---光的衍射-波动光学课件

第四章第四章 光的衍射光的衍射第一节第一节 衍射的基本理论衍射的基本理论 第二节第二节 衍射和傅立叶变换衍射和傅立叶变换第三节第三节 单孔的夫朗和费衍射单孔的夫朗和费衍射 第四节第四节 衍射光栅衍射光栅第五节第五节 菲涅尔衍射菲涅尔衍射第 四 章 光的衍射 第一节第一节 衍射的基本理论衍射的基本理论 一、衍射问题概述一、衍射问题概述光的衍射是指光波在传播过程中遇到障碍物时，光的衍射是指光波在传播过程中遇到障碍物时，所发生的偏离直线传播的现象。所发生的偏离直线传播的现象。光的衍射，也可以叫光的绕射，即光可绕过障碍光的衍射，也可以叫光的绕射，即光可绕过障碍物，传播到障碍物的几何阴影区域中，并在障碍物，传播到障碍物的几何阴影区域中，并在障碍物后的观察屏上呈现出光强的不均匀分布。物后的观察屏上呈现出光强的不均匀分布。通常将观察屏上的不均匀光强分布称为衍射图样。通常将观察屏上的不均匀光强分布称为衍射图样。第 四 章 光的衍射 第 四 章 光的衍射 S SP PP 光的衍射现象与光的干涉现象，都是相干光波叠光的衍射现象与光的干涉现象，都是相干光波叠加引起的光强的重新分布。加引起的光强的重新分布。不同之处在于：干涉是有限个相干光波的叠加，不同之处在于：干涉是有限个相干光波的叠加，衍射是无限多个相干光波叠加的结果。衍射是无限多个相干光波叠加的结果。衍射需要用到积分，但在许多情况下，对衍射孔衍射需要用到积分，但在许多情况下，对衍射孔径的积分无法求解，使衍射问题的求解遇到了很径的积分无法求解，使衍射问题的求解遇到了很大的困难。通常情况下，我们无法得到精确的解，大的困难。通常情况下，我们无法得到精确的解，而只能得到近似的解。而只能得到近似的解。第 四 章 光的衍射 第 四 章 光的衍射 研究衍射现象及其规律的问题归结为已知光波在某研究衍射现象及其规律的问题归结为已知光波在某一衍射屏上的复振幅分布，或已知入射光波及衍射一衍射屏上的复振幅分布，或已知入射光波及衍射屏的形状和振幅透射函数，求光在衍射屏后的空间屏的形状和振幅透射函数，求光在衍射屏后的空间任一点或任一平面上的复振幅分布或光强分布。任一点或任一平面上的复振幅分布或光强分布。研究衍射问题的传统方法：首先，惠更斯研究衍射问题的传统方法：首先，惠更斯菲涅菲涅耳原理对衍射现象作了初步解释。其后，基尔霍夫耳原理对衍射现象作了初步解释。其后，基尔霍夫从波动方程出发，对衍射屏上的光场分布作了一些从波动方程出发，对衍射屏上的光场分布作了一些假设，推导了求衍射图样分布的公式，并为惠更斯假设，推导了求衍射图样分布的公式，并为惠更斯菲涅耳原理提供了理论基础。菲涅耳原理提供了理论基础。在现代光学中，以线性系统理论为基础，把产生衍在现代光学中，以线性系统理论为基础，把产生衍射的系统看作是一个线性不变系统，以平面波理论射的系统看作是一个线性不变系统，以平面波理论(或角谱理论或角谱理论)来讨论衍射问题，这就是傅里叶变换来讨论衍射问题，这就是傅里叶变换的方法。的方法。研究光的衍射现象，严格来说，应该用光的矢量研究光的衍射现象，严格来说，应该用光的矢量衍射理论来求解，但求解过程很复杂。衍射理论来求解，但求解过程很复杂。在许多情况下，我们只要知道近似结果就可以了，在许多情况下，我们只要知道近似结果就可以了，所以一般都用光的标量衍射理论来求解衍射过程。所以一般都用光的标量衍射理论来求解衍射过程。只有在一些特别需要精确结果的场合，才会使用只有在一些特别需要精确结果的场合，才会使用矢量衍射理论。矢量衍射理论。第 四 章 光的衍射 二、惠更斯二、惠更斯-菲涅耳原理菲涅耳原理 1.惠更斯惠更斯-菲涅耳原理菲涅耳原理最早成功的用波动理论解释衍射现最早成功的用波动理论解释衍射现象的是菲涅耳，他把惠更斯原理用象的是菲涅耳，他把惠更斯原理用干涉的理论加以补充。干涉的理论加以补充。惠更斯原理惠更斯原理1690年提出。惠更斯认年提出。惠更斯认为，为，面上每一点都可以看作是一个面上每一点都可以看作是一个次波源，发出球面次波；这些次波次波源，发出球面次波；这些次波在随后的某一时刻的包迹面，将形在随后的某一时刻的包迹面，将形成一个新的波阵面成一个新的波阵面，波面的法线方，波面的法线方向就是波的传播方向。向就是波的传播方向。第 四 章 光的衍射?平面波平面波球面波球面波 第 四 章 光的衍射 第 四 章 光的衍射 惠更斯原理能够很好的解释光的直线传播，光的惠更斯原理能够很好的解释光的直线传播，光的折射和反射方向，也能说明衍射现象可能发生，折射和反射方向，也能说明衍射现象可能发生，却不能详细解释各种衍射现象，也不能描述衍射却不能详细解释各种衍射现象，也不能描述衍射场的光强度分布。场的光强度分布。菲涅耳认为，这些次波既然来自同一个光源，应菲涅耳认为，这些次波既然来自同一个光源，应该是相干的，因而衍射场某点该是相干的，因而衍射场某点P的光强度，应由这的光强度，应由这些次波在该点的干涉结果叠加而成。些次波在该点的干涉结果叠加而成。惠更斯惠更斯-菲涅尔原理：在任意给定的时刻，任意波菲涅尔原理：在任意给定的时刻，任意波面上的点都起着次波波源的作用，它们各自发出面上的点都起着次波波源的作用，它们各自发出球面次波，障碍物以外任意点上的光强分布，即球面次波，障碍物以外任意点上的光强分布，即为没有被阻挡的各个次波源发出的次波在该点相为没有被阻挡的各个次波源发出的次波在该点相干叠加的结果。干叠加的结果。2.惠更斯惠更斯-菲涅耳原理的数学表达式菲涅耳原理的数学表达式 第 四 章 光的衍射 上入射波的复振幅上入射波的复振幅为：对于衍射场中的对于衍射场中的P点，由点，由d传来的光波的复振幅传来的光波的复振幅就是：就是：其中：第 四 章 光的衍射 为小面元的外法小面元的外法线与与MP之之间的的夹角，称角，称为倾斜角。斜角。叫做方向因子（叫做方向因子（倾斜因子）。菲涅耳的假斜因子）。菲涅耳的假设，当，当，K为复系数。这就是惠更斯菲涅耳原理的数学表达式，称为这就是惠更斯菲涅耳原理的数学表达式，称为惠更斯惠更斯-菲涅尔公式。菲涅尔公式。第 四 章 光的衍射 如果在波面处障碍物的开口面积就用如果在波面处障碍物的开口面积就用表示，则表示，则P P点的复振幅为：点的复振幅为：设某一曲面或平面上的复振幅分布为设某一曲面或平面上的复振幅分布为 特别地，当用平面波正入射照明时，则衍射孔径特别地，当用平面波正入射照明时，则衍射孔径上任一点的复振幅为一个常数，若用上任一点的复振幅为一个常数，若用A来表示，则菲来表示，则菲涅耳公式可简化为：涅耳公式可简化为：第 四 章 光的衍射 则这一曲面或平面上的各点一曲面或平面上的各点发出的次波在出的次波在P点点产生的复振幅可以表示生的复振幅可以表示为：三、基尔霍夫衍射积分公式三、基尔霍夫衍射积分公式基尔霍夫从波动微分方程出发，利用场论中的格基尔霍夫从波动微分方程出发，利用场论中的格林理论，及电磁场的边界条件，给惠更斯林理论，及电磁场的边界条件，给惠更斯-菲涅尔菲涅尔原理找到了较完善的表达式。原理找到了较完善的表达式。确定了倾斜因子和常数确定了倾斜因子和常数K的具体形式，建立了光的具体形式，建立了光的衍射理论，弥补了菲涅尔理论的不足。的衍射理论，弥补了菲涅尔理论的不足。将光场当作标量来处理，只考虑电场或磁场的一将光场当作标量来处理，只考虑电场或磁场的一个横向分量的标量振幅，而假定其它分量也可以个横向分量的标量振幅，而假定其它分量也可以用同样的方法独立的处理。用同样的方法独立的处理。完全忽略了电磁场矢量分量间的耦合特性，称为完全忽略了电磁场矢量分量间的耦合特性，称为标量衍射理论。尽管它也是一种近似处理，但在标量衍射理论。尽管它也是一种近似处理，但在一般情况下，它能与实验结果很好的符合。一般情况下，它能与实验结果很好的符合。第 四 章 光的衍射 1.亥姆霍兹亥姆霍兹基尔霍夫定理基尔霍夫定理 光波电磁场的任一个分量的复振幅应满足如下光波电磁场的任一个分量的复振幅应满足如下的标量波的波动微分方程，即亥姆霍兹方程：的标量波的波动微分方程，即亥姆霍兹方程：第 四 章 光的衍射 亥姆霍亥姆霍兹基基尔尔霍夫定理的公式就表达如下：霍夫定理的公式就表达如下：其中，其中，S为包围考察点为包围考察点P的任意封闭曲面，的任意封闭曲面，d为为曲面上的有向面元，取外法向为正，曲面上的有向面元，取外法向为正，r表示曲面表示曲面上任意点处的面元上任意点处的面元d到到P的距离。在的距离。在S面上任一面上任一点处点处n表示沿向外法线的单位矢量。表示沿向外法线的单位矢量。辅助函数辅助函数(格林函数格林函数)表示小面元表示小面元处发射的球面子波。子波的振幅大小处发射的球面子波。子波的振幅大小由由d处的电场处的电场E和它的法向偏导数和它的法向偏导数为格林函数。第 四 章 光的衍射 来决定。来决定。2.基尔霍夫衍射积分公式基尔霍夫衍射积分公式第 四 章 光的衍射 闭合曲面由三部分组成：开孔闭合曲面由三部分组成：开孔，不透明屏的部分背照面，不透明屏的部分背照面1，以，以P点为中心、点为中心、R为半径的大球的部为半径的大球的部分球面分球面2。P点的光场复振幅为点的光场复振幅为和和1面，基尔霍夫假定（基尔霍夫边界条件）面，基尔霍夫假定（基尔霍夫边界条件）：在在上，上，E和和 对于对于2面，面，r=R，cos(n,R)=1（法线与半径同向，（法线与半径同向，所以它们的夹角为所以它们的夹角为0，方向余弦为，方向余弦为1），且有），且有：第 四 章 光的衍射 与不存在屏与不存在屏时的的值完全相同。完全相同。在不透明屏的背照面在不透明屏的背照面1上，上，E=0，的值由入射波决定，的值由入射波决定，因此，在因此，在2上的积分为：上的积分为：式中，式中，是是2对对P点所张的立体角，点所张的立体角，d是立体角元。是立体角元。第 四 章 光的衍射 索末菲辐射条件：索末菲辐射条件：当当R时，时，(eikR/R)R是有界的，所以上面的积是有界的，所以上面的积分在分在R时时(球面半径球面半径R取得足够大取得足够大)为零。为零。只需要考虑对孔径面只需要考虑对孔径面的积分，即：的积分，即：最终得到：最终得到：第 四 章 光的衍射 这就是基尔霍夫衍射积分公式。它表示了单色点这就是基尔霍夫衍射积分公式。它表示了单色点光源光源S0发出的球面波经孔径发出的球面波经孔径，在，在后的某点后的某点P处产生处产生的光振动的复振幅分布。的光振动的复振幅分布。式中，式中，r0是光源是光源S0到孔径到孔径上任一点的距离，上任一点的距离，r是是Q点点到到P点的距离。点的距离。1和和 2分别为孔径面分别为孔径面的法线与的法线与r0和和r的夹角。的夹角。第 四 章 光的衍射 表示表示S0发出的发出的球面波在球面波在面上的复振幅分布；面上的复振幅分布；表示表示上任意一点上任意一点Q处的小面处的小面元发出的球面子波对元发出的球面子波对P点的点的贡献量。贡献量。用惠更斯用惠更斯-菲涅耳原理的基本思想来解释：菲涅耳原理的基本思想来解释：P点的光振动的复振幅是由这些次波源产生的，点的光振动的复振幅是由这些次波源产生的，并且它与入射波在孔径上的复振幅和倾斜因子有并且它与入射波在孔径上的复振幅和倾斜因子有关，与波长关，与波长成反比，而且次波源的振动相位超前成反比，而且次波源的振动相位超前入射波的相位入射波的相位90，这一点由，这一点由1/j来说明来说明1/j=exp(-j/2)。第 四 章 光的衍射 次波源次波源 表明在波面法线方向上的次波贡献最大；表明在波面法线方向上的次波贡献最大；第 四 章 光的衍射 菲涅尔关于次波贡献的研究中假设菲涅尔关于次波贡献的研究中假设 是不对的是不对的。倾斜因子的具体表达式：倾斜因子的具体表达式：当点光源距孔径较远，可以看作是平行光入射时，当点光源距孔径较远，可以看作是平行光入射时，3.基尔霍夫衍射公式的化简和推广基尔霍夫衍射公式的化简和推广 傍轴近似：对于傍轴光线，衍射孔径的线度远傍轴近似：对于傍轴光线，衍射孔径的线度远小于衍射孔径平面到观察屏的距离，光源和考察小于衍射孔径平面到观察屏的距离，光源和考察面上的有效范围对衍射孔径中心的张角很小，因面上的有效范围对衍射孔径中心的张角很小，因此，可近似认为：此，可近似认为：第 四 章 光的衍射 基尔霍夫衍射积分公式就简化为：基尔霍夫衍射积分公式就简化为：基尔霍夫衍射积分公式基尔霍夫衍射积分公式通用表达式：通用表达式：衍射孔径的复振幅透射系数：衍射孔径的复振幅透射系数：第 四 章 光的衍射 透过衍射物体的光波可以表示为：透过衍射物体的光波可以表示为：任意任意单色光源色光源发出出的光波到达衍射孔的光波到达衍射孔径平面径平面时的复振幅的复振幅 直角坐标系中可适用于任意照明条件和任意性质直角坐标系中可适用于任意照明条件和任意性质的衍射物体的基尔霍夫衍射积分公式：的衍射物体的基尔霍夫衍射积分公式：四、菲涅耳衍射和夫琅和费衍射四、菲涅耳衍射和夫琅和费衍射第 四 章 光的衍射 1.菲涅尔近似和菲涅尔衍射菲涅尔近似和菲涅尔衍射 观察平面距衍射孔径的距离不同，所得到观察平面距衍射孔径的距离不同，所得到的衍射图样不同。的衍射图样不同。K2、K3及其周围的范围内的衍射现象，称为近及其周围的范围内的衍射现象，称为近场衍射或菲涅尔衍射；较远处，如场衍射或菲涅尔衍射；较远处，如K4及及更远处的更远处的衍射现象称为远场衍射或夫朗和费衍射。衍射现象称为远场衍射或夫朗和费衍射。第 四 章 光的衍射 菲涅尔衍射菲涅尔衍射 光源和场点都为有限远光源和场点都为有限远光光源源无无限限远远，场场点点有有限限远远 衍射孔径上的任一点与考察面上的任一点之间的衍射孔径上的任一点与考察面上的任一点之间的距离为距离为r：傍轴近似的条件：傍轴近似的条件：第 四 章 光的衍射 x将将r展开成二项式：展开成二项式：菲涅尔近似菲涅尔近似：当当d大到能够满足：大到能够满足：第 四 章 光的衍射 菲涅尔衍射区菲涅尔衍射区 基尔霍夫衍射积分公式就进一步化简为（菲涅尔基尔霍夫衍射积分公式就进一步化简为（菲涅尔积分公式积分公式）：）：第 四 章 光的衍射 2.夫琅和费近似和夫琅和费衍射夫琅和费近似和夫琅和费衍射夫琅和费近似夫琅和费近似：d大到可以满足：大到可以满足：第 四 章 光的衍射 光源和场点都为无限远光源和场点都为无限远基尔霍夫衍射公式可化简为（夫琅和费衍射积分公式）：基尔霍夫衍射公式可化简为（夫琅和费衍射积分公式）：夫琅和费衍射区夫琅和费衍射区 六、在有限距离观察夫琅和费衍射的方法六、在有限距离观察夫琅和费衍射的方法 夫朗和费衍射问题可以得到解析解，菲涅尔衍夫朗和费衍射问题可以得到解析解，菲涅尔衍射只能得到近似解，无法得到解析解。射只能得到近似解，无法得到解析解。第 四 章 光的衍射 使用透镜近距离的观察使用透镜近距离的观察并使用夫琅和费衍射并使用夫琅和费衍射 1.平面波照明的情形平面波照明的情形 薄透镜使入射光波的相位空间薄透镜使入射光波的相位空间分布发生改变，是相位变换分布发生改变，是相位变换(调制调制)器：器：当光线通过薄透镜时，中心区当光线通过薄透镜时，中心区域厚，光程长，相位延迟大；边域厚，光程长，相位延迟大；边缘区域薄，光程短，相位延迟小，缘区域薄，光程短，相位延迟小，入射光波的等相位面形状改变。入射光波的等相位面形状改变。返回薄透镜的相位变换作用可以用它的透射函数表示薄透镜的相位变换作用可以用它的透射函数表示 其中：其中：第 四 章 光的衍射 出射平面的光波复振幅出射平面的光波复振幅 到达透镜入射面的光波复振幅到达透镜入射面的光波复振幅 图图（a）正入射的平面波，复振幅为）正入射的平面波，复振幅为1：凸透镜的作用就是将入射的平面波变更为出凸透镜的作用就是将入射的平面波变更为出射的球面波射的球面波。简谐球面波在极坐标中可以表示为：简谐球面波在极坐标中可以表示为：只能用菲涅尔近似，得到会聚球面波的表达式：只能用菲涅尔近似，得到会聚球面波的表达式：第 四 章 光的衍射 合并常数项：合并常数项：透镜的位相变换因子：透镜的位相变换因子：经过像差精心校正的任一实际透镜的相位变换经过像差精心校正的任一实际透镜的相位变换作用，都可以用上式表示。作用，都可以用上式表示。经过透镜和衍射孔径后，出射光波的复振幅：经过透镜和衍射孔径后，出射光波的复振幅：第 四 章 光的衍射 其中，单位振幅的单色平面其中，单位振幅的单色平面波正入射照明，复振幅为波正入射照明，复振幅为 衍射物体的复振衍射物体的复振幅透射系数为幅透射系数为 代入到菲涅尔衍射公式中，得到：代入到菲涅尔衍射公式中，得到：z等于等于f时，时，上式可化简为：上式可化简为：第 四 章 光的衍射 上式和夫琅和费衍射公式具有完全相同的形式，上式和夫琅和费衍射公式具有完全相同的形式，也就是说，用图（也就是说，用图（a）的衍射装置，可以在透镜的后）的衍射装置，可以在透镜的后焦面上观察到衍射孔径的夫琅和费衍射，衍射图形焦面上观察到衍射孔径的夫琅和费衍射，衍射图形的空间扩展与透镜的焦距有关。的空间扩展与透镜的焦距有关。如采用图（如采用图（b）的装置，可以证明，仍然可以在透）的装置，可以证明，仍然可以在透镜的后焦面上观察到衍射物体的夫琅和费衍射。镜的后焦面上观察到衍射物体的夫琅和费衍射。第 四 章 光的衍射 斜入射平面波照明，设入射平面波的方向角为斜入射平面波照明，设入射平面波的方向角为，则照明光波的复振幅可以表示为：则照明光波的复振幅可以表示为：图b 透镜后焦面上的复振幅仍然可以用上面的式透镜后焦面上的复振幅仍然可以用上面的式子来表示，现在有：子来表示，现在有：第 四 章 光的衍射 2.球面波照明的情形球面波照明的情形应用菲涅尔衍射积分公式可以证明，当用球面波照应用菲涅尔衍射积分公式可以证明，当用球面波照明时，只要满足一定的条件，仍然可以在近距离观明时，只要满足一定的条件，仍然可以在近距离观察到物体的夫琅和费衍射。察到物体的夫琅和费衍射。应用菲涅尔近似，应用菲涅尔近似，s发出的球面波在衍射孔径平面发出的球面波在衍射孔径平面上的复振幅分布为：上的复振幅分布为：第 四 章 光的衍射 B0是球面波在中是球面波在中心点的复振幅。心点的复振幅。透镜出射平面的复振幅分布为：透镜出射平面的复振幅分布为：带入菲涅尔公式可得到：带入菲涅尔公式可得到：第 四 章 光的衍射 令令 即观察面位于点光源的共轭像面上时，衍射公即观察面位于点光源的共轭像面上时，衍射公式可化简为：式可化简为：第 四 章 光的衍射 当当 上式与夫琅和费衍射公式相同。所以，用单色球面上式与夫琅和费衍射公式相同。所以，用单色球面波照明时，在点光源的共轭像面上可以得到夫琅和费波照明时，在点光源的共轭像面上可以得到夫琅和费衍射。由此我们可以得到，无论用什么样的光源照明，衍射。由此我们可以得到，无论用什么样的光源照明，只要满足一定的条件，我们都可以观察到夫琅和费衍只要满足一定的条件，我们都可以观察到夫琅和费衍射。射。第二节第二节 衍射和傅立叶变换衍射和傅立叶变换 一、计算衍射问题的傅立叶变换方法一、计算衍射问题的傅立叶变换方法 不论是在菲涅尔衍射公式还是在夫琅和费衍射不论是在菲涅尔衍射公式还是在夫琅和费衍射公式中，都有一个线性复指数因子：公式中，都有一个线性复指数因子：第 四 章 光的衍射 令：令：就可以将复指数因子表示为：就可以将复指数因子表示为：三维简谐平面波的复振幅为：三维简谐平面波的复振幅为：如果用直角坐标系的三个分量表示，则：如果用直角坐标系的三个分量表示，则：第 四 章 光的衍射 衍射公式中的复指数因子就相当于一个三维简谐平衍射公式中的复指数因子就相当于一个三维简谐平面波，其空间频率为：面波，其空间频率为：实际上它也是一个二维傅立叶变换核实际上它也是一个二维傅立叶变换核。对于夫琅和费衍射：对于夫琅和费衍射：d=f，衍射公式可写为：衍射公式可写为：第 四 章 光的衍射 其中，设：衍射孔径的夫琅和的夫琅和费衍射就可以用它的二衍射就可以用它的二维傅立叶傅立叶变换和一个复常数的乘和一个复常数的乘积来表示，即可以表示来表示，即可以表示为：其中，复常数可以表示为：其中，复常数可以表示为：第 四 章 光的衍射 一般衍射图形的分布都可用辐照度表示：一般衍射图形的分布都可用辐照度表示：则夫琅和费衍射图形的辐照度为：则夫琅和费衍射图形的辐照度为：它的傅立叶变换可以表示为：它的傅立叶变换可以表示为：第 四 章 光的衍射 于是，菲涅尔变换也可以表示为：于是，菲涅尔变换也可以表示为：对于菲涅尔衍射，把积分项中的因子归到衍射孔对于菲涅尔衍射，把积分项中的因子归到衍射孔径的表达式中，就有：径的表达式中，就有：第三节第三节 单孔的夫朗和费衍射单孔的夫朗和费衍射 一、单缝的夫朗和费衍射一、单缝的夫朗和费衍射第 四 章 光的衍射 单缝的复振幅透过系数可表示为：单缝的复振幅透过系数可表示为：或或透透过衍射物体的光波的复振幅衍射物体的光波的复振幅为：傅立叶变换的缩放定理傅立叶变换的缩放定理 设函数设函数第 四 章 光的衍射 的傅立叶的傅立叶变换为a为不等于零的任意不等于零的任意实常数，常数，则有：有：矩形函数的傅立叶变换矩形函数的傅立叶变换：衍射图形的辐照度为：衍射图形的辐照度为：第 四 章 光的衍射 表示衍射图样只存在于表示衍射图样只存在于y=0处，即处，即x轴上，轴上，可省略。可省略。若用倾斜平面波照明，衍射图形的分布形式不改若用倾斜平面波照明，衍射图形的分布形式不改变，中央亮斑的中心位置平移到了照明光源的共变，中央亮斑的中心位置平移到了照明光源的共轭像点的位置。轭像点的位置。代入夫琅和费衍射公式，得到单缝的夫琅和费衍代入夫琅和费衍射公式，得到单缝的夫琅和费衍射的复振幅分布为：射的复振幅分布为：单缝衍射图形的特点单缝衍射图形的特点我们采用菲涅尔子波叠加的原理来介绍。我们采用菲涅尔子波叠加的原理来介绍。第 四 章 光的衍射 子波元的面子波元的面积为 设设ds为距单缝中心为为距单缝中心为的面元，的面元，到到P点的光程为点的光程为r，中心处的面元，中心处的面元到到P点的光程为点的光程为r0，则这两支光的，则这两支光的光程之差为：光程之差为：代入到基尔霍夫衍射公式中：代入到基尔霍夫衍射公式中：其中，其中，第 四 章 光的衍射 可以得到：可以得到：其中，其中，C为复常数为复常数 衍射角不是很大的情况下衍射角不是很大的情况下，单缝衍射图形的分布由单缝衍射图形的分布由sinc函数决定。函数决定。称为单缝衍射因子。称为单缝衍射因子。第 四 章 光的衍射（1）单色光照明的衍射辐照度分布）单色光照明的衍射辐照度分布 对应光强中央主极大值对应光强中央主极大值(亮条纹亮条纹)；所以在屏幕；所以在屏幕中央，各光束同相位，相干叠加后产生极大光强，中央，各光束同相位，相干叠加后产生极大光强，所以这个零级衍射斑中心就是几何光学像点。所以这个零级衍射斑中心就是几何光学像点。第 四 章 光的衍射 对应衍射极小衍射极小值即暗条即暗条纹。暗条。暗条纹的位置是：的位置是：因为因为m=1，2，第 四 章 光的衍射 衍射极小衍射极小对应的衍射角的衍射角为：可表示可表示为：各极小近似等间距。各极小近似等间距。两个衍射极小之间，有一个衍射次极大。两个衍射极小之间，有一个衍射次极大。设：设：的位置就是各的位置就是各级衍射衍射次极大的位置。解次极大的位置。解这个方程，得到：个方程，得到：为超越方程为超越方程,只能图解。只能图解。第 四 章 光的衍射 作图求解作图求解辐照度曲线辐照度曲线相邻两暗纹的角宽度为：相邻两暗纹的角宽度为：在中央亮斑内，集中了单缝衍射的绝大部分能量，在中央亮斑内，集中了单缝衍射的绝大部分能量，它的角宽度是相邻两暗纹角宽度的两倍：它的角宽度是相邻两暗纹角宽度的两倍：第 四 章 光的衍射 线宽度度为：由此可由此可见，当，当一定一定时，小，则大，衍射大，衍射现象象显著。著。中央亮斑的大小与波长成正比，波长越长，衍中央亮斑的大小与波长成正比，波长越长，衍射效应越明显，所以可以说几何光学是波动光学射效应越明显，所以可以说几何光学是波动光学当当0时的极限情况。时的极限情况。点光源照射时的夫琅和费单缝衍射图形点光源照射时的夫琅和费单缝衍射图形 线光源照射时的夫琅和费单缝衍射图形。线光源照射时的夫琅和费单缝衍射图形。此时的衍射条纹是线光源上各个不相干点光源产生的衍射此时的衍射条纹是线光源上各个不相干点光源产生的衍射图样的总和。图样的总和。第 四 章 光的衍射 相对复振幅和辐照度分布相对复振幅和辐照度分布第 四 章 光的衍射 (2)白光照明：白光照明时，衍射条纹除中央极白光照明：白光照明时，衍射条纹除中央极大由于大由于m=0而与波长无关，即各波长的中央极大而与波长无关，即各波长的中央极大都集中在一起，从而形成白色亮纹外，其余各条都集中在一起，从而形成白色亮纹外，其余各条纹都将呈现出彩色，由内向外的颜色依次是由紫纹都将呈现出彩色，由内向外的颜色依次是由紫到红。到红。第 四 章 光的衍射 二、矩孔的夫朗和费衍射二、矩孔的夫朗和费衍射 矩形孔径的复振幅透射系数可以用二维矩形函矩形孔径的复振幅透射系数可以用二维矩形函数表示：数表示：第 四 章 光的衍射 它的傅立叶变换为：它的傅立叶变换为：矩孔的夫琅和费衍射的复振幅分布和辐照度分布：矩孔的夫琅和费衍射的复振幅分布和辐照度分布：第 四 章 光的衍射 中央亮斑集中了绝大部分光能，其宽度与单缝中央亮斑集中了绝大部分光能，其宽度与单缝衍射时相似，为：衍射时相似，为：第 四 章 光的衍射 三、圆孔的夫琅和费衍射三、圆孔的夫琅和费衍射 由于大多数光学仪器都是圆形光瞳，所以最有由于大多数光学仪器都是圆形光瞳，所以最有实际意义的是圆孔的夫朗和费衍射。实际意义的是圆孔的夫朗和费衍射。极坐标系中的傅立叶变换公式可由直角坐标系极坐标系中的傅立叶变换公式可由直角坐标系中的傅立叶变换公式直接导出。中的傅立叶变换公式直接导出。第 四 章 光的衍射 对空空间坐坐标来来说：观察平面上观察平面上空间频率坐标空间频率坐标第 四 章 光的衍射 代入到直角坐标系的二维傅立叶变换和傅立叶代入到直角坐标系的二维傅立叶变换和傅立叶逆变换公式逆变换公式 第 四 章 光的衍射 由于是圆对称的，复振幅的分布于由于是圆对称的，复振幅的分布于无关，无关，则傅立叶积分可以简化为单重积分形式则傅立叶积分可以简化为单重积分形式傅立叶傅立叶贝塞尔变换贝塞尔变换 第 四 章 光的衍射 将将圆孔函数表示孔函数表示为：它的傅立叶它的傅立叶变换为：圆孔的夫琅和费衍射的复振幅和辐照度分布：圆孔的夫琅和费衍射的复振幅和辐照度分布：第 四 章 光的衍射 令令衍射图样衍射图样 第 四 章 光的衍射 衍射图样的极值特性：衍射图样的极值特性：在在=0时，即对于轴上点时，即对于轴上点P0，即为中央极大值；当，即为中央极大值；当满足满足J1()=0时，光强度为时，光强度为0，有极小值，也就是暗，有极小值，也就是暗纹。此外，在相邻两个极小之间，有一个衍射次极大。纹。此外，在相邻两个极小之间，有一个衍射次极大。光的能量主要是集中在中央亮斑内，这一亮斑通常称光的能量主要是集中在中央亮斑内，这一亮斑通常称为爱里斑。为爱里斑。爱里斑的半径由第一光强极小值处的爱里斑的半径由第一光强极小值处的值决定值决定。为衍射角衍射角以角半径来表示：以角半径来表示：式中，式中，S为圆孔面积，可见，圆孔面积越小，为圆孔面积，可见，圆孔面积越小，爱里斑面积越大，衍射现象就越明显。爱里斑面积越大，衍射现象就越明显。第 四 章 光的衍射 爱里斑的面里斑的面积为：夫琅和费圆孔衍射辐夫琅和费圆孔衍射辐照度分布曲线照度分布曲线中央主极大中央主极大第一极小第一极小第一次极大第一次极大第二极小第二极小00.61 /0.81 /1.12 /10.017500第 四 章 光的衍射 第 四 章 光的衍射 四、光学成像系统的分辨本领四、光学成像系统的分辨本领光学成像系统对点物所成的像实际上就是系统对光学成像系统对点物所成的像实际上就是系统对这个点物在像面上形成的夫琅和费衍射图样，也这个点物在像面上形成的夫琅和费衍射图样，也可以说，点物经成像系统所成的像就是它经系统可以说，点物经成像系统所成的像就是它经系统衍射后产生的衍射图样。衍射孔径显然就是系统衍射后产生的衍射图样。衍射孔径显然就是系统的孔径，也就是限制了成像光束的孔径光阑。因的孔径，也就是限制了成像光束的孔径光阑。因为光学系统的孔径几乎都是圆形的，所以形成的为光学系统的孔径几乎都是圆形的，所以形成的衍射图样都是夫琅和费圆孔衍射的图样。衍射图样都是夫琅和费圆孔衍射的图样。光学系统由于孔径的衍射作用，将使分辨率受到光学系统由于孔径的衍射作用，将使分辨率受到一定的限制。所谓分辨率，指的是光学系统能分一定的限制。所谓分辨率，指的是光学系统能分辨开两个靠近的点物或物体细节的能力，它是光辨开两个靠近的点物或物体细节的能力，它是光学成像系统的重要性能指标。学成像系统的重要性能指标。1瑞利判据瑞利判据 当当S1、S2之间之间的距的距离不同时，得到的衍离不同时，得到的衍射像的情况也有所不射像的情况也有所不同，我们来看下面这同，我们来看下面这三种情三种情况。况。第 四 章 光的衍射 第 四 章 光的衍射 两两物物点点的的衍衍射射光光斑斑，若若其其中中一一个个的的中中央央极极大大，恰恰与与另另一一个个的的第第一一极极小小相相重重，则则认为这两物点恰可分辨认为这两物点恰可分辨.瑞利判据：瑞利判据：这这种种情情况况下下，两两衍衍射射图图样样的的中中心心的的光光强强度度约约为为中中央央极极大大的的82%82%以以上上，这这可可由由两两个个衍衍射射图图样样的的光光强强曲曲线简单相加得到线简单相加得到.大多数人的视觉可以分辨出大多数人的视觉可以分辨出.(1)(1)人眼的分辨本领人眼的分辨本领A,B A,B 是两物点，近轴情况下是两物点，近轴情况下 sin =.sin =.由折射定律由折射定律由瑞利判据由瑞利判据,若若ABAB恰可分辨恰可分辨,则的中央极大则的中央极大与与B B的第一极小恰相重叠的第一极小恰相重叠3.3.光学仪器的分辨本领光学仪器的分辨本领2.2.人眼的分辨本领人眼的分辨本领A,B A,B 是两物点，近轴情况下是两物点，近轴情况下 sin =.sin =.由折射定律由折射定律由瑞利判据由瑞利判据,若若ABAB恰可分辨恰可分辨,则的中央极大则的中央极大与与B B的第一极小恰相重叠的第一极小恰相重叠第 四 章 光的衍射 第 四 章 光的衍射 眼内最小可分辨角眼内最小可分辨角人眼的分辨本领由眼外最小可分辨角量度人眼的分辨本领由眼外最小可分辨角量度.眼外最小分辨角眼外最小分辨角式中式中d d为瞳孔直径，为瞳孔直径，为光在眼内波长为光在眼内波长,第 四 章 光的衍射 人眼瞳孔直径人眼瞳孔直径:若取若取 d=2.5d=2.5毫米，毫米，=550 nm=550 nm，则人眼，则人眼最小分辨角为最小分辨角为1 1 若若物物体体距距离离人人眼眼太太远远,或或物物体体太太小小,则则对对人人眼眼的的张张角角小小于于1 1角角分分,以以至至于于眼眼睛睛不不能能分分辨辨.解解决决前前一一种种情情况况用用望望远远镜镜,解解决决后后一一种种情情况况用显微镜用显微镜.望远镜和显微镜的作用望远镜和显微镜的作用,是把被自己分辨的是把被自己分辨的物体再放大物体再放大,使其对眼睛的张角大于使其对眼睛的张角大于1 1.3望远物镜的分辨本领望远物镜的分辨本领 设设望远物镜的有效通光孔径的直径为望远物镜的有效通光孔径的直径为D，焦距，焦距为为f，光波长为，光波长为，则它对远处物点所成的像的爱则它对远处物点所成的像的爱里斑的角半径为：里斑的角半径为：第 四 章 光的衍射 根据瑞利判据，根据瑞利判据，可得到望远物镜的可得到望远物镜的最小分辨角为：最小分辨角为：4照相物镜的分辨本领照相物镜的分辨本领 和焦距相比，照相物镜要成像的物体是较远的，和焦距相比，照相物镜要成像的物体是较远的，其像面即感光胶片所在的位置大约就是焦面的位置。其像面即感光胶片所在的位置大约就是焦面的位置。若照相物镜的孔径为若照相物镜的孔径为D，焦距为，焦距为f，则它的分辨率，则它的分辨率N通常用最靠近的两直线在感光胶片上的距离通常用最靠近的两直线在感光胶片上的距离第 四 章 光的衍射 的倒数来定的倒数来定义。则N为：若取若取=550nm，则N又可表示又可表示为：式中，式中，D/f是是物镜的相对孔径。由上式可见，照相物镜的相对孔径。由上式可见，照相物镜的相对孔径越大，其分辨率越高。物镜的相对孔径越大，其分辨率越高。当然，对于照相系统来说，限制系统的分辨本领当然，对于照相系统来说，限制系统的分辨本领的除了物镜的分辨率以外，还有感光胶片的分辨的除了物镜的分辨率以外，还有感光胶片的分辨率。为了充分利用物镜的分辨率，就要选择分辨率。为了充分利用物镜的分辨率，就要选择分辨率比物镜高的感光胶片率比物镜高的感光胶片。第 四 章 光的衍射 5显微镜的分辨本领显微镜的分辨本领限制系统成像孔径大小的是物镜的边框，所以，限制系统成像孔径大小的是物镜的边框，所以，物镜框即限制了显微镜的分辨本领。物镜框即限制了显微镜的分辨本领。设显微物镜孔径光阑的直径为设显微物镜孔径光阑的直径为D，则其衍射像的，则其衍射像的爱里斑的半径为：爱里斑的半径为：第 四 章 光的衍射 这时两物点之间这时两物点之间的距离的距离就是物镜所就是物镜所能分辨的最小距离。能分辨的最小距离。阿贝成像条件阿贝成像条件 nsinu称为物镜的数值孔径，通常以称为物镜的数值孔径，通常以NA表示。表示。第 四 章 光的衍射 在在lD时，sinu近似地可表示近似地可表示为：五、特殊物体的夫琅和五、特殊物体的夫琅和费衍射衍射1屏的衍射屏的衍射巴比内原理巴比内原理 一个屏的开孔部分正好与另一个屏的开孔部分正好与另一个屏的不透明部分相对应，一个屏的不透明部分相对应，称为互补屏。称为互补屏。它们的复振幅透过系数满足：它们的复振幅透过系数满足：巴比内原理：两个互补屏在衍射场中某点单独巴比内原理：两个互补屏在衍射场中某点单独产生的光场复振幅之和等于无衍射屏、光波自由产生的光场复振幅之和等于无衍射屏、光波自由传播时在该点产生的光场复振幅。传播时在该点产生的光场复振幅。第 四 章 光的衍射 当光波不受限制当光波不受限制时，考察点，考察点P处的复振幅的复振幅为则有：有：分分别表示表示、单独放在光源和独放在光源和观察屏之察屏之间时，观察屏上察屏上P点点处的光的光场复振幅。复振幅。(4.103)在夫琅和费衍射平面上，除了透镜后焦面的中心在夫琅和费衍射平面上，除了透镜后焦面的中心F点以外，恒有：点以外，恒有：第 四 章 光的衍射 对于夫琅和于夫琅和费衍射，衍射，对(4.103)式的两式的两边作傅立叶作傅立叶变换，可以得到：可以得到：衍射孔衍射孔和它的互补屏和它的互补屏的夫琅和费衍射，在除了的夫琅和费衍射，在除了衍射考察平面中心点之外的一切考察点上，复振幅的衍射考察平面中心点之外的一切考察点上，复振幅的位相相差位相相差，辐照度则完全相同。，辐照度则完全相同。2随机颗粒的夫琅和费衍射随机颗粒的夫琅和费衍射 应用巴比内原理，还可以测量散射小颗粒或细应用巴比内原理，还可以测量散射小颗粒或细丝的直径的大小。丝的直径的大小。第 四 章 光的衍射 3直直边的夫琅和的夫琅和费衍射衍射直直边半无限平面的复振幅透射系数可表示半无限平面的复振幅透射系数可表示为阶跃函数。函数。当用当用单位振幅的位振幅的单色平面波正入射照明色平面波正入射照明时，透射光的，透射光的复振幅可以表示复振幅可以表示为：直边的夫琅和费衍射的复振幅和辐照度为：直边的夫琅和费衍射的复振幅和辐照度为：在直边的两边，即在在直边的两边，即在“光照区光照区”和和“阴影区阴影区”，衍射图形具有完全对称的形式。，衍射图形具有完全对称的形式。第 四 章 光的衍射 六、夫琅和费衍射图形的性质六、夫琅和费衍射图形的性质 夫琅和费衍射图样具有以下的一些特点。夫琅和费衍射图样具有以下的一些特点。衍射现象沿光波受限方向扩散衍射现象沿光波受限方向扩散 单缝衍射仅沿与缝垂直方向扩散，矩孔的衍射单缝衍射仅沿与缝垂直方向扩散，矩孔的衍射同时沿两个边的方向扩散，而圆孔衍射图样和圆同时沿两个边的方向扩散，而圆孔衍射图样和圆孔一样具有旋转对称性。总之在什么方向上限制孔一样具有旋转对称性。总之在什么方向上限制了光波，光波就在什么方向上产生衍射。了光波，光波就在什么方向上产生衍射。衍射现象的扩散程度与孔径大小成反比衍射现象的扩散程度与孔径大小成反比 对光波的限制越严重，衍射现象就越显著对光波的限制越严重，衍射现象就越显著。第 四 章 光的衍射 孔径孔径(衍射屏衍射屏)在自身平面内的平移不改变衍射图在自身平面内的平移不改变衍射图样的位置和形状。样的位置和形状。第 四 章 光的衍射 傅立叶平移定理：傅立叶平移定理：设函数函数的傅立叶的傅立叶变换为为任意任意实常数，常数，则有：有：衍射衍射图样位置和形状均不位置和形状均不变，只是，只是频谱函数附加了函数附加了一个一个线性相移。性相移。倾斜平面波照明孔径，使衍射图样产生平移倾斜平面波照明孔径，使衍射图样产生平移只要孔径范围内的透射率函数是实值函数，则不只要孔径范围内的透射率函数是实值函数，则不论孔径的形状如何；衍射图样都具有中心对称性。论孔径的形状如何；衍射图样都具有中心对称性。这一结论可由极坐标系中的傅立叶变换直接进这一结论可由极坐标系中的傅立叶变换直接进行证明。行证明。第 四 章 光的衍射 设函数函数的傅立叶的傅立叶变换为为任意任意实常数，常数，则有有：此此时衍射衍射图样只是移只是移动一个位置，其分布不一个位置，其分布不变。夫琅和费衍射图样与菲涅尔衍射图样的比较夫琅和费衍射图样与菲涅尔衍射图样的比较 夫琅和费衍射是孔径函数的博里叶变换，所以夫琅和费衍射是孔径函数的博里叶变换，所以衍射图样的函数形式很少甚至完全不与孔径形状衍射图样的函数形式很少甚至完全不与孔径形状相类似，而菲涅耳衍射是孔径函数与脉冲响应函相类似，而菲涅耳衍射是孔径函数与脉冲响应函数数(点扩散函数点扩散函数)的卷积，因此它大体上还带有原的卷积，因此它大体上还带有原孔径形状的特征，只是扩散且有了条纹。孔径形状的特征，只是扩散且有了条纹。此外，夫琅和费衍射图样的中央零级总是亮班，此外，夫琅和费衍射图样的中央零级总是亮班，而菲涅尔衍射图样则不然。而菲涅尔衍射图样则不然。第 四 章 光的衍射 衍射与干涉的区别和联系衍射与干涉的区别和联系 从物理本质上说，干涉与衍射是完全一致的。从物理本质上说，干涉与衍射是完全一致的。只是在形成条件、分布规律及数学处理方法上有只是在形成条件、分布规律及数学处理方法上有一些区别。一些区别。当参与叠加的各束光本身的传播行为，可近似当参与叠加的各束光本身的传播行为，可近似地用几何光学直线传播规律描述时，这个叠加就地用几何光学直线传播规律描述时，这个叠加就是干涉现象。合成场的求法是对于有限光束（波是干涉现象。合成场的求法是对于有限光束（波场）进行复振幅求和。场）进行复振幅求和。如果一个简单的波场（平面波或球面波如果一个简单的波场（平面波或球面波)露出露出一个连续的波面一个连续的波面(如经过一单缝或圆孔如经过一单缝或圆孔)，则该波，则该波面在继续传播中不符合几何光学规律的行为，可面在继续传播中不符合几何光学规律的行为，可以认为是衍射。合成场的求法是积分以认为是衍射。合成场的求法是积分(基尔霍夫积基尔霍夫积分分)，而且积分域只是一个连续的波面。，而且积分域只是一个连续的波面。第 四 章 光的衍射 干涉与衍射的图样是有区别的，虽然都具有条纹干涉与衍射的图样是有区别的，虽然都具有条纹相间的特点，但光强分布不同。干涉图样的条纹相间的特点，但光强分布不同。干涉图样的条纹主极大是等间距的，而且强度相同，而衍射图样，主极大是等间距的，而且强度相同，而衍射图样，中央条纹的强度较大，离中央条纹越远的条纹强中央条纹的强度较大，离中央条纹越远的条纹强度越小。度越小。衍射屏上开孔不止一个，是干涉和衍射的混合，衍射屏上开孔不止一个，是干涉和衍射的混合，显然混合问题的求法应该是若干个积分的相加，显然混合问题的求法应该是若干个积分的相加，每一个积分涉及一个单纯的露出连续波面。每一个积分涉及一个单纯的露出连续波面。按照一般习惯，把衍射及衍射与干涉的混合统称按照一般习惯，把衍射及衍射与干涉的混合统称为衍射。在双缝实验中，当缝宽为衍射。在双缝实验中，当缝宽a较大时，称为双较大时，称为双缝衍射。缝衍射。下面将看到双缝下面将看到双缝(及多缝及多缝)衍射的计算方法与双缝衍射的计算方法与双缝干涉不同，光强分布也不同。干涉不同，光强分布也不同。第 四 章 光的衍射 第四节第四节 衍射光栅衍射光栅 光源和衍射图形的关系光源和衍射图形的关系 对于光线斜入射的情形，我们上面已经提到。对于光线斜入射的情形，我们上面已经提到。对于扩展光源照明的情形，如对于单缝衍射来说，对于扩展光源照明的情形，如对于单缝衍射来说，用线光源照明，则条纹会扩展。用线光源照明，则条纹会扩展。第 四 章 光的衍射 衍射光栅都是基于夫朗和费多缝衍射效应进行工作的。衍射光栅都是基于夫朗和费多缝衍射效应进行工作的。光栅：大量等宽、等间隔的狭缝构成的光学元件。光栅：大量等宽、等间隔的狭缝构成的光学元件。世界上最早的光栅是夫朗和费在世界上最早的光栅是夫朗和费在1819年制成的金属丝栅年制成的金属丝栅网。网。一般的光栅是通过在平板玻璃或金属板上刻划出一道道一般的光栅是通过在平板玻璃或金属板上刻划出一道道等宽、等间距的刻痕制成的。等宽、等间距的刻痕制成的。新型光栅：晶体光栅、超声光栅、晶体折射率光栅等。新型光栅：晶体光栅、超声光栅、晶体折射率光栅等。光栅的夫琅和费衍射图样称为光栅光谱。光栅的夫琅和费衍射图样称为光栅光谱。光栅对于同时入射的复色光有分光作用。光栅对于同时入射的复色光有分光作用。对光波的调制方式：振幅型和相位型；对光波的调制方式：振幅型和相位型；工作方式：透射型和反射型；工作方式：透射型和反射型；工作表面的形状：平面光栅和凹面光栅；工作表面的形状：平面光栅和凹面光栅；对入射波调制的空间：二维平面光栅和三维体积光栅；对入射波调制的空间：二维平面光栅和三维体积光栅；光栅制作的方式：机刻光栅，复制光栅以及全息光栅等。光栅制作的方式：机刻光栅，复制光栅以及全息光栅等。通用的透射光栅是在平板玻璃上刻划出一道道等宽、等间通用的透射光栅是在平板玻璃上刻划出一道道等宽、等间距的刻痕，刻痕处不透光，无刻痕处是透光的玻璃。反射距的刻痕，刻痕处不透光，无刻痕处是透光的玻璃。反射式光栅是在金属反射镜面上刻划出一道道刻痕，刻痕处发式光栅是在金属反射镜面上刻划出一道道刻痕，刻痕处发生漫发射，不刻痕处在反射方向上发生衍射。都是振幅型生漫发射，不刻痕处在反射方向上发生衍射。都是振幅型光栅。光栅。一块光栅的刻痕通常很密，实验室常用的是一块光栅的刻痕通常很密，实验室常用的是600条条/mm和和1200条条/mm的光栅，总的刻痕数可达到的光栅，总的刻痕数可达到50000条。条。第 四 章 光的衍射 一、一维振幅光栅一、一维振幅光栅只调制入射光的振幅，是振幅光栅。各个缝对入射只调制入射光的振幅，是振幅光栅。各个缝对入射光振幅的透过率为光振幅的透过率为1，不透光的部分对入射光振幅的，不透光的部分对入射光振幅的透过率为透过率为0，各缝之间的距离，各缝之间的距离d就称为光栅常数。就称为光栅常数。用平行光照明多缝时，每一个单缝都产生自己的衍用平行光照明多缝时，每一个单缝都产生自己的衍射。当每个单缝的宽度相等时，各套衍射条纹在透射。当每个单缝的宽度相等时，各套衍射条纹在透镜的焦面上完全重叠。镜的焦面上完全重叠。各单缝产生的衍射之间是相干的，多缝的夫琅和费各单缝产生的衍射之间是相干的，多缝的夫琅和费衍射就相当于是单缝的夫琅和费衍射和多光束干涉衍射就相当于是单缝的夫琅和费衍射和多光束干涉的综合效果。的综合效果。第 四 章 光的衍射 1一一维振幅光振幅光栅 的衍射的衍射图形形透过率函数为：透过率函数为：卷积的定义和傅立叶变换的卷积定理卷积的定义和傅立叶变换的卷积定理卷积的定义和傅立叶变换的卷积定理卷积的定义和傅立叶变换的卷积定理 第 四 章 光的衍射（1）卷）卷积的定的定义：我：我们以一以一维函数函数为例来介例来介绍。设有有函数函数，它它们的卷的卷积定定义为：卷积运算可用于描述光学系统的成像过程。光卷积运算可用于描述光学系统的成像过程。光学系统是一个线性空间不变系统，输出函数是输学系统是一个线性空间不变系统，输出函数是输入函数与系统脉冲响应的卷积。卷积运算具有平入函数与系统脉冲响应的卷积。卷积运算具有平滑作用，卷积结果的图形比被卷积函数的图形滑作用，卷积结果的图形比被卷积函数的图形“光滑光滑”。从光学成像的观点上看，卷积会使被卷。从光学成像的观点上看，卷积会使被卷积的图像丢失某些细节，产生像模糊。积的图像丢失某些细节，产生像模糊。图解法计算卷积分为四个步骤：折叠、位移、图解法计算卷积分为四个步骤：折叠、位移、相乘、积分。相乘、积分。第 四 章 光的衍射 可以把卷积运算理解为求两个函数可以把卷积运算理解为求两个函数和和重叠部分的面积，不过随着重叠部分的面积，不过随着x的不向取值，而有不同的不向取值，而有不同的重叠面积。的重叠面积。(a)折叠折叠(b)位移位移 第 四 章 光的衍射 设虚虚变量量为横坐横坐标轴，(c)相乘相乘 从图形上看是两函数图形重叠部分各点的积。从图形上看是两函数图形重叠部分各点的积。(d)积分积分 求出求出x为不同不同值时，乘，乘积曲曲线下面的面下面的面积。以。以x为横坐横坐标，以所求面，以所求面积为纵坐坐标，所得曲，所得曲线即即为卷卷积的的结果。果。举例说明。设有两个函数举例说明。设有两个函数第 四 章 光的衍射 和要求它要求它们的卷的卷积。第 四 章 光的衍射 第 四 章 光的衍射 解析法解析法(或称积分法或称积分法)就是按照卷积的定义式直接就是按照卷积的定义式直接进行积分运算。仍以上例来说明解析法计算卷积的进行积分运算。仍以上例来说明解析法计算卷积的过程。过程。其中：其中：第 四 章 光的衍射 分段积分就可以得到和图解法同样的结果。分段积分就可以得到和图解法同样的结果。（2）卷积定理：）卷积定理：设第 四 章 光的衍射（3）一维振幅光栅的复振幅和辐照度）一维振幅光栅的复振幅和辐照度利用卷积定理可以得到：利用卷积定理可以得到：为空空间频率率 用子波叠加的方法来求解用子波叠加的方法来求解 各缝在各缝在P点产生的振动，振幅相同，相位不同。点产生的振动，振幅相同，相位不同。相邻两缝在相邻两缝在方向上的光程差为：方向上的光程差为：第 四 章 光的衍射 相位差相位差为：设最上面的狭缝在设最上面的狭缝在P点的光振动相位为零，则各缝点的光振动相位为零，则各缝在在P点产生的复振幅分别为：点产生的复振幅分别为：第 四 章 光的衍射 其中，其中，与单缝衍射时相同，与单缝衍射时相同，c是复常数，是复常数，于是于是P点的复振幅点的复振幅为：写成更直观的形式：写成更直观的形式：第 四 章 光的衍射 其中，其中，I0是是P0点点的辐照度。上式也可以写成：的辐照度。上式也可以写成：第一项称为单缝衍射因子：第一项称为单缝衍射因子：第 四 章 光的衍射 它表示单缝边缘光束在它表示单缝边缘光束在衍射方向上相位差之半；衍射方向上相位差之半；第二项称为多光束干涉因子：第二项称为多光束干涉因子：它表示相邻单缝在它表示相邻单缝在衍射方向上相位差之半。衍射方向上相位差之半。多缝衍射图样具有等振幅、等相位差多光束干涉和多缝衍射图样具有等振幅、等相位差多光束干涉和单缝衍射的特征。单缝衍射的特征。（4）双缝衍射）双缝衍射 N=2，则，则P点的辐照度为：点的辐照度为：第 四 章 光的衍射 式中的最后一项正是我们前面讨论过的双式中的最后一项正是我们前面讨论过的双光束干涉因子。光束干涉因子。双缝衍射看作是等振双缝衍射看作是等振幅双光束干涉受到了幅双光束干涉受到了单缝衍射的调制。单缝衍射的调制。单缝衍射因子只与单单缝衍射因子只与单缝本身有关，而与有缝本身有关，而与