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假设检验假设检验WZZ8.1 8.1 假设检验的基本概念假设检验的基本概念 假设检验是指施加于一个或多个总体的概率假设检验是指施加于一个或多个总体的概率分布或参数的假设分布或参数的假设.所作的假设可以是正确的所作的假设可以是正确的,也可以是错误的也可以是错误的.为判断所作的假设是否正确为判断所作的假设是否正确,从总体中抽从总体中抽取样本取样本,根据样本的取值根据样本的取值,按一定的原则进行按一定的原则进行检验检验,然后然后,作出接受或拒绝所作假设的决定作出接受或拒绝所作假设的决定.一、何谓一、何谓假设检验假设检验?假设检验所以可行，其理论背景为实际推假设检验所以可行，其理论背景为实际推断原理，即断原理，即“小概率原理小概率原理”二、假设检验的内容二、假设检验的内容参数检验参数检验非参数检验非参数检验总体均值、均值差的检验总体均值、均值差的检验总体方差、方差比的检验总体方差、方差比的检验分布拟合检验分布拟合检验符号检验符号检验秩和检验秩和检验三、假设检验的理论依据三、假设检验的理论依据下面通过下面通过引例引例来说明来说明 问题问题引例引例1 某产品的出厂检验规定某产品的出厂检验规定:次品率次品率 p 不超不超过过4%才能出厂才能出厂.现从一万件产品中任意抽查现从一万件产品中任意抽查12件件发现发现3件次品件次品,问该批产品能否出厂？若抽查结果问该批产品能否出厂？若抽查结果发现发现1件次品件次品,问能否出厂？问能否出厂？这不是这不是 小概率事件小概率事件,没理由拒绝原假设没理由拒绝原假设,从而接受原假设从而接受原假设,即该批产品即该批产品可以出厂可以出厂.解解 假设假设这是这是 小概率事件小概率事件,一般在一次试验中是不会发生一般在一次试验中是不会发生的的,现一次试验竟然发生现一次试验竟然发生,故可认为原假设不成立故可认为原假设不成立,即该批产品次品率即该批产品次品率 ,则该批产品不能出厂则该批产品不能出厂.若不采用假设检验若不采用假设检验,按理也不能够出厂按理也不能够出厂.注注直接算直接算对总体对总体 提出假设提出假设要求利用样本观察值要求利用样本观察值对提供的信息作出接受对提供的信息作出接受 (可出厂可出厂),还是接受还是接受 (不准出厂不准出厂)的判断的判断.上述出厂检验问题的数学模型上述出厂检验问题的数学模型引例引例2 某厂生产的螺钉某厂生产的螺钉,按标准强度为按标准强度为6868克克/mm/mm2 2,而实际生产的螺钉强度而实际生产的螺钉强度 X X 服从服从 N N(,3.6,3.6 2 2).).若若 E E(X X)=)=68,=68,则认为这批螺钉符合要则认为这批螺钉符合要求求,否则认为不符合要求否则认为不符合要求.为此提出如下假设为此提出如下假设:H0:=68 称为称为原假设原假设或或零假设零假设 原假设的对立面原假设的对立面:H1:68 称为称为备择假设备择假设现从该厂生产的螺钉中抽取容量为现从该厂生产的螺钉中抽取容量为 36 36 的样本的样本,其样本均值为其样本均值为 ,问原假设是否正确问原假设是否正确?若原假设正确若原假设正确,则则故故 取较大值是小概率事件取较大值是小概率事件因而因而,即即偏离偏离6868不应该太远不应该太远,是小概率事件是小概率事件,偏离较远偏离较远由于由于规定规定 为小概率事件的概率大小为小概率事件的概率大小,通常取通常取 =0.05,0.01,=0.05,0.01,例如例如,取取 =0.05,=0.05,则则因此因此,可以确定一个常数可以确定一个常数 c c,使得使得由由称称 的取值区间的取值区间 (66.824,69.18)(66.824,69.18)为检验的为检验的接受域接受域(实际上没理由拒绝实际上没理由拒绝),现现落入接受域落入接受域,则接受原假设则接受原假设 H H0 0:=68=68 (,66.824)与与(69.18,+)为检验的为检验的拒绝域拒绝域而区间而区间 由引例由引例 2 2 可见可见,在给定在给定 的前提下的前提下,接受还接受还是拒绝原假设完全取决于样本值是拒绝原假设完全取决于样本值,因此所作检验因此所作检验可能导致以下两类错误的产生：可能导致以下两类错误的产生：第一类错误第一类错误弃真错误弃真错误第二类错误第二类错误取伪错误取伪错误H0 为真为真H0 为假为假真实情况真实情况所作判断所作判断接受接受 H0拒绝拒绝 H0正确正确正确正确第一类错误第一类错误 (弃真弃真)第二类错误第二类错误 (取伪取伪)假设检验的两类错误假设检验的两类错误犯第一类错误的概率通常记为犯第一类错误的概率通常记为 犯第二类错误的概率通常记为犯第二类错误的概率通常记为 希望所用的检验方法尽量少犯错误希望所用的检验方法尽量少犯错误,但不但不能完全排除犯错误的可能性能完全排除犯错误的可能性.理想的检验方法理想的检验方法应使犯两类错误的概率都很小应使犯两类错误的概率都很小,但在样本的容但在样本的容量给定的情形下量给定的情形下,不可能使两者都很小不可能使两者都很小,降低降低一个一个,往往使另一个增大往往使另一个增大.假设检验的指导思想是控制犯第一类错误假设检验的指导思想是控制犯第一类错误的概率不超过的概率不超过,然后然后,若有必要若有必要,通过增大样本通过增大样本容量的方法来减少容量的方法来减少 .犯第一类错误的概率犯第一类错误的概率 =P P(拒绝拒绝H H0 0|H H0 0为真为真)若若H H0 0为真为真,则则 所以所以,拒绝拒绝 H H0 0 的概率为的概率为 ,又称为又称为显著性显著性水平水平,越大越大,犯第一类错误的概率越大犯第一类错误的概率越大,即越显著即越显著.引例引例2 中中H H0 0 不真不真,即即 68,68,可能小于可能小于68,68,也可能大也可能大于于68,68,的大小取决于的大小取决于 的真值的大小的真值的大小.下面计算犯第二类错误的概率下面计算犯第二类错误的概率 设设 =66,=66,n n=36,=36,=P P(接受接受 H H0 0|H H0 0不真不真)若若 =69,=69,n n=36,=36,取伪的概率较大取伪的概率较大./2/2 H0 真真H0 不真不真仍取仍取 =0.05,=0.05,则则由由可以确定拒绝域为可以确定拒绝域为 (,67.118)与与(68.882,+)因此，接受域为因此，接受域为 (67.118,68.882)(67.118,68.882)现增大样本容量现增大样本容量,取取 n=n=64,64,=66,=66,则则 当样本容量确定后当样本容量确定后,犯两类错误的概率不犯两类错误的概率不命题命题可能同时减少可能同时减少.此时犯此时犯第二类错误的概率为第二类错误的概率为 证证 设设 在水平在水平 给定下给定下,检验假设检验假设又由此可见,当 n 固定时1)若若2)若 一般一般,作假设检验时作假设检验时,先控制犯第一类先控制犯第一类错误的概率错误的概率 ,在保证在保证 的条件下使的条件下使 尽量地小尽量地小.要降低要降低 一般要增大样本容量一般要增大样本容量.当当H H0 0不真时不真时,参数值越接近真值参数值越接近真值,越大越大.备择假设可以是单侧备择假设可以是单侧,也可以是双侧的也可以是双侧的.原假设原假设 H0:=68；备择假设备择假设 H1:68注注 1 1 注注 2 2 引例引例2 2中的备择假设是双侧的中的备择假设是双侧的.如果根据以往如果根据以往的生产情况的生产情况,0 0=68.=68.现采用了新工艺现采用了新工艺,关心的关心的是新工艺能否提高螺钉强度是新工艺能否提高螺钉强度,越大越好越大越好.此此时时,可作如下的假设检验可作如下的假设检验:当当原假设原假设H H0 0:=0 0=68=68 为真时为真时,取较大值的概率较小取较大值的概率较小当当备择假设备择假设H H1 1:68 68 为真时为真时,取较大值的概率较大取较大值的概率较大给定显著性水平给定显著性水平 ,根据根据可确定拒绝域可确定拒绝域因而因而,接受域接受域称这种检验为右边检验称这种检验为右边检验.原假设原假设 H H0 0:68 68备择假设备择假设 H H1 1:68 68另外另外,可设可设若原假设正确若原假设正确,则则但现不知但现不知 的真值，只知的真值，只知 0 0=68=68 小概率事件小概率事件故取拒绝域故取拒绝域显著性水平不超过显著性水平不超过 关于零假设与备择假设的选取关于零假设与备择假设的选取H H0 0与与H H1 1地位应平等地位应平等,但在控制犯第一类错误但在控制犯第一类错误的概率的概率 的原则下的原则下,使得采取拒绝使得采取拒绝H H0 0 的决的决策变得较慎重策变得较慎重,即即H H0 0 得到特别的保护得到特别的保护.因而因而,通常把有把握的、有经验的结论作为通常把有把握的、有经验的结论作为原假设原假设,或者尽可能使后果严重的错误成为或者尽可能使后果严重的错误成为第一类错误第一类错误.注注 3 3 假设检验的步骤假设检验的步骤其中其中1、根据实际问题所关心的内容根据实际问题所关心的内容,建立建立H H0 0与与H H1 12 2、在在H H0 0为真时为真时,选择合适的统计量选择合适的统计量V V,由由H H1 1确确给定显著性水平给定显著性水平,其对应的拒绝域其对应的拒绝域双侧检验双侧检验左边检验左边检验定拒绝域形式定拒绝域形式3、根据样本值计算根据样本值计算,并作出相应的判断并作出相应的判断.右边检验右边检验假设检验假设检验WZZ8.2 8.2 正态总体参数的假设检验正态总体参数的假设检验拒绝域的推导拒绝域的推导设 X N(2)，2 已知，需检验：H0:0 ；H1:0构造统计量 给定显著性水平与样本值(x1,x2,xn)一、一个正态总体一、一个正态总体1 1、关于、关于 的检验的检验P P(拒绝拒绝H0|H0为真为真)所以本检验的拒绝域为所以本检验的拒绝域为0：U 检验法检验法 0 0 0 0 0U 检验法检验法(2 2 已知已知)原假设原假设 H0备择假设备择假设 H1检验统计量及其检验统计量及其H0为真时的分布为真时的分布拒绝域拒绝域)1,0(0NnXU-0 0 0 0 0T 检验法检验法(2 2 未知未知)原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域例例1 某厂生产小型马达某厂生产小型马达,其说明书上写着其说明书上写着:这这种小型马达在正常负载下平均消耗电流不会种小型马达在正常负载下平均消耗电流不会超过超过0.8 安培安培.现现随随机机抽抽取取16台台马马达达试试验验,求求得得平平均均消消耗耗电电流流为为0.92安安培培,消消耗耗电电流流的的标标准准差差为为0.32安安培培.假假设设马马达达所所消消耗耗的的电电流流服服从从正正态态分分布布,取取显显著著性性水水平平为为 =0.05,问问根根据据这这个个样样本本,能否否定厂方的断言能否否定厂方的断言?解解 根据题意待检假设可设为根据题意待检假设可设为 H0:0.8；H1:0.8 未知未知,故故选检验统计量选检验统计量:查表得查表得 t0.05(15)=1.753,故拒绝域为故拒绝域为现现故接受原假设故接受原假设,即不能否定厂方断言即不能否定厂方断言.解二解二 H0:0.8；H1:02 2 02 2 0.00040.此时可采用效果相同的单边假设检验此时可采用效果相同的单边假设检验 H0:2=0.00040；H1:2 0.00040.取统计量取统计量拒绝域拒绝域 0：落在落在 0内内,故拒绝故拒绝H0.即改革后的方差显著大于即改革后的方差显著大于改革前的方差改革前的方差,因此下一步的改革应朝相反方向因此下一步的改革应朝相反方向进行进行.设 X N(1 1 2),Y N(2 2 2),两样本 X,Y 相互独立,样本 (X1,X2,Xn),(Y1,Y2,Ym)样本值 (x1,x2,xn),(y1,y2,ym),显著性水平 二、两个正态总体二、两个正态总体1 2=(12，22 已知)1、关于均值差关于均值差 1 2 的检验的检验1 2 1 2 1 2 1 2 原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域1 2=1 2 1 2 1 2 1 2 其中12,22未知12=22原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域 12=22 12 22 12 22 12 22 12 22 12 222、关于方差比、关于方差比 12/22 的检验的检验1,2 均未知原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域 例例3 杜鹃总是把蛋生在别的鸟巢中杜鹃总是把蛋生在别的鸟巢中,现从两种现从两种鸟巢中得到杜鹃蛋鸟巢中得到杜鹃蛋24个个.其中其中9个来自一种鸟巢个来自一种鸟巢,15个来自另一种鸟巢个来自另一种鸟巢,测得杜鹃蛋的长度测得杜鹃蛋的长度(mm)如下如下:m=1519.8 20.0 20.3 20.8 20.9 20.9 21.0 21.0 21.0 21.2 21.5 22.0 22.0 22.1 22.3n=921.2 21.6 21.9 22.0 22.022.2 22.8 22.9 23.2 试判别两个样本均值的差异是仅由随机因素试判别两个样本均值的差异是仅由随机因素造成的还是与来自不同的鸟巢有关造成的还是与来自不同的鸟巢有关().解解 H0:1=2 ；H1:1 2 取统计量取统计量拒绝域拒绝域 0：统计量的值统计量的值 落在落在 0内内,因因此此拒绝拒绝H0 即杜鹃蛋的长度与来自不同的鸟巢有关即杜鹃蛋的长度与来自不同的鸟巢有关.例例4 假假设设机机器器 A 和和机机器器 B 都都生生产产钢钢管管,要要检检验验 A 和和 B 生生产产的的钢钢管管的的内内径径的的稳稳定定程程度度.设设它它们们生生产产的的钢钢管管内内径径分分别别为为 X 和和 Y,都都服服从从正态分布正态分布 X N(1,12),Y N(2,22)现现从从A生生产产的的钢钢管管中中抽抽出出18 根根,测测得得 s12=0.34,从从B生产的钢管中抽出生产的钢管中抽出13 根根,测得测得 s22=0.29,设设两两样样本本相相互互独独立立.问问是是否否能能认认为为两两台台机机器器生生产的钢管内径的稳定程度相同产的钢管内径的稳定程度相同?(取取 =0.1)解解H0:12=22；H1:12 22 查表得查表得 F0.05(17,12)=2.59,F0.95(17,12)=拒绝域为拒绝域为:或或由给定值算得由给定值算得:,落在拒绝域外落在拒绝域外,故接受原假设故接受原假设,即认为内径的稳定程度相同即认为内径的稳定程度相同.接受域接受域置信区间置信区间假假设设检检验验区区间间估估计计统计量统计量枢轴量枢轴量对偶关系对偶关系同一函数同一函数三、假设检验与区间估计的联系三、假设检验与区间估计的联系正态总体正态总体 的双侧假设检验与置信区间对照的双侧假设检验与置信区间对照接受域置信区间检验统计量及其在H0为真时的分布枢轴量及其分布 0 0（2 已知)（2 已知)原假设 H0备择假设 H1待估参数接受域置信区间检验统计量及其在H0为真时的分布枢轴量及其分布原假设 H0备择假设 H1待估参数 0 0（2未知）（2未知）接受域接受域置信区间置信区间检验统计量及其在检验统计量及其在H0为真时的分布为真时的分布枢轴量及其分布枢轴量及其分布原假设原假设 H0备择假设备择假设 H1待估参数待估参数 2 02 2=02 2(未知未知)(未知未知)例例 5 新设计的某种化学天平，其测量的误差新设计的某种化学天平，其测量的误差服从正态分布，现要求服从正态分布，现要求 99.7%的测量误差不超过的测量误差不超过 0.1mg,即要求即要求 3 0.1。现拿它与标准天平相比，。现拿它与标准天平相比，得得10个误差数据，其样本方差个误差数据，其样本方差s2=0.0009.试问在试问在 =0.05的水平上能否认为满足设计要求？的水平上能否认为满足设计要求？解一解一H0:1/30；H1:1/30拒绝域：拒绝域：未知未知,故故选检验统计量选检验统计量现现 落在拒绝域落在拒绝域外外 故接受原假设故接受原假设,即认为即认为满足设计要求满足设计要求.解二解二 2的单侧的单侧置信区间为置信区间为H0中的中的 ,则则H0 成立成立 从而接受原假设从而接受原假设,即认为即认为满足设计要求满足设计要求.四、样本容量的选取 虽然当样本容量 n 固定时,我们不能同时控制犯两类错误的概率,但可以适当选取 n 的值,使犯取伪错误的概率 控制在预先给定的限度内.样本容量 n 满足 如下公式：单边检验双边检验假设检验步骤(三部曲三部曲)其中其中q 根据实际问题所关心的内容根据实际问题所关心的内容,建立建立H H0 0与与H H1 1q 在在H H0 0为真时为真时,选择合适的统计量选择合适的统计量V V,由由H H1 1确确给定显著性水平给定显著性水平,其对应的拒绝域其对应的拒绝域双侧检验双侧检验左边检验左边检验定拒绝域形式定拒绝域形式q 根据样本值计算根据样本值计算,并作出相应的判断并作出相应的判断.右边检验右边检验小结设某次概率统计考试考生的成绩设某次概率统计考试考生的成绩X N(,2),从中随机地抽取从中随机地抽取 36 36 位考生位考生的成绩，算得平均成绩为的成绩，算得平均成绩为66.566.5分，标准差分，标准差为为1515分分.问在显著性水平问在显著性水平0.050.05下，是否可下，是否可以认为这次考试的平均成绩为以认为这次考试的平均成绩为7070分？分？并给出检验过程并给出检验过程 .解解课堂练习课堂练习拒绝域拒绝域:落在拒绝域外，接受落在拒绝域外，接受 即认为这次考试的平均成绩为即认为这次考试的平均成绩为7070分分.4 4 用包装机包装洗衣粉用包装机包装洗衣粉.在正常情况下，在正常情况下，问该天包装机工作是否正常？问该天包装机工作是否正常？().每袋重量为每袋重量为1000克，标准差不能超过克，标准差不能超过15克克.假设每袋净重假设每袋净重某天为检查机器某天为检查机器工作是否正常，随机抽取工作是否正常，随机抽取10袋得其净重的袋得其净重的均值均值 ，方差，方差解解 H0:=1000 ；H1:1000 取统计量取统计量解解拒绝域拒绝域 0：落在拒绝域外，接受落在拒绝域外，接受 即认为即认为该天包装机工作正常该天包装机工作正常.本题只做了一半本题只做了一半,还应继续做下去还应继续做下去(2)(2)设设取统计量取统计量拒绝域拒绝域 0：落在拒绝域内，拒绝落在拒绝域内，拒绝 综合综合(1)(2),(1)(2),虽然平均虽然平均净重合格净重合格,但方差但方差偏大，故包装机工作不太正常偏大，故包装机工作不太正常.
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