薛定谔方程+一维势阱04课件

量子力学量子力学 建立于建立于 1923 1927 年间，两个等年间，两个等价的理论价的理论 矩阵矩阵力学和力学和波动波动力学力学.相对论量子力学相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：描述高年，狄拉克）：描述高速运动的粒子的波动方程速运动的粒子的波动方程.薛薛定定谔（谔（Erwin chrodinger，18871961）奥地利物理学家奥地利物理学家.1926年建立了以薛定谔方程年建立了以薛定谔方程为基础的波动力学为基础的波动力学,并建立了量子并建立了量子力学的近似方法力学的近似方法.薛定谔是奥地利著名的理论物理学家，薛定谔是奥地利著名的理论物理学家，量子力学的量子力学的 重要奠基人之一，同时在固体的比热、统计热重要奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学、原力学、原 子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。就。薛定谔的波动力学，是在德布罗意提出的物质波的薛定谔的波动力学，是在德布罗意提出的物质波的基础上建立起来的。他把物质波表示成数学形式，建立了称为薛定谔方基础上建立起来的。他把物质波表示成数学形式，建立了称为薛定谔方程的量子力学波动方程。薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的地位，程的量子力学波动方程。薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似。在经典极限下，薛定谔方它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似。在经典极限下，薛定谔方程可以过渡到哈密顿方程。薛定谔方程是量子力学中描述微观粒子程可以过渡到哈密顿方程。薛定谔方程是量子力学中描述微观粒子(如电如电子等子等)运动状态的基本定律，运动状态的基本定律，在粒子运动速率远小于光速的条件下适用在粒子运动速率远小于光速的条件下适用在粒子运动速率远小于光速的条件下适用在粒子运动速率远小于光速的条件下适用。薛定谔对分子生物学的发展也做过工作。由于他的影响，不少物理学家薛定谔对分子生物学的发展也做过工作。由于他的影响，不少物理学家参与了生物学的研究工作，使物理学和生物学相结合，形成了现代分子参与了生物学的研究工作，使物理学和生物学相结合，形成了现代分子生物学的最显著的特点之一。生物学的最显著的特点之一。薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于19331933年同英国物理学家年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金。狄拉克共获诺贝尔物理奖金。(18871961)(18871961)在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写；状态随在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写；状态随在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写；状态随在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。时间的变化遵循着一定的规律。时间的变化遵循着一定的规律。时间的变化遵循着一定的规律。1926192619261926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠年，薛定谔在德布罗意关系和态叠年，薛定谔在德布罗意关系和态叠年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，建立了势场中微观粒子的微分方程加原理的基础上，建立了势场中微观粒子的微分方程加原理的基础上，建立了势场中微观粒子的微分方程加原理的基础上，建立了势场中微观粒子的微分方程,并提出了一系列并提出了一系列并提出了一系列并提出了一系列理论体系，当时被称作波动力学，现在统称量子力学。理论体系，当时被称作波动力学，现在统称量子力学。理论体系，当时被称作波动力学，现在统称量子力学。理论体系，当时被称作波动力学，现在统称量子力学。、是一个复指数函数，本身无物理意义是一个复指数函数，本身无物理意义3、t时刻时刻，在在（x,y,z）处体积元处体积元d 内内 粒子出现的几率。粒子出现的几率。2、波函数模的平方波函数模的平方 代表时刻代表时刻 t ，在在 r 处粒子出现的几率密度。处粒子出现的几率密度。波函数回顾：波函数回顾：波函数回顾：波函数回顾：4、波函数的标准化条件、波函数的标准化条件5、波函数归一化条件、波函数归一化条件:7 7 薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程1、薛定谔方程建立应满足的条件、薛定谔方程建立应满足的条件 （1）波函数应满足含有时间微商的微分方程）波函数应满足含有时间微商的微分方程 （2）要建立的方程是线性的，即如果）要建立的方程是线性的，即如果1、2是是 方程的解，则方程的解，则1 和和2的线性叠加的线性叠加a 1+b 2 也应是方程的解。也应是方程的解。(量子力学态的叠加原理量子力学态的叠加原理)（3）这个方程的系数不应含有状态参量（动量、这个方程的系数不应含有状态参量（动量、能量等）能量等）（4）经典力学中自由粒子动量与能量的关系（非）经典力学中自由粒子动量与能量的关系（非 相对论关系）相对论关系）E=p2/2m在量子力学中仍成立。在量子力学中仍成立。都满足：都满足：但该方程不具有普遍性，因它只能满足特定动量但该方程不具有普遍性，因它只能满足特定动量P和能量和能量 E 的波。的波。例如：例如：对于对于 沿沿x方向运动的动能为方向运动的动能为E和动量为和动量为P的自由粒子的波函数的自由粒子的波函数2、单能粒子（沿、单能粒子（沿x方向匀速直线运动）方向匀速直线运动）若现在利用若现在利用E=P2/2m 消去消去E、P将得到一个含将得到一个含的非线性方程，不满足条件（的非线性方程，不满足条件（2），所以再微分），所以再微分 一维自由运动粒子的薛定谔方程一维自由运动粒子的薛定谔方程 利用利用E=P2/2m3、单能、单能势场势场势场势场中运动的粒子（沿中运动的粒子（沿x方向匀速直线运动）方向匀速直线运动）此时粒子具有的能量：此时粒子具有的能量：势场中一维运动粒子的薛定谔方程势场中一维运动粒子的薛定谔方程 利用利用E=P2/2m+V同样导出：同样导出：对三维运动的粒子对三维运动的粒子 引入拉普拉斯算符：引入拉普拉斯算符：则有则有 再引入哈密顿算符：再引入哈密顿算符：则有则有 一般的薛定谔方程一般的薛定谔方程 4、定态薛定谔方程（即定态薛定谔方程（即V(x,y,z)是不随时间变化）是不随时间变化）若作用在粒子上的势场若作用在粒子上的势场V(r)不显含时间不显含时间 t 时，时，在经在经典力学中这相应于粒子机械能守恒的情况，薛定谔方程可典力学中这相应于粒子机械能守恒的情况，薛定谔方程可用分离变量法求它的特解。用分离变量法求它的特解。两边除以两边除以 可得：可得：由于空间变量与时间变量相互独立，所以等式两边必须等于同由于空间变量与时间变量相互独立，所以等式两边必须等于同一个常数，设为一个常数，设为E则有：则有：定态定态定态定态薛定谔薛定谔薛定谔薛定谔方程方程方程方程可见可见E具有能量的量纲与自由粒子波函数类比具有能量的量纲与自由粒子波函数类比它代表粒子的能量。它代表粒子的能量。把常数把常数A归到时间部分，薛定谔方程的特解为：归到时间部分，薛定谔方程的特解为：定态波函数定态波函数定态波函数定态波函数对应的几率密度与时间无关。即：对应的几率密度与时间无关。即：处于定态下的粒子具有确定的能量处于定态下的粒子具有确定的能量E，粒子在空间的概粒子在空间的概率密度分布不随时间变化，而且力学量的测量值的几率分布率密度分布不随时间变化，而且力学量的测量值的几率分布和平均值都不随时间变化。和平均值都不随时间变化。量子力学的处理方法量子力学的处理方法（1）已知粒子的）已知粒子的m，势能函数势能函数V，即可给出薛定谔方程即可给出薛定谔方程（2）由给定的初、边值条件，求出波函数）由给定的初、边值条件，求出波函数（3）由波函数）由波函数 给出不同地点、时刻粒子的几率密度给出不同地点、时刻粒子的几率密度|2下面以一维无限深势阱为例，求解定态薛定谔方程下面以一维无限深势阱为例，求解定态薛定谔方程下面以一维无限深势阱为例，求解定态薛定谔方程下面以一维无限深势阱为例，求解定态薛定谔方程8 8 一维无限深方势阱一维无限深方势阱一维无限深方势阱一维无限深方势阱1、以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。了解怎样确定、以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。了解怎样确定定态的能量定态的能量E，从而看出能量量子化是薛定谔方程的自然结果从而看出能量量子化是薛定谔方程的自然结果.粒子在势阱内受力为零，势能为粒子在势阱内受力为零，势能为0。在阱外势能为无穷大，在阱壁上受在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力。称为一维无限深势阱。极大的斥力。称为一维无限深势阱。其定态薛定谔方程其定态薛定谔方程：已知粒子所处的势场为已知粒子所处的势场为：在阱内粒子势能为零，满足：在阱内粒子势能为零，满足：在阱外粒子势能为无穷大，满足：在阱外粒子势能为无穷大，满足：方程的解必处处为零：方程的解必处处为零：根据波函数的标准化条件，在边界上根据波函数的标准化条件，在边界上所以，粒子被束缚在阱内运动。所以，粒子被束缚在阱内运动。在阱内的薛定谔在阱内的薛定谔 方程可写为：方程可写为：类似于简谐振子的方程，其通解：类似于简谐振子的方程，其通解：所以，所以，n不能取零，否则无意义。不能取零，否则无意义。代入边界条件得：代入边界条件得：因为因为结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的。取一系列分立值，即它的能量是量子化的。结论结论结论结论由归一化条件由归一化条件:称称n为量子数；为量子数；为本征态；为本征态；为本征能量。为本征能量。讨论讨论讨论讨论1、零点能的存在零点能的存在 称为基态能量。称为基态能量。2、能量是量子化的。是由标准化条件而来。能量是量子化的。是由标准化条件而来。能级间隔：能级间隔：当当 能级分布可视为连续的。能级分布可视为连续的。一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数：一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数：在某些在某些极限极限的条件下，量子规律可以的条件下，量子规律可以转化转化为经典规律为经典规律.势阱中相邻势阱中相邻能级能级之之差差能量能量能量能量 能级能级相对相对间隔间隔当当 时，时，能量视为，能量视为连续连续变化变化.当当 很大时，很大时，量子效应不明显，能，量子效应不明显，能量可视为量可视为连续连续变化，此即为变化，此即为经典对应经典对应.物理意义物理意义物理意义物理意义例：例：电子在电子在 的势阱中的势阱中.（近似于连续近似于连续）当当 时时,（能量分立能量分立）一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度2、势垒贯穿（势垒贯穿（隧道效应隧道效应隧道效应隧道效应）在经典力学中在经典力学中,若若 ,粒子的动粒子的动能能为正为正,它只能在它只能在 I 区中运动。区中运动。OIIIIII定态薛定谔方程定态薛定谔方程定态薛定谔方程定态薛定谔方程的解又如何呢？的解又如何呢？的解又如何呢？的解又如何呢？令：IIIIII三个区间的薛定谔方程化为：三个区间的薛定谔方程化为：若考虑粒子是从若考虑粒子是从 I 区入射，在区入射，在 I 区中有入射波反射波；粒子从区中有入射波反射波；粒子从I区经过区经过II区穿过势垒到区穿过势垒到III 区，在区，在III区只有透射波。粒子在区只有透射波。粒子在处的几率要大于在处出现的几率。处的几率要大于在处出现的几率。其解为：其解为：根据边界条件根据边界条件：求出解的形式画于图中。求出解的形式画于图中。IIIIII隧道效应量子力学结果分析：量子力学结果分析：（1）EV0情况情况 在经典力学中，该情况的粒子可以在经典力学中，该情况的粒子可以越过势垒运动到越过势垒运动到xa区域，而在量子力学区域，而在量子力学中有一部分被反弹回去，即粒子具有波中有一部分被反弹回去，即粒子具有波动性的具体体现。动性的具体体现。（2）EV0情况情况 在经典力学中，该情况的粒子将完全被势垒挡回，在在经典力学中，该情况的粒子将完全被势垒挡回，在x0的区域内的区域内运动；而在量子力学中结果却完全不同，此时，虽然粒子被势垒反射回运动；而在量子力学中结果却完全不同，此时，虽然粒子被势垒反射回来，但它们仍有粒子穿透势垒运动到势垒里面去，所以我们将这种量子来，但它们仍有粒子穿透势垒运动到势垒里面去，所以我们将这种量子力学特有的现象称力学特有的现象称“隧道效应隧道效应”。隧道效应和扫描隧道显微镜隧道效应和扫描隧道显微镜隧道效应和扫描隧道显微镜隧道效应和扫描隧道显微镜STMSTM 1981年在年在IBM公司瑞士苏黎士实验室工作的宾尼希和罗雷尔利用针尖公司瑞士苏黎士实验室工作的宾尼希和罗雷尔利用针尖与表面间的隧道电流随间距变化的性质来探测表面的结构，获得了实空间与表面间的隧道电流随间距变化的性质来探测表面的结构，获得了实空间的原子级分辨图象，为此获得的原子级分辨图象，为此获得1986年诺贝尔物理奖。年诺贝尔物理奖。由于电子的隧道效应，金由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于表属中的电子并不完全局限于表面边界之内，电子密度并不在面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，而是在表面边界处突变为零，而是在表面以外呈指数形式衰减，衰表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为减长度越为1nm。只要将原子线度的极细探针只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作为两个以及被研究物质的表面作为两个电极，当样品与针尖的距离非常电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们的表面电子云就可接近时，它们的表面电子云就可能重叠。能重叠。若在样品与针尖之间加一微小电压若在样品与针尖之间加一微小电压Ub电子就会穿过电极间电子就会穿过电极间的势垒形成隧道电流。的势垒形成隧道电流。隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样品流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。表面的起伏。因为隧道电流对针尖与样品因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。控制针尖高间的距离十分敏感。控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可度不变，通过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布；得到表面态密度的分布；利用利用STM可以分辨表面上原子的可以分辨表面上原子的台阶、平台和原子阵列。可以直台阶、平台和原子阵列。可以直接绘出表面的三维图象接绘出表面的三维图象空气隙空气隙STMSTM工作示意图工作示意图工作示意图工作示意图样品样品探针探针 使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物质表面上使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物质表面上的排列状态以及与表面电子行为有关的性质。在表面科学、的排列状态以及与表面电子行为有关的性质。在表面科学、材料科学和生命科学等领域中有着重大的意义和广阔的应用材料科学和生命科学等领域中有着重大的意义和广阔的应用前景。前景。利用光学中的受抑全反射理论，研制成功光子扫描隧利用光学中的受抑全反射理论，研制成功光子扫描隧道显微镜（道显微镜（PSTM)。1989年提出成象技术。它可用于不导电年提出成象技术。它可用于不导电样品的观察。样品的观察。STM样品样品必须具有一定程度的导电性；在恒流工作模式必须具有一定程度的导电性；在恒流工作模式下有时对表面某些沟槽不能准确探测。任何一种技术都有其下有时对表面某些沟槽不能准确探测。任何一种技术都有其局限性。局限性。下面是用扫描隧道显微镜观察到的一些结果下面是用扫描隧道显微镜观察到的一些结果下面是用扫描隧道显微镜观察到的一些结果下面是用扫描隧道显微镜观察到的一些结果这是用扫描隧道显微镜搬动这是用扫描隧道显微镜搬动这是用扫描隧道显微镜搬动这是用扫描隧道显微镜搬动4848个个个个FeFe原原原原子到子到子到子到CuCu表面上构成的量子围栏。表面上构成的量子围栏。表面上构成的量子围栏。表面上构成的量子围栏。1991年年IBM公司的公司的“拼字拼字”科研小组创造出了科研小组创造出了“分子绘画分子绘画”艺术。这是艺术。这是他们利用他们利用STM把一氧化碳分子竖立在铂表面上、分子间距约把一氧化碳分子竖立在铂表面上、分子间距约0.5纳米的纳米的“分子人分子人”。这个。这个“分子人分子人”从头到脚只有从头到脚只有5纳米，堪称世界上最小的人形纳米，堪称世界上最小的人形图案。图案。1994年初，中国科学院真空物理实年初，中国科学院真空物理实验室的研究人员成功地利用一种新验室的研究人员成功地利用一种新的表面原子操纵方法，通过的表面原子操纵方法，通过STM在在硅单晶表面上直接提走硅原子，形硅单晶表面上直接提走硅原子，形成平均宽度为成平均宽度为2纳米纳米(3至至4个原子个原子)的的线条。从线条。从STM获得的照片上可以清获得的照片上可以清晰地看到由这些线条形成的晰地看到由这些线条形成的“100”字字样和硅原子晶格整齐排列的背景。样和硅原子晶格整齐排列的背景。用扫描隧道显微镜观察到砷化用扫描隧道显微镜观察到砷化镓表面砷原子的排列图如下镓表面砷原子的排列图如下用扫描隧道显微镜观察到用扫描隧道显微镜观察到硅表面硅表面77重构图重构图 硅表面硅原子排列硅表面硅原子排列例例1、已知粒子处于宽度为、已知粒子处于宽度为a的一维无限深方势阱中运动的的一维无限深方势阱中运动的波函数为波函数为 ，n=1,2,3,试计算试计算n=1时，在时，在 x1=a/4 x2=3a/4 区间找到粒子的概率区间找到粒子的概率 0.818解：找到粒子的概率为解：找到粒子的概率为例例2、一一粒粒子子被被限限制制在在相相距距为为l的的两两个个不不可可穿穿透透的的壁壁之之间间，如如图图所所示示描描写写粒粒子子状状态态的的波波函函数数为为 ，其其中中c为为待定常量求在待定常量求在 0 区间发现该粒子的概率区间发现该粒子的概率 l解：由波函数的性质得解：由波函数的性质得 即即 ，由此解得由此解得 ，设在设在0-l/3区间内发现该粒子的概率为区间内发现该粒子的概率为P，则则