补充内容：空间中常用图形及其方程-课件

空间中常用图形及其方程1.平面的点法式方程平面的点法式方程一、平面的方程一、平面的方程2.平面的一般方程平面的一般方程x轴上截距轴上截距y轴上截距轴上截距z轴上截距轴上截距3.平面的截距方程平面的截距方程1.直线的一般方程直线的一般方程二、直线的方程二、直线的方程2.直线的点向式方程直线的点向式方程3.直线的参数方程直线的参数方程1.球面的方程球面的方程三、常用的曲面方程三、常用的曲面方程2.旋转曲面的方程旋转曲面的方程3.柱面的方程柱面的方程4.二次曲面方程二次曲面方程四、常用的曲线方程四、常用的曲线方程二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平以一条平面曲线绕其平面面曲线绕其平面上的一条直线旋上的一条直线旋转一周所成的曲转一周所成的曲面称为旋转曲面面称为旋转曲面.旋转曲线称为旋旋转曲线称为旋转曲面的母线，转曲面的母线，这条定直线叫旋这条定直线叫旋转曲面的轴转曲面的轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴建立旋转曲面建立旋转曲面S的方程：的方程：设点M1(0,y1,z1)在曲线C上，从而有f(y1,z1)=0设点M(x,y,z),且有解解 圆锥面方程圆锥面方程例例4 4 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程求生成的旋转曲面的方程旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面旋旋转转椭椭球球面面旋转抛物面旋转抛物面定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的观察柱面的形成过程形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的移动的直线直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.这条定曲线这条定曲线 叫柱面的准线，叫柱面的准线，动直线动直线 叫叫柱面的母线柱面的母线定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的准线，柱面的准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的母线面的母线.定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的准线，柱面的准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的母线面的母线.定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的准线，柱面的准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的母线面的母线.定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的准线，柱面的准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的母线面的母线.定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的准线，柱面的准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的母线面的母线.定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的准线，柱面的准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的母线面的母线.定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的准线，柱面的准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的母线面的母线.定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的准线，柱面的准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的母线面的母线.定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的准线，柱面的准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的母线面的母线.定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的准线，柱面的准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的母线面的母线.定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的准线，柱面的准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的母线面的母线.柱面举例柱面举例抛物柱面抛物柱面平面平面例例椭圆柱面椭圆柱面 /轴轴双曲柱面双曲柱面 /轴轴抛物柱面抛物柱面 /轴轴平面平面 /轴轴、/轴轴三元二次方程的图形曲面称为二次曲面三元二次方程的图形曲面称为二次曲面了解了解(画画)曲面的形状的一种方法：曲面的形状的一种方法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，通过考察其交线（即截痕）的形面相截，通过考察其交线（即截痕）的形状来了解曲面的形状状来了解曲面的形状几种特殊的二次方程的曲面：几种特殊的二次方程的曲面：四、二次曲面四、二次曲面截痕法。截痕法。1、方程、方程 曲面与坐标面的交线：曲面与坐标面的交线：椭圆曲面与平面曲面与平面 的交线的交线椭球面椭球面2、方程、方程 曲面与坐标面的交线：曲面与坐标面的交线：椭圆曲面与平面曲面与平面 的交线的交线单叶双曲面单叶双曲面双曲线3、方程、方程 曲面与坐标面的交线：曲面与坐标面的交线：双曲线椭圆双叶双曲面双叶双曲面4、方程、方程 曲面与坐标面的交线：曲面与坐标面的交线：抛物线椭圆抛物面抛物面5、方程、方程 曲面与坐标面的交线：曲面与坐标面的交线：抛物线双曲线双曲双曲抛物面（马鞍面）抛物面（马鞍面）*6、方程、方程（椭圆）（椭圆）锥面锥面*7、方程、方程（椭圆）（椭圆）柱面柱面*8、方程、方程（双曲）（双曲）柱面柱面*9、方程、方程（抛物）（抛物）柱面柱面*10、方程、方程 一对（相交）一对（相交）平面平面*11、方程、方程 一对（平行）一对（平行）平面平面二次曲面只有这十一种形状。二次曲面只有这十一种形状。空间曲线及其方程空间曲线的一般方程。空间曲线的一般方程。空间曲线空间曲线C可看作两曲面可看作两曲面S1与与S2的交线的交线.一、一般方程一、一般方程例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？解解表示圆柱面，表示圆柱面，表示平面，表示平面，表示它们的交线，表示它们的交线，为椭圆。为椭圆。*例例2 2 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？解解上半球面上半球面,圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.空间曲线的参数方程。空间曲线的参数方程。二、参数方程二、参数方程得螺旋线的参数方程得螺旋线的参数方程解解取时间取时间t为参数，并设为参数，并设 t=0 时动点时动点M位于位于 A(a,0,0)点。点。于是，在于是，在 t 时刻，时刻，M(x,y,z)转过的弧度为转过的弧度为 =t，上升，上升的高度为的高度为 vt，给定空间曲线给定空间曲线 C，称以，称以 C 为准线、母线为准线、母线/z 轴的柱轴的柱面为面为 C 关于关于 xOy 面的面的投影柱面投影柱面，此柱面与，此柱面与 xOy 面的交面的交线为线为 C 在在xOy面上的面上的投影（曲线）投影（曲线）。三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影投影曲线投影曲线 的求法：的求法：设设 C：如图，投影曲线的求解过程：如图，投影曲线的求解过程：空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面例例4 4 求曲线求曲线 在各坐标面上的投影在各坐标面上的投影.解解（1）消去变量）消去变量z后得后得在在 面上的投影为面上的投影为所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段（3）同理在）同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，(例例4 4 求曲线求曲线 在各坐标面上的投影在各坐标面上的投影.)补充补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影.空空间间立立体体曲曲面面例例5解解 上半球面和锥面的交线为上半球面和锥面的交线为