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3.1 抽样分布3.2 点估计3.3 区间估计3.1 3.1 抽样分布抽样分布 为什么要抽样为什么要抽样?为了收集必要的资料，对所研究对象（总体）的为了收集必要的资料，对所研究对象（总体）的全部元素逐一进行观测，往往不很现实。全部元素逐一进行观测，往往不很现实。抽抽样样原原因因元素多，搜集数据费元素多，搜集数据费时、费用大，不及时而时、费用大，不及时而使所得的数据无意义使所得的数据无意义总体庞大总体庞大,难以对总难以对总体的全部元素进行体的全部元素进行研究研究检查具有破坏性检查具有破坏性炮弹、灯管、砖等炮弹、灯管、砖等统计学基本概念总体(全体)Population所有感兴趣的对象样本Sample总体的一部分总体参数Parameter关于总体的概括性度量统计量Statistic关于样本的概括性度量抽样从所研究的对象中随机取出一部分进行观察，由此获得有关总体的信息。抽样分为概率抽样与非概率抽样其中概率抽样分为：纯随机抽样、等距抽样、分层抽样、整群抽样常用的总体参数总体平均数总体平均数总体方差总体方差总体标准差总体标准差总体比率（总体成数）总体比率（总体成数）样本平均数样本平均数样本方差样本方差样本标准差样本标准差样本比率（样本成数）样本比率（样本成数）样本统计量经常被用作估计总体参数。样本统计量经常被用作估计总体参数。点估计点估计就是运用样本数据值计算出一个样本统计量的就是运用样本数据值计算出一个样本统计量的值，将其作为总体参数的估计值。值，将其作为总体参数的估计值。如用如用 去估计去估计问题是不同的样本提供不同的估计值问题是不同的样本提供不同的估计值样本越大，估计的性质越好，但成本也越高样本越大，估计的性质越好，但成本也越高了解估计的性质有多好了解估计的性质有多好解决办法：以样本的抽样分布作为理论基础。解决办法：以样本的抽样分布作为理论基础。抽样分布从一个总体中随机抽出容量相同的各种样本，从这些样本计算出的某统计量所有可能值的概率分布，称为这个统计量的抽样分布。从一个给定的总体中抽取（不论是否有放回）容量（或大小）为n的所有可能的样本，对于每一个样本，计算出某个统计量（如样本均值或标准差）的值，不同的样本得到的该统计量的值是不一样的，由此得到这个统计量的分布，称之为抽样分布。样本统计量是一个随机分布量。设由四个同学组成的总体，样本总体N4。随机变量X表示某个学生的年龄X的所在取值为18，20，22，24。总体均值和总体方差各为多少？21 2.236总体概率分布？所有样本容量为2的样本总体分布与样本抽样分布的关系样本均值的抽样分布 一个总体10，5，8，7，10，有放回（with replacement）抽样 10587101010,101010,5 7.510,8910,78.510,101055,107.55,555,86.55,7 65,107.588,1098,56.58,888,7 7.58,10977,108.57,567,87.57,777,108.51010,101010,57.510,8910,78.510,1010一个样本统计量的概率分布被称为该统计量的抽样分抽样分布布 样本均值抽样分布 直方图0510678910其他频率0.00%50.00%100.00%150.00%频率累积%正态分布均匀分布总体分布样 本 均 值分布(n=2)样 本 均 值分布(n=10)样 本 均 值分布(n=30)指数分布中心极限定理的作用建立起 值与样本均值之间的数值关系.不论该总体服从何种分布，只要当样本容量足够大（），样本均值的分布都大致服从正态分布。例：某高校在研究生入学体检后对所有结果进行统计分析，得出其中某一项指标的均值是7，标准差2.2。从这个总体中随机选取一个容量为31的样本。（1）计算样本均值大于7.5的概率，（2）计算样本均值小于7.2的概率，（3）计算样本均值在7.2和7.5之间的概率。样本容量大于30，由中心极限定理可知，样本均值 的分布近似均值为 即（1）（2）（3）例：在北京一居室的房租平均为每月1500元，房租的分布并不服从正态分布，随机抽取容量为50的样本，样本的标准差是200元，请问样本均值至少为1600元的概率是多少？例：已知某高校女生比例为46%，现对全体学生做两次随机抽样，n=200和n=1000，求这两次抽样中女生的比例在50%以上的概率。3.2 点估计点估计3.2.1 点估计的概念点估计是以样本统计量作为相应总体参数的估计量 例如：用样本均值 直接作为总体均值 的估计值点估计的优点能够提供总体参数的具体估计值，可以作为行动决策的数量依据点估计的不足任何点估计不是对就是错，并不能提供误差情况如何、误差程度有多大的信息3.2.2 点估计的优良性标准点估计的优良性标准无偏性无偏性设总体的参数为设总体的参数为设总体的参数为设总体的参数为 ，其估计量为，其估计量为，其估计量为，其估计量为 ，如果，如果，如果，如果 即估计量即估计量即估计量即估计量 的数学期望等于被估计的总体参数，的数学期望等于被估计的总体参数，的数学期望等于被估计的总体参数，的数学期望等于被估计的总体参数，我们称估计量我们称估计量我们称估计量我们称估计量 是参数是参数是参数是参数 的无偏估计量的无偏估计量的无偏估计量的无偏估计量样本平均数是总体平均数的无偏估计量样本平均数是总体平均数的无偏估计量样本平均数是总体平均数的无偏估计量样本平均数是总体平均数的无偏估计量无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求 点估计的优良标准（续）点估计的优良标准（续）一致性一致性一致性一致性 设设设设 是参数是参数是参数是参数 估计量，若对于任意的估计量，若对于任意的估计量，若对于任意的估计量，若对于任意的 ，当当当当 时时时时 依概率收敛于依概率收敛于依概率收敛于依概率收敛于 ，则称，则称，则称，则称 为为为为 的一致估计量的一致估计量的一致估计量的一致估计量 对任意对任意对任意对任意 有，有，有，有，有效性有效性有效性有效性 设设设设 和和和和 都是参数的无偏都是参数的无偏都是参数的无偏都是参数的无偏估计量，若对任意估计量，若对任意估计量，若对任意估计量，若对任意 ，且至少对于，且至少对于，且至少对于，且至少对于 某个某个某个某个 上式中的不等号成立，则称上式中的不等号成立，则称上式中的不等号成立，则称上式中的不等号成立，则称 较较较较 有效有效有效有效 矩估计法借助样本矩去估计总体的矩借助样本矩去估计总体的矩用样本的一阶原点矩来估计总体的均值用样本的一阶原点矩来估计总体的均值用样本的二阶中心矩来估计总体的方差用样本的二阶中心矩来估计总体的方差 例例3.1 矩法估计例题矩法估计例题 设总体设总体 ，为为总体的样本，总体的样本，求求，的矩法估计量。的矩法估计量。解：解：解：解：例例3.2 灯泡平均寿命分析灯泡平均寿命分析 设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机抽取设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机抽取设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机抽取设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机抽取1010只灯泡，测得只灯泡，测得只灯泡，测得只灯泡，测得其寿命为其寿命为其寿命为其寿命为(单位单位单位单位:小时小时小时小时)1050)1050，11001100，10801080，11201120，12001200，12501250，10401040，11301130，13001300，12001200。试用矩法估计该厂这天。试用矩法估计该厂这天。试用矩法估计该厂这天。试用矩法估计该厂这天生产的灯泡的平均寿命及寿命分布的方差。生产的灯泡的平均寿命及寿命分布的方差。生产的灯泡的平均寿命及寿命分布的方差。生产的灯泡的平均寿命及寿命分布的方差。解：解：解：解：极大似然估计法极大似然估计法求极大似然估计的一般步骤求极大似然估计的一般步骤求极大似然估计的一般步骤求极大似然估计的一般步骤 写出似然函数写出似然函数写出似然函数写出似然函数 对似然函数取对数，并整理对似然函数取对数，并整理对似然函数取对数，并整理对似然函数取对数，并整理 求导数求导数求导数求导数 解似然方程解似然方程解似然方程解似然方程 例例3.4 极大似然估计例题极大似然估计例题设总体设总体X服从服从N(，)，是，是X 的样本值，求的样本值，求，的极大似然估计的极大似然估计解：解：似然方程为：似然方程为：，S2的极大似然估计量分别为 ，频次分析模块频次分析模块AnalyzAnalyzDescriptive Statistics Descriptive Statistics Frequencies Statistics Frequencies Statistics 均值均值 中位数中位数 众数众数 样本数据值总和样本数据值总和数据分布的斜度数据分布的斜度 数据分布的峰度数据分布的峰度 最大值与最小值之差最大值与最小值之差 标准差标准差 方差方差 均值标准差均值标准差 最大值最大值 最小值最小值 计算四分点计算四分点 按顺序分组按顺序分组 设置指定的百分点设置指定的百分点 频次分析模块（续）频次分析模块（续）StatisticsStatistics净净净净重重重重N NValidValid100100MissingMissing0 0MeanMean343.76343.76Std.DeviationStd.Deviation4.1304.130VarianceVariance17.05317.053从从100个样本中推断总体的净重均值为个样本中推断总体的净重均值为343.76g，方差为，方差为17.053 从从100个样本中推断总体的净重均值为个样本中推断总体的净重均值为343.76g，方差为，方差为17.053 从从100个样本中推断总体的净重均值为个样本中推断总体的净重均值为343.76g，方差为，方差为17.053 样本方差样本方差 样本均值样本均值 描述统计模块描述统计模块 AnalyzeAnalyzeDescriptive StatisticsDescriptive StatisticsDescriptivesDescriptivesOptionsOptions标准差标准差 均值均值 方差方差 Descriptive StatisticsDescriptive StatisticsN NMeanMeanStd.DeviationStd.DeviationVarianceVariance净净净净重重重重100100343.76343.764.1304.13017.05317.053Valid N(listwise)Valid N(listwise)100100净重均值、方差估计值，结果同净重均值、方差估计值，结果同Statistics表表 标准差标准差 均值均值 方差方差 标准差标准差 均值均值 净重均值、方差估计值，结果同净重均值、方差估计值，结果同Statistics表表 方差方差 标准差标准差 均值均值 标准差标准差 均值均值 标准差标准差 均值均值 方差方差 标准差标准差 均值均值 3.3 区间估计区间估计3.3 区间估计区间估计 用一个区间去估计未知参数，用一个区间去估计未知参数，用一个区间去估计未知参数，用一个区间去估计未知参数，即把未知参数值估计在某两即把未知参数值估计在某两即把未知参数值估计在某两即把未知参数值估计在某两界限之间界限之间界限之间界限之间 设设设设 是来自密度是来自密度是来自密度是来自密度 的样本的样本的样本的样本 对给定的对给定的对给定的对给定的 ，如能找到两个统计量，如能找到两个统计量，如能找到两个统计量，如能找到两个统计量 及及及及 ，使得，使得，使得，使得 是置信度，置信度也称为置信概率是置信度，置信度也称为置信概率是置信度，置信度也称为置信概率是置信度，置信度也称为置信概率 是置信度为是置信度为是置信度为是置信度为 的的的的 的置信区间的置信区间的置信区间的置信区间 称为显著性水平（称为显著性水平（称为显著性水平（称为显著性水平（Significance LevelSignificance Level）。置信区间置信区间 区间示意图区间示意图区间示意图区间示意图 置信区间表达了区间估计的精确度，置信概率表达了区间置信区间表达了区间估计的精确度，置信概率表达了区间置信区间表达了区间估计的精确度，置信概率表达了区间置信区间表达了区间估计的精确度，置信概率表达了区间估计的可靠性，它是区间估计的可靠概率；而显著性水平估计的可靠性，它是区间估计的可靠概率；而显著性水平估计的可靠性，它是区间估计的可靠概率；而显著性水平估计的可靠性，它是区间估计的可靠概率；而显著性水平表达了区间估计的不可靠的概率表达了区间估计的不可靠的概率表达了区间估计的不可靠的概率表达了区间估计的不可靠的概率 可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度尽可能提高精度尽可能提高精度尽可能提高精度3.3.1 总体方差总体方差 已知时，总体均值已知时，总体均值的估计的估计 ，为来自总体的样本为来自总体的样本为来自总体的样本为来自总体的样本 样本均值样本均值样本均值样本均值 服从数学期望为服从数学期望为服从数学期望为服从数学期望为、方差为、方差为、方差为、方差为 /n n的正态的正态的正态的正态分布，即分布，即分布，即分布，即 当当当当 已知时，已知时，已知时，已知时，可得到可得到可得到可得到1-1-置信度下置信度下置信度下置信度下，的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为 置信区间的宽度为：置信区间的宽度为：置信区间的宽度为：置信区间的宽度为：例例3.6 零件直径问题零件直径问题 已知某零件的直径服从正态分布，从该批产品中随机抽取已知某零件的直径服从正态分布，从该批产品中随机抽取已知某零件的直径服从正态分布，从该批产品中随机抽取已知某零件的直径服从正态分布，从该批产品中随机抽取1010件，测得平均直径为件，测得平均直径为件，测得平均直径为件，测得平均直径为202.5mm202.5mm，已知总体标准差，已知总体标准差，已知总体标准差，已知总体标准差=2.5mm=2.5mm，试建立该种零件平均直径的置信区间，给定，试建立该种零件平均直径的置信区间，给定，试建立该种零件平均直径的置信区间，给定，试建立该种零件平均直径的置信区间，给定置信度为置信度为置信度为置信度为0.950.95。解：解：解：解：已知已知已知已知 ，=202.5mm =202.5mm，n n=10=10，=0.95 =0.95，查标准正态分布表，得，查标准正态分布表，得，查标准正态分布表，得，查标准正态分布表，得 =1.96=1.96，所以在，所以在，所以在，所以在 置信度置信度置信度置信度下，下，下，下，的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为 即即即即202.5-1.962.5/202.5-1.962.5/，202.5+1.962.5/202.5+1.962.5/，计算结，计算结，计算结，计算结果为：果为：果为：果为：200.95200.95，204.05204.053.3 区间估计区间估计 用一个区间去估计未知参数，用一个区间去估计未知参数，用一个区间去估计未知参数，用一个区间去估计未知参数，即把未知参数值估计在某两即把未知参数值估计在某两即把未知参数值估计在某两即把未知参数值估计在某两界限之间界限之间界限之间界限之间 设设设设 是来自密度是来自密度是来自密度是来自密度 的样本的样本的样本的样本 对给定的对给定的对给定的对给定的 ，如能找到两个统计量，如能找到两个统计量，如能找到两个统计量，如能找到两个统计量 及及及及 ，使得，使得，使得，使得 是置信度，置信度也称为置信概率是置信度，置信度也称为置信概率是置信度，置信度也称为置信概率是置信度，置信度也称为置信概率 是置信度为是置信度为是置信度为是置信度为 的的的的 的置信区间的置信区间的置信区间的置信区间 称为显著性水平（称为显著性水平（称为显著性水平（称为显著性水平（Significance LevelSignificance Level）。置信区间置信区间 区间示意图区间示意图区间示意图区间示意图 置信区间表达了区间估计的精确度，置信概率表达了区间置信区间表达了区间估计的精确度，置信概率表达了区间置信区间表达了区间估计的精确度，置信概率表达了区间置信区间表达了区间估计的精确度，置信概率表达了区间估计的可靠性，它是区间估计的可靠概率；而显著性水平估计的可靠性，它是区间估计的可靠概率；而显著性水平估计的可靠性，它是区间估计的可靠概率；而显著性水平估计的可靠性，它是区间估计的可靠概率；而显著性水平表达了区间估计的不可靠的概率表达了区间估计的不可靠的概率表达了区间估计的不可靠的概率表达了区间估计的不可靠的概率 可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度尽可能提高精度尽可能提高精度尽可能提高精度3.3.1 总体方差总体方差 已知时，总体均值已知时，总体均值的估计的估计 ，为来自总体的样本为来自总体的样本为来自总体的样本为来自总体的样本 样本均值样本均值样本均值样本均值 服从数学期望为服从数学期望为服从数学期望为服从数学期望为、方差为、方差为、方差为、方差为 /n n的正态的正态的正态的正态分布，即分布，即分布，即分布，即 当当当当 已知时，已知时，已知时，已知时，可得到可得到可得到可得到1-1-置信度下置信度下置信度下置信度下，的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为 置信区间的宽度为：置信区间的宽度为：置信区间的宽度为：置信区间的宽度为：例例3.6 零件直径问题零件直径问题 已知某零件的直径服从正态分布，从该批产品中随机抽取已知某零件的直径服从正态分布，从该批产品中随机抽取已知某零件的直径服从正态分布，从该批产品中随机抽取已知某零件的直径服从正态分布，从该批产品中随机抽取1010件，测得平均直径为件，测得平均直径为件，测得平均直径为件，测得平均直径为202.5mm202.5mm，已知总体标准差，已知总体标准差，已知总体标准差，已知总体标准差=2.5mm=2.5mm，试建立该种零件平均直径的置信区间，给定，试建立该种零件平均直径的置信区间，给定，试建立该种零件平均直径的置信区间，给定，试建立该种零件平均直径的置信区间，给定置信度为置信度为置信度为置信度为0.950.95。解：解：解：解：已知已知已知已知 ，=202.5mm =202.5mm，n n=10=10，=0.95 =0.95，查标准正态分布表，得，查标准正态分布表，得，查标准正态分布表，得，查标准正态分布表，得 =1.96=1.96，所以在，所以在，所以在，所以在 置信度置信度置信度置信度下，下，下，下，的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为 即即即即202.5-1.962.5/202.5-1.962.5/，202.5+1.962.5/202.5+1.962.5/，计算结，计算结，计算结，计算结果为：果为：果为：果为：200.95200.95，204.05204.053.3.2 总体方差总体方差 未知时，总体均值未知时，总体均值的估计的估计 n n 3030时时时时 通常用样本方差通常用样本方差通常用样本方差通常用样本方差 来估计，只需将来估计，只需将来估计，只需将来估计，只需将 中的中的中的中的 用用用用S S 近似代替即可近似代替即可近似代替即可近似代替即可 n n 3030时时时时即即即即1-1-置信度下，置信度下，置信度下，置信度下，的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为 例例3.7 大学生平均完成作业时间大学生平均完成作业时间 某大学从该校学生中随机抽取某大学从该校学生中随机抽取某大学从该校学生中随机抽取某大学从该校学生中随机抽取100100人，调查到他们人，调查到他们人，调查到他们人，调查到他们平均每人每天完成作业的时间为平均每人每天完成作业的时间为平均每人每天完成作业的时间为平均每人每天完成作业的时间为120120分钟，样本标分钟，样本标分钟，样本标分钟，样本标准差为准差为准差为准差为3030分钟，试以分钟，试以分钟，试以分钟，试以95%95%的置信水平估计该大学的置信水平估计该大学的置信水平估计该大学的置信水平估计该大学平均每天完成作业时间。平均每天完成作业时间。平均每天完成作业时间。平均每天完成作业时间。解：解：根据题意可知：根据题意可知：根据题意可知：根据题意可知：=120 =120，S S=30=30，n n=100=100且且且且 =0.95 =0.95，=1.96=1.96故在故在故在故在95%95%的置信度下，的置信度下，的置信度下，的置信度下，的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为即即即即120-1.9630/10120-1.9630/10，120+1.9630/10120+1.9630/10，计算结果为：，计算结果为：，计算结果为：，计算结果为：114.12114.12，125.88125.88 3.3.3 总体方差的区间估计总体方差的区间估计 由于当总体为正态分布时，由于当总体为正态分布时，其中其中 所以在所以在1-置信度下，置信度下，的置信区间为的置信区间为 3.3.4 总体比率的区间估计总体比率的区间估计 总体比率总体比率总体比率：总体比率：总体比率：总体比率：p p=M/NM/N 设设设设 N N为为为为总体容量，总体容量，总体容量，总体容量，MM 为具有某种特点（性质）的元为具有某种特点（性质）的元为具有某种特点（性质）的元为具有某种特点（性质）的元素数素数素数素数样本比率样本比率样本比率：样本比率：样本比率：样本比率：从从从从N N中抽取中抽取中抽取中抽取n n个为样本，其中具有某种特点的元素数个为样本，其中具有某种特点的元素数个为样本，其中具有某种特点的元素数个为样本，其中具有某种特点的元素数为为为为X X（X X=0=0，1 1，n n）3.3.4 总体比率的区间估计总体比率的区间估计 给定置信度为给定置信度为1-时时，有，有总体比例总体比例p在在1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为（未知时）例例3.9 城市下岗女职工比例城市下岗女职工比例 某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机抽取了某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机抽取了某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机抽取了某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机抽取了100100个下岗职工，其中个下岗职工，其中个下岗职工，其中个下岗职工，其中6565人为女性职工。试以人为女性职工。试以人为女性职工。试以人为女性职工。试以95%95%的置信的置信的置信的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间。水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间。水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间。水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间。解解解解：已知已知已知已知n n=100=100，p p65%65%，1-1-=95%=95%，=1.96=1.96 故该城市下岗职工中女性比例的置信区间为故该城市下岗职工中女性比例的置信区间为故该城市下岗职工中女性比例的置信区间为故该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%55.65%74.35%74.35%3.3.5 区间估计的区间估计的SPSS应用应用 AnalyzeAnalyzeDescriptive StatisticsDescriptive StatisticsExploreExploreStatisticsStatistics 输出均数、中位数、众数、标准误、方差等输出均数、中位数、众数、标准误、方差等 置信区间，默认为置信区间，默认为95%中心趋势的最大似然确定中心趋势的最大似然确定 输出五个最大值与五个最小值输出五个最大值与五个最小值 输出分位数输出分位数 输出五个最大值与五个最小值输出五个最大值与五个最小值 输出分位数输出分位数 StatisticStatisticStd.ErrorStd.Error灯泡寿命灯泡寿命灯泡寿命灯泡寿命MeanMean1490.00001490.00006.191396.19139 95%Confidence 95%Confidence Interval for MeanInterval for MeanLower BoundLower Bound1476.80341476.8034 Upper BoundUpper Bound1503.19661503.1966 5%Trimmed Mean5%Trimmed Mean1490.00001490.0000 MedianMedian1485.00001485.0000 VarianceVariance613.333613.333 Std.DeviationStd.Deviation24.7655724.76557 MinimumMinimum1450.001450.00 MaximumMaximum1530.001530.00 RangeRange80.0080.00 Interquartile RangeInterquartile Range40.000040.0000 SkewnessSkewness.030.030.564.564 KurtosisKurtosis-1.272-1.2721.0911.091样本样本标准差标准差 样本均值样本均值 置信区间为置信区间为1476.8034，1503.1966
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