结构力学-位移法课件

一、一、位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。分析超静定结构时，有两种基本方法：分析超静定结构时，有两种基本方法：第一种：第一种：以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然后计以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然后计算位移算位移力法。力法。第二种：第二种：以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再计算以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再计算内力内力位移法。位移法。结构结构在外因作用下产生产生内力变形内力与变形间存在关系内力与变形间存在关系7.1 位移法的基本概念位移法的基本概念力法力法：由变形协调条件建立由变形协调条件建立位移方程位移方程；位移法位移法：由平衡条件建立的由平衡条件建立的平衡方程平衡方程。二、位移法与力法的区别二、位移法与力法的区别1.1.主要区别是主要区别是基本未知量基本未知量选取不同选取不同力法：多余未知力作为基本未知量；力法：多余未知力作为基本未知量；位移法：结点位移位移法：结点位移(线位移和角位移线位移和角位移)作为基本未知量。作为基本未知量。2.2.建立的基本方程不同建立的基本方程不同注意：注意：力法的基本未知量的数目等于超静定次数，而力法的基本未知量的数目等于超静定次数，而 位移法的基本未知量与超静定次数无关。位移法的基本未知量与超静定次数无关。1.1.刚结点所连接的各杆端截面变形后有相同的角位移；刚结点所连接的各杆端截面变形后有相同的角位移；2.2.各杆端之间的连线长度变形前后保持不变，即忽略杆件各杆端之间的连线长度变形前后保持不变，即忽略杆件 的轴向变形；的轴向变形；3.3.结点线位移的弧线运动用垂直于杆轴的切线代替，即结结点线位移的弧线运动用垂直于杆轴的切线代替，即结 点线位移垂直于杆轴发生。点线位移垂直于杆轴发生。三、位移法的基本假定三、位移法的基本假定下面以一个例题来介绍一下位移法的解题思路。下面以一个例题来介绍一下位移法的解题思路。结点位移与杆端位移分析结点位移与杆端位移分析 BDBD伸长：伸长：DCDC伸长：伸长：DADA伸长：伸长：杆杆端端位位移移分分析析由材料力学可知：由材料力学可知：杆端力与杆端杆端力与杆端位移的关系位移的关系 D D结点有结点有向下的向下的位移位移FPCDAB45o45o四、位移法的基本思路四、位移法的基本思路建立力的建立力的平衡方程平衡方程由方程解得：由方程解得：位移法方程位移法方程把把回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力 ：由结点平衡：由结点平衡：由结点平衡或截面平衡，建立方程；由结点平衡或截面平衡，建立方程；结点位移回代，得到杆端力。结点位移回代，得到杆端力。总结一下直接平衡法解题的步骤：总结一下直接平衡法解题的步骤：确定结点位移的数量；确定结点位移的数量；写出杆端力与杆端位移的关系式；写出杆端力与杆端位移的关系式；解方程，得到结点位移；解方程，得到结点位移；F1Pql2/12ql2/12AF115ql2/48ql2/48BllqEI=常数ACAqABCABCA4iF11AABCql2/24基本体系法解题要点：基本体系法解题要点：（1 1）位移法的基本未知量是结点位移；）位移法的基本未知量是结点位移；（3 3）位移法的基本方程是平衡方程；）位移法的基本方程是平衡方程；（4 4）建立基本方程的过程分为两步：）建立基本方程的过程分为两步：1 1）把结构拆成杆件，进行杆件分析；）把结构拆成杆件，进行杆件分析；2 2）再把杆件综合成结构，进行整体分析；）再把杆件综合成结构，进行整体分析；（5 5）杆件分析杆件分析是结构分析的基础。是结构分析的基础。（2 2）位移法的基本结构）位移法的基本结构-单跨梁系；单跨梁系；一、杆端力和杆端位移的正负规定一、杆端力和杆端位移的正负规定二、形常数和载常数形常数和载常数1.1.杆端转角杆端转角、杆两端相对位移、杆两端相对位移以使杆件顺时针转动以使杆件顺时针转动 为正号。为正号。2.2.杆端弯矩，对杆端顺时针转动为正号；对支座或结点杆端弯矩，对杆端顺时针转动为正号；对支座或结点 逆时针转动为正号。杆端剪力以使作用截面顺时针转逆时针转动为正号。杆端剪力以使作用截面顺时针转 动为正号。动为正号。形常数形常数：由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力载常数载常数：由荷载引起的固端力由荷载引起的固端力7.2 等截面直杆的刚度方程等截面直杆的刚度方程MABQBAMBAQABAB根据力法可求解：根据力法可求解：其中其中i=EI/l，称为杆件的，称为杆件的线刚度线刚度1.1.由杆端位移求杆端内力（形常数）由杆端位移求杆端内力（形常数）MABMBA2A2B1A1B图（图（1 1）图（图（2 2）1 1）求图）求图(1)(1)中的中的A A1 1,B B1 1(a)(b)(c)2 2）求图）求图(2)(2)中中 A2和和B23 3）叠加得到）叠加得到 变换式上式可得杆端内力的变换式上式可得杆端内力的刚度方程刚度方程（转角位移方程）（转角位移方程）：由平衡条件得杆端剪力：见图（由平衡条件得杆端剪力：见图（d)d)(d)由力法求得由力法求得由力法求得由力法求得1.1.两端固定单元，在两端固定单元，在A A端发生一个顺时针的转角端发生一个顺时针的转角 。ABMABMBA2.2.两端固定单元，在两端固定单元，在B B端发生一个顺时针的转角端发生一个顺时针的转角 。ABMABMBA4i2iM由力法求得由力法求得3.3.两端固定单元，在两端固定单元，在B B端发生一个向下的位移端发生一个向下的位移 。ABMABMBA4.4.一端固定一端铰结单元，在一端固定一端铰结单元，在A A端发生一个顺时针的转角。端发生一个顺时针的转角。ABMABMBA由力法求得由力法求得由力法求得由力法求得由力法求得由力法求得5.5.一端固定一端铰结单元，在一端固定一端铰结单元，在B B端发生一个向下的位移。端发生一个向下的位移。MABABMBA6.6.一端固定一端滑动单元，在一端固定一端滑动单元，在A A端发生一个顺时针的转角。端发生一个顺时针的转角。MABMBAAB由单位杆端位移引起的形常数由单位杆端位移引起的形常数单跨超静定梁简图单跨超静定梁简图MABMBAQAB=QBA4i2i=1ABAB1AB10AB=13i0AB=1i-i0单跨超静定梁简图单跨超静定梁简图MABMBAAB qABPAB qABl/2l/2P2.2.由荷载求杆端内力由荷载求杆端内力固端弯矩和固端剪力（载常数）固端弯矩和固端剪力（载常数）独立的独立的独立的独立的结点位移结点位移结点位移结点位移：包括角位移和线位移：包括角位移和线位移：包括角位移和线位移：包括角位移和线位移结点角位移数：结点角位移数：刚结点的数目刚结点的数目独立结点线位移数：独立结点线位移数：铰结体系的自由度铰结体系的自由度 7.3 位移法的基本未知量位移法的基本未知量一、位移法基本未知量一、位移法基本未知量一、位移法基本未知量一、位移法基本未知量结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点。结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点。杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆。杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆。为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的EA=EA=。2.2.有侧移结构有侧移结构有侧移结构有侧移结构1.1.无侧移结构基本未知量无侧移结构基本未知量无侧移结构基本未知量无侧移结构基本未知量：所有刚结点的转角所有刚结点的转角所有刚结点的转角所有刚结点的转角二、基本未知量的确定二、基本未知量的确定二、基本未知量的确定二、基本未知量的确定只有一个刚结点只有一个刚结点B B，由于忽，由于忽略轴向变形，略轴向变形，B B结点只有结点只有 只有一个刚结点只有一个刚结点B B，由于忽略轴向变形及由于忽略轴向变形及C C结点的约束形式，结点的约束形式，B B结结点有一个转角和水平位点有一个转角和水平位移移ABCABC例例1.1.例例2.2.例例3.3.有两个刚结点有两个刚结点E、F、D、C，由于，由于忽略轴向变形，忽略轴向变形，E、F、D、C 点的竖点的竖向位移为零，向位移为零，E、F 点及点及D、C 点点的水的水平位移相等，因此该结构的未知量为：平位移相等，因此该结构的未知量为：例例4.4.有两个刚结点有两个刚结点B B、C C，由于忽略轴向，由于忽略轴向变形，变形，B B、C C点的竖向位移为零，点的竖向位移为零，B B、C C点的水平位移相等，因此该结构的未点的水平位移相等，因此该结构的未知量为：知量为：结论：结论：刚架（不带斜杆的）一个结点一个转角，一层一个侧移。刚架（不带斜杆的）一个结点一个转角，一层一个侧移。有两个刚结点有两个刚结点B B、C C，由于，由于忽略轴向变形及忽略轴向变形及B B、C C点的约点的约束，束，B B、C C点的竖向、水平位点的竖向、水平位移均为零，因此该结构的未移均为零，因此该结构的未知量为：知量为：ABCD例例5.5.ABCD例例6.6.桁架杆件要考虑轴向变形。因此桁架杆件要考虑轴向变形。因此每个结点有两个线位移。该结构的未每个结点有两个线位移。该结构的未知量为：知量为：排架结构，有两个铰结点排架结构，有两个铰结点A A、B B，由于忽略轴向变形，由于忽略轴向变形，A A、B B两点的竖两点的竖向位移为零，向位移为零，A A、B B两点的水平位移两点的水平位移相等，因此该结构的未知量为：相等，因此该结构的未知量为：EA=ABCD 两跨排架结构，有四个结点两跨排架结构，有四个结点A A、B B、C C、D D，同理，同理A A与与B B点、点、D D与与C C点的水平位移相同，各结点的点的水平位移相同，各结点的竖向位移为零，但竖向位移为零，但D D结点有一转结点有一转角，因此该结构的未知量为：角，因此该结构的未知量为：例例7.7.EA=ABDCEFG例例8.8.该题的未知量为该题的未知量为 对图示有斜杆的刚架，未知量分析的方法是：对于转角对图示有斜杆的刚架，未知量分析的方法是：对于转角位移，只需数刚结点，一个刚结点一个转角位移。对于线位位移，只需数刚结点，一个刚结点一个转角位移。对于线位移，首先把所有的刚结点变成铰结点，然后再加链杆，使其移，首先把所有的刚结点变成铰结点，然后再加链杆，使其变成无多余约束的几何不变体系，加了几根链杆，就是有几变成无多余约束的几何不变体系，加了几根链杆，就是有几个线位移。个线位移。ABCDEABCDE例例9.9.结点转角的数目：结点转角的数目：7 7个个独立结点线位移的数目：独立结点线位移的数目：3 3个个123 刚架结构，有两个刚结点刚架结构，有两个刚结点D D、E E，故有两个角位移，结点线位移由铰故有两个角位移，结点线位移由铰结体系来判断，结体系来判断，W=3426=0，铰结体系几何不变，无结点线位移。铰结体系几何不变，无结点线位移。ABCDEABCD 刚架结构，有两个刚结点刚架结构，有两个刚结点C C、D D，故有两个角位移，结点线位移由铰故有两个角位移，结点线位移由铰结体系来判断，结体系来判断，W=3324=1，铰结体系几何可变，有一个线位移。铰结体系几何可变，有一个线位移。ABDCEABDCE 刚架结构，有两个刚结点刚架结构，有两个刚结点D D、E E，故有两个角位移，结点线位移由铰故有两个角位移，结点线位移由铰结体系来判断，结体系来判断，W=3426=0，铰结体系几何瞬变，有一个线位移。铰结体系几何瞬变，有一个线位移。分析方法：分析方法：该题有一个刚结点，因此有一个转角位移。水平线位移该题有一个刚结点，因此有一个转角位移。水平线位移的分析方法：假设的分析方法：假设B B结点向左有一个水平位移结点向左有一个水平位移，BCBC杆平杆平移至移至BCBC，然后它绕，然后它绕BB转至转至D D点。点。结论：结论：该题有两个未知量：该题有两个未知量：其中其中BABA杆的线位移为：杆的线位移为：BCBC杆的线位移为：杆的线位移为：例例10.10.B C A B C D注意注意：(1)(1)铰处的转角不作基本未知量。铰处的转角不作基本未知量。(2)(2)剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基本未知量。剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基本未知量。a(3)(3)结构带无限刚性梁时，即结构带无限刚性梁时，即EIEI时，若柱子平行，时，若柱子平行，则梁端结点转角为则梁端结点转角为0 0；若柱子不平行，则梁端结若柱子不平行，则梁端结 点转角可由柱顶侧移表示出来。点转角可由柱顶侧移表示出来。（4 4）对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的，）对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的，柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。A B C D E 7.47.4 位移法举例位移法举例位移法举例位移法举例杆长为：杆长为：l BABA杆杆BCBC杆杆解：解：1.1.确定未知量确定未知量未知量为未知量为:2.2.写出杆端力的表达式写出杆端力的表达式3.3.建立位移法方程建立位移法方程取取B B结点，由结点，由 ,得得:AEIB CEIq例例1:4.4.解方程，得解方程，得:5.5.把结点位移回代，得杆端弯矩把结点位移回代，得杆端弯矩6.6.画弯矩图画弯矩图ql28ql214ql228ABCM图图 4I4I5I3I3I1110.750.5i=1110.750.5ABCDEF5m4m4m4m2m20kN/m例例2.1 1、基本未知量、基本未知量B B、C C2 2、列杆端力表达式、列杆端力表达式令令EI=EI=1 1BAqlm=8420822mkN=.40BCqlm-=-=125201222CBmkNm=.7.41mkN-=.7.41CCCFMqq=25.04BBEBMqq=5.175.02CBCBMqq+=7.4142CBBCMqq-+=7.4124BBAMq+=403CCFCMqq=5.02BBBEMqq=375.04CCDMq=33 3、列位移法方程、列位移法方程0=+=CFCDCBCMMMM0=+=BEBCBABMMMM07.1210=-+CBqq07.4192=+CBqq4 4、解方程、解方程B=1.15 C=4.89=43.5=46.9=24.5=14.7=9.78=4.89MCBMCDMCF=3.4=1.7ABCDEF5m4m4m4m2m43.54046.924.562.514.79.84.93.41.7M图(kN.M)位移不是真值位移不是真值!5 5、回代、回代6 6、画、画M M图图MBAMBCMBE例例3.1.位移法未知量位移法未知量未知量：未知量：2.杆端弯矩表达式杆端弯矩表达式3.建立位移方程建立位移方程取出取出B B结点结点:LLqFP2EIEIABC求求F FQBA QBA 求求F FQBC QBC 把把F FQBCQBCF FQBAQBA代入方程代入方程中得：中得：后面的工作后面的工作就省略了。就省略了。例例4.4.1.1.未知量未知量2 2个：个：位移法方程位移法方程2.BA2.BA杆：杆端弯矩表达式：杆：杆端弯矩表达式：BCBC杆：端弯矩表达式：杆：端弯矩表达式：3.3.建立位移法方程建立位移法方程取取B B结点由结点由 :qEI2EIABCFPLL/2L/2求求FQBA,取取BABA杆杆,由由把把FQBA代入代入式式,得得:-位移法方程位移法方程取取BCBC截面由截面由 :FQBAqFQABMABMBABA小小 结结（1 1）用位移法计算两类结构（无侧移、有侧移）用位移法计算两类结构（无侧移、有侧移)思路与方法基本相同；思路与方法基本相同；（2 2）在计算有侧移刚架时，同无侧移刚架相比，）在计算有侧移刚架时，同无侧移刚架相比，在具体作法上增加了一些新内容：在具体作法上增加了一些新内容：在基本未知量中，要含结点线位移；在基本未知量中，要含结点线位移；在杆件计算中，要考虑线位移的影响；在杆件计算中，要考虑线位移的影响；在建立基本方程时，要增加与结点线位移对在建立基本方程时，要增加与结点线位移对 应的平衡方程。应的平衡方程。7.5 基本体系和典型方程法基本体系和典型方程法2.2.建立基本体系建立基本体系（1 1）在每个刚结点处添加一个附加刚臂，）在每个刚结点处添加一个附加刚臂，阻止刚结点转动阻止刚结点转动（不能阻止移动）（不能阻止移动）；（2 2）在可能发生线位移的结点，加上附加链杆，）在可能发生线位移的结点，加上附加链杆，阻止结点线位移阻止结点线位移（移动）（移动）。一、位移法基本体系一、位移法基本体系1.1.基本体系基本体系单跨超静定梁的组合体单跨超静定梁的组合体 用位移法计算超静定结构时，把每一根杆件都作为用位移法计算超静定结构时，把每一根杆件都作为单跨超静定梁看待。单跨超静定梁看待。经过以上处理，原结构就成为一个由经过以上处理，原结构就成为一个由n n个独立单跨超静定个独立单跨超静定梁组成的组合体梁组成的组合体即为位移法的基本体系。即为位移法的基本体系。例例.建立图示结构位移法的基本体系。建立图示结构位移法的基本体系。未知量未知量2 2个：个：基本体系基本体系 在有转角位移的结点处先加在有转角位移的结点处先加一刚臂，阻止转动，然后再让一刚臂，阻止转动，然后再让其发生转角。其发生转角。在有线位移的在有线位移的结点处先加一链杆，结点处先加一链杆，阻止线位移，然后阻止线位移，然后再让其发生再让其发生线位移。线位移。EIEIABCLqLq原结构原结构 二、利用基本体系建立位移法方程二、利用基本体系建立位移法方程锁住锁住将原结构转换成基本体系。把原结构将原结构转换成基本体系。把原结构“拆拆 成成”孤立的单个超静定杆件；孤立的单个超静定杆件；放松放松将基本结构还原成原结构。即强行使将基本结构还原成原结构。即强行使“锁锁 住住”的结点发生与原结构相同的转角或线的结点发生与原结构相同的转角或线 位移。位移。2.2.位移法典型方程的建立与求解位移法典型方程的建立与求解1.1.基本原理基本原理先锁、后松。先锁、后松。EIEIABCqLL 原结构原结构 EIEIABCq 基本体系基本体系3 i4 i2 i M1图图Z1 M2图图Z2qL28Z1=1Z1Z2Z2=1 MP图图=+6EIL26EIL2 在在M1 1、M2 2、MP P三个三个图中的附加刚臂和链杆图中的附加刚臂和链杆中一定有约束反力产生，中一定有约束反力产生，而三个图中的反力加起而三个图中的反力加起来应等于零。来应等于零。qL28+=k11k21F1PF2Pk12 附加刚臂和链杆上产生的反力EIEIABCq 基本体系基本体系Z1Z2k22 M2图图Z2Z2=16EIL26EIL2qL28 MP图图qL28 M1图图Z1Z1=13 i4 i2 i 位移法典型方程位移法典型方程由反力互等定理可知：由反力互等定理可知：在在M1 1、M2 2、MP P三个图中附加刚臂和链杆中产生的附三个图中附加刚臂和链杆中产生的附加力加起来应等于零，则有：加力加起来应等于零，则有：方程中的系数和自由项就是方程中的系数和自由项就是M1 1、M2 2、MP P三个图中三个图中刚臂和链杆中产生的附加反力。刚臂和链杆中产生的附加反力。求系数和自由项：取各个弯矩图中的结点或截面利用求系数和自由项：取各个弯矩图中的结点或截面利用 平衡原理求得。平衡原理求得。由由M1 1图：图：3i4ik11k11k21FQBA6i/Lk12k12k22FQBA由由M2 2图：图：由由MP P图：图：把系数和自由项代入典型方程，有：把系数和自由项代入典型方程，有：位移法方程位移法方程F1PqL28F1PF2PFQBA=0用基本体系求内力的计算步骤用基本体系求内力的计算步骤:1 1、确定未知量，画出位移法的基本体系，、确定未知量，画出位移法的基本体系，2 2、建立位移法的典型方程，、建立位移法的典型方程，3 3、画出、画出M1 1、MP P图，图，4 4、求出系数和自由项，、求出系数和自由项，5 5、代入解方程，得到结点位移，、代入解方程，得到结点位移，6 6、按下式画弯矩图：、按下式画弯矩图：如果结构有如果结构有n n个未知量，那么位移法方程为：个未知量，那么位移法方程为：其中：其中：是主系数，永远是正的。是主系数，永远是正的。是副系数，有正有负。是副系数，有正有负。由反力互等定理可知：由反力互等定理可知：物理意义是：由第物理意义是：由第j j个结点位移发生单位位移个结点位移发生单位位移 后，在第后，在第i个结点位移处产生的反力。个结点位移处产生的反力。【例例1 1】用位移法计算用位移法计算图图(a)(a)所示结构，并作内力图。已所示结构，并作内力图。已知各杆知各杆EIEI为常数。为常数。【解解】（1 1）在结点）在结点B B加一刚臂得基本结构加一刚臂得基本结构(图图(b)(b)，只有，只有 一个未知量一个未知量Z1 1。（2 2）位移法典型方程为）位移法典型方程为k11Z1+F1P=0（3 3）求系数和自由项）求系数和自由项 绘绘M1 1图图(图图(c)(c)，求得，求得 k11=3i+4i=7i 绘绘MP P图图(图图(d)(d)，求得，求得 F1P1P=5-40=-=5-40=-35kNm35kNm（4 4）求未知量）求未知量Z Z1 1 将将k1111、F1P1P之值代入典型方程，得之值代入典型方程，得7 7iZ Z1 1-35=0-35=0故故 Z Z1 1=5/=5/i（5 5）用叠加法绘最后弯矩图）用叠加法绘最后弯矩图(图图(e)(e)。（6 6）绘制剪力、轴力图。）绘制剪力、轴力图。【例例2 2】用位移法计算用位移法计算图图(a)(a)所示结构，并作弯矩图。已知所示结构，并作弯矩图。已知各杆长度均为各杆长度均为l，EIEI为常数。为常数。【解解】（1 1）基本结构如）基本结构如图图(b)(b)所示。所示。（2 2）位移法方程为）位移法方程为k1111Z1 1+F1P1P=0=0 （3 3）求系数和自由项求系数和自由项 绘绘M1 1图图(图图(c)(c)，求得，求得 k11=4i+4i+3i=11i 如如图图(d)(d)所示，结点所示，结点D D被刚臂锁住，加外力偶后不能转被刚臂锁住，加外力偶后不能转动，所以各杆均无弯曲变形，因此无弯矩图，即动，所以各杆均无弯曲变形，因此无弯矩图，即MP P=0=0。截取结点截取结点D(D(图图(d)(d)，由结点力矩平衡条件，由结点力矩平衡条件MD D=0=0，得，得F1P1P+m=0=0故故 F1P1P=-=-m若外力偶若外力偶m是逆时针方向的，则是逆时针方向的，则 F1P1P=+m 写成一般式，当结点受外力偶作用时：写成一般式，当结点受外力偶作用时：F1P1P=m 当外力偶为顺时针时当外力偶为顺时针时m取负号，为逆时针时取负号，为逆时针时m取正号。取正号。解方程，求解方程，求Z Z1 1：Z1=-F1P/k11=m/11i按叠加法绘最后弯矩图按叠加法绘最后弯矩图(图图(e)(e)：M=M1Z1+MP=M1Z1当结点上有外力偶，各杆上还有外力作用时：当结点上有外力偶，各杆上还有外力作用时：F1P=M固端固端+m式中：外力偶为顺时针时，式中：外力偶为顺时针时，m取负号；反之，取负号；反之，m取正号。取正号。【例例3 3】用位移法计算用位移法计算图图(a)(a)所示排架，并绘所示排架，并绘M图图【解解】基本结构如基本结构如图图(b)(b)所示，有一个基本未知量所示，有一个基本未知量Z Z1 1。位移法方程为位移法方程为k11Z1+F1P=0 绘绘M1 1图如图如图图(c)(c)所示所示，得得k11=3i/l2=12i/l2 绘绘MP P图如图如图图(d)(d)所示。得所示。得F1P=-3ql/4 将将k1111、F1P1P之值代入位移法方程，解得之值代入位移法方程，解得 Z1=-F1P/k11=ql3/16i 按叠加法绘最后弯矩图。按叠加法绘最后弯矩图。【例例4 4】用位移法计算用位移法计算图图(a)(a)所示刚架，并绘所示刚架，并绘M M图。图。【解解】此刚架具有两个刚结点此刚架具有两个刚结点B B和和C C，无结点线位移，无结点线位移，其基本结构如其基本结构如图图(b)(b)所示。所示。列位移法典型方程：列位移法典型方程：k11Z1+k12Z2+F1P=0k21Z1+k22Z2+F2P=0分别绘出分别绘出M M1 1图图(c)(c)、M M2 2图图(d)(d)和和M MP P图图(e)(e)。各系数和自由项分别计算如下：各系数和自由项分别计算如下：k11=4i+8i=12ik21=k12=4ik22=8i+6i+4i=18iF1P=-26.67-10=-36.67kNmF2P=26.67-30=-3.33kNm将上述所求系数和自由项代入位移法方程，解得将上述所求系数和自由项代入位移法方程，解得Z1=3.23/i Z2=-0.53/i按叠加法公式按叠加法公式M=M1Z1+M2Z2+MP绘出最后弯矩图绘出最后弯矩图如图如图(f)(f)所示。所示。【例例5 5】用位移法计算用位移法计算图图(a)(a)所示刚架，并绘所示刚架，并绘M M图图【解解】此刚架具有一个独立转角此刚架具有一个独立转角Z Z1 1和一个独立线位移和一个独立线位移Z Z2 2。基本体系如基本体系如图图(b)(b)所示。所示。根据附加刚臂和附加支杆上的反力矩和反力应等于零根据附加刚臂和附加支杆上的反力矩和反力应等于零的条件，可建立位移法方程如下：的条件，可建立位移法方程如下：k11Z1+k12Z2+F1P=0k21Z1+k22Z2+F2P=0分别绘出分别绘出M1 1图图(c)(c)、M2 2图图(d)(d)和和MP P图图(e)(e)。由由M1 1图：图：k11=3i+4i=7i由由M2 2图：图：k12=-3i/2由由MP P图图:F1P1P=0=0 求求k21可在可在M1 1图上经二柱顶引截面，根据柱端弯图上经二柱顶引截面，根据柱端弯矩计算出作用于柱顶的剪力，取其上部为隔离体矩计算出作用于柱顶的剪力，取其上部为隔离体(图图2(a)2(a)，由，由 X=0 k2121-QCDCD=0 故故k2121=QCDCD=k1212 图2为求为求k2222，可在，可在M2 2图上引截面，由隔离体图上引截面，由隔离体(图图2(b)2(b)的的平衡条件平衡条件X=0，可推出计算公式如下：，可推出计算公式如下：对于本例：对于本例：同理可求得同理可求得F2P2P，由，由MP P图：图：F2P2P=-60kN=-60kN将上述所求系数和自由项代入位移法方程，解得将上述所求系数和自由项代入位移法方程，解得 Z1=20.87/i Z2=97.39/i按叠加法公式按叠加法公式M=M1Z1+M2Z2+MP绘出最后弯矩图如绘出最后弯矩图如图图(f)(f)所示。所示。小小 结结 （1 1）确定基本未知量，取基本体系。）确定基本未知量，取基本体系。位移法的解题步骤与方法同力法相比较位移法的解题步骤与方法同力法相比较：力法力法：多余未知力；多余未知力；位移法位移法：未知角位移、线位移。未知角位移、线位移。未知量未知量力法力法静定结构；静定结构；位移法位移法单跨超静定梁的组合体。单跨超静定梁的组合体。基本体系基本体系（3 3）作）作MP P、Mi 图，求系数和自由项图，求系数和自由项力法：力法：先作出静定结构分别在载荷先作出静定结构分别在载荷F FP P、多余未知力、多余未知力 作用作用下的弯矩图下的弯矩图MP P、Mi ；然后应用图乘法求出系数和自由项：；然后应用图乘法求出系数和自由项：iP、ij、ii；（2 2）建立典型方程）建立典型方程建立方程条件建立方程条件力法力法：去掉多余约束处的位移条件去掉多余约束处的位移条件；位移法位移法：附加约束上约束反力的平衡条件。附加约束上约束反力的平衡条件。方程的性质方程的性质 力法力法：变形协调方程；变形协调方程；位移法位移法：平衡方程。平衡方程。位移法：位移法：先作出基本体系分别在载荷先作出基本体系分别在载荷FP P、单位位移（、单位位移（Z Zi=1)=1)作作用下用下所引起的弯矩图（借助于转角位移方程或图表）；然后所引起的弯矩图（借助于转角位移方程或图表）；然后利用结点或截面的平衡，求出附加刚臂中的反力矩和附加链利用结点或截面的平衡，求出附加刚臂中的反力矩和附加链杆中的反力，即位移法的系数和自由项杆中的反力，即位移法的系数和自由项：F i p、k i j、k ii。（4 4）解典型方程，求基本未知量。）解典型方程，求基本未知量。（5 5）绘制最后内力图）绘制最后内力图采用叠加法。采用叠加法。力法：力法：位移法：位移法：7.6 对称结构的计算对称结构的计算 对于对称结构用位移法求解时，可以取半边结构进行计对于对称结构用位移法求解时，可以取半边结构进行计算，所以下面先介绍算，所以下面先介绍半边结构半边结构的取法。的取法。以单跨刚架为例以单跨刚架为例，对称点对称点C的位移和内力如下：的位移和内力如下：1.1.奇数跨对称结构在对称荷载作用下奇数跨对称结构在对称荷载作用下 变形正对称，对称轴变形正对称，对称轴截面不能水平移动，也不能截面不能水平移动，也不能转动，但是可以竖向移动。转动，但是可以竖向移动。取半边结构时可以用滑动支取半边结构时可以用滑动支座代替对称轴截面。座代替对称轴截面。对称轴截面上一般有对称轴截面上一般有弯矩和轴力，但没有剪力。弯矩和轴力，但没有剪力。2.2.偶数跨对称刚架在对称荷载作用下偶数跨对称刚架在对称荷载作用下以双跨刚架为例，以双跨刚架为例，对称点对称点C的位移和内力如下：的位移和内力如下：CB 变形正对称，对称轴截面无水平位变形正对称，对称轴截面无水平位移和角位移，又因忽略竖柱的轴向变形，移和角位移，又因忽略竖柱的轴向变形，故对称轴截面也不会产生竖向线位移，可故对称轴截面也不会产生竖向线位移，可以用固定端支座代替。以用固定端支座代替。中柱无弯曲变形，故不会产生弯矩中柱无弯曲变形，故不会产生弯矩和剪力，但有轴力。对称轴截面对梁端来和剪力，但有轴力。对称轴截面对梁端来说一般存在弯矩、轴力和剪力，对柱端截说一般存在弯矩、轴力和剪力，对柱端截面来说只有轴力。面来说只有轴力。3.3.奇数跨对称刚架在反对称荷载作用下奇数跨对称刚架在反对称荷载作用下以单跨刚架为例，以单跨刚架为例，对称点对称点C的位移和内力如下：的位移和内力如下：FPFP 变形反对称，对称轴截面左半部分梁向变形反对称，对称轴截面左半部分梁向下弯曲，右半部分梁向上弯曲，由于结构是一下弯曲，右半部分梁向上弯曲，由于结构是一个整体，在对称轴截面个整体，在对称轴截面C处不会上下错开，故对处不会上下错开，故对称轴截面称轴截面C在竖直方向不会移动，但是会发生水在竖直方向不会移动，但是会发生水平移动和转动，故可用链杆支座代替。平移动和转动，故可用链杆支座代替。对称轴截面对称轴截面C上无弯矩和轴力，但一般上无弯矩和轴力，但一般有剪力。有剪力。4.4.偶数跨对称刚架在反对称荷载作用下偶数跨对称刚架在反对称荷载作用下以两跨刚架为例以两跨刚架为例：图图1 1FPFP 变形反对称，中柱在左侧荷载作变形反对称，中柱在左侧荷载作用下受压，在右侧荷载作用下受拉，二用下受压，在右侧荷载作用下受拉，二者等值反向，故者等值反向，故总轴力等于零总轴力等于零，对称轴，对称轴截面不会产生竖向位移，但是会发生水截面不会产生竖向位移，但是会发生水平移动和转动，是由中柱的弯曲变形引平移动和转动，是由中柱的弯曲变形引起的。起的。中柱由左侧荷载和右侧荷载作用中柱由左侧荷载和右侧荷载作用产生的弯曲变形的方向和作用效果相同，产生的弯曲变形的方向和作用效果相同，故中柱有弯曲变形并产生弯矩和剪力，故中柱有弯曲变形并产生弯矩和剪力，取半边结构时可取原结构对称轴竖柱抗取半边结构时可取原结构对称轴竖柱抗弯刚度的一半来计算。弯刚度的一半来计算。小小 结结 （1 1）对称结构受对称荷载作用时，变形一定对称，在对称点处）对称结构受对称荷载作用时，变形一定对称，在对称点处只有对称内力存在，反对称的内力一定为零；只有对称内力存在，反对称的内力一定为零；（2 2）对称结构受反对称荷载作用时，变形一定反对称，在对称）对称结构受反对称荷载作用时，变形一定反对称，在对称点处只有反对称内力存在，对称的内力一定为零；点处只有反对称内力存在，对称的内力一定为零；（3 3）对于对称结构，若荷载是任意的，则可把荷载变换成：对）对于对称结构，若荷载是任意的，则可把荷载变换成：对称与反对称两种情况之和；称与反对称两种情况之和；（4 4）在对称结构计算中，对取的半边结构，可选用任何适宜的）在对称结构计算中，对取的半边结构，可选用任何适宜的方法进行计算（如位移法、力法），其原则就是哪一种未知量个方法进行计算（如位移法、力法），其原则就是哪一种未知量个数少，就优先选用谁。数少，就优先选用谁。例例1.1.利用对称性计算图示结构，利用对称性计算图示结构，EIEI为常数。为常数。解：由于有两根对称轴，可以取解：由于有两根对称轴，可以取1/41/4 刚架进行计算刚架进行计算。原结构原结构1.1.未知量：未知量：2.2.杆端弯矩表达式：杆端弯矩表达式：LqqLACBD基本体系基本体系qAEFL/2L/2 3.3.建立位移法方程建立位移法方程4.4.解方程，得：解方程，得：5.5.回代，得杆端弯矩：回代，得杆端弯矩：6.6.画弯矩图画弯矩图 qL224qL224qL224qL224qL212M图图 例例2.2.利用对称性计算图示结构。利用对称性计算图示结构。所有杆长均为所有杆长均为L，EIEI也均相同。也均相同。原结构原结构 解：解：1.由于该结构的反力是静定的，由于该结构的反力是静定的，求出后用反力代替约束。求出后用反力代替约束。2.该结构有两根对称轴，因此该结构有两根对称轴，因此 把力变换成对称与反对称的。把力变换成对称与反对称的。=原结构=对称+反对称FPFPFP/2FP/2FP/2FP/2FP/4FP/4FP/4FP/4FP/2FP/2 FP/4FP/4FP/4FP/4+对称情况，只是三根柱受轴力，对称情况，只是三根柱受轴力，由于忽略向变形，不会产生弯矩，由于忽略向变形，不会产生弯矩，因此不用计算。因此不用计算。反对称情况，梁发生相对错动，反对称情况，梁发生相对错动，因此会产生弯矩，但左右两半是因此会产生弯矩，但左右两半是对称的，可取半刚架计算。对称的，可取半刚架计算。由于对称，中柱弯矩为零，因由于对称，中柱弯矩为零，因此可以不予考虑。此可以不予考虑。原结构FP/4FP/4FP/4FP/4FP/4FP/4FP/4FP/4+FP/2FP/2FP/2FP/2 反对称情况的半刚架：反对称情况的半刚架：此半刚架还是个对称结构，此半刚架还是个对称结构，荷载是反对称的，因此还继荷载是反对称的，因此还继续可取半刚架。续可取半刚架。对此进行求解对此进行求解 1.1.未知量：未知量：2.2.杆端弯矩：杆端弯矩：3.3.建立位移法方程：建立位移法方程：反对称=FP/4FP/4FP/4ABCFP/4FQAB7.6 其它各种情况的处理其它各种情况的处理一、支座移动时的计算一、支座移动时的计算例：图示结构的例：图示结构的A A支座发生了一个转角，用位移法求解。支座发生了一个转角，用位移法求解。1.1.未知量：未知量：解：解：未知量确定和计算与荷载作用时未知量确定和计算与荷载作用时相同，即把支座移动看作是一种广相同，即把支座移动看作是一种广义的荷载。义的荷载。2.2.杆端弯矩：杆端弯矩：LB A CEIEIL3.3.建立位移法方程建立位移法方程 取取BCBC截面：截面：FQBABC二、温度发生变化时的计算二、温度发生变化时的计算例例.图示结构的温度较竣工时发生了变化，用位移法求解。图示结构的温度较竣工时发生了变化，用位移法求解。未知量确定和计算与荷载作用时未知量确定和计算与荷载作用时相同，即把温度变化看作是一种广相同，即把温度变化看作是一种广义的荷载。义的荷载。1.1.未知量：未知量：解：解：2.2.杆端弯矩：杆端弯矩：BABA杆轴线处温度提高杆轴线处温度提高17.5,17.5,杆件杆件伸长：伸长：17.517.5L由温度引起的侧移：由温度引起的侧移：B B的的位位置置B A CLEIEIL200150100B BCBC杆轴线处温度提高杆轴线处温度提高15,15,杆件杆件伸长：伸长：1515L3.3.建立位移法方程建立位移法方程 LB A CEIEILB200150100三、组合结构的计算三、组合结构的计算例例.用位移法求解图示组合结构。用位移法求解图示组合结构。解解：1.1.未知量未知量 3.3.建立位移法方程建立位移法方程 2.2.杆端弯矩和轴力杆端弯矩和轴力LLLEIEIEIEAAEDCBq取取BCBC截面截面:qFQBDFQCEFNBA四、弹性支座的计算四、弹性支座的计算例例.用位移法求解图示有弹性支座的结构。用位移法求解图示有弹性支座的结构。解解：1.1.未知量未知量2.2.杆端弯矩：杆端弯矩：3.3.建立位移法方程建立位移法方程qEIEICBALL取取C C结点：结点：CFYCFQCBqFQCBFQBCMBC2.2.杆端弯矩杆端弯矩 五、带斜杆刚架的计算五、带斜杆刚架的计算例例.用位移法求解图示有斜杆的刚架。用位移法求解图示有斜杆的刚架。解解：1.1.未知量未知量 EIEIABCFPLLLFPEIEI3.3.建立位移法方程建立位移法方程其中：其中：FQBAFPMBAO六、有剪力静定杆件结构的计算六、有剪力静定杆件结构的计算例例.用位移法求解图示有无剪力杆件的刚架。用位移法求解图示有无剪力杆件的刚架。常规计算未知量是：常规计算未知量是：剪力剪力是静是静定的定的基本体系基本体系原结构原结构 一端固定一端固定一端滑动单元一端滑动单元 但请注意：但请注意：BABA杆的剪力是静定的杆的剪力是静定的,若只把若只把B B结点的转角固定起结点的转角固定起来来,它的受力与一端固定一端滑动单元相同。因此它的受力与一端固定一端滑动单元相同。因此,此题的未知量此题的未知量可只取一个可只取一个 。杆端弯矩：杆端弯矩：ABAB杆的杆端弯矩，杆的杆端弯矩，应按一端固定一端应按一端固定一端滑动单元来写。滑动单元来写。位移法方程：位移法方程：上述计算方法称为：无剪上述计算方法称为：无剪力法。只能用于上列结构，力法。只能用于上列结构，即有侧移的杆件其剪力是静即有侧移的杆件其剪力是静定的。定的。特别要提醒的是固端弯矩的计算：特别要提醒的是固端弯矩的计算：ABAB杆的固端弯矩：用杆的固端弯矩：用FP P查一端固定查一端固定一端滑动单元。一端滑动单元。ABAB杆的固端弯矩：应用杆的固端弯矩：应用2FP P查一端固查一端固定一端滑动单元。原因是：上层的力定一端滑动单元。原因是：上层的力对下面层有影响，例如对下面层有影响，例如ABAB杆的剪力是杆的剪力是FP P，BCBC杆的剪力是杆的剪力是2 2FP P。七、有刚度无穷大杆件的刚架计算七、有刚度无穷大杆件的刚架计算例例.用位移法求解图示有刚度无穷大杆件的刚架。用位移法求解图示有刚度无穷大杆件的刚架。由于由于CDCD杆的抗弯刚度为无穷大，杆的抗弯刚度为无穷大，因此因此C C、D D结点不可能发生转角，即：结点不可能发生转角，即：未知量只有：未知量只有：由于由于BABA杆只能绕杆只能绕A A点转动，因此点转动，因此BA杆的侧移为杆的侧移为 ，BCBC杆的侧移为杆的侧移为 。又由于又由于BCBC杆的刚度无穷大，不可能发杆的刚度无穷大，不可能发生弯曲变形，为了保持原先的夹角，生弯曲变形，为了保持原先的夹角，BABA杆的杆的B B端必然发生转角端必然发生转角 。EI=ABCDFPEIEI=ABCLLL杆端弯矩：杆端弯矩：位移法方程：位移法方程：FQBAFPMBAO