课堂讲授8学时1晶体结构的周期性和点阵2晶体课件

课堂讲授8学时1晶体结构的周期性和点阵2晶体 教学目标教学目标 学习要点学习要点 通通过过本本章章学学习习，掌掌握握晶晶体体所所具具有有的的周周期期性性结结构构与与它它的的点点阵阵表表示示，了了解解晶晶体体对对称称性性与与空空间间群群，掌掌握握晶晶体体衍衍射射中方向和强度的决定因素。中方向和强度的决定因素。晶晶体体结结构构周周期期性性与与点点阵阵。7 7个个 晶晶 系系 和和 1414种种 BraviasBravias空空 间间 格格 子子。晶晶胞胞、晶晶面面间间距距。晶晶体体(X X射射线线)衍衍射射方方向向LaueLaue方方程程和和BraggBragg方方程程。晶体衍射强度与立方晶系的系统消光。晶体衍射强度与立方晶系的系统消光。学时安排学时安排 学时学时-6学时学时 第八八章 晶体学基础 远古时期远古时期,人类从宝石开始认识晶体。红人类从宝石开始认识晶体。红宝石、蓝宝石、祖母绿等晶体以其晶莹剔透宝石、蓝宝石、祖母绿等晶体以其晶莹剔透的外观，棱角分明的形状和艳丽的色彩，震的外观，棱角分明的形状和艳丽的色彩，震憾人们的感官。名贵的宝石镶嵌在帝王的王憾人们的感官。名贵的宝石镶嵌在帝王的王冠上，成为权力与财富的象征，而现代人类冠上，成为权力与财富的象征，而现代人类合成出来晶体，如超导晶体合成出来晶体，如超导晶体YBaCuO、光学、光学晶体晶体BaB2O4、LiNbO3、磁学晶体、磁学晶体NdFeB等高等高科技产品，则推动着人类的现代化进程。科技产品，则推动着人类的现代化进程。晶体晶体 世界上的固态物质可分为二类，世界上的固态物质可分为二类，一类是一类是晶态，另一类是非晶态。晶态，另一类是非晶态。自然界存在大量的自然界存在大量的晶体物质，如高山岩石、地下矿藏、海边砂晶体物质，如高山岩石、地下矿藏、海边砂粒、两极冰川都是晶体组成。人类制造的金粒、两极冰川都是晶体组成。人类制造的金属、合金器材，水泥制品及食品中的盐、糖属、合金器材，水泥制品及食品中的盐、糖等都属于晶体，不论它们大至成千万吨，小等都属于晶体，不论它们大至成千万吨，小至毫米、微米，晶体中的原子、分子都按某至毫米、微米，晶体中的原子、分子都按某种规律周期性地排列。另一类固态物质，如种规律周期性地排列。另一类固态物质，如玻璃、明胶、碳粉、塑料制品等，它们内部玻璃、明胶、碳粉、塑料制品等，它们内部的原子、分子排列杂乱无章，没有周期性规的原子、分子排列杂乱无章，没有周期性规律，通常称为玻璃体、无定形物或非晶态物律，通常称为玻璃体、无定形物或非晶态物质。质。图图8-1 8-1 人工宝石人工宝石 1 1、均匀性：、均匀性：一块晶体内部各部分的宏观性质相一块晶体内部各部分的宏观性质相同，如有相同的密度，相同的化学组成。晶体同，如有相同的密度，相同的化学组成。晶体的均匀性来源于晶体由无数个极小的晶体单位的均匀性来源于晶体由无数个极小的晶体单位（晶胞）组成，每个单位里有相同的原子、分（晶胞）组成，每个单位里有相同的原子、分子按相同的结构排列而成。气体、液体和非晶子按相同的结构排列而成。气体、液体和非晶态的玻璃体也有均匀性，但那些体系中原子无态的玻璃体也有均匀性，但那些体系中原子无规律地杂乱排列，体系中原子的无序分布导致规律地杂乱排列，体系中原子的无序分布导致宏观上统计结果的均匀性。宏观上统计结果的均匀性。晶体结构最基本的特征是周期性。晶体是由晶体结构最基本的特征是周期性。晶体是由原子或分子在空间按一定规律周期重复排列构成原子或分子在空间按一定规律周期重复排列构成的固态物质，具有三维空间周期性。由于这样的的固态物质，具有三维空间周期性。由于这样的内部结构，内部结构，晶体具有以下性质：晶体具有以下性质：2、各向异性：、各向异性：晶体在不同的方向上具有不晶体在不同的方向上具有不同的物理性质，如不同的方向具有不同的电同的物理性质，如不同的方向具有不同的电导率，不同的折光率和不同的机械强度等。导率，不同的折光率和不同的机械强度等。晶体的这种特征，是由晶体内部原子的周期晶体的这种特征，是由晶体内部原子的周期性排列所决定的。在周期性排列的微观结构性排列所决定的。在周期性排列的微观结构单元之中，不同方向的原子或分子的排列情单元之中，不同方向的原子或分子的排列情况是不同的，这种差异通过成千上万次叠加况是不同的，这种差异通过成千上万次叠加,在宏观体现出各向异性。而玻璃体等非晶态在宏观体现出各向异性。而玻璃体等非晶态物质，微观结构的差异，由于无序分布而平物质，微观结构的差异，由于无序分布而平均化了，所以非晶态物质是各向同性的。例均化了，所以非晶态物质是各向同性的。例如玻璃的折光率是各向等同的，我们隔着玻如玻璃的折光率是各向等同的，我们隔着玻璃观察物体就不会产生视差变形。璃观察物体就不会产生视差变形。3 3、各种晶体生长中会自发形成确定的多面体外形。、各种晶体生长中会自发形成确定的多面体外形。晶体在生长过程中自发形成晶面，晶面相交成为晶体在生长过程中自发形成晶面，晶面相交成为晶棱，晶棱聚成顶点，使晶体具有某种多面体外形的晶棱，晶棱聚成顶点，使晶体具有某种多面体外形的特点。特点。熔融的玻璃体冷却时，随着温度降低，粘度变大，熔融的玻璃体冷却时，随着温度降低，粘度变大，流动性变小，逐渐固化成表面光滑的无定形物，工匠流动性变小，逐渐固化成表面光滑的无定形物，工匠因此可将玻璃体制成各种形状的物品，它与晶体有棱、因此可将玻璃体制成各种形状的物品，它与晶体有棱、有角、有晶面的情况完全不同。有角、有晶面的情况完全不同。4 4、晶体有确定的熔点而非晶态没有。、晶体有确定的熔点而非晶态没有。晶体加热至熔点开始熔化，熔化过程中温度保持晶体加热至熔点开始熔化，熔化过程中温度保持不变，熔化成液态后温度才继续上升。而非晶态玻璃不变，熔化成液态后温度才继续上升。而非晶态玻璃体熔化时，随着温度升高，粘度逐渐变小，成流动性体熔化时，随着温度升高，粘度逐渐变小，成流动性较大的液体。较大的液体。5、晶体具有对称性。、晶体具有对称性。晶体的外观与内部微观结构都晶体的外观与内部微观结构都具有特定的对称性，以后几节会专门介绍。具有特定的对称性，以后几节会专门介绍。均匀性各向异性自发地形成多面体外形有明显确定的熔点有特定的对称性使X射线产生衍射8.1晶体结构的周期性和点阵晶体结构的周期性和点阵8.1.1晶体结构的特征-晶体结构的周期性晶体是由原子或分子在空间按一定规律、周期重复地排列所构成的固体物质。晶体内部原子或分子按周期性规律排列的结构，是晶体结构最基本的特征，使晶体具有下列共同特性：18951895年年Roentgen发现发现X射线，射线，1912年年Bragg首次用首次用X射线射线衍射测定晶体结构，衍射测定晶体结构，标志现代晶体学的创立。晶体内部原子、标志现代晶体学的创立。晶体内部原子、分子结构的基本单元分子结构的基本单元,在三维空间作周在三维空间作周期性重复排列，我们可用一种数学抽象期性重复排列，我们可用一种数学抽象点阵来研究它。若晶体内部结构的点阵来研究它。若晶体内部结构的基本单元可抽象为一个或几个点，则整基本单元可抽象为一个或几个点，则整个晶体可用一个三维点阵来表示。个晶体可用一个三维点阵来表示。8.1.2点阵和结构基元点阵和结构基元 点阵是一组无限的点，点阵中每个点都具有完点阵是一组无限的点，点阵中每个点都具有完全相同的周围环境。在平移的对称操作下，（连结全相同的周围环境。在平移的对称操作下，（连结点阵中任意两点的矢量，按此矢量平移），所有点点阵中任意两点的矢量，按此矢量平移），所有点都能复原，满足以上条件的一组点称为点阵。都能复原，满足以上条件的一组点称为点阵。我们研究的晶体含有各种原子、分子，它们按我们研究的晶体含有各种原子、分子，它们按某种规律排列成基本结构单元，我们可按结构基元某种规律排列成基本结构单元，我们可按结构基元抽象为点阵点。抽象为点阵点。我我们们先先观观察察二二维维周周期期排排列列的的一一些些原原子子、分分子子。（a a）为为金金属属CuCu的的一一层层平平面面排排列列，每每个个CuCu原原子子可可抽抽取取一一个个点点阵阵点点。在在二二维维平平面面中中，可可将将点点阵阵点点连连接接成成平面格子。平面格子。六六方方格格子子包包含含了了六六重重旋旋转转轴轴的的对对称称性性，每每个个点点阵阵点点周周围围有有6 6个个点点阵阵点点相相邻邻，但但六六方方格子的基本单位必须取平行四边形。格子的基本单位必须取平行四边形。讨讨论论二二维维点点阵阵结结构构后后，进进一一步步分分析析晶晶体体结结构构。晶晶体体结结构构是是在在三三维维空空间间伸伸展展的的点点阵结构。阵结构。请注意：请注意：在晶体的点阵结构中每个点阵所代表在晶体的点阵结构中每个点阵所代表的具体内容，包括原子或分子的种类和数的具体内容，包括原子或分子的种类和数量及其在空间按一定方式排列的结构，称量及其在空间按一定方式排列的结构，称为晶体的结构基元。结构基元是指重复周为晶体的结构基元。结构基元是指重复周期中的具体内容；点阵点是代表结构基元期中的具体内容；点阵点是代表结构基元在空间重复排列方式的抽象的点。如果在在空间重复排列方式的抽象的点。如果在晶体点阵中各点阵点位置上，按同一种方晶体点阵中各点阵点位置上，按同一种方式安置结构基元，就得整个晶体的结构。式安置结构基元，就得整个晶体的结构。所以可简单地将晶体结构示意表示为：所以可简单地将晶体结构示意表示为：晶体结构晶体结构=点阵点阵+结构基元结构基元(a)(b)(c)(d)一维周期排列的结构及其点阵（黑点代表点阵点）一维周期排列的结构及其点阵（黑点代表点阵点）(a)Cu，(b)石墨石墨，(c)Se，(d)NaCl（a）NaCl（b）Cu二维周期排列的结构及其点阵（黑点代表点阵点）二维周期排列的结构及其点阵（黑点代表点阵点）ab（c）石墨）石墨二维周期排列的结构及其点阵（黑点代表点阵点）二维周期排列的结构及其点阵（黑点代表点阵点）三维周期排列的结构及其点阵（黑点代表点阵点）三维周期排列的结构及其点阵（黑点代表点阵点）（a）Po（b）CsCl（c）Na（d）Cu(e)金刚石在点阵中以直线连结各个点阵点，形成直线点阵，在点阵中以直线连结各个点阵点，形成直线点阵，相邻两个点阵点的矢量相邻两个点阵点的矢量a是这直线点阵的单位矢量，是这直线点阵的单位矢量，矢量的长度矢量的长度a=a，称为点阵参数，如图，称为点阵参数，如图8.1.6（a）图图8.1.6（a）直线点阵直线点阵a平面点阵必可划分为一组平行的直线点阵，并可平面点阵必可划分为一组平行的直线点阵，并可选择两个不相平行的单位矢量选择两个不相平行的单位矢量a和和b划分成并置的平划分成并置的平行四边形单位，点阵中各点阵点都位于平行四边形行四边形单位，点阵中各点阵点都位于平行四边形的顶点上。矢量的顶点上。矢量a和和b的长度的长度a=a，b=b及及其夹角其夹角称为平面点阵参数，如图称为平面点阵参数，如图8.1.6（b）所示）所示8.1.3点阵单位点阵单位aayx图8.1.6（b）平面点阵空间点阵必可选择空间点阵必可选择3个不相平行的单位矢量个不相平行的单位矢量a，b，c，它们将点阵划分成并置的平行六面体单位，称为点，它们将点阵划分成并置的平行六面体单位，称为点阵单位阵单位.相应地，按照晶体结构的周期性划分所得的平相应地，按照晶体结构的周期性划分所得的平行六面体单位称为晶胞行六面体单位称为晶胞.矢量矢量a，b，c的长度的长度a，b，c及及其相互间的夹角其相互间的夹角，称为点阵参数或晶胞参数。，称为点阵参数或晶胞参数。且且a=a，b=b，c=c=bc，=ac，=ab通常根据矢量通常根据矢量a，b，c选择晶体的坐标轴选择晶体的坐标轴x,y,z，使他，使他们分别和矢量们分别和矢量a，b，c平行。一般平行。一般3个晶轴按右手定则个晶轴按右手定则关系安排：伸出右手的关系安排：伸出右手的3个指头，食指代表个指头，食指代表x轴，中指轴，中指代表代表y轴，大拇指代表轴，大拇指代表z轴轴.如图如图8.1.6（c）所示者即为右）所示者即为右手坐标轴系。手坐标轴系。空间点阵归结为空间点阵归结为：一类是单位包含一个点阵点者称：一类是单位包含一个点阵点者称为素单位，另一类是单位包含二个或二个以上点阵点，为素单位，另一类是单位包含二个或二个以上点阵点，称为复单位。称为复单位。图图8.1.6（c）空间点阵和晶格空间点阵和晶格xyabcz从从1912年劳厄（年劳厄（Laue）开始用）开始用x射线研究晶体结构，迄今，射线研究晶体结构，迄今，大量的事实证明，晶体内部的质点具有周期性重复规律。为大量的事实证明，晶体内部的质点具有周期性重复规律。为了便于研究晶体中微粒（原子，离子或分子）在空间排列的了便于研究晶体中微粒（原子，离子或分子）在空间排列的规律和特点，将晶体中按周期重复的那一部分微粒抽象成几规律和特点，将晶体中按周期重复的那一部分微粒抽象成几何质点，联结其中任何两点所组成的向量进行无限平移，这何质点，联结其中任何两点所组成的向量进行无限平移，这一套点的无限组合就叫做点阵。一维的点阵是直线点阵，二一套点的无限组合就叫做点阵。一维的点阵是直线点阵，二维的点阵是平面点阵，三维的点阵是空间点阵。维的点阵是平面点阵，三维的点阵是空间点阵。平面点阵的点的联结形成平面格子，每个格子一般为平行平面点阵的点的联结形成平面格子，每个格子一般为平行四边形。空间点阵的点的连接形成空间格子。每一个格子一四边形。空间点阵的点的连接形成空间格子。每一个格子一般是平行六面体。这种空间格子就称为晶格。般是平行六面体。这种空间格子就称为晶格。把晶体中的微粒（原子、离子或分子）抽象地看成一个结把晶体中的微粒（原子、离子或分子）抽象地看成一个结点，把它们联结起来，构成不同形状的空间格子，这些空间点，把它们联结起来，构成不同形状的空间格子，这些空间格子都是六面体。假如将晶体结构截裁成一个一个彼此互相格子都是六面体。假如将晶体结构截裁成一个一个彼此互相并置的而且等同的平行六面体的基本单元，它代表晶体的基并置的而且等同的平行六面体的基本单元，它代表晶体的基本重复单元。我们称这些基本单元为晶胞。晶体是由晶胞无本重复单元。我们称这些基本单元为晶胞。晶体是由晶胞无间隙地堆彻而成。若知道晶胞的特征（大小和形状），也就间隙地堆彻而成。若知道晶胞的特征（大小和形状），也就知道整个晶体的结构了。知道整个晶体的结构了。实际的晶体都是近似的空间点阵式的结实际的晶体都是近似的空间点阵式的结构。实际晶体有一定的尺寸，晶体中多少都构。实际晶体有一定的尺寸，晶体中多少都存在一定的缺陷。晶体的缺陷按几何形式划存在一定的缺陷。晶体的缺陷按几何形式划分为点缺陷、线缺陷、面缺陷和体缺陷等。分为点缺陷、线缺陷、面缺陷和体缺陷等。点缺陷：点缺陷：包括空位、杂质原子、间隙原包括空位、杂质原子、间隙原子、错位原子和变价原子等。原子在晶体内子、错位原子和变价原子等。原子在晶体内移动造成的正离子空位和间隙原子称为移动造成的正离子空位和间隙原子称为Frenkel缺陷；正负离子空位并存的缺陷称缺陷；正负离子空位并存的缺陷称为为Schottky缺陷。缺陷。线缺陷：线缺陷：最重要的是位错，位错是使晶最重要的是位错，位错是使晶体出现镶嵌结构的根源体出现镶嵌结构的根源。8.1.4晶体缺陷：晶体缺陷：面缺陷：面缺陷：反映在晶面、堆积层错、晶反映在晶面、堆积层错、晶粒和双晶的界面、晶畴的界面等。粒和双晶的界面、晶畴的界面等。体缺陷：体缺陷：反映在晶体中出现空洞、气反映在晶体中出现空洞、气泡、包裹物、沉积物等。泡、包裹物、沉积物等。晶体的缺陷影响晶体的性质，可使晶晶体的缺陷影响晶体的性质，可使晶体的某些优良性能降低，但是从缺陷可以体的某些优良性能降低，但是从缺陷可以改变晶体的性质角度看，在晶体中造成种改变晶体的性质角度看，在晶体中造成种种缺陷，就可以使晶体的性质有着各种各种缺陷，就可以使晶体的性质有着各种各样的变化，晶体的许多重要性能由缺陷产样的变化，晶体的许多重要性能由缺陷产生。改变晶体缺陷的形式和数量，就可制生。改变晶体缺陷的形式和数量，就可制得所需性能的晶体。得所需性能的晶体。晶体结构中可能存在的对称元素晶体结构中可能存在的对称元素晶胞晶胞晶系晶系空间点阵型式空间点阵型式晶体学点群晶体学点群空间群空间群点阵点、直线点阵和平面点阵的指标点阵点、直线点阵和平面点阵的指标8.2晶体结构的对称性晶体结构的对称性涉及下面几个方面的内容：晶体结构的对称性涉及下面几个方面的内容：晶体的点阵结构使晶体的对称性跟分子的对称性晶体的点阵结构使晶体的对称性跟分子的对称性有一定的差别：有一定的差别：晶体的对称性除了具有分子对称性的晶体的对称性除了具有分子对称性的4种类型的种类型的对称操作和对称元素外，还具有与平移操作有关的对称操作和对称元素外，还具有与平移操作有关的3种种类型的对称操作和对称元素。类型的对称操作和对称元素。8.2.1晶体结构中可能存在的对称元素晶体结构中可能存在的对称元素(1).旋转轴旋转轴-旋转操作旋转操作(2).镜面镜面-反映操作反映操作(3).对称中心对称中心-反演操作反演操作(4).反轴反轴-旋转反演操作旋转反演操作(5).点阵点阵-平移平移操作操作(6).螺旋轴螺旋轴-螺旋旋转操作螺旋旋转操作(7).滑移面滑移面-反演滑移操作反演滑移操作晶体的对称操作和对称元素受到点阵的制约：晶体的对称操作和对称元素受到点阵的制约：其中旋转轴、螺旋轴和反轴的轴次只能为其中旋转轴、螺旋轴和反轴的轴次只能为1、2、3、4、6等几种；螺旋轴和滑移面中的滑移量也只能符等几种；螺旋轴和滑移面中的滑移量也只能符合点阵结构中平移量的几种数值。合点阵结构中平移量的几种数值。晶体结构中可能存在的对称元素有：对称中心晶体结构中可能存在的对称元素有：对称中心()；镜面；镜面(m)；轴次为；轴次为1、2、3、4、6的旋转轴的旋转轴(1,2，3,4,6)、螺旋轴、螺旋轴(21,31,32,41,42,43,61,62,63,64,65)、反轴反轴(3,4,6)；滑移面；滑移面(a，b，c，n，d)等。等。周周期期性性是是晶晶体体结结构构最最基基本本的的特特点点，我我们们可可用用空空间间点点阵阵与与平平移移来来描描述述晶晶体体结结构构，它它与与分分子子对对称称性性不不同同，分分子子的的所所有有对对称称元元素素必必须须交交于于一一点点，是是一一种种点点对对称称性性。而而晶晶体体是是要要描描述述一一种种具具有有无无穷穷点点的的空空间间点点阵阵结结构构，除除了了分分子子对对称称所所拥拥有有的的旋旋转转轴轴、对对称称面面、对对称称心心等等对对称称元元素素外外，晶晶体体结结构构还还有有其其特特有有的的对对称称元元素。下面一一介绍：素。下面一一介绍：晶体结构的对称元素和对称操作晶体结构的对称元素和对称操作 平平移移是是晶晶体体结结构构中中最最基基本本的的对对称称操操作作，可用可用T T来表示来表示 Tmnpmanbpcm，n，p为任意整数为任意整数即即一一个个平平移移矢矢量量Tmnp作作用用在在晶晶体体三三维维点点阵阵上上，使使点点阵阵点点在在a方方向向平平移移m单单位位，b方方向向平平移移n单单位位，c方方向向平平移移p单单位位后后，点点阵阵结结构构仍能复原。仍能复原。1 1平移平移点阵：点阵：如如果果晶晶体体绕绕1个个旋旋转转轴轴转转动动2/n角角度度，则则称称旋旋转转轴轴为为n重重旋旋转转轴轴，能能够够和和空空间间点点阵阵共共存存的的旋旋转转轴轴仅仅有有5种种，即即1，2，3，4，6重重旋旋转转轴轴。在在分分子子对对称称性性中中对对称称元元素素用用Schoflies符符号号，而而晶晶体体结结构构中中习习惯惯用用国国际际符符号号，n表表示示n重重旋旋转转轴轴，还还有有些些图图形形表表示示方方法，如表法，如表7-1所示。所示。晶晶体体结结构构只只允允许许存存在在1，2，3，4，6五五种种旋旋转转轴轴，可证明如下：可证明如下：设设在在晶晶体体结结构构中中取取一一平平面面点点阵阵N1 N2 N7N8点点阵阵点点间间最最近近间间隔隔单单位位a，有有一一n重重旋旋转转轴轴位位于于N2，垂垂直直于于画画面面，顺顺时时针针方方向向旋旋转转2/n角角度度，使使N1点点转转到到N5位位置置，同同时时在在N3处处有有另另一一n重重旋旋转转轴轴，使使N4点逆时针方向转到点逆时针方向转到N7位置。位置。2 2旋转旋转旋转轴：旋转轴：根根据据点点阵阵特特点点 N N5 5N N7 7mama m m为为整数，整数，又从三角函数关系可知：又从三角函数关系可知：N N5 5N N7 7a a2acos2/n2acos2/n mamaa a2acos2/n 2acos2/n m m1 12cos2/n 2cos2/n cos2/n cos2/n最大值为最大值为1 1|（m m1 1）/2|/2|1 1 （m m1 1）可取值为）可取值为-2-2，-1-1，0 0，1 1，2 2 对应的对应的n重轴为重轴为1，2，3，4，6重轴。重轴。若若物物体体含含有有一一个个对对称称面面，那那么么在在对对称称面面一一侧侧的的每每一一点点，都都可可在在对对称称面面的的另另一一侧侧找找到到它它的的对对应应点点。另另一一种种特特殊殊情情况况是是物物体体本本身身是是一一个个平平面面物物体体，被被包包含含在在对称面内，则平面上每一点与自己对应。对称面内，则平面上每一点与自己对应。4 4旋转反演旋转反演反轴：反轴：这这是是一一个个复复合合操操作作，即即绕绕轴轴旋旋转转2/n2/n后后，再再按按对对称称中中心心反反演演后后，图图形形仍仍能能复复原原，我我们们称称这这轴轴为为反反轴轴，记记为为n n。这这一一对对称称操操作作与与分分子子对对称称性性中中介介绍绍的的映映轴轴SnSn是一个相关操作。相互间的联系如下：是一个相关操作。相互间的联系如下：一一般般在在分分子子对对称称点点群群中中用用映映转转轴轴，在在晶晶体体空空间间群群中中用用反反轴轴。特特别别指指出出，实实际际就就是是对对称称心心，但但在在晶晶体体中中习习惯惯用用 ，而而不不用用对对称心称心i i。3 3反映反映反映面：反映面：复复合合操操作作由由旋旋转转加加平平移移组组成成。这这一一对对称称操操作作与与下下一一个个对对称称操操作作反反映映滑滑移移（滑滑移移轴轴）都都是是晶晶体体点点阵阵对对称称性性所所特特有有的的。我我们们观观看看跳跳水水比比赛赛时时，可可看看到到运运动动员员作作转转身身360360或或720720，同同时时作作自自由由落落体体运运动动。运运动动员员所所完完成成的的动动作作就就是是螺螺旋旋旋旋转转下下降降的的动动作作。或或用用一一螺螺旋旋、螺螺母母固固定定某一部件，螺旋上紧的过程就是螺旋旋转运动。某一部件，螺旋上紧的过程就是螺旋旋转运动。螺螺旋旋轴轴用用nmnm符符号号表表示示，即即晶晶体体点点阵阵在在螺螺旋旋轴轴作作用用下下，转转动动2/n2/n角角度度的的过过程程中中，还还沿沿着着旋旋转转轴轴平平移移m/nm/n个个单单位位。例例如如2121螺螺旋旋轴轴表表示示：图图形形绕绕旋旋转转轴轴转转动动180180，同同时时沿沿轴轴方方向向平平移移1/21/2个个矢矢量量单单位位。轴轴次次为为n n的的螺螺旋旋轴轴有有（n n1 1）种种，即即选选择择m/n360m/n360时时，同同时时平平移移m/nm/n个个单单位位，记记为为nmnm，m m1 1，22，n n1 1。所所以以，4 4次次螺螺旋旋轴轴，可可有有4 41 1、4 42 2、4 43 3三三种种，分分别别为为旋旋转转9090，平平移移1/41/4个个单单位位；旋旋转转180180，平移，平移2/42/4个单位；旋转个单位；旋转270270，平移，平移3/43/4个单位。个单位。5 5螺旋旋转螺旋旋转螺旋轴：螺旋轴：这个动作是图形按对称面反映后，还这个动作是图形按对称面反映后，还沿着反映面的某方向平移沿着反映面的某方向平移1/n个单位，再复个单位，再复原。滑移面分三类：一类是反映后沿着原。滑移面分三类：一类是反映后沿着a、b、c晶轴平移晶轴平移1/2个单位的，分别称个单位的，分别称a、b、c轴滑移面；一类是反映后沿着轴滑移面；一类是反映后沿着a、b轴或轴或a、c轴或轴或b、c轴对角线方向平移轴对角线方向平移1/2个单位的，个单位的，称对角滑移面，记为称对角滑移面，记为n；第三类是在金刚；第三类是在金刚石结构中存在的滑移面，反映后沿（石结构中存在的滑移面，反映后沿（ab）、（）、（bc）或（）或（ac）方向平移）方向平移1/4单单位，称位，称d滑移面或金刚石滑移面。滑移面或金刚石滑移面。6 6反映滑移反映滑移滑移面：滑移面：表表7-5 7-5 晶体对称元素的符号晶体对称元素的符号 (1).旋转轴旋转轴-旋转操作旋转操作(2).镜面镜面-反映操作反映操作(3).对称中心对称中心-反演操作反演操作(4).反轴反轴-旋转反演操作旋转反演操作(5).点阵点阵-平移平移操作操作(6).螺旋轴螺旋轴-螺旋旋转操作螺旋旋转操作(7).滑移面滑移面-反演滑移操作反演滑移操作晶胞是晶体结构的基本重复单位，整个晶晶胞是晶体结构的基本重复单位，整个晶体就是晶胞在三维空间周期地重复排列堆砌而体就是晶胞在三维空间周期地重复排列堆砌而成的。成的。晶胞有两个要素：晶胞有两个要素：晶胞的大小和形状，由晶胞参数晶胞的大小和形状，由晶胞参数a,b,c,规定；定；晶胞内部各个原子的坐标位置，由原子坐标晶胞内部各个原子的坐标位置，由原子坐标参数参数(x,y,z)规定规定。晶体结构的基本重复单位是晶胞，只要晶体结构的基本重复单位是晶胞，只要将一个晶胞的结构剖析透彻，整个晶体结构将一个晶胞的结构剖析透彻，整个晶体结构也就掌握了。也就掌握了。8.2.2晶胞晶胞:空间点阵必可选择空间点阵必可选择3个不相平行的连结相邻两个不相平行的连结相邻两个点阵点的单位矢量个点阵点的单位矢量a，b，c，它们将点阵划分成，它们将点阵划分成并置的平行六面体单位，称为点阵单位。相应地，并置的平行六面体单位，称为点阵单位。相应地，按照晶体结构的周期性划分所得的平行六面体单按照晶体结构的周期性划分所得的平行六面体单位称为晶胞。矢量位称为晶胞。矢量a，b，c的长度的长度a，b，c及其相及其相互间的夹角互间的夹角，称为点阵参数或晶胞参数。称为点阵参数或晶胞参数。空间点阵按照确定的平行六面体单位连线划空间点阵按照确定的平行六面体单位连线划分，获得一套直线网格，称为空间格子或晶格。分，获得一套直线网格，称为空间格子或晶格。点阵和晶格是分别用几何的点和线反映晶体结构点阵和晶格是分别用几何的点和线反映晶体结构的周期性，它们具有同样的意义。的周期性，它们具有同样的意义。晶胞：晶胞：r=xa+yb+zc晶胞：晶体的最小重复单元，通过晶胞在晶胞：晶体的最小重复单元，通过晶胞在空间平移无隙地堆砌而成晶体。空间平移无隙地堆砌而成晶体。由晶胞参数由晶胞参数a，b，c，表示，表示，a，b，c 为六面体边长，为六面体边长，分别是分别是bc，ca,ab 所组成的夹角。1.晶胞的大小与形状晶胞的大小与形状：晶胞的两个要素晶胞的两个要素：晶胞参数晶胞参数a，b，c;，2.晶胞的内容：粒子的种类，数目及它在晶胞中的相对位置。按晶胞参数的差异将晶体分成七种晶系。按带心型式分类，将七大晶系分为14种型式。例如，立方晶系分为简单立方、体心立方和面心立方三种型式。图图8-7CsCl晶体结构晶体结构图图8-8是金刚石的晶胞。金刚石也是是金刚石的晶胞。金刚石也是一个一个a=b=c，=90的立方晶胞，的立方晶胞，晶胞除了顶点晶胞除了顶点81/8=1个个C原子外，每个原子外，每个面心位置各有面心位置各有1个个C原子，由于面心位置原子，由于面心位置C原子为原子为2个晶胞共有。故个晶胞共有。故61/2=3个个C原子，除此晶胞内部还有原子，除此晶胞内部还有4个个C原子，所原子，所以金刚石晶胞共有以金刚石晶胞共有1348个个C原子。原子。对于晶胞的棱心位置的原子，则为对于晶胞的棱心位置的原子，则为4个个晶胞共有，计数为晶胞共有，计数为1/4个。个。图图8-8金刚石晶胞金刚石晶胞 根根据据晶晶体体的的对对称称性性，可可将将晶晶体体分分为为七七个个晶晶系系，每个晶系有它自己的特征对称元素。每个晶系有它自己的特征对称元素。对对称称性性高高的的晶晶体体，晶晶胞胞的的规规则则性性强强，如如立立方方晶晶系系的的晶晶胞胞是是立立方方体体，晶晶胞胞三三个个边边长长（即即晶晶轴轴单单位位长长度度）相相等等并并互互相相垂垂直直。这这样样的的晶晶体体，通通过过立立方方晶晶胞胞4 4个个体体对对角角线线方方向向各各有有1 1个个3 3重重轴轴。这这四四个个3 3重重轴轴称称为为立立方方晶晶系系的的特特征征对对称称元元素素。我我们们若若在在晶晶体体外外形形或或宏宏观观性性质质中中发发现现4 4个个3 3重重轴轴，就就可可判判定定该该晶晶体体结结构构中中必必定定存存在在立立方方晶晶系系（英英文文为为CubicCubic）。由由于于立立方方晶晶系系的的晶晶体体包包含含一一个个以以上上高次轴，也将立方晶系称作高级晶系。高次轴，也将立方晶系称作高级晶系。8.2.3晶系晶系 还还有有些些晶晶系系，晶晶胞胞中中至至少少有有2个个晶晶轴轴的的单单位位长长度度是是相相等等的的，更更重重要要的的是是这这些些晶晶胞胞中中都都有有一一个个高高次次轴轴（6次次轴轴、4次次轴轴或或3次次轴轴），这这个个高高次次轴轴就就称称为为他他们们的的特特征征对对称称元元素素。这这些些晶晶系系有有六六方方晶晶系系（Hexagonal）、四四方方晶晶系系（Tetragonal）、三三方方晶晶系系（Trigonal）。由由于于它它们们晶晶胞胞形形状状规规则则性性比比立立方方晶晶系系低低，又又统统称称为为中中级级晶晶系系。六六方方晶晶系系的的特特征征是是宏宏观观可可观观察察到到6次次轴轴对对称称性性，但但每每个个晶晶胞胞仍仍是是a、b晶晶轴轴相相等等，夹夹角角为为120的的平平行行六六面面体体。四四方晶系中晶轴夹角都是方晶系中晶轴夹角都是90，a、b轴亦相等。轴亦相等。另另有有3个个晶晶系系是是正正交交晶晶系系（Orthorhombic）、单单斜斜晶晶系系（Monoclinic）、三三斜斜晶晶系系（Triclinic），特特征征对对称元素都不包含高次轴，所以统称为低级晶系。称元素都不包含高次轴，所以统称为低级晶系。正正交交晶晶系系三三个个晶晶轴轴互互相相垂垂直直，晶晶胞胞是是边边长长不不相相等等的的长长方方体体。单单斜斜晶晶体体有有一一个个晶晶轴轴夹夹角角不不等等于于90。三三斜斜晶晶体三个晶轴夹角都不等于体三个晶轴夹角都不等于90。根据晶体的对称性，按有无某种特征对称元素为标根据晶体的对称性，按有无某种特征对称元素为标准，将晶体分成准，将晶体分成7个晶系：个晶系：1.立方晶系立方晶系(c)：在立方晶胞：在立方晶胞4个方向体对角线上均有三个方向体对角线上均有三重旋转轴重旋转轴(a=b=c,=90)2.六方晶系六方晶系(h)：有：有1个六重对称轴个六重对称轴(a=b,=90,=120)3.四方晶系四方晶系(t)：有：有1个四重对称轴个四重对称轴(a=b,=90)4.三方晶系三方晶系(h)：有：有1个三重对称轴个三重对称轴(a=b,=90,=120)5.正交晶系正交晶系(o)：有：有3个互相垂直的二重对称轴或个互相垂直的二重对称轴或2个互个互相相垂直的对称面垂直的对称面(=90)6.单斜晶系单斜晶系(m)：有：有1个二重对称轴或对称个二重对称轴或对称(=90)7.三斜晶系三斜晶系(a)：没有特征对称元素没有特征对称元素晶体分成晶体分成7个晶系个晶系晶系晶系边长边长夹角夹角晶体实例晶体实例立方立方a=b=c=90Cu,NaCl四方四方a=bc=90Sn,SnO2正交正交abc=90I2,HgCl2三方三方a=b=c=90Bi,Al2O3a=bc=90=120六方六方a=bc=90=120Mg,AgI单斜单斜abc=90=120S,KClO3三斜三斜abc90CuSO45H2O七个晶系及有关特征七个晶系及有关特征晶系晶系特征对称元素特征对称元素晶胞特点晶胞特点空间点阵型式空间点阵型式立方晶系4个按立方体对角线取向的3重旋转轴a=b=ca=b=c=90=90简单立方 立方体心 立方面心 六方晶系6重对称轴a=bca=bc=90,=1=90,=12020简单六方 四方晶系4重对称轴a=bca=bc=90=90简单四方 体心四方 三方晶系3重对称轴a=b=ca=b=c=90=90简单六方 R心六方 正交晶系2个互相垂直的对称面或3个互相垂直的2重对称轴abcabc=90=90简单正交 C心正交 体心正交 面心正交 单斜晶系2重对称轴或对称面abcabc=90=90 简单单斜 C心单斜 三斜晶系无abcabcabc90abc90 简单三斜 表表8 81 1 七个晶系及有关特征七个晶系及有关特征8.2.5晶体学点群晶体学点群晶体学点群是晶体结构中存在的点对称晶体学点群是晶体结构中存在的点对称操作群，共有操作群，共有32种。种。晶体具有空间点阵式的结构，晶体中存晶体具有空间点阵式的结构，晶体中存在的独立的宏观对称元素有：对称中心，镜在的独立的宏观对称元素有：对称中心，镜面，轴次为面，轴次为1,2，3,4，6的旋转轴和的旋转轴和4次反轴次反轴等。等。晶体学点群是指：把晶体中可能存在的晶体学点群是指：把晶体中可能存在的各种宏观对称元素，通过一个公共点，按一各种宏观对称元素，通过一个公共点，按一切可能性组合起来，得到切可能性组合起来，得到32种形式，和这些种形式，和这些形式对应的对称操作群就是形式对应的对称操作群就是32种晶体学点群。种晶体学点群。8.2.5晶体学点群晶体学点群晶体的理想外形和宏观观察到的对称性，称晶体的理想外形和宏观观察到的对称性，称宏观对称性。由于宏观观察区分不了平移的差宏观对称性。由于宏观观察区分不了平移的差异，因此微观结构中一些特殊的螺旋轴、滑移异，因此微观结构中一些特殊的螺旋轴、滑移面，在宏观中表现为旋转轴和对称面，即在宏面，在宏观中表现为旋转轴和对称面，即在宏观仍可以用点群来区分晶体的对称性，但由于观仍可以用点群来区分晶体的对称性，但由于晶体点阵平移性质的限制，旋转轴只能有晶体点阵平移性质的限制，旋转轴只能有1，2，3，4，6次轴，因此总共只有次轴，因此总共只有32个晶体学点个晶体学点群。群。32个点群有个点群有2种表示符号，一种是种表示符号，一种是Schoenflies符号，即以上所用符号，还有一种符号，即以上所用符号，还有一种是晶体学中通用的国际符号，第一个大写符号是晶体学中通用的国际符号，第一个大写符号表示点阵形式，后面表示点阵形式，后面3个位置表示某方面的对个位置表示某方面的对称元素。称元素。Cn：n=1,2,3,4,6即即C1，C2，C3，C4，C6；五个点群；五个点群；Cnv：C2v，C3v，C4v，C6v四个点群；四个点群；Cnh：C1hCs，C2h，C3h，C4h，C6h五个点群；五个点群；Sn：S3与与C3h等同，不重复计算，只有等同，不重复计算，只有S2i，S4，S6，三，三个点群；个点群；Dn：D2，D3，D4，D6四个点群；四个点群；Dnh：D2h，D3h，D4h，D6h，四个点群；，四个点群；Dnd：该类点群含有平分面：该类点群含有平分面d，使映转轴次数要扩大一倍，使映转轴次数要扩大一倍，故只有故只有D2d，D3d以上共以上共27个点群，还有个点群，还有5个高阶群：个高阶群：T、Td、Tu、O、Oh。32个晶体学点群个晶体学点群 晶系 1 2 3 立方 a abc ab 六方 c a 2ab 四方 c a ab 三方 abc ab 正交 a b c 单斜 b 表表83国际符号中国际符号中3个位置代表的方向个位置代表的方向 晶系 Shoenflies符号 国际符号 三斜 C1 S2 1 T 单斜 Cs C2 C2h m 2 2/m 正交 C2v D2 D2hm m 2 2 2 2 m m m 四方C4 S4 C4h C4v D2d D4 D4h4 4/m4 m m 4 2 2 4/m m m 三方C3 S6 C3v D3 D3d3 3m 3 2 六方C6 C3h C6h C6v D6 D3h D6h 6 6/m6 m m 6 2 2 6/m m m 立方 T Th Td O Oh 2 3 m 4 3 2 m 3 m表表8 84 324 32个晶体学点群个晶体学点群在空间点阵中选择某一点作原点，并规定了在空间点阵中选择某一点作原点，并规定了单位单位a,b,c后后,点阵单位就已确定。点阵单位就已确定。1.点阵点指标点阵点指标uvw按下式定义：按下式定义：r=ua+vb+wc，r为原点到该点阵点的矢量。为原点到该点阵点的矢量。2.直线点阵指标的记号直线点阵指标的记号uvw，则由该直线点，则由该直线点阵和矢量阵和矢量ua+vb+wc平行所规定。平行所规定。3.平面点阵指标或晶面指标平面点阵指标或晶面指标(hkl)，则由该平，则由该平面和面和3个坐标轴相交的倒易截数互质的比值来规个坐标轴相交的倒易截数互质的比值来规定。这里的截数是指该平面与坐标轴的交点和原定。这里的截数是指该平面与坐标轴的交点和原点的距离，用点阵单位的长度作计数的单位。点的距离，用点阵单位的长度作计数的单位。1/r:1/s:1/t=h:k:l8.2.6.点阵点、直线点阵和平面点阵的指标点阵点、直线点阵和平面点阵的指标图图8-98-9中，中，r r、s s、t t分别为分别为2 2，2 2，3 3；1/r:1/s:1/t1/r:1/s:1/t=1/2:1/2:1/=1/2:1/2:1/3=3:3:23=3:3:2，即，即晶面指标为晶面指标为（332332），我），我们说（们说（332332）晶面，实际晶面，实际是指一组平是指一组平行的晶面。行的晶面。图图8-9 图图7-10 7-10 示出立方晶系几组晶面及其晶面指标。示出立方晶系几组晶面及其晶面指标。（100100）晶面表示晶面与）晶面表示晶面与1/a1/a轴相截与轴相截与b b轴、轴、c c轴平行；轴平行；（110110）晶面面表示与）晶面面表示与a a和和b b轴相截，与轴相截，与c c轴平行；轴平行；（111111）晶面则与）晶面则与a a、b b、c c轴相截，截距之比为轴相截，截距之比为1:1:11:1:1晶面指标出现负值表示晶面在晶轴的反向与晶轴相截。晶面指标出现负值表示晶面在晶轴的反向与晶轴相截。晶面晶面 、可通过可通过3 3重或重或4 4重旋转轴联系起来，晶面性质是相重旋转轴联系起来，晶面性质是相同的，可用同的，可用100100符号来代表这符号来代表这6 6个晶面。同理可用个晶面。同理可用111111代表代表 、8 8个晶面。个晶面。xzyabc(553)图8.2.5平面点阵（平面点阵（553）的取向）的取向(100)(110)(100),(110)在点阵中的取向 图8.2.7 和z轴平行的各组点阵面在投影中的取向（100）（110）平面点阵族平面点阵族(khl)中相邻两个平面间的中相邻两个平面间的垂直距离用垂直距离用d(hkl)表示，表示，d(hkl)又称晶面间距，又称晶面间距，它与晶胞参数和晶面指标有关，例如对立它与晶胞参数和晶面指标有关，例如对立方晶系为：方晶系为：一组平行晶面（一组平行晶面（hkl）中两个相邻平面）中两个相邻平面间的垂直距离称为晶面间距，用间的垂直距离称为晶面间距，用dhkl表示。表示。4.平面间距平面间距d(hkl)1.空间群空间群8.3.1空间群的推导和表达空间群的推导和表达晶体结构具有空间点阵式的周期结构晶体结构具有空间点阵式的周期结构,点阵结构的空间对称操作群称为空间群。点阵结构的空间对称操作群称为空间群。所以空间群是晶体所以空间群是晶体学学空间对称操作的集合。空间对称操作的集合。将点将点操作操作和平移和平移操作组合在一起，可得到操作组合在一起，可得到螺旋旋转（包括纯旋转），滑移反映螺旋旋转（包括纯旋转），滑移反映和和旋转倒旋转倒反（或旋转反映）三类复合操作，以及这些复反（或旋转反映）三类复合操作，以及这些复合操作的对称元素出现的位置。合操作的对称元素出现的位置。空间群可分为点式空间群空间群可分为点式空间群和非和非点式空间群点式空间群两大类。点式空间群两大类。点式空间群14空间空间点阵型式基础上，点阵型式基础上，将将230和点和点群进行组合得到的。群进行组合得到的。非非点式空间群点式空间群可在点式空间群的基础上，可在点式空间群的基础上，将将其中的旋转轴和其中的旋转轴和逐一地换成同形的镜面对称元素，替换后，抛逐一地换成同形的镜面对称元素，替换后，抛弃其中不可能的组合，把其中相同的归并到一弃其中不可能的组合，把其中相同的归并到一起。起。2.空间群的推导和表达空间群的推导和表达例如：例如：C2h点点群可得两种点式空间群群可得两种点式空间群和和4 4种种非非点式点式空间群，其编号如下：空间群，其编号如下：空间群的总数为空间群的总数为230个。个。每个每个空间群的记号可用空间群的记号可用Schonflies(熊夫利熊夫利)记号，或记号，或用国际记号，也可同时将两种记号结合使用。例如：用国际记号，也可同时将两种记号结合使用。例如：是空间群的是空间群的Schonflies记号；记号；“-”后是国际记号，后是国际记号，第一个大写字母表示点阵型式，第一个大写字母表示点阵型式，P为简单点阵；为简单点阵；其余其余3个位上的记号表示晶体中个位上的记号表示晶体中3个方向的对称性。个方向的对称性。空间群是指晶体结构中存在的空间对称操空间群是指晶体结构中存在的空间对称操作群，共有作群，共有230种。种。将晶体中可能存在的全部对称元素进行组将晶体中可能存在的全部对称元素进行组合，可导出合，可导出230种对称元素系，和它们相应的对种对称元素系，和它们相应的对称操作群就是空间群。称操作群就是空间群。每个空间群中对称元素的排布有其特定的每个空间群中对称元素的排布有其特定的规律。若在晶胞的某个坐标点上有一个原子，规律。若在晶胞的某个坐标点上有一个原子，通过对称元素的联系，在相关的一人、组点上通过对称元素的联系，在相关的一人、组点上都都有相同原子，这一组点上的原子是由该空间有相同原子，这一组点上的原子是由该空间群的对称元素联系的、等同的、等效的，故称群的对称元素联系的、等同的、等效的，故称为等效点系。等效点系是从原子排列的方式表为等效点系。等效点系是从原子排列的方式表达晶体的对称性达晶体的对称性。3 3230230个空间群个空间群 晶晶体体的的空空间间点点阵阵结结构构，满满足足以以上上介介绍绍的的微微观观对对称称操操作作，具具有有这这些些对对称称元元素素的的群群称称为为空空间间群群。空空间间群群共共有有230230个个。由由于于晶晶体体的的空空间间点点阵阵结结构构，从从数数学学概概念念看看，点点阵阵点点是是无无限限的的，则则空空间间群群中中的的对对称称操操作作阶阶次次也也是是无无限限的的。晶晶体体学学家家都都用用空空间间群群来来标标识识每每一一个个已已知知结结构构的的晶体。由于本课程篇幅所限，只做一般介绍。晶体。由于本课程篇幅所限，只做一般介绍。从从1414种种布布拉拉维维格格子子出出发发，通通过过3232个个晶晶体体学学点点群群，加加上上平平移移操操作作，我我们们可可以以推推引引出出230230个个空空间间群群。即即属属于于同同一一点点群群的的各各种种晶晶体体可可以以录录属属若若干干空空间间群群。例例如如点点群群为为C C2h2h2/m2/m的的各各种种晶晶体体，可可以以分分属属以以下下6 6个个空空间间群群中中的一个：的一个：C2h1P2/m，C2h2P21/m，C2h3C2/m，C2h4P2/c，C2h5P21/c，C2h6C2/c 晶体学中将晶体学中将230230个空间群的个空间群的每个群用一幅对称元素系图每个群用一幅对称元素系图和一幅等效点系图来表示：和一幅等效点系图来表示：例如例如:最简单的三斜晶系的最简单的三斜晶系的P P群群 该群只有反演中心该群只有反演中心i i对称操作，右图为对称操作表。对称操作，右图为对称操作表。图中原点位于左上角，图中原点位于左上角，a a轴向下延伸，轴向下延伸，b b轴水平向右延轴水平向右延伸，伸，c c轴可想象从原点向上伸展。轴可想象从原点向上伸展。以以a a、b b、c c轴与一组原子分数坐标轴与一组原子分数坐标x,y,zx,y,z组成一组成一个右手坐标系。个右手坐标系。4 4等效点系图等效点系图 一般将反演中心放在晶胞一般将反演中心放在晶胞原点，通过平移在晶胞中心处原点，通过平移在晶胞中心处（1/2,1/2,1/21/2,1/2,1/2）产生另一个）产生另一个反演中心，还有反演中心，还有3 3个在面心处，个在面心处，3 3个在晶轴中心处，共有个在晶轴中心处，共有8 8个反个反演中心，它们之中没有一个是演中心，它们之中没有一个是等价的。等价的。对称元素图只取了对称元素图只取了abab面，在面面，在面以上位置未能明确表示的，见以上位置未能明确表示的，见后面的原子分数坐标清单。后面的原子分数坐标清单。右图为等效点系图。右图为等效点系图。晶胞内左上角处是一个旁边有号的空心圆，表示某一起晶胞内左上角处是一个旁边有号的空心圆，表示某一起始点。正号表示该点始点。正号表示该点Z坐标大于坐标大于0。这点经（。这点经（1/2,1/2,0）点反演）点反演中心，可产生晶胞内另一点，该点伴以负号，表示该点经反演中心，可产生晶胞内另一点，该点伴以负号，表示该点经反演位于平面下面（位于平面下面（Z0）。晶胞边界外的其余各点是边界内各点）。晶胞边界外的其余各点是边界内各点的平移等价点，画出它们是为了表示除（的平移等价点，画出它们是为了表示除（1/2,1/2,0）有一个反）有一个反演中心外，其余七处还有反演中心。演中心外，其余七处还有反演中心。a T 0,0,0 b T 0,0,1/2 c T 0,1/2,0d T 1/2,0,0 e T 1/2,1/2,0 f T 1/2,0,1/2 g T 0,1/2,1/2 h T 1/2,1/2,1/2 下下面面是是另另一一个个很很常常见见的的空空间间群群C2h5P21/c的的对对称称元元素系和等效点系图。素系和等效点系图。原子分数坐标：原子分数坐标：利用晶胞参数可计算晶胞体积利用晶胞参数可计算晶胞体积(V)，根据相对分子，根据相对分子质量质量(M)、晶胞中分子数、晶胞中分子数(Z)和和Avogadro常数常数N，可计，可计算晶体的密度算晶体的密度D：8.3.2 晶体结构的表达及应用D=ZM/NVr1-2=(x)2a2+(y)2b2+(z)2c2+2xyabcos+2zxcacos+2yzbccos式中式中x,y,z分别代表分别代表(x2-x1)，(y2-y1)和和(z2-z1)。其它晶系可按此式其它晶系可按此式简化后使用。化后使用。利用晶胞参数和利用晶胞参数和2个原子在晶胞中的坐标参数个原子在晶胞中的坐标参数(x1,y1,z1)和和(x2,y2,z2)可计算两个原子间的距离可计算两个原子间的距离r1-2(即键长即键长)。不同晶系计算。不同晶系计算r1-2的公式不同，三斜晶的公式不同，三斜晶系的公式为：系的公式为：从晶体学的发展可分为古典和现代两个阶段。古从晶体学的发展可分为古典和现代两个阶段。古典晶体学阶段，确定了典晶体学阶段，确定了14种空间点阵型式，导出种空间点阵型式，导出32种种宏观对称群，进而推导出宏观对称群，进而推导出230个空间群。个空间群。19051905年德国年德国人人RoentgenRoentgen发现一种穿透力极强的射线，命名为发现一种穿透力极强的射线，命名为X X射射线线.1912年，年，M.M.Laue实现了实现了X射线在晶体中的衍射，射线在晶体中的衍射，开创了现代晶体学阶段。开创了现代晶体学阶段。从从1912年至年至30年代，年代，Laue、Bragg，Pauling等对等对无机化学物的晶体