轴。两个二次对称轴垂两个二次对称轴垂直相交，产生一个直相交，产生一个新的二次对称轴。新的二次对称轴。222mm2mmm4m2对称平面与二次旋对称平面与二次旋转轴转轴45相交。相交。点群与空间群符号点群与空间群符号第一位置方向第一位置方向对称元素符号对称元素符号第二位置方向第二位置方向对称元素符号对称元素符号第三位置方向第三位置方向对称元素符号对称元素符号点点阵阵符符号号点群符号的构成点群符号的构成空间群符号的构成空间群符号的构成仅需要列出每个位置方向所存在的独仅需要列出每个位置方向所存在的独立对称元素。立对称元素。每个位置方向可以存在两种独立对称每个位置方向可以存在两种独立对称元素；使用短横线上下分开，上方通元素；使用短横线上下分开，上方通常为对称轴，下方为对称平面。常为对称轴，下方为对称平面。如果是对称轴，则表明对称轴平行于如果是对称轴，则表明对称轴平行于该位置方向；如果是对称平面，则表该位置方向；如果是对称平面，则表明对称平面垂直于该位置方向。明对称平面垂直于该位置方向。?3232种点群中国际符号的取向种点群中国际符号的取向 晶系晶系 国际符号取向国际符号取向 点群点群三斜晶系三斜晶系 000 1,-1单斜晶系单斜晶系 01 2,m,2/m正交晶系正交晶系 100 010 001 222,mm2,mmm四方晶系四方晶系 001 100 110 4,-4,4/m,422,4mm,-4m2,-4/mmm三方晶系三方晶系 001 100 120 3,-3,3m,32,-3m六方晶系六方晶系 001 100 120 6,-6,6/m,622,6mm,-6m2,6/mmm立方晶系立方晶系 001 111 110 23,43,m3,-43m,m3m3232种点群种点群晶系晶系点群点群(Crystal system)(The Point Group)三斜晶系三斜晶系(Triclinic)1,-1单斜晶系单斜晶系(Monoclinic)2,m,2/m正交晶系正交晶系(Orthorhombic)222,mm2,mmm四方晶系四方晶系(Tetragonal)4,-4,4/m,422,4mm,-4m2,-4/mmm三方晶系三方晶系(Trigonal)3,-3,3m,32,-3m六方晶系六方晶系(Hexagonal)6,-6,6/m,622,6mm,-6m2,6/mmm立方晶系立方晶系(Cubic)23,43,m3,-43m,m3m正交晶系正交晶系点群与空间群符号的方向指数点群与空间群符号的方向指数XYZ100010110100100010010001001001点点点点阵阵阵阵符符符符号号号号四方晶系四方晶系点群与空间群符号的方向指数点群与空间群符号的方向指数XYZ1000101101-1 01-1 0001001100100110110001点点点点阵阵阵阵符符符符号号号号三方晶系三方晶系点群与空间群符号的方向指数点群与空间群符号的方向指数XYZ100010110001001100100120120001点点点点阵阵阵阵符符符符号号号号210120立方晶系立方晶系点群与空间群符号的方向指数点群与空间群符号的方向指数XYZ1000101101-1 01-1 0001001111111110110001点点点点阵阵阵阵符符符符号号号号线性变换与晶体空间群线性变换与晶体空间群微观对称元素的组合微观对称元素的组合空间群空间群XYZcba晶体中可能存在的对称元素：晶体中可能存在的对称元素：2626种种晶体点阵的可能类型：晶体点阵的可能类型：1414种种当这些对称变换共存时，可能的组合是什麽？当这些对称变换共存时，可能的组合是什麽？空间群：空间群：230230种种晶体晶体单位晶胞单位晶胞最小体积重复最小体积重复单元？单元？XYZcba晶体晶体单位晶胞单位晶胞最小体积重复单元最小体积重复单元:不对称单位不对称单位不对称单位不对称单位（asymmetric unit）或独立区或独立区（independent area）线性变换与晶体空间群线性变换与晶体空间群坐标系原点、变换、坐标系原点、变换、坐标轴对换与轮换坐标轴对换与轮换一般的优先顺序规则：一般的优先顺序规则：高对称点的对称中心高对称点的对称中心低对称点的对称中心低对称点的对称中心高次普通旋转轴高次普通旋转轴高次螺旋轴高次螺旋轴二次普通旋转轴二次普通旋转轴对称平面对称平面二次螺旋轴二次螺旋轴滑移平面滑移平面任意点任意点特殊情况：特殊情况：例如：例如：P212121 通常查阅晶体学国际表手册核实通常查阅晶体学国际表手册核实空间群坐标系原点的选取空间群坐标系原点的选取正交晶系晶体坐标轴的轮换与对换正交晶系晶体坐标轴的轮换与对换空间群空间群C2221在坐标轴轮换和对换后的符号演变在坐标轴轮换和对换后的符号演变轮换轮换对换对换XYZ(ABC)C2221 YXZ(BAC)C2221 ZXY(CAB)B2212ZYX(CBA)A2122YZX(BCA)A2122XZY(ACB)B2212坐标轴矢量变换矩阵为坐标轴矢量变换矩阵为MM a2a1 b2 =Mb1 c2c1 a2 a1R=(x2 y2 z2)b2 (x2 y2 z2)M b1 c2 c1a1R=(x1 y1 z1)b1c1 坐标点之间的变换坐标点之间的变换(x2 y2 z2)M=(x1 y1 z1)或者或者(x2 y2 z2)(x1 y1 z1)M-1a1b1c1a2b2c2O2/31/3 0aHbHaHbHaRbRcRbRaRcRaR=2/3 aH+1/3 bH+1/3 cHbR=-1/3 aH+1/3 bH+1/3 cHcR=-1/3 aH-2/3 bH+1/3 cHaR=1/3 aH+2/3 bH+2/3 cHbR=-2/3 aH-1/3 bH+2/3 cHcR=1/3 aH-1/3 bH+2/3 cH线性变换与晶体空间群线性变换与晶体空间群蛋白质晶体蛋白质晶体对称多样性与多晶型对称多样性与多晶型由于蛋白质晶体中不存在能够引起手性改变的对称变换，所以蛋白质晶体可能由于蛋白质晶体中不存在能够引起手性改变的对称变换，所以蛋白质晶体可能具有的空间群总计仅有具有的空间群总计仅有6565个。个。晶系及其所属点群晶系及其所属点群 空间群个数空间群个数三斜：三斜：点群点群1：P1 1单斜：单斜：点群点群2：P2,P21,C2 3正交：正交：点群点群222：P222,P2221,P21212,P212121,C222,C2221,I222,I212121,F222 9四方：四方：点群点群4：P4,P41,P42,P43,I4,I41 6 点群点群422：P422,P4212,P4122,P41212,P4222,P42212,P4322,P43212,I42,I412 10三方：三方：点群点群3：P3,P31,P32,R3 4 点群点群32：P321,P3121,P3221,P312,P3112,P3212,R32 7六方：六方：点群点群6：P6,P61,P62,P63,P64,P65 6 点群点群622：P622,P6122,P6222,P6322,P6422,P6522 6立方：立方：点群点群23：P23,P213,I23,I213,F23 5 点群点群432：P432,P4132,P41232,P4332,I432,I4132,F432,F4132 8 合计合计 65由于蛋白质分子密堆积和相互作用的需要，不同的对称由于蛋白质分子密堆积和相互作用的需要，不同的对称变换在蛋白质晶体出现的概率通常是不同的。例如：螺变换在蛋白质晶体出现的概率通常是不同的。例如：螺旋轴出现的概率通常高于普通旋转轴。旋轴出现的概率通常高于普通旋转轴。0 1 102轴轴21轴轴不同蛋白质晶体的空间群彼此可以相同，也可能不相同。不同蛋白质晶体的空间群彼此可以相同，也可能不相同。例如：例如：三斜：三斜：单斜：单斜：A.acutus蛇毒蛇毒Lys49-PLA2型碱性溶血毒素（型碱性溶血毒素（C2）A.acutus蛇毒凝血蛇毒凝血IX/X因子结合蛋白类似蛋白因子结合蛋白类似蛋白ACF1和和ACF2（均为（均为P21）B.subtilis PRPP酰氨基转移酶（酰氨基转移酶（P21）正交：正交：Streptomyces M1033葡萄糖异构酶（葡萄糖异构酶（P21212，中低分辨率时表现出赝中低分辨率时表现出赝I222）A.acutus蛇毒锌金属蛋白酶蛇毒锌金属蛋白酶C（P212121）四方：四方：A.acutus蛇毒锌金属蛋白酶蛇毒锌金属蛋白酶A（P43212）三方：三方：二锌猪胰岛素二锌猪胰岛素B链链N端修饰物端修饰物D-Ala-Bo-Insulin（R3）A.acutus蛇毒锌金属蛋白酶蛇毒锌金属蛋白酶D的的C端结构域端结构域(disintegrin+Hi-cys)（R32）六方：六方：立方：立方：XYZcba由于蛋白质分子（及其聚合体）表面性质及彼此之间相互作用由于蛋白质分子（及其聚合体）表面性质及彼此之间相互作用容易受到环境条件变化（例如：温度、酸碱度、离子强度等）容易受到环境条件变化（例如：温度、酸碱度、离子强度等）的影响，很多的影响，很多蛋白质分子在适当的条件下可以结晶成不同的晶蛋白质分子在适当的条件下可以结晶成不同的晶型型（即彼此之间具有不同空间群对称性和晶胞参数）。（即彼此之间具有不同空间群对称性和晶胞参数）。如果两个晶体的如果两个晶体的 空间群相同；空间群相同；晶胞参数彼此非晶胞参数彼此非常接近（误差通常小常接近（误差通常小于于1），则称二者），则称二者是同晶的是同晶的(Isomorphous)。线性变换与晶体空间群线性变换与晶体空间群赝对称与非晶体学对称赝对称与非晶体学对称Pseudo-symmetryNon-crystallographic symmetry 蛋白质晶体中，分子与分子之间、或者同一个蛋白质晶体中，分子与分子之间、或者同一个分子不同结构域之间、或者同一个分子聚合体的分子不同结构域之间、或者同一个分子聚合体的不同聚合单位之间经常存在两种几何位置关系：不同聚合单位之间经常存在两种几何位置关系：其一，严格符合晶体学对称变换。包括单位其一，严格符合晶体学对称变换。包括单位晶胞之间的周期平移、晶胞不对称单位之间的对晶胞之间的周期平移、晶胞不对称单位之间的对称变换等等。称变换等等。其二，虽然并不严格符合晶体学对称变换，其二，虽然并不严格符合晶体学对称变换，但在一定范围内近似地符合某种对称变换。但在一定范围内近似地符合某种对称变换。XYZcba晶体晶体单位晶胞单位晶胞最小体积重复单元最小体积重复单元:不对称单位不对称单位继续寻找结构继续寻找结构相关信息？相关信息？例：例：蛇毒凝血蛇毒凝血IX/X因子结合蛋白类因子结合蛋白类似蛋白晶体的空间群为似蛋白晶体的空间群为P21，晶晶胞不对称单位含有一个分子。胞不对称单位含有一个分子。分子是由两条氨基酸残基同源分子是由两条氨基酸残基同源性较高的多肽链彼此通过一对性较高的多肽链彼此通过一对二硫键连接组成的。二硫键连接组成的。这两条多肽链所折叠形成的这两条多肽链所折叠形成的结构域彼此近似地满足二重对结构域彼此近似地满足二重对称关系。称关系。例例Structure of the allosteric regulatory enzyme of purine biosynthesisglutamine 5-phosphoribosyl-1-pyrophosphate(PRPP)amidotransferase from B.subtilis,an oxygen-sensitive proteinScience,(1994),264,1427-1433.Space group:P21a=158.8,b=75.7,c=94.1,=91.4with one tetramer (200kDa:4465 a.a.residues,1059555)in the asymmetric unitThe final model(PDB code 1GPH),including 43,439=14,156 protein atoms,four 4Fe-4S clusters,eight AMP molecules and no solvent,has an R-factor of 0.19 for all measured data(7.0-3.0 )and RSCC of 0.85.链霉菌链霉菌M1033M1033菌株葡萄糖异构酶二聚体是菌株葡萄糖异构酶二聚体是活力单位，四聚体与二聚体的活力基本活力单位，四聚体与二聚体的活力基本相当，单体的活力极低。说明单体之间相当，单体的活力极低。说明单体之间的相互作用是酶活所必需的。的相互作用是酶活所必需的。实际情况是，晶体单位晶胞含有分子的实际情况是，晶体单位晶胞含有分子的二聚体。二聚体。四体四体 二体二体 单体单体酶酶活活力力在在空间群空间群I222I222中，三中，三个个2 2次轴彼此垂直相交次轴彼此垂直相交于一点。于一点。在空间群在空间群I2I21 12 21 12 21 1中，中，三个三个2 2次轴虽然彼此垂次轴虽然彼此垂直但彼此间隔直但彼此间隔1/41/4周期。周期。密密堆积分析举例堆积分析举例X X射线晶体衍射初步分析结果表明，链霉菌射线晶体衍射初步分析结果表明，链霉菌M1033M1033葡萄糖异构酶晶体在中低分辨率范围内其空间点阵葡萄糖异构酶晶体在中低分辨率范围内其空间点阵为强烈的赝体心点阵为强烈的赝体心点阵I I，所属的赝空间群可能为所属的赝空间群可能为I222I222或者或者I2I21 12 21 12 21 1。序列同源性比较分析表明，该酶应该与其它种属序列同源性比较分析表明，该酶应该与其它种属来源的葡萄糖异构酶类似，在晶体中以紧密的四聚来源的葡萄糖异构酶类似，在晶体中以紧密的四聚体（单体彼此之间满足体（单体彼此之间满足222222或赝或赝222222的对称关系）形的对称关系）形式存在。式存在。根据空间群根据空间群I222I222与与I2I21 12 21 12 21 1对称元素分布的不同，对称元素分布的不同，可以合理地推断：如果酶分子以紧密四聚体形式存可以合理地推断：如果酶分子以紧密四聚体形式存在于晶体之中，很大可能是四聚体中的三个在于晶体之中，很大可能是四聚体中的三个2 2次轴次轴与晶体中的三个与晶体中的三个2 2次轴重合，所以晶体的赝空间群次轴重合，所以晶体的赝空间群是是I222I222，而不是而不是I2I21 12 21 12 21 1 。密密堆积分析举例堆积分析举例线性变换与晶体空间群线性变换与晶体空间群晶体单位晶胞包含的晶体单位晶胞包含的分子数目与溶剂含量分子数目与溶剂含量 当获得具有足够外形尺寸（通常当获得具有足够外形尺寸（通常0.2mm）的蛋白质的蛋白质晶体之后，通常需要了解：晶体之后，通常需要了解：晶体的质量如何？即晶体的衍射分辨率如何？晶体的质量如何？即晶体的衍射分辨率如何？晶体属于何种空间群？晶体属于何种空间群？晶体单位晶胞六参数的具体数值是多少？晶体单位晶胞六参数的具体数值是多少？晶体单位晶胞包含的蛋白质分子数目是多少？晶体单位晶胞包含的蛋白质分子数目是多少？晶体的溶剂含量是多少？晶体的溶剂含量是多少？等信息。等信息。XYZcba蛋白质晶体蛋白质晶体单位晶胞包含的蛋白单位晶胞包含的蛋白质分子数目质分子数目NZ的估计的估计Matthews常数常数VM 单位晶胞的总体积单位晶胞的总体积/单位晶胞所包含的全部分子的总分子量单位晶胞所包含的全部分子的总分子量 Vcell /（NZMr）此处，此处，Mr为蛋白质分子量（量纲为为蛋白质分子量（量纲为Da），），NZ为晶胞包含的蛋白质为晶胞包含的蛋白质分子数目，分子数目，Vcell为晶胞的总体积（量纲为为晶胞的总体积（量纲为3），），VM的量纲为的量纲为 3/Da。对于很多蛋白质来说，对于很多蛋白质来说，VM数值的经验范围为数值的经验范围为1.73.5 3/Da，大部分为大部分为2.15 3/Da左右。左右。假设某个蛋白质的空间群为假设某个蛋白质的空间群为C2，单位晶胞总体积为单位晶胞总体积为319,000 3，该蛋白质的分子量为该蛋白质的分子量为32,100Da，对于，对于NZ 2,4,或或 8 来说，相应的来说，相应的VM 5,2.5,或或 1.25 3/Da。根据根据Matthews常数的经验分布规律，该蛋白质晶体的常数的经验分布规律，该蛋白质晶体的单位晶胞中包含单位晶胞中包含4个分子的可能性是非常高的。因为个分子的可能性是非常高的。因为C2空间群的晶体晶胞具有空间群的晶体晶胞具有4个不对称单位，所以每个不对个不对称单位，所以每个不对称单位包含一个蛋白质分子。称单位包含一个蛋白质分子。如果单位晶胞的体积为如果单位晶胞的体积为Vcell，晶体的密度为晶体的密度为 ，溶剂含量的，溶剂含量的重量分数为重量分数为x，晶胞所包含的分子数为晶胞所包含的分子数为NZ，则有则有 （NZMr）/NAVOGADRO （1x）Vcell此处，此处，Mr是蛋白质分子量，是蛋白质分子量，NAVOGADRO是是Avogadro常数。常数。溶剂体积百分数溶剂体积百分数Usolvent是是 Usolvent 1 Uprotein 1 蛋白质分子总体积蛋白质分子总体积/Vcell 1 （NZMr/NAVOGADRO）Vo /（VMNZMr）此处，此处，Vo为每单位重量蛋白质分子所占有的体积，近似为常数为每单位重量蛋白质分子所占有的体积，近似为常数Vo=0.74 cm3/g，所以所以 Usolvent 1 1.23/VM （此处此处VM的量纲为的量纲为3/Da，Usolvent无量纲）无量纲）例如：若例如：若VM 2.5 3/Da，则，则Usolvent 0.49根据根据VM值估计蛋白质晶体晶胞包含的溶剂体积含量值估计蛋白质晶体晶胞包含的溶剂体积含量