向量组的线性表示课件

线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性教学目的掌握向量的概念，掌握向量组线性表示向量掌握向量的概念，掌握向量组线性表示向量（组）的判定方法，会用初等变换求解向量（组）的判定方法，会用初等变换求解向量的线性表达式。掌握线性相关性的概念和基的线性表达式。掌握线性相关性的概念和基本判定方法。本判定方法。作业重点向量组的线性表示、相关性及判定方法向量组的线性表示、相关性及判定方法练习册练习册难点向量组线性表示方法向量组线性表示方法讲授方法讲授讲授讲授内容讲授内容主线主线向量定义向量定义-分类分类线性组合线性组合线性表示及秩的线性表示及秩的判断定理和推论判断定理和推论练习练习向量组线性表示及向量组线性表示及等价和秩的判断方法等价和秩的判断方法向量组线性相关定义向量组线性相关定义判定方法判定方法时间安排向量向量组的线性表示通过解析成矩阵方程向量向量组的线性表示通过解析成矩阵方程组组,可用秩的判定方法来判定和求解线性表示可用秩的判定方法来判定和求解线性表示系数。线性相关性则是通过等价定义的齐次系数。线性相关性则是通过等价定义的齐次方程组来判定方程组来判定.班级：星期 ：节 年 月 日第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性1教学目的掌握向量的概念，掌握向量组线性表示向量（组）的判定方线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性友情提示友情提示 本次课讲第四章第一二节：向量组的线性表本次课讲第四章第一二节：向量组的线性表示与线性相关性；示与线性相关性；下一次课讲第四章第二节（续）与第三节：下一次课讲第四章第二节（续）与第三节：相关性与向量组的秩；相关性与向量组的秩；下次上课时下次上课时交作业交作业P25P25P26P262友情提示 本次课讲第四章第一二节：向量组的线性表示与线线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性3第八讲：向量组的线性表示与线性相关性3线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性一、向量组及其相关概念一、向量组及其相关概念1.向量向量:(1)向量的定义向量的定义 (2)向量与矩阵向量与矩阵 n 维向量可写成一行维向量可写成一行行向量行向量；也称行矩阵；也可写；也称行矩阵；也可写成一列成一列列向量，也称列矩阵列向量，也称列矩阵因此规定：因此规定：行向量和列向量都按矩阵的规则进行运算行向量和列向量都按矩阵的规则进行运算（3）向量的记法：）向量的记法：1）列向量用用字母）列向量用用字母 表示；表示；行向量用行向量用表示表示.第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性4一、向量组及其相关概念1.向量:(1)向量的定义 (2线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性2.向量组的概念向量组的概念（1）向量组的定义）向量组的定义：若干个若干个同维数同维数的列向量（或同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合：的行向量）所组成的集合：如矩阵：如矩阵：有有 n 个个 m 维列向量维列向量（2）所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，）所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量都当作列向量第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性52.向量组的概念（1）向量组的定义：若干个同维数的列向量（或线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性（2）矩阵与向量组：）矩阵与向量组：由由 m 个个 n 维行向量所组成的向量组维行向量所组成的向量组 构成一个构成一个 mn矩阵矩阵因此，矩阵与它所对应的行（列）向量组有一一对应的关因此，矩阵与它所对应的行（列）向量组有一一对应的关系，向量组称矩阵的向量组，矩阵称向量组的矩阵系，向量组称矩阵的向量组，矩阵称向量组的矩阵矩阵矩阵A组成的向量组组成的向量组称为称为矩阵矩阵 A 的列向量组的列向量组；反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.由由 m 个个 n 维列向量所组成的向量组维列向量所组成的向量组 构成构成一个一个nm矩阵矩阵();,21maaaAL=第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性6（2）矩阵与向量组：由 m 个 n 维行向量所组成的向量组 线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性3.线性组合的概念线性组合的概念：定义定义2 2给定向量组给定向量组 A：，对于任何一组实数对于任何一组实数向量向量称为向量组称为向量组 A 的一个的一个线性组合线性组合，称为这个称为这个线性组合的系数线性组合的系数.4.线性表示的概念：线性表示的概念：给定向量组给定向量组 A：和向量和向量 ，如果存在一组数如果存在一组数使使则向量则向量 是向量组是向量组 A 的线性组合，的线性组合，这时称这时称向量向量 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示。线性表示的关键是线性表示系数的存在与求解线性表示的关键是线性表示系数的存在与求解第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性73.线性组合的概念：定义2给定向量组 A：线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性即向量 能由向量组 线性表示.例如：例如：5.向量组由向量组线性表示概念向量组由向量组线性表示概念定义定义3 3设有两个向量组设有两个向量组 A：及及 B：，则称则称向量组向量组 B 能由向能由向量组量组 A 线性表示线性表示。6.向量组的等价：向量组的等价：向量组向量组 A 与向量组与向量组 B 能相互线性表示，能相互线性表示，则称这两个则称这两个向量组等价。向量组等价。这是第二次遇到等价概念：一个是矩阵间互相初等这是第二次遇到等价概念：一个是矩阵间互相初等变换的等价；这里是向量组间间互相线性表示的等价变换的等价；这里是向量组间间互相线性表示的等价若若 B 组中的每个向量都能由向量组组中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，线性表示，第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性8即向量 能由向量组 线性表示线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性7.向量组的线性相关概念向量组的线性相关概念(1)(1)定义定义给定向量组给定向量组 A：，如果如果存在不全为零的数存在不全为零的数使使则称向量组则称向量组 A 是是线性相关线性相关的，否则称它的，否则称它线性无关线性无关“否则否则”只有当只有当时，时，式才成立。式才成立。或若向量组或若向量组 A：，线性无关，线性无关，且且式成立，式成立，则必有则必有第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性97.向量组的线性相关概念(1)定义给定向量组 A：线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性二、用方程组判断和求解向量组的线性表示的系数二、用方程组判断和求解向量组的线性表示的系数向量向量 能由向量组能由向量组 A 线性表示，线性表示，也就是方程组有解也就是方程组有解证证：将方程组变形为：将方程组变形为：第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性10二、用方程组判断和求解向量组的线性表示的系数向量 能由线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性11第八讲：向量组的线性表示与线性相关性11线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性（1 1）秩的等式定理）秩的等式定理2:2:的秩等于矩阵的秩等于矩阵向量组向量组 :能由向量组能由向量组 :线性线性表示的表示的充分必要条件充分必要条件是矩阵是矩阵的秩的秩.即即:2.用方程组判定与求解向量组间的线性表示系数用方程组判定与求解向量组间的线性表示系数.设向量组设向量组 A 与向量组与向量组 B 所构成的矩阵依次记作所构成的矩阵依次记作B 组能由组能由 A 组线性表示，组线性表示，即对每个向量即对每个向量第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性12（1）秩的等式定理2:的秩等于矩阵向量组 :线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性13第八讲：向量组的线性表示与线性相关性13线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性特别提示：特别提示：定理所涉及的向量组均是列向量组，方程组的定理所涉及的向量组均是列向量组，方程组的解也是列向量表示，解也是列向量表示，“行变换、列向量行变换、列向量”一定要记牢一定要记牢(2)两个推论。由以上定理，不难推出以下结论两个推论。由以上定理，不难推出以下结论分析：由定理分析：由定理2和向量组等价定义易推出结论成立和向量组等价定义易推出结论成立第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性14特别提示：定理所涉及的向量组均是列向量组，方程组的解也是列向线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性（4）线性表示秩的解法的概括：）线性表示秩的解法的概括：例例2：设向量组 证明:能 由向量组 线性表示,并求出表达式.第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性15（4）线性表示秩的解法的概括：例2：设向量组 证明:能线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性证：证：R(A)=R(B)=2,因 能 由向量组 线性表示.所以(其中其中C可取任意值可取任意值)第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性16证：R(A)=R(B)=2,因 能 由向量组 线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性17第八讲：向量组的线性表示与线性相关性17线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性例例3（05，2，9分）分）18第八讲：向量组的线性表示与线性相关性例3（05，2，9分）1线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性19第八讲：向量组的线性表示与线性相关性19线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性继续往行阶梯化下去：继续往行阶梯化下去：第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性20继续往行阶梯化下去：第八讲：向量组的线性表示与线性相关性20线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性三、用方程组判定线性相关无关性三、用方程组判定线性相关无关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性21三、用方程组判定线性相关无关性第八讲：向量组的线性表示与线性线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性（1）按照定义判定。）按照定义判定。思路：用定义，无关即向量的齐次线性方程组只有非零解，思路：用定义，无关即向量的齐次线性方程组只有非零解，即系数行列式不等于零即系数行列式不等于零证证:设有 使即因 线性无关，故的系数只有零解的系数只有零解4.线性相关性的判定：线性相关性的判定：例例4 已知向量组 线性无关，试证向量组 线性无关.第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性22（1）按照定义判定。思路：用定义，无关即向量的齐次线性方程组线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性此方程组的系数行列式为方程组只有零解所以向量组 线性无关.定理定理4 4（2）按照向量组的秩判定：）按照向量组的秩判定：向量组向量组 线性相关线性相关的充分必要条件是它所构的充分必要条件是它所构成的矩阵成的矩阵 的秩的秩R(A)m；向量组向量组线性无关线性无关的充分的充分必要条件是必要条件是 R(A)=m.第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性23此方程组的系数行列式为方程组只有零解所以向量组 线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性例例5 已知已知试讨论向量组试讨论向量组 及向量组及向量组 的线性相关性的线性相关性.解解对矩阵对矩阵 施行施行初等行变换初等行变换，则则 R向量组向量组R =2,线性无关线性无关.向量组向量组线性相关线性相关；第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性24例5 已知试讨论向量组 及向量组线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性（3）按照整体与部分的关系判定）按照整体与部分的关系判定定理定理5 5（1 1）若向量组）若向量组 A：线性相关，线性相关，则向量组则向量组 B：也相关也相关；反言之，反言之，若向量组若向量组 B 线性无关，则向量组线性无关，则向量组A 也线性无关也线性无关.（4）用向量的维数判定）用向量的维数判定：m 个个 n 维向量组成的向量组，当维数维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数小于向量个数m 时一定线性相关时一定线性相关.（5）线性表示与相关性的关系定理）线性表示与相关性的关系定理：第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性25（3）按照整体与部分的关系判定定理5（1）若向量组 A：线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性证明：证明：记由秩的定理，有R(A)R(B).因 A 组线性无关，有R(A)=m；因 B 组线性相关，有R(B)m+1.所以 mR(B)m+1,即有R(B)=m.由 R(A)=R(B)=m,及线性方程组秩的解法定理，知方程组有唯一解，即b能由A组线性表示且表示唯一.第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性26证明：记由秩的定理，有R(A)R(B).因 A 组线性无关线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性证证:1)因因线性无关线性无关,由定理由定理线性无关线性无关,又又线性相关线性相关,由定理由定理能由能由 线性表示线性表示.所以所以2)设设能由能由 线性表示线性表示.由由(1)能由能由 线性表示线性表示.线性无关矛盾线性无关矛盾.与与证明证明:1)能由能由 线性表示线性表示.2)不能由不能由 线性表示线性表示.分析：分析：1.部分无关、整体相关则增加部分可由无关组线性部分无关、整体相关则增加部分可由无关组线性表示，表示，2.否定命题多用反证，若能线性表示推出矛盾即可否定命题多用反证，若能线性表示推出矛盾即可第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性例例4.设向量组设向量组 线性相关线性相关,向量组向量组 线性无关线性无关,27证:1)因线性无关,由定理线性无关,又线性相关,由定理能由 线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性28第八讲：向量组的线性表示与线性相关性28线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性29第八讲：向量组的线性表示与线性相关性29线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性30第八讲：向量组的线性表示与线性相关性30线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性31第八讲：向量组的线性表示与线性相关性31线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性32第八讲：向量组的线性表示与线性相关性32