向量空间与线性空间习题课课件

第4章 习题课 一、基本要求 二、典型例题分析 第4章 习题课 一、基本要求 二、典型例题分析 2/45 一、基本要求 1.理解 n 维向量及其线性组合与线性表示的概念,理解线性表示的判别准则.2.理解向量组线性相关、线性无关的概念,理解线 性相关性的性质及判别准则.3.理解向量组等价的概念,掌握向量组等价的判别 准则.2/45 一、基本要求 1.理解 n 维向量及其线性3/45 4.理解向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念,熟练掌握求向量组的极大线性无关组及秩的方法.5.理解非齐次线性方程组的通解、导出方程组的基 础解系与通解,熟练掌握用初等行变换求线性方程 组通解的方法.6.了解 n 维向量空间、子空间、生成子空间、基、维数、坐标等概念,知道基变换和坐标变换公式,会求过渡矩阵.3/45 4.理解向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念,4/45 7.了解内积、正交向量组和标准正交向量组的概念 与性质,掌握 Schmidt 方法,了解规范正交基、正交 矩阵的概念及其性质.8.知道线性空间、线性子空间、基、维数、坐标和 线性变换的概念,会求线性变换在一组基下的矩阵,知道线性变换在不同基下的矩阵之间的关系.4/45 7.了解内积、正交向量组和标准正交向量组的概念 5/45(一)线性相关性的判定 二、典型例题分析 方法1 定义 方法2 利用矩阵的秩判别 方法3 利用行列式判别 方法4 转化为齐次线性方程组来判别 方法5 利用向量组之间的线性表示来判别 向量组是否线性相关等价于齐次方程组是否有非零解 5/45(一)线性相关性的判定 二、典型例题分析6/45 例1 已知向量组 TTTT(2,1,1,1),(2,1,),(3,2,1,),(4,3,2,1)a aa线性相关,求 a 的值.解 由条件得 22341123(1)(21)0,11211aaaaa?所以 a?1,12a?.或者6/45 例1 已知向量组 TTTT(2,1,1,1),7/45 rank4,?A且2234112311230111,11200121100021aaaaa?A另解 由条件知 a?1,12a?.或者于是 a?1?0,或?2a?1?0,解得 7/45 rank4,?A且22341123112301118/45 例2 设 为 n 维列向量组,m?2,且 12,m 证 因为 12,m?证明向量组 12,m?线性无关当且仅当 线性无关.12,m 1212011101,110mm?且由 m?2 知 8/45 例2 设 为 n9/45 1011101(1)(1)110mm?0,?12,m?向量组线性无关12rankmm?所以,12rankmm?12,m?.向量组线性无关9/45 1011101(1)(1)110mm?0,?10/45 证 所以存在不全为零的 考虑线性方程 因为 线性相关,12,m 数 k1,k2,?,km,使得 1122mmkkk?0.都线性相关.例3 设 线性相关,证明存在不全为零的数 12,m t1,t2,?,tm,对任何向量 ,向量组 1122,(2)mmtttm?k1 x1?k2 x2?km xm?0,10/45 证 所以存在不全为零的 考虑线性方程 因11/45 由 m?2 知该线性方程有非零解,设(t1,t2,?,tm)T 为它 的任一非零解,即 从而向量组 线性相关.则对任何向量 都有 11221 12 2(),mmm mkkkktk tk t?0111222()()(),mmmktktkt?01122,mmttt?11/45 由 m?2 知该线性方程有非零解,设12/45 方法1 转化为线性方程组 方法2 利用唯一性定理 方法3 利用向量组的秩(二)线性表示的判定 一个向量能否被线性表示等价于线性方程组是否有解 一个向量组能否被线性表示等价于矩阵方程是否有解 12/45 方法1 转化为线性方程组 方法2 利用唯一性13/45 例4 已知 123415121,3,3,2,0213?1223344,?AAAAA.三阶矩阵满足求解 设法将 表示成 的线性组合,4123,为此对矩阵 12341512100213320101,02130011?做初等行变换化为最简阶梯矩阵:1234 13/45 例4 已知 123415121,3,3,2,0214/45 41232,?则于是 1232?AAA4123(2)?AA2342?5122 332213?752?.14/45 41232,?则于是 1232?15/45 例5 设 问 a,b,c 满足什么条件时 并求出一般表达式.1232112,1,1,1054abc?(1)能由 线性表示,且表达式唯一;123,(2)不能由 线性表示;123,(3)能由 线性表示,但表达式不唯一,123,15/45 例5 设 问 a,b,c 满足什么条件时 16/45 解 21102112220015baaabcb?B.1232112111054abc?(1)当 a?4 时,能由 唯一线性表示.123,对矩阵 做初等行变换化为阶梯矩阵:123 16/45 解 21102112220015baaabcb?17/45 211001120015bbcb?B当 1?3b?c?0 时,不能由 线性表示.123,211001120000bb?B(2)当 a?4 时,(3)当 a?4,1?3b?c?0 时,21100112,0001 3bbbc?210100112,0000bb?17/45 211001120015bbcb?18/45 123(12)(1 2)kbkb?.此 时,能由 线性表示,且表达式不唯一.123,取 x1?k,k 为任意数,则 18/45 123(12)(12)kbkb?19/45 解 即 线性表示.由向量组 TTT123(1,1,1),(1,2,3),(3,4,)a?TTT123(1,0,1),(0,1,1),(1,3,5)?例6 设向量组 不能(1)求 a;(2)将 用 线性表示.123,123,12350a?5a?.不是向量空间?3的基,(1)因 不能由 线性表示,123,123,从而 线性相关,123,故 123,(2)由于 19/45 解 即 线性表示.由向量组 TTT12320/45 123123101113013124115155?1002150104210,001102?因此 112324,?2122,?31235102?.20/45 123123101113013124115121/45(三)求极大线性无关组和秩 方法1 初等行变换 方法2 定义 方法3 定义的等价性 21/45(三)求极大线性无关组和秩 方法1 初等行22/45 的秩,以及该向量组的极大线性无关组,并将其余向量 用极大线性无关组来线性表示.例7 求向量组 123456111031221242,331453111182?解 令 123456,?A 对矩阵 A 作初等行变换化为阶梯矩阵:22/45 的秩,以及该向量组的极大线性无关组,并将其余23/45 因此 111 0 31221 2 42331 4 53111 1 82?=A110071001042,000131000000?B故向量组的秩为3,且 是一个极大线性无关组.134,再对矩阵 B 做初等行变换化为最简阶梯矩阵:2151346134,743,2?.111031001220,000393000000?B23/45 因此 11103122124233145324/45 例8 设 12341122327,1013121ab?A 解 对矩阵 A 作初等行变换化为阶梯矩阵:求 A 的秩及向量组 的极大线性无关组.1234,112211223270111,101300501210005aabb?A24/45 例8 设 12341122327,1013125/45(1)当 a?5,b?5 时,rank A?2,是一极大线性无关组.12,是一极大线性无关组.124,是一极大线性无关组.123,是一极大线性无关组.1234,(2)当 a?5,b?5 时,rank A?3,(3)当 a?5,b?5 时,rank A?3,(4)当 a?5,b?5 时,rank A?4,25/45(1)当 a?5,b?5 时,r26/45(四)线性方程组解的判定、性质和结构问题 例9 设向量组 是方程组 的基础解系,?Ax0123,112321233123,23,23,?证明向量组 是方程组 的基础解系.?Ax0123,证 由题设知 都是方程组 的解,?Ax0123,123123121132,113?且 26/45(四)线性方程组解的判定、性质和结构问题 例27/45 方程组 Ax?0 的基础解系含三个线性无关的解向量,因为 1211320,113?所以 123123rankrank3,?从而向量组 是方程组 Ax?0 的基础解系.123,27/45 方程组 Ax?0 的基础解系含三个线性无关的28/45 例10 12341234,?A 设都是四维列向量11110220k?Ax.且方程组的通解为123,?(1)问向量能否由向量组线性表示1234,(2).求向量组的一个极大线性无关组28/45 例10 12341234,29/45 解 于是 11,02?Ax因为是的解11,20?Ax0是的基础解系1234,3 所以向量组的秩为.123,(1)假若能由向量组线性表示 则有11223340,kkk?T123(,0),k k k?Ax即是 的解29/45 解 于是 11,02?30/45 即有 11223311110022kkkkkk?1231111,220kkkk?,?Ax0是方程组的解T(1,1,2,0),?它可由线性表示,上式矛盾123,.因此不能由向量组线性表示30/45 即有 11223311110022kkkk31/45 T(1,1,2,0)?Ax(2)0由是的解可知1232,?03124,.即可由线性表示1234,而能由向量组线性表示124,.所以能由向量组线性表示12341243rankrank3,?1241234,于是为的一个极大线性无关组.1234124,?K从而因此 31/45 T(1,1,2,0)?Ax(2)0由是的解可知32/45 例11 123124115,0132411?已知是方程组1 1233441122344212234432,43,35a xxa xa xdxb xxb xdxc xxc xd?,.的三个解 求方程组的通解解 因为 32/45 例11 123124115,013241133/45 21311326,1329?,?Ax0是导出方程组的两个线性无关的解rank2?A.所以 而系数矩阵134242424335aaabbcc?A430,35?中有二阶子式 33/45 21311326,1329?34/45 rank2,?A故 rank2?A.从而 2131,?Ax0.于是 是的基础解系方程组的通解为121231112131261()(),130292kkkk?12,k k.为任意数34/45 rank2,?A故 rank2?A.从而 21335/45 例12 设线性方程组 12240,(I)0,xxxx?(1)分别求方程组(I)和(II)的基础解系;解 1232340,(II)0 xxxxxx?.(2)求方程组(I)和(II)的公共解.(1)将方程组(I)和(II)的系数矩阵化为最简阶梯矩阵:1 1001001,01010101?A11101001,0111011 1?B35/45 例12 设线性方程组 12240,(I)036/45 则方程组(I)和(II)的基础解系分别为 TT12(0,0,1,0),(1,1,0,1);?TT12(0,1,1,0),(1,1,0,1)?.(2)联立方程组(I)和(II),得 ,?AxB01100100101010101,1110001201110000?AB则方程组(I)和(II)的公共解为 T(1,1,2,1),kk?.36/45 则方程组(I)和(II)的基础解系分别为37/45 求方程组(I)和(II)公共解的三种方法 (1)若方程组(I)和(II)都是已知的,则联立方程组(I)和(II)得到方程组(III),(III)的解就是(I)和(II)的公共解.(2)先求出一个方程组的通解,再将通解代入另一个方 程组,然后确定通解中参数的关系,最后得到公共解.(3)先分别求出两个方程组的通解,再令两个通解表达 式相等,然后确定通解中参数的关系,最后得到公共解.37/45 求方程组(I)和(II)公共解的三种方法38/45(五)向量空间 例13 设 求 TTT123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,6)?.的一个基,并将它扩充为 的一个基.123span(,)4解 求 的一个基,就是求 的一 123span(,)123,个极大线性无关组.123112112211013,101000026000?因为 38/45(五)向量空间 例13 设 39/45 线性无关.1245,由于 是四维向量空间,因此只需找 使得 4445,?4354,?ee所以 是 的一个基.123span(,)12,由 的阶梯矩阵知,可取 123 即 是 的一个基.1234,e e439/45 线性无关.1245,由于 40/45 例14 设 TTT123(1,1,2,3),(1,1,4,1),(5,1,8,9),?求 的一个标准正交基.123span(,)解 求 的标准正交基,就是将 标 123span(,)123,标准正交化.1111,23?212211142,1,10,36?狁狁先将 正交化:123,40/45 例14 设 TTT123(1,1,2,3),(41/45 111111,2153?31323312112200,0,0?狁狁狁狁再将 单位化:12,222211,5393?所以 求 的一个标准正交基.123span(,)12,41/45 111111,2153?42/45 求向量 在基 下的坐标 y.123,例15 设向量空间 V 的两个基为 123123111120100011,;,010231001100?.已知向量 在基 下的坐标为 x?(1,2,3)T,123,解 设 C 是由基 到 的过渡矩阵,即 123,123,123123?C.42/45 求向量 在基 43/45 123123120111011100231010100001|?10000111010122,31001122000000?因 43/45 123123120111011100231044/45 故基 到 的过渡矩阵 123,123,从而坐标变换公式知 在后基 下的坐标为 123,001111,2231122?C44/45 故基 到 45/45?yCx0011111222331122?392112?.45/45?yCx0011111222331122?