第五章-函数与基数课件

第五章第五章 函数与基数函数与基数5.1 函数基本概念函数基本概念5.2 函数类型函数类型5.3 函数运算函数运算5.4 基基 数数7/16/202415.1 函数基本概念函数基本概念 函数也常称为映射或变换，其定义如下：函数也常称为映射或变换，其定义如下：定定义义5.1.1 设设A和和B是是任任意意两两个个集集合合，且且f是是从从A到到B的的关关系系，若若对对每每一一个个x A，都都存存在在唯唯一一的的y B，使使x,y f，则则称称f为为从从A到到B的的函函数数，并并记记作作f:AB。A称称为为函函数数f的的定定义义域域，即即D(f)=A，B称称为为函函数数f的的陪陪域域，R(f)称称为为函函数数f的的值值域域，且且R(f)B。有有时时也也用用f(A)表表示示函函数数f的值域，即的值域，即7/16/20242f(A)=R(f)=y|y B(x)(x Ay=f(x)并称并称f(A)为函数为函数f的像。的像。对于对于f:AB来说，若来说，若x,y f，则称，则称x为为函数的自变元，称函数的自变元，称y为函数因变元，因为为函数因变元，因为y值依值依赖于赖于x所取的值，或称所取的值，或称y是是f在在x处的值，或称处的值，或称y为为f下下x的像。通常把的像。通常把x,y f记作记作f(x)=y。7/16/20243 从本定义可以看出，从从本定义可以看出，从A到到B的函数的函数f和一和一般从般从A到到B的二元关系之不同有以下两点：的二元关系之不同有以下两点：A的的每一每一元素都必须是元素都必须是f的有序对的第一的有序对的第一分量。分量。若若f(x)=y，则函数，则函数F在在x处的值是唯一的，处的值是唯一的，即即f(x)=yf(x)=zy=z7/16/20244 定定义义5.1.2 设设f:AB，g:CD，若若A=C，B=D，且且对对每每一一x A都都有有f(x)=g(x)，则则称称函函数数f和和g相等，记为相等，记为f=g。本本定定义义表表明明了了，两两函函数数相相等等，它它们们必必须须有有相同的定义域、陪域和有序对集合。相同的定义域、陪域和有序对集合。7/16/20245 下下面面讨讨论论由由集集合合A和和B，构构成成这这样样函函数数f:AB会会有有多多少少呢呢？或或者者说说，在在A B的的所所有有子子集集中中，是是全全部部还还是是部部分分子子集集可可以以定定义义函函数数？令令BA表表示示这这些些函函数数的的集集合合(称称为为由由集集合合A到到集集合合B的超幂的超幂)，即，即 BA=f|f:AB 设设|A|=m，|B|=n，则则|BA|=nm。(这这里里|A|表表示示集集合合A的的基基数数,或或者者叫叫势势)这这是是因因为为对对每每个个自自变变元元，它它的的函函数数值值都都有有n种种取取法法，故故总总共共有有nm种种从从A到到B的函数。的函数。7/16/202465.2 函数类型函数类型 根根据据函函数数具具有有的的不不同同性性质质，可可以以将将函函数数分分成成不不同同的的类类型型。本本节节将将定定义义这这些些函函数数，并并给给出出相应的术语。相应的术语。7/16/20247 定义定义5.2.1 设设f:AB是函数，若是函数，若R(f)=B，即对任意即对任意b B，存在，存在a A，使得，使得f(a)=b，或形，或形式表为：式表为：(y)(y B(x)(x Af(x)=y)则称则称f:AB是满射函数，或称函数是满射函数，或称函数f:AB是满是满射的。射的。本定义表明了，在函数本定义表明了，在函数f的作用下，的作用下，B中每中每个元素个元素b，都至少是，都至少是A中某元素中某元素a的像，因此，的像，因此，若若A和和B是有限集合，存在满射函数是有限集合，存在满射函数f:AB，则，则|A|B|。7/16/20248 定义定义5.2.2 设设f:AB是函数，对任意的是函数，对任意的a，b A，且且a b，都有，都有f(a)f(b)，或形式表为，或形式表为(x)(y)(x,y Ax yf(x)f(y)则称则称f:AB是单射函数，或称函数是单射函数，或称函数f:AB是单是单射的。射的。本定义揭示了，本定义揭示了，A中不同的元素，其在中不同的元素，其在B中中像也是不同的。于是，若像也是不同的。于是，若A的的B是有限集合，存是有限集合，存在单射函数在单射函数f:AB，则，则|A|B|。7/16/20249 定义定义5.2.3 设设f:AB是函数，若是函数，若f既是满射既是满射又是单射，则称又是单射，则称f:AB是双射函数（或一一对是双射函数（或一一对应），或称函数应），或称函数f:AB是双射的。是双射的。该定义说明了，该定义说明了，B中的每个元素中的每个元素b是且仅是是且仅是A中某个元素中某个元素a的像。因此，若的像。因此，若A和和B是有限集合，是有限集合，存在双射函数存在双射函数f:AB，则，则|A|=|B|。7/16/2024107/16/202411 定定义义5.2.4 设设f:AB是是函函数数，若若存存在在b B，使使对对任任意意a A有有f(a)=b，即即f(A)=b，则则称称f:AB为常值函数。为常值函数。7/16/202412 定义定义5.2.5 设设f:AA是函数，若对任意是函数，若对任意a A，有有f(a)=a，亦即，亦即f=a,a|x A 则称则称f:AA为为A上恒等函数，通常记为上恒等函数，通常记为IA，因，因为恒等关系即是恒等函数。为恒等关系即是恒等函数。由定义可知，由定义可知，A上恒等函数上恒等函数IA是双射函数。是双射函数。7/16/202413 定定义义5.2.6 设设A和和B为为集集合合，且且A B，若若函函数数fA:B 0,1为为 1 x A fA(x)=0 否则否则 则称则称fA为集合为集合A的特征函数。的特征函数。特特征征函函数数建建立立了了函函数数与与集集合合的的一一一一对对应应关关系系。于于是是，可可通通过过特特征征函函数数的的计计算算来来研研究究集集合合上的命题。上的命题。7/16/202414 定定义义5.2.7 设设A,和和B,为为全全序序集集，函函数数f:AB。对于任意。对于任意a,b A.若若ab，有有f(a)f(b)，则则称称f为为单单调调递递增增函函数。数。若若ab，有有f(a)f(b)，则则称称f为为单单调调递递减减函函数。数。7/16/202415 若若ab，且且a b，有，有f(a)f(b)，则称，则称f为为严格单调递增函数。严格单调递增函数。若若ab，且且a b，有有f(a)f(b)，则称，则称f为为严格单调递减函数。严格单调递减函数。显然，严格单调递增函数是单调递增函数，显然，严格单调递增函数是单调递增函数，严格单调递减函数是单调递减函数。严格单调递减函数是单调递减函数。7/16/2024165.3 函数运算函数运算 函函数数是是一一种种特特殊殊关关系系，对对关关系系可可以以进进行行运运算算，自自然然对对函函数数也也需需要要讨讨论论运运算算问问题题，即即如如何何由已知函数得到新的函数。由已知函数得到新的函数。7/16/2024171函数复合函数复合 利用两个具有一定性质的已知函数通过复合利用两个具有一定性质的已知函数通过复合运算可以得到新的函数。运算可以得到新的函数。定理定理5.3.1 设设f:AB和和g:BC是函数，通是函数，通过复合运算过复合运算 ，可以得到新的从，可以得到新的从A到到C的函数，的函数，记为记为g f，即对任意，即对任意a A，有，有(g f)(x)=g(f(x)。7/16/202418 注注意意，函函数数是是一一种种关关系系，今今用用“”表表示示函函数数复复合合运运算算，记记为为g f，这这是是“左左复复合合”，它它与与关关系系的的“右右复复合合”f*g次次序序正正好好相相反反，即即有有g f=f*g。7/16/202419推论推论1 若若f,g,h都是函数，则都是函数，则(f g)h=f (g h)。本推论表明，函数复合运算是可结合的。本推论表明，函数复合运算是可结合的。若若对对于于集集合合A，f:AA，则则函函数数f能能同同自自身身复合成任意次。复合成任意次。f的的n次复合定义为：次复合定义为：f 0(x)=x f n+1(x)=f(fn(x)，n N。7/16/202420定理定理5.3.2 设设f:AB，g:BC 若若f:AB，g:BC都是满射，则都是满射，则g f:AC也是满射。也是满射。若若f:AB，g:BC都是单射，则都是单射，则g f:AC也是单射。也是单射。若若f:AB，g:BC都是双射，则都是双射，则g f:AC也是双射。也是双射。7/16/202421定理定理5.3.3 若若f:AB是函数，则是函数，则f=f IA=IB f 本本定定理理揭揭示示了了，恒恒等等函函数数在在复复合合函函数数运运算算中中的的特特殊殊性性质质，特特别别地地，对对于于f:AA，有有f IA=IA f=f。7/16/2024222函数逆运算函数逆运算 给给定定关关系系R，其其逆逆关关系系是是存存在在，但但对对已已知知一一函函数数,它它作作为为关关系系其其逆逆是是存存在在,但但未未必必是是函函数数.例例如如,A=a,b,c,B=1,2,3,f=a,1,b,1,c,3是是函函数数,而而f-1=1,a,1,b,3,c却却不不是是从从B到到A的的函函数数。但但若若f:AB是是双双射射，则则f-1便便是是从从B到到A的函数。的函数。定定理理5.3.4 若若f:AB是是双双射射，则则f-1:BA也也是双射。是双射。7/16/202423 定定 义义 5.3.1 设设 f:AB是是 双双 射射 函函 数数,称称 f-1:BA是是f的的逆逆函函数数,习习惯惯上上常常称称f-1为为f的的反反函数。函数。定理定理5.3.5 设设f:AB是双射函数是双射函数,则则 f-1 f=IA，f f-1=IB 定理定理5.3.6 若若f:AB是双射是双射,则则(f-1)-1=f。7/16/2024245.4 基基 数数1基数定义基数定义 首首 先先 选选 取取 一一 个个“标标 准准 集集 合合”Nn=0,1,2,n-1，再再用用双双射射函函数数为为工工具具，给出集合基数的定义如下：给出集合基数的定义如下：7/16/202425 定义定义5.4.1 设设A是集合，若是集合，若f:NnA为双射为双射函数，则称集合函数，则称集合A是有限集，是有限集，A的基数是的基数是n，记，记为为|A|=n，或或card A=n。若集合。若集合A不是有限的，不是有限的，则称则称A是无限集。是无限集。本定义表明了，对于有限集合本定义表明了，对于有限集合A，可以用，可以用“数数”数的方式来确定集合数的方式来确定集合A的基数。的基数。定理定理5.4.1 自然数集合自然数集合N是无限集。是无限集。为为了了确确定定某某些些无无穷穷集集合合的的基基数数，选选取取第第二二个个“标准集合标准集合”N来度量这些集合。来度量这些集合。7/16/202426 定定义义5.4.2 设设A是是集集合合，若若f:NA为为双双射射函数，则称函数，则称A的基数是的基数是0，记为，记为|A|=0。显显然然，存存在在从从N到到N的的双双射射函函数数，故故|N|=0，0读读作作“阿阿列列夫夫零零”。符符号号0是是康康托托引引入入的的。0是是一一个个无无法法确确定定的的数数,是是一一个个抽抽象的描述。象的描述。7/16/202427 定义定义5.4.3 设设A是集合，是集合，若若|A|=0，则称，则称A是可数无限集；是可数无限集；若若A是无限的且不可数的，则称是无限的且不可数的，则称A是不可数是不可数集或不可数无限集。集或不可数无限集。7/16/202428 在上述基数定义中，是使用两个在上述基数定义中，是使用两个“标准集标准集合合”Nn和和N以及双射函数（或一一对应），引入以及双射函数（或一一对应），引入了集合基数的概念。这种方式可以把基数简单地了集合基数的概念。这种方式可以把基数简单地看作对集合指派一个符号，指派原则是：与看作对集合指派一个符号，指派原则是：与Nn构成双射或一一对应的集合，指派它的基数是构成双射或一一对应的集合，指派它的基数是n，与与N构成双射或一一对应的集合，指派它的基构成双射或一一对应的集合，指派它的基数为数为0。指派空集的基数为。指派空集的基数为0。7/16/2024292基数比较基数比较基数概念是有限集合元素个数的推广。基数概念是有限集合元素个数的推广。可数可数(无限无限)集的基数都等于集的基数都等于0。那么那么,无限集的基数无限集的基数都一样都一样吗吗?有没有有没有最大的基数最大的基数呢？呢？7/16/202430 在在集集合合基基数数的的基基础础上上，可可以以建建立立相相等等关关系系和和次次序序关关系系，进进行行基基数数比比较较和和基基数数运运算算，这这里里仅仅讨讨论前者。论前者。定义定义5.4.4 设设A和和B为任意集合为任意集合(包括无限集包括无限集)若有一个从若有一个从A到到B的双射函数，则称的双射函数，则称A和和B有相同基数（或称有相同基数（或称A与与B是等势），记为是等势），记为|A|=|B|（或或A B）。）。7/16/202431 若有一个从若有一个从A到到B的单射函数，则称的单射函数，则称A的的基数小于等于基数小于等于B的基数，记为的基数，记为|A|B|。若有一个从若有一个从A到到B的单射函数，但不存的单射函数，但不存在双射函数，则称在双射函数，则称A的基数小于的基数小于B的基数，记的基数，记为为|A|B|。7/16/202432 由于在复合运算下，双射函数是封闭的，双由于在复合运算下，双射函数是封闭的，双射函数的逆函数（即常说反函数）是双射函数，射函数的逆函数（即常说反函数）是双射函数，因此等势关系有以下性质：因此等势关系有以下性质：定理定理5.4.3 等势是任何集合族上的等价关系。等势是任何集合族上的等价关系。7/16/202433 从上面定义及定理可知：从上面定义及定理可知：等等势势是是集集合合族族上上的的等等价价关关系系，它它把把集集合合族族划划分分成成等等价价类类，在在同同一一等等价价类类中中的的集集合合具具有有相相同同的的基基数数。因因此此可可以以说说：基基数数是是在在等等势势关关系系下下集集合合的的等等价价类类的的特特征征。或或者者说说：基基数数是是在在等等势势关关系系下下集集合合的的等等价价类类的的名名称称。这这实实际际上上就就是是基基 数数 的的 一一 种种 定定 义义。例例 如如，3是是 等等 价价 类类a,b,c,p,q,r,1,2,3的的名名称称（或或特特征征）。0是自然数集合是自然数集合N所属等价类的名称。所属等价类的名称。7/16/202434 要证明一个集合要证明一个集合A有基数有基数，只需选取基，只需选取基数为数为 的任意集合的任意集合B，证明从，证明从A到到B或从或从B到到A存在存在一个双射函数。选取集合一个双射函数。选取集合B的原则是使证明尽可的原则是使证明尽可能容易。能容易。下下面面将将不不加加证证明明地地引引入入两两个个定定理理。第第一一个个定定理称为三分律。第二定理表明：理称为三分律。第二定理表明：是反对称的。是反对称的。7/16/202435 定定理理5.4.4 （Zermelo）设设A和和B是是任任意意两两个集合，则下述情况恰有一个成立：个集合，则下述情况恰有一个成立：|A|B|B|A|A|=|B|7/16/202436 定理定理5.4.5（Cantor-Schroder-Bernstein）设设A和和B是任意两个集合，若是任意两个集合，若|A|B|和和|B|A|，则，则|A|=|B|。本定理对证明两集合具有相同基数提供了有本定理对证明两集合具有相同基数提供了有效的方法。若能够构造一单射函数效的方法。若能够构造一单射函数f:AB，则有，则有|A|B|；又能构造另一个单射函数；又能构造另一个单射函数g:BC，以，以证明证明|B|A|。于是根据本定理即可得出。于是根据本定理即可得出|A|=|B|。特别要注意，特别要注意，f和和g不必是满射。因为通常构造这不必是满射。因为通常构造这样两个单射函数比构造一个双射函数要容易许多。样两个单射函数比构造一个双射函数要容易许多。7/16/202437对于有限集，我们有：对于有限集，我们有：定理定理5.4.6 设设A是有限集合，则是有限集合，则|A|0。对于无限集呢？对于无限集呢？我们有必要对无限集有所了解我们有必要对无限集有所了解7/16/202438l 有限集与无限集虽然是数量上的差别，但是由有限集与无限集虽然是数量上的差别，但是由“量变量变”而引起了而引起了“质质”的变化，无限集有着的变化，无限集有着很多有限集所没有的一些特性，而有限集的一很多有限集所没有的一些特性，而有限集的一些特性也不能任意推广到无限集中去，即使有些特性也不能任意推广到无限集中去，即使有的能推广也要做某些意义上的修改。的能推广也要做某些意义上的修改。l下面我们先讨论无限集的一些特性下面我们先讨论无限集的一些特性7/16/202439 定理定理5.4.7 无限集必含有与其等势的真子集。无限集必含有与其等势的真子集。例如：自然数集例如：自然数集N=0,1,2,3,与其真子集与其真子集S=1,3,5,7,均为无限集，且均为无限集，且N S。这是因为。这是因为它们之间存在双射（一一对应）：它们之间存在双射（一一对应）：N:0 1 2 3 4 S:1 3 5 7 9 这种一一对应关系可以写成这种一一对应关系可以写成s=2n+1,其中其中n N,s S7/16/202440 无限集的这个特征可以作为区别无限集与有无限集的这个特征可以作为区别无限集与有限集的一个标志。即有限集的一个标志。即有 推论推论 一个集合为无限集的充分必要条件是它一个集合为无限集的充分必要条件是它必含有与其等势的真子集。必含有与其等势的真子集。有了这个推论后，我们可以重新定义有限集有了这个推论后，我们可以重新定义有限集与无限集与无限集 定义定义 一集合若存在与其等势的真子集则称其一集合若存在与其等势的真子集则称其为无限集，否则称为有限集。为无限集，否则称为有限集。7/16/202441 下面我们对无限集作进一步的探讨，我们讨下面我们对无限集作进一步的探讨，我们讨论一种特殊类型的也是最常见的无限集论一种特殊类型的也是最常见的无限集可数可数(无限无限)集的性质。集的性质。7/16/202442定理定理5.4.8 每个无限集必包含一可数无限子集。每个无限集必包含一可数无限子集。定定理理5.4.9 可可数数无无限限集集的的无无限限子子集集仍仍为为一一可可数数无无限限集。集。由此可知，可数无限集是无限集中的最小集合。由此可知，可数无限集是无限集中的最小集合。从而有从而有定理定理5.4.10 0是最小无限集合的基数。是最小无限集合的基数。7/16/202443下面给出一可数无限集的结论下面给出一可数无限集的结论定理定理5.4.11 整数集整数集Z是可数无限集。是可数无限集。定理定理5.4.12 有理数集有理数集Q是可数无限集。是可数无限集。下下面面的的一一个个问问题题是是：是是否否所所有有的的无无限限集集都都是是一一样样大大小小，即即，是是否否所所有有无无限限集集的的基基数数均均为为0？7/16/202444定理定理5.4.13 实数集实数集R是不可数无限集。是不可数无限集。由由此此，我我们们可可知知，实实数数集集比比可可数数无无限限集集要要“大大”，它它的的基基数数不不是是0，我我们们用用表表示示，或或用用c c表示，称作连续统的势。表示，称作连续统的势。但但是是，在在无无限限集集中中除除了了0与与以以外外是是否否还还有有其其它它更更大大基基数数的的集集合合存存在在呢呢？德德国国数数学学家家康康托尔给出了下面的定理托尔给出了下面的定理7/16/202445 下面定理表明了，没有最大基数和没有最大基下面定理表明了，没有最大基数和没有最大基数的集合。数的集合。定理定理5.4.14（Cantor）设设A是任意集合，则是任意集合，则|A|P(A)|。应应用用本本定定理理，可可以以构构造造一一个个可可数数无无限限的的无无限限基基数数的的集集合合，其其中中每每一一个个基基数数都都大大于于它它前前边边的的一一个个的的基数基数|N|P(N)|P(P(N)|。或或 0 20 22 所以不存在最大的基数。所以不存在最大的基数。07/16/202446 康康托托尔尔还还认认为为，0与与之之间间没没有有其其他他基基数数存存在在，也也就就是是说说是是0后后第第一一个个比比0大大的的基基数数，这就是有名的连续统假设。这就是有名的连续统假设。一一百百多多年年来来，连连续续统统假假设设经经受受了了所所有有要要澄澄清清它它的的企企图图，根根据据哥哥德德尔尔1939年年的的研研究究和和柯柯亨亨1963年年的的研研究究结结果果表表明明，连连续续统统假假设设是是与与集集合合论论的的基基本本公公理理是是无无关关的的；在在1947年年哥哥德德尔尔的的“什什么么是是康康托托尔尔的的连连续续统统问问题题？”一一文文中中，似似乎乎倾倾向向于于否否定定连连续续统统假假设设，但但这这一一假假设设是是否否正正确确至至今今尚未得到解决。尚未得到解决。7/16/202447