管理运筹学02线性规划课件

s1.线性规划问题及其数学模型s2.线性规划的图解法s3.线性规划问题的标准形式s4.线性规划的解集特征s5.线性规划的单纯形法s6.单纯形法的进一步讨论7/18/20241线性规划问题及其数学模型w资源合理利用问题：第5页例2-1w质量检验问题：第6页例2-2w线性规划数学模型的一般形式7/18/20242资源合理利用问题：第5页例2-1 1.决策变量：x1和x2 2.目标函数：max(2 x1+3 x2)3.约束条件：10 x1+20 x2 80 4 x1 16 6 x2 18 x1，x2 07/18/20243 质量检验问题：第6页例2-2 1.决策变量：x1和x2 2.目标函数：min(40 x1+36 x2)3.约束条件：5 x1+3 x2 45 x1 8 x2 10 x1，x2 07/18/20244线性规划数学模型的一般形式 1.决策变量是非负变量；2.目标函数是线性函数；3.约束条件是线性等式或不等式组。一般形式为：max(min)(c1 x1+c2 x2+cn xn)a11 x1+a12 x2+a1n xn (=,)b1 a21 x1+a22 x2+a2n xn (=,)b2 am1 x1+am2 x2+amn xn (=,)bm x1，x2，xn 0 7/18/20245 线性规划的图解法w1.局限性：只能求解具有两个变量的线性规划问题。w2.学习目的：图解法图解法只能求解具有两个决策变量的线性规划问题，其应用具有很大的局限性，因此学习图解法的目的并非是要掌握一种线性规划问题的求解方法，而是要通过图解法揭示线性规划问题的内在规律内在规律，为学习线性规划问题的一般算法（单纯形法单纯形法）奠定基础。w3.线性规划有关解的几个概念w4.图解法的基本步骤w5.图解法所反映出的一般结论7/18/20246线性规划有关解的几个概念 1.可行解可行解：满足约束条件的一组决策变量的取值；2.可行域可行域：可行解所构成的集合；3.最优解最优解：使目标函数达到极值的可行解；4.最优值最优值：与最优解相对应的目标函数的取值。7/18/20247图解法的基本步骤 1.画出平面直角坐标系；2.将约束条件逐一反映进平面直角坐标系，用标号和箭线表明约束条件的顺序和不等号的方向；3.找出可行域并反映出目标函数直线的斜率；4.平移目标函数直线找出最优解。5.例题：第7页例2-3：用图解法求解例2-1 6.习题：第8页例2-4：用图解法求解例2-2 7/18/20248用图解法求解例2-1x1x2432101 2 3 4 5 6 7 87/18/20249用图解法求解例2-1x1x2432101 2 3 4 5 6 7 87/18/202410用图解法求解例2-1x1x2432101 2 3 4 5 6 7 87/18/202411用图解法求解例2-1x1x2432101 2 3 4 5 6 7 87/18/202412用图解法求解例2-1x1x2432101 2 3 4 5 6 7 87/18/202413用图解法求解例2-1x1x2432101 2 3 4 5 6 7 87/18/202414用图解法求解例2-1x1x2432101 2 3 4 5 6 7 87/18/202415用图解法求解例2-2x1x2 5 10 151510507/18/202416图解法所反应出的一般结论w1.线性规划问题的可行域是凸多边形凸多边形凸多边形凸多边形；w2.如果线性规划问题有最优解，其最优解一定可以在其可行域的顶点上得到，而不会在可行域的内部；w3.如果线性规划问题在其可行域的两个顶点上得到最优解，那么两顶点连线上的所有点均为最优解点；w4.线性规划问题的解可能有四种情况：唯一最优解；无穷多最优解；无界解和无可行解。7/18/202417线形规划问题的标准形式w1.标准形式的基本条件：（1）决策变量非负；（2）目标函数极大化（或极小化）；（3）约束条件为严格等式，且右端项非负。w2.标准形式的表示：代数式；和式；向量式；矩阵式 w3.标准形式的转化7/18/202418线性规划的标准型：代数式 min z=c1x1+c2x2+cnxn a11x1+a12x2+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+a2nxn=b2 am1x1+am2x2+amnxn=bm xj 0 j=1,2,n 7/18/202419线性规划的标准型：和式 min z=cjxj aijxj=bi i=1,2,m xj 0 j=1,2,nj=1nnj=17/18/202420线性规划的标准型：向量式 min z=CX pjxj=bi i=1,2,m xj 0 j=1,2,n C=(c1,c2,c3,cn)X=(X1,X2,X3,Xn)Tnj=17/18/202421线性规划的标准型：矩阵式 min z=CX AX=b，X 0，b 0 其中：b=(b1,b2,bm)T a11 a12.a1n A=a21 a22 a2n am1 am2 amn7/18/202422标准形式的转化w1.无约束变量x的处理：x=y-z,其中y,z0w2.负数变量x的处理：x=-y,其中y0w3.目标函数极小化的处理：Min CX=-Max(-CX)w4.非等式约束条件的处理：加松弛变量或减剩余变量w5.右端项为负：两端同乘“-1”7/18/202423线形规划的解集特征w1.线性规划基与解的概念 (1)基、基列、基变量和非基变量 (2)基解、基可行解和可行基w2.凸集的概念与解集的基本定理 (1)凸集的概念 (2)解集的基本定理7/18/202424线性规划基与解的概念w1.基、基列、基变量和非基变量 (1)基基：Max CX,AX=b,X0,b0 Amn其秩为m，B 是 Amn中的一个mm阶满秩矩阵，则称B是线 性规划问题的一个基基 (2)基列基列：基 B 中所包含的m个列向量 (3)基变量基变量：基列所对应的决策变量 (4)非基变量非基变量：基变量以外的决策变量w2.基解、基可行解、可行基 (1)基解基解：令所有的非基变量为零，所求得的一组解 (2)基可行解基可行解：所有分量均为非负的基解基解 (3)可行基可行基：与基可行解基可行解所对应的基基7/18/202425凸集的概念与解集的基本定理w1.凸集的概念：设 K 是 n 维欧氏空间的一点集，若任意两点 X(1)k，X(2)k 的连线上的一切点 X(1)+(1-)X(2)k，(0 1)则称 k 为凸集。w2.解集的基本定理：(1)若线性规划问题存在可行域，则其可行域是凸集；(2)线性规划问题的基可行解对应其可行域的顶点；(3)若线性规划问题存在最优解，则其最优解一定能在基可行解中找到。7/18/202426线性规划的单纯形法w1.单纯形法的基本原理 (1)单纯形法的基本思路 (2)第12页例2-6w2.最优性检验与解的判别w3.单纯形表w4.单纯形法的基本步骤w5.用单纯形法求解例2-6w6.课上习题7/18/202427单纯形法的基本思路w1.找出一个初始的基可行解；w2.判断其最优性；w3.转移至另一个较优的基可行解；w4.重复2、3两步直至最优。7/18/202428第12页例2-6Max z=2x1+3x2 10 x1+20 x2 +x3 =80 4x1 +x4 =16 6x2 +x5 =18 x1，x2，x3，x4，x5 0B=(p3，p4，p5)X(0)=(0，0，80，16，18)T Z(0)=0，z=2x1+3x2寻找相邻的基可行解7/18/202429例2-6Max(2，3)=3 x2入基Min(80/20，18/6)=3 x5出基B=(p3，p4，p2)10 x1 +x3 -10/3 x5=20 4x1 +x4 =16 x2 +1/6 x5 =3X(1)=(0，3，20，16，0)T Z(1)=9，z=9+2x1-1/2 x57/18/202430例2-6Max(2)=2 x1入基Min(20/10，16/4)=2 x3出基B=(p1，p4，p2)x1+1/10 x3 -1/3 x5=2 -2/5 x3+x4+4/3 x5=8 x2 +1/6 x5=3X(2)=(2，3，0，8，0)T Z(2)=13，z=13-1/5 x3+1/6 x57/18/202431例2-6Max(1/6)=1/6 x5入基Min(8/(4/3)，3/(1/6)=6 x4出基B=(p1，p5，p2)x1 +1/4 x 4 =4 -3/10 x3+3/4 x4+x5=6 x2+1/20 x3 -1/8 x4 =2X(3)=(4，2，0，0，6)T Z(3)=14，z=14-9/10 x3-1/8 x47/18/202432最优性检验与解的判别7/18/202433单纯形表7/18/202434单纯形法的基本步骤w1.数学模型标准化、正规化；w2.建立初始单纯形表；w3.计算检验数并判断最优性，结束或继续；w4.确定入基变量和出基变量，w5.迭代运算；w6.重复3、4、5步，直至结束。7/18/202435用单纯形法求解例2-67/18/202436用单纯形法求解例2-67/18/202437用单纯形法求解例2-67/18/202438用单纯形法求解例2-67/18/202439课上习题1.Max z=2x1+4x2+x3+x4 x1+3x2 +x4 8 2x1+x2 6 x2+x3+x4 6 x1+x2+x3 9 x14 02.第17页例2-103.第19页例2-117/18/202440单纯形法的进一步讨论1.计算问题 (1)入基变量的选择 (2)解的退化2.人工变量与初始正规基 (1)大M法 (2)两阶段法7/18/202441入基变量的选择 入基变量是根据最大正检验数最大正检验数来选择的，这样做的目的是为了使目标函数得到最大的增量，因此当最大正检验数有多个时，可主观地选择它们中的任意一个作为入基变量。其实具有正检验数的所有非基变量都可作为入基变量。7/18/202442出基变量的选择与解的退化w1.退化解：部分基变量的值为零的基可行解称为退化解。w2.在选择出基变量时，如果最小比值不唯一，可主观确定出基变量，此时产生退化解。w3.例7/18/202443例Max z=2x4+(3/2)x6 x1 +x4 -x5 =8 x2 +2 x4 +x6=4 x3+x4 +x5+x6=3 x16 07/18/202444例7/18/202445例7/18/202446例7/18/202447例7/18/202448例7/18/202449人工变量与初始正规基第第21页例页例2-13:Min z=-3x1+x2+x3 x1 -2x2+x3 11 -4x1 +x2+2x3 3 2x1 -x3 =-1 x1 ，x2，x3 0(1)标准化7/18/202450例2-13的标准化 Min z=-3x1+x2+x3 x1 -2x2+x3+x4 =11 -4x1 +x2+2x3 -x5=3 -2x1 +x3 =1 x15 0(2)正规化7/18/202451例2-13的正规化人工变量人工变量：为构造基变量（正规基）人为加入的变量 x1 -2x2+x3+x4 =11 -4x1 +x2+2x3-x5+x6 =3 -2x1 +x3 +x7=1 x17 0初始正规基 B=(p4,p6,p7)=E7/18/202452大M法1.大M法：令人工变量的价值系数为“-M”(极大值)或“M”(极小值)的单纯形法即称为大M法；例如：Min z=-3x1+x2+x3+M x人人1+M x人人2 Max z=2x1+x2+4x3-M x人人1+M x人人22.例2-13的大M法3.习题（大M法）7/18/202453用大M法求解例2-13 Min z=-3x1+x2+x3 x1 -2x2+x3 11 -4x1 +x2+2x3 3 2x1 -x3 =-1 x1 ，x2，x3 07/18/202454用大M法求解例1.13 Min z=-3x1+x2+x3+Mx6+Mx7 x1 -2x2+x3+x4 =11 -4x1 +x2 +2x3 -x5+x6 =3 -2x1 +x3 +x7=1 x17 07/18/202455用大M法求解例1.137/18/202456用大M法求解例1.137/18/202457用大M法求解例1.137/18/202458用大M法求解例1.137/18/202459习题（用大M法求解）Max z=2x1+4x2+x3 x1 +x2 +x3 6 x1 +x2 -2x3 4 x1 -2x2+x3 8 x1 ，x2，x3 07/18/202460习题（用大M法求解）Max z=2x1+4x2+x3-Mx7 x1 +x2 +x3+x4 =6 x1 +x2 -2x3 +x 5 =4 x1 -2x2+x3 -x6+x7 =8 x17 07/18/202461习题（用大M法求解）7/18/202462习题（用大M法求解）7/18/202463习题（用大M法求解）7/18/202464两阶段法w1.两阶段法：第一阶段，在原约束条件下，求所有人工变量和的最小值；第一阶段的目的是获得问题的一个初始基可行解（人工变量和的最小值为零）或得出问题无可行解（人工变量和的最小值大于零）的结论；第二阶段，去掉人工变量，在原目标下从已得到的基可行解开始优化。w2.例2-13的两阶段法w3.习题（两阶段法）7/18/202465用两阶段法求解例2-13 Min z=-3x1+x2+x3 x1 -2x2+x3 11 -4x1 +x2+2x3 3 2x1 -x3 =-1 x1 ，x2，x3 07/18/202466用两阶段法求解例2-13第一阶段：Min z=x6+x7 x1 -2x2+x3+x4 =11 -4x1 +x2 +2x3 -x5+x6 =3 -2x1 +x3 +x7=1 x17 07/18/202467用两阶段法求解例2-137/18/202468用两阶段法求解例2-137/18/202469用两阶段法求解例2-137/18/202470用两阶段法求解例2-137/18/202471用两阶段法求解例2-137/18/202472习题（用两阶段法求解）Max z=2x1+4x2+x3 x1 +x2 +x3 6 x1 +x2 -2x3 4 x1 -2x2+x3 8 x1 ，x2，x3 07/18/202473习题（用两阶段法求解）第一阶段：Min z=x7 x1 +x2 +x3+x4 =6 x1 +x2 -2x3 +x 5 =4 x1 -2x2+x3 -x6+x7 =8 x17 07/18/202474习题（用两阶段法求解）7/18/202475习题（用两阶段法求解）7/18/202476习题（用两阶段法求解）7/18/202477供娄浪颓蓝辣袄驹靴锯澜互慌仲写绎衰斡染圾明将呆则孰盆瘸砒腥悉漠堑脊髓灰质炎(讲课2019)脊髓灰质炎(讲课2019)