微分和积分与微分方程课件

微分和積分與微分方程張基昇製作張基昇製作 1 1微分和積分與微分方程張基昇製作 1目錄數值微分 l l 小等間距數據小等間距數據l l 寬間距數據寬間距數據 寬等間距數據寬等間距數據 寬不等間距數據寬不等間距數據數值積分微分方程2 2目錄數值微分 2數值微分數值微分l小等間距數據l寬等間距l寬不等間距3 3數值微分數值微分3數值微分 小等間距數據數值微分 小等間距數據4 4數值微分 小等間距數據數值微分 4數值微分 小等間距數據問：計算在 x=2.4 時的一次導數值原始範例方程式一次微分式5 5數值微分 小等間距數據問：計算在 x=2.4 時的一各階微分式一次微分式兩次微分式三次微分式四次微分式6 6各階微分式一次微分式6數據表N N0 01 12 23 34 45 5 x xn n0.00.00.20.20.40.40.60.60.80.81.01.0f fn n5.005.005.685.686.526.527.527.528.688.6810.0010.006 67 78 89 91010111112121.21.21.41.41.61.61.81.82.02.02.22.22.42.411.4811.4813.1213.1214.9214.9216.8816.8819.0019.0021.2821.2823.7223.727 7數據表N012345 xn0.00.20.40.60.81.數據表N N131314141515161617171818 x xn n2.62.62.82.83.03.03.23.23.43.43.63.6f fn n26.3226.3229.0829.0832.0032.0035.0835.0838.3238.3241.7241.7219192020212122222323242425253.83.84.04.04.24.24.44.44.64.64.84.85.05.045.2845.2849.0049.0052.8852.8856.9256.9261.1261.1265.4865.4870.0070.008 8數據表N131415161718 xn2.62.83.03.原函數直接微分之結果在 x=2.4 時，一次導數的計算結果 f(x)=4.*x+3.=4*2.4+3=12.6 9 9原函數直接微分之結果在 x=2.4 時，一次導數的計算結一階導數計算式摘列4種一階導數之數值方法計算式 l l=(26.32-23.72)/0.2=13.0 l l=(26.32-21.28)/(2*0.2)=12.6 1010一階導數計算式摘列4種一階導數之數值方法計算式 10一階導數計算式摘列4種一階導數之數值方法計算式 l l=(-29.08+4*26.32-3*23.72)/(2*0.2)=12.6 1111一階導數計算式摘列4種一階導數之數值方法計算式 11一階導數計算式摘列4種一階導數之數值方法計算式 l l=(-29.08+8*26.32-8*21.28 +19.00)/(12*0.2)=12.6 1212一階導數計算式摘列4種一階導數之數值方法計算式 12計算通式摘列摘列4 4種一階導數之數值方法計算式種一階導數之數值方法計算式 1313計算通式摘列4種一階導數之數值方法計算式 13偽碼法-計算流程宣告矩陣：dimension x(50)、f(50)，l l兩變數都以一維向量宣告兩變數都以一維向量宣告。l l矩陣位址不可使用矩陣位址不可使用 0 0，亦即在數據點亦即在數據點 n n=0=0 的的 x=0.0 x=0.0 和和 f=5.0 f=5.0 點點，在矩陣是在矩陣是放在放在 x(1)x(1)與與 f(1)f(1)的變數中的變數中。l l但在數值方法中但在數值方法中，則由則由 n=0 n=0 為起始為起始，做算式推衍與分析做算式推衍與分析。1414偽碼法-計算流程宣告矩陣：dimension x(50)偽碼法-計算流程宣告變數位元數：依需要宣告l l如整數如整數、實數實數、字元字元l l是否需要倍準制等等是否需要倍準制等等Open l l 開啟輸入與輸出指定路徑之檔案開啟輸入與輸出指定路徑之檔案1515偽碼法-計算流程宣告變數位元數：依需要宣告15偽碼法-計算流程Read 讀入數據：l lN=26N=26；數據點數據點l lNn=13Nn=13；計算點計算點l lXx=2.4Xx=2.4；計算點的值計算點的值l lx(i),f(i)x(i),f(i)，i=1,n i=1,n；以迴圈讀入數據以迴圈讀入數據l l選擇計算點選擇計算點XxXx，確定確定 i=Nn i=Nn 值值1616偽碼法-計算流程Read 讀入數據：16偽碼法-計算流程選擇計算式；依計算準確度選擇l lFd1i=(f(i+1)-f(i)/hFd1i=(f(i+1)-f(i)/hl lFd1i=(f(i+1)-f(i-1)/(2*h)Fd1i=(f(i+1)-f(i-1)/(2*h)l lFd1i=(-f(i+2)+4.*f(i+1)3.*f(i)Fd1i=(-f(i+2)+4.*f(i+1)3.*f(i)/(2.*h)/(2.*h)；l lFd1i=(-f(i+2)+8.*f(i+1)8.*f(i-1)Fd1i=(-f(i+2)+8.*f(i+1)8.*f(i-1)+f(i-2)/(12.*h)+f(i-2)/(12.*h)Write 輸出計算結果1717偽碼法-計算流程選擇計算式；依計算準確度選擇17數值微分 寬間距數據數值微分 l寬等間距數據l寬不等間距數據1818數值微分 寬間距數據數值微分 18數值微分 寬間距數據問：計算在 x=2.4 時的一次導數值數據之原始範例方程式一次微分式1919數值微分 寬間距數據問：計算在 x=2.4 時的一次泰勒級數展開The Taylor-Series Expansion 2020泰勒級數展開The Taylor-Series Expans泰勒級數展開The Taylor-Series Expansion 2121泰勒級數展開The Taylor-Series Expans數值微分 寬間距數據n nx xn n f fn nn nx xn n f fn n0 00 05 5；f f(1,1)(1,1)0 00 05 5；f f(1,1)(1,1)1 11 11010；f f(2,1)(2,1)1 12 21919；f f(2,1)(2,1)2 22 21919；f f(3,1)(3,1)2 23 332 32；f f(3,1)(3,1)3 33 33232；f f(4,1)(4,1)3 34 44949；f f(4,1)(4,1)4 44 44949；f f(5,1)(5,1)4 45 57070；f f(5,1)(5,1)5 55 57070；f f(6,1)(6,1)5 56 69595；f f(6,1)(6,1)2222數值微分 寬間距數據nxn fnnxn fn005；f(以多項式取代原函數有一個非線性函數可表示成 n 階的多項式表示2323以多項式取代原函數有一個非線性函數可表示成 n 階的多項式表分離差分法級數展開式利用泰勒級數展開的觀念，但採用分離差分法處裡，其表示式為 2424分離差分法級數展開式利用泰勒級數展開的觀念，但採用分離差分法各階差分式一、二、三階的差分項之表示式2525各階差分式一、二、三階的差分項之表示式25差分數據表n nx xn nf fn n f fn n11 f fn n22f fn n33f fn n44f fn n550 00 05 5-1 11 11010-2 22 21919-3 33 33232-4 44 44949-5 55 57070-2626差分數據表nxnfn fn1 fn2fn3fn等間距數據n nx xn nf fn n f fn n11 f fn n223 34 45 50 00 05 5(10-5)/(1-0)=5(10-5)/(1-0)=5(9-5)/(2-0)=2(9-5)/(2-0)=20 00 00 01 11 11010(19-10)/(2-1)=9(19-10)/(2-1)=9(13-9)/(3-1)=2(13-9)/(3-1)=20 00 0-2 22 21919(32-19)/(3-2)=13(32-19)/(3-2)=13(17-13)/(4-2)=2(17-13)/(4-2)=20 0-3 33 33232(49-32)/(4-3)=17(49-32)/(4-3)=17(21-17)/(5-3)=2(21-17)/(5-3)=2-4 44 44949(70-19)/(5-4)=21(70-19)/(5-4)=21-5 55 57070-2727等間距數據nxnfn fn1 fn2345005(1不等間距數據n nx xn nf fn n f fn n11 f fn n223 34 45 50 00 05 5(19-5)/(2-0)=7(19-5)/(2-0)=7(13-7)/(3-0)=2(13-7)/(3-0)=20 00 00 01 12 21919(32-19)/(3-2)=13(32-19)/(3-2)=13(17-13)/(4-2)=2(17-13)/(4-2)=20 00 0-2 23 33232(49-32)/(4-3)=17(49-32)/(4-3)=17(21-17)/(5-3)=2(21-17)/(5-3)=20 0-3 34 44949(70-19)/(5-4)=21(70-19)/(5-4)=21(25-21)/(6-4)=2(25-21)/(6-4)=2-4 45 57070(95-70)/(6-5)=25(95-70)/(6-5)=25-5 56 69595-2828不等間距數據nxnfn fn1 fn2345005(高階差分式各多項式為多階函數，為差分項相乘之之運算，所以高階項微分之結果為 2929高階差分式各多項式為多階函數，為差分項相乘之之運算，29一次導數計算通式計算一次導數之使用通式一計算一次導數之使用通式二 3030一次導數計算通式計算一次導數之使用通式一30一次導數計算通式計算使用式三，應用於本範例的計算 3131一次導數計算通式31偽碼法-計算流程宣告矩陣：dimension x(10)、f(10,10)，l l以二維矩陣宣告之範例以二維矩陣宣告之範例。l l矩陣位址不可使用矩陣位址不可使用0 0，亦即數據點亦即數據點 n=0 n=0 的的 x=0.0 x=0.0 和和 f=5.0 f=5.0 點點，在矩陣是放在在矩陣是放在 x(1)x(1)與與 f(1,1)f(1,1)的變數中的變數中。宣告變數：依需要宣告Open 宣告輸入與輸出檔案之路徑3232偽碼法-計算流程宣告矩陣：dimension x(10)偽碼法-計算流程Read 讀入數據：l lN=6N=6；數據點數據點l lNnNn；起算點起算點l lXxXx；計算點計算點l lx(i),f(i,1)x(i),f(i,1)；i=1,n i=1,n；其餘需要之 f(i,2)、f(i,3)、f(i,6)等，於插分表建立時宣告數值3333偽碼法-計算流程Read 讀入數據：33偽碼法-計算流程建立插分表Do Do 迴圈建立差分表l lf(i,j)=0.0f(i,j)=0.0；i=1,ni=1,n；j=2,nj=2,nl lf(i,2)=f(i+1,1)-f(i,1)/x(i+1)-x(i)f(i,2)=f(i+1,1)-f(i,1)/x(i+1)-x(i)；i=1,n-1i=1,n-1l lf(i,3)=f(i+1,2)-f(i,2)/x(i+2)-x(i)f(i,3)=f(i+1,2)-f(i,2)/x(i+2)-x(i)；i=1,n-2i=1,n-23434偽碼法-計算流程建立插分表34偽碼法-計算流程建立插分表Do Do 迴圈建立差分表l lf(i,4)=f(i+1,3)-f(i,3)/x(i+3)-x(i)f(i,4)=f(i+1,3)-f(i,3)/x(i+3)-x(i)；i=1,n-3i=1,n-3l lf(i,5)=f(i+1,4)-f(i,4)/x(i+4)-x(i)f(i,5)=f(i+1,4)-f(i,4)/x(i+4)-x(i)；i=1,n-4i=1,n-4l lf(i,6)=f(i+1,5)-f(i,5)/x(i+5)-x(i)f(i,6)=f(i+1,5)-f(i,5)/x(i+5)-x(i)；i=1,n-5i=1,n-53535偽碼法-計算流程建立插分表35偽碼法-計算流程Set Set 選擇計算之起算點選擇計算之起算點 Nn NnSet Set 選擇計算點選擇計算點 Xx XxDo Do 迴圈計算迴圈計算 i=Nn i=NnFd1i =f(i,2)+f(i,3)*(Xx-x(i+1)+(Xx-x(i)Fd1i =f(i,2)+f(i,3)*(Xx-x(i+1)+(Xx-x(i)+f(i,4)*(Xx-x(i+1)*(Xx-x(i+2)+f(i,4)*(Xx-x(i+1)*(Xx-x(i+2)+(Xx-x(i)*(Xx-x(i+2)+(Xx-x(i)+(Xx-x(i)*(Xx-x(i+2)+(Xx-x(i)*(Xx-x(i+1)+*(Xx-x(i+1)+Write Write 輸出計算結果輸出計算結果3636偽碼法-計算流程Set 選擇計算之起算點 Nn36數值積分問題積分3737數值積分問題積分37數值積分問題數據表l l以如下方程式建立之數據表提供數據以如下方程式建立之數據表提供數據請計算在 x=0.0 至 x=5.0 的積分結果為何？3838數值積分問題數據表38分析解積分法原始函數之積分結果為 145.8333939分析解積分法原始函數之積分結果為 145.83339數據表N N0 01 12 23 34 45 5 x xi i0.00.00.20.20.40.40.60.60.80.81.01.0f f5.005.005.685.686.526.527.527.528.688.6810.0010.006 67 78 89 91010111112121.21.21.41.41.61.61.81.82.02.02.22.22.42.411.4811.4813.1213.1214.9214.9216.8816.8819.0019.0021.2821.2823.7223.724040數據表N012345 xi0.00.20.40.60.81.數據表N N131314141515161617171818 x xi i2.62.62.82.83.03.03.23.23.43.43.63.6f f26.3226.3229.0829.0832.0032.0035.0835.0838.3238.3241.7241.7219192020212122222323242425253.83.84.04.04.24.24.44.44.64.64.84.85.05.045.2845.2849.0049.0052.8852.8856.9256.9261.1261.1265.4865.4870.0070.004141數據表N131415161718 xi2.62.83.03.函數積分結果與作圖積分結果即是曲線與 f(x)=0 軸線間在積分之 x 值區間所涵蓋的面積4242函數積分結果與作圖積分結果即是曲線與 f(x)=0 軸線數值積分計算式數據點數為 2、3、4 的倍數使用式4343數值積分計算式數據點數為 2、3、4 的倍數使用式43三種積分法區域示意圖積分時積分時，各各點函數之比點函數之比重在算式中重在算式中呈現呈現圖中未正確圖中未正確呈現函數點呈現函數點貢獻比重貢獻比重l l(11)*1/2(11)*1/2l l(141)*2/6(141)*2/6l l(1331)*3/8(1331)*3/84444三種積分法區域示意圖積分時，各點函數之比重在算式中呈現44數值積分計算式數據點數有 26，可採用梯形法。4545數值積分計算式數據點數有 26，可採用梯形法。45數值積分計算式數據點數有2+24，可採用 1 次梯形法與 12 次辛普森1/3法4646數值積分計算式數據點數有2+24，可採用 1 次梯形法與數值積分計算式數據點數有 24+2，可採用 12 次辛普森 1/3 法與 1 次梯形法。4747數值積分計算式數據點數有 24+2，可採用 12 次辛普數值積分計算式數據點數有 2+24，可採用 1 次梯形法與 8 次辛普森 3/8 法。4848數值積分計算式數據點數有 2+24，可採用 1 次梯形法微分方程微分方程4949微分方程微分方程49微分方程 範例一一個一階微分方程如下，以步幅 h=0.1，求取 y 的函數值 原函數 5050微分方程 範例一一個一階微分方程如下，以步幅 h=0.1解析之計算式The Taylor-Series Expansion 5151解析之計算式The Taylor-Series Expans解析之計算式The Taylor-Series Method 5252解析之計算式The Taylor-Series Method範例一計算結果 y=4*x+3 y=4*x+3n n x xn n y yn n y yn n h*y h*yn n1 10.00.05.005.003.03.00.3000.3002 20.10.15.305.303.43.40.3400.3403 30.20.25.645.643.83.80.3800.3804 40.30.36.026.024.24.20.4200.4205 50.40.46.446.445353範例一計算結果 y=4*x+3n xn yn yn h*微分方程 範例二一個一階微分方程如下，以間距 h=0.1，求取 x=0.4 時的 y 值 5454微分方程 範例二一個一階微分方程如下，以間距 h=0.1範例二計算結果 y=-2*x-y y=-2*x-yn n x xn n y yn n y yn n h*y h*yn n1 10.00.0-1-1.0000.00001.00001.00000.100000.100002 20.10.1-0.9000-0.90000.70000.70000.070000.070003 30.20.2-0.8300-0.83000.43000.43000.043000.043004 40.30.3-0.7870-0.78700.18700.18700.018700.018705 50.40.4-0.7683-0.7683-0.0317-0.03175555範例二計算結果 y=-2*x-yn xn y解析之計算式Euler and Modified Euler Methods 5656解析之計算式Euler and Modified Euler解析之計算式Runge-Kutta Methods 5757解析之計算式Runge-Kutta Methods 57您可已曉得！劇情如何發展！敬請期待！5858您可已曉得！58