第二章薛定谔方程课件

第二章第二章 薛定谔方程（薛定谔方程（4学时）学时）(Schrdinger Equation)2.1 薛定谔得出的波动方程薛定谔得出的波动方程2.2 无限深方势阱中的粒子无限深方势阱中的粒子2.3 势垒穿透势垒穿透2.4 谐振子谐振子 一、波函数一、波函数2.1 薛定谔得出的波动方程薛定谔得出的波动方程 (Wave equation of Schrdinger)由于波函数由于波函数 的概率解释，的概率解释，可以相差一个任意可以相差一个任意常数因子常数因子A，即即 和和 A 代表相同的状态。代表相同的状态。这一点与经这一点与经典力学有本质区别。典力学有本质区别。微观粒子具有波粒二象性微观粒子具有波粒二象性,它的状态用波函数它的状态用波函数 描述描述。波和粒子性的关系为波和粒子性的关系为：波的强度正比于粒子到达波的强度正比于粒子到达的概率的概率,t 时刻在空间时刻在空间(x,y,z)点附近的体积元点附近的体积元 dV 内发现内发现粒子的概率正比于粒子的概率正比于|(x,y,z,t)|2dV，其中其中 (x,y,z,t)为波函为波函数，数，|(x,y,z,t)|2为概率密度。为概率密度。所以所以已知已知 是未归一化的波函数，则令是未归一化的波函数，则令 =A，它们描述同一个状态，有它们描述同一个状态，有 由于波函数由于波函数 的概率解释的概率解释,粒子在整个空间出粒子在整个空间出现的概率为现的概率为1，所以，所以 应该满足应该满足波函数的归一化条件：波函数的归一化条件：波函数的物理意义波函数的物理意义：2dV 在在 t 时刻粒子出现在时刻粒子出现在(x,y,z)点附近点附近 dV 体积元内出现的概率。体积元内出现的概率。在在 t 时刻粒子出现在时刻粒子出现在 V 体积内的概率。体积内的概率。2 在在 t 时刻粒子出现在时刻粒子出现在(x,y,z)点处单位体点处单位体 积内出现的积内出现的概率密度。概率密度。二、波函数的标准条件：二、波函数的标准条件：由于微观粒子在空间出现的由于微观粒子在空间出现的概率必须单值概率必须单值、连续、连续、有限的有限的，所以要求所以要求波函数波函数 单值单值、连续、有连续、有限的限的,这这称为称为波函数的标准条件波函数的标准条件。不满足这些条件的函数没有不满足这些条件的函数没有物理意义，不代表物理实在。物理意义，不代表物理实在。在空间很小的区域在空间很小的区域 ，,内，波函数可视为不变，粒子在内，波函数可视为不变，粒子在dV=dxdydz内出现的概率内出现的概率,正比于正比于 和和dV。设归一化因子为设归一化因子为A，则归一化的波函数为则归一化的波函数为计算积分得：计算积分得：则则归一化的波函数归一化的波函数为为:例：将波函数例：将波函数 归一化。归一化。在在经典力学经典力学中，物体的运动满足牛顿定律，它给中，物体的运动满足牛顿定律，它给出了物体运动状态随时间的变化规律。出了物体运动状态随时间的变化规律。三、薛定谔方程（非相对论）：三、薛定谔方程（非相对论）：在在量子力学量子力学中，微观粒子的运动规律用薛定谔方中，微观粒子的运动规律用薛定谔方程描述。所谓微观粒子的运动规律程描述。所谓微观粒子的运动规律,也就是波函数也就是波函数 随时间和空间的变化规律。随时间和空间的变化规律。满足的方程，薛定谔满足的方程，薛定谔方程是量子力学的基本方程，在量子力学中的地位方程是量子力学的基本方程，在量子力学中的地位就相当于经典力学中牛顿方程的地位。就相当于经典力学中牛顿方程的地位。问题的提出：问题的提出：德拜德拜:问他的学生薛定谔问他的学生薛定谔能不能讲一讲能不能讲一讲De Broglie的的 那篇学位论文呢？那篇学位论文呢？一月以后：薛定谔向大家一月以后：薛定谔向大家介绍了德布罗意的论文。介绍了德布罗意的论文。德拜提醒薛定谔德拜提醒薛定谔:“对对于波，应该有一个波动于波，应该有一个波动方程方程”瑞士联邦工业大学瑞士联邦工业大学物理讨论会（物理讨论会（1926）德德拜拜薛薛定定谔谔 。薛定谔（薛定谔（1926）提出了非相对论性的提出了非相对论性的薛定谔方程薛定谔方程：狄拉狄拉克（克（1928）提出了相对论性的提出了相对论性的狄拉克狄拉克方程方程，它们是，它们是量子力学的基本方程，二人分享了量子力学的基本方程，二人分享了1933年年诺贝尔物理学奖。诺贝尔物理学奖。1.一维自由粒子的薛定谔方程一维自由粒子的薛定谔方程设粒子沿设粒子沿x方向运动方向运动,波函数为波函数为对对x求二阶偏导求二阶偏导对对t求一阶偏导求一阶偏导（1）（2）由由(2)式可得式可得代入代入(1)式式可得可得薛定谔方程薛定谔方程由由2.势场中一维粒子的一般薛定谔方程势场中一维粒子的一般薛定谔方程势场中粒子能量势场中粒子能量（3）由由(2)式可得式可得（4）由由(1)式可得式可得（5）将将(4),(5)代入代入(3)可得势场中一维粒子一般薛定谔方可得势场中一维粒子一般薛定谔方程程物理启示物理启示:定义能量算符定义能量算符,动量算符和坐标算符动量算符和坐标算符（1）（2）对一维情况有：对一维情况有：这个方程称为含时薛定谔方程，式中波函数是时空点的函这个方程称为含时薛定谔方程，式中波函数是时空点的函数数 =(x,t)，U(x,t)是粒子在场中的势能函数。是粒子在场中的势能函数。3.势场中三维粒子的薛定谔方程势场中三维粒子的薛定谔方程将势场中一维粒子的一般薛定谔方程推广到三维情况将势场中一维粒子的一般薛定谔方程推广到三维情况引入拉普拉斯算符引入拉普拉斯算符上式写成上式写成引入哈密顿算符引入哈密顿算符可得一般形式的薛定谔方程可得一般形式的薛定谔方程4.定态薛定谔方程定态薛定谔方程将上式代入一般薛定谔方程并除以上式得将上式代入一般薛定谔方程并除以上式得令：令：得：得：由于指数只能是无量纲的数，所以由于指数只能是无量纲的数，所以E必定具有能量必定具有能量的量纲，即以能量的单位的量纲，即以能量的单位J为单位。为单位。条件：势能函数条件：势能函数U=U(x,y,z)不随时间变化不随时间变化,则波函则波函数可以分离变量数可以分离变量,即表示成即表示成令：令：得：得：即即定态薛定谔方程：定态薛定谔方程：解出解出定态波函数定态波函数 后可得后可得总波函数总波函数为：为：概率密度与概率密度与时间无关时间无关 质量为质量为m（不考虑相对论效应）的粒子在势能为不考虑相对论效应）的粒子在势能为U的势场中运动时，有一组的势场中运动时，有一组 与粒子稳定态相对与粒子稳定态相对应，这波函数满足定态薛定谔方程。定态薛定谔方程应，这波函数满足定态薛定谔方程。定态薛定谔方程每一个解，即一组每一个解，即一组 的每一个的每一个,表示粒子的一表示粒子的一个个定态定态。这个解对应的常数。这个解对应的常数 E 就是这个定态具有的能就是这个定态具有的能量，称为量，称为本征值本征值，相应的函数叫，相应的函数叫 本征波函数本征波函数。利用薛定谔方程，再加上波函数标准条件，可以利用薛定谔方程，再加上波函数标准条件，可以“自然地自然地”得到微观粒子的重要特征得到微观粒子的重要特征量子化结果量子化结果,而不须象普朗克假设那样强制假定量子化。薛定谔方而不须象普朗克假设那样强制假定量子化。薛定谔方程的结果，已被无数实验所证实。程的结果，已被无数实验所证实。定态薛定谔方程的意义定态薛定谔方程的意义：讨论讨论其中的系数其中的系数 为复数，它们模平为复数，它们模平方是在对应态粒子出现的概率。方是在对应态粒子出现的概率。即即它们满足：它们满足：5、状态叠加原理状态叠加原理：如果如果 等（或简等（或简写为写为 ）都是体系的可能状态或称基矢，那么，）都是体系的可能状态或称基矢，那么，它们的线性叠加态也是这个体系的一个可能状态。它们的线性叠加态也是这个体系的一个可能状态。6、力学量算符力学量算符 量子力学量子力学中，粒子出现具有概率性，因而带来量子中，粒子出现具有概率性，因而带来量子力学的概率性或不确定性，力学的概率性或不确定性，与经典力学不同，量子与经典力学不同，量子力学的力学量是算符，而不是常规量。力学的力学量是算符，而不是常规量。1)力学量算符的本征方程、本征值和本征态：力学量算符的本征方程、本征值和本征态：如能量算符记为哈密顿算符如能量算符记为哈密顿算符对每个算符都有对应的本征方程对每个算符都有对应的本征方程:称为能量算符的称为能量算符的本征方程本征方程它它表表示示当当 作作用用在在波波函函数数上上 以以后后，得得到到一一个个新新的的波函数波函数 ，它与，它与 只差一个常数因子只差一个常数因子 .类似地，若类似地，若 ，则，则 是的是的 本征态，处在本征态，处在 态态的的粒粒子子有有确确定定的的动动量量 ，是是对对应应 的的 本本征征值。值。2)、力学量算符的平均值力学量算符的平均值：当粒子处在某力学量的当粒子处在某力学量的非本征态非本征态时，则实验测量该时，则实验测量该力学量时，其值是不确定的，如粒子处在力学量时，其值是不确定的，如粒子处在 的非本的非本征态征态 ，则测量粒子的能量得不到一个确定的值。，则测量粒子的能量得不到一个确定的值。能能量量本本征征方方程程表表示示的的物物理理意意义义是是，当当粒粒子子处处在在 态态时，则实验测量该粒子有确定的能量时，则实验测量该粒子有确定的能量 。我们称。我们称 为为能能量量算算符符 的的本本征征态态，为为 的的对对应应 态态的的本征值。本征值。设设力学量算符平均值力学量算符平均值:对对一一般般的的力力学量学量F F，有有 其中其中 是的是的 本征态。本征态。将矢量将矢量 按基矢按基矢 展开展开.我我们们测测量量 概概率率正正是是叠叠加加态态 中中本本征征态态 出出现的概率现的概率 .因此，平均值因此，平均值 这这一一表表示示说说明明，当当粒粒子子处处在在 态态，粒粒子子是是以以不不同同的的概概率率时时而而处处在在 ，时时而而处处在在 ,各各个个本本征征态态，而而 态态正正是是以以不不同同的的概概率率出出现现各各个个本本征征态态 的的叠叠加加态。态。具有正交归一性具有正交归一性1 n=m,0 n=m3)、力学量算符的厄米性力学量算符的厄米性：实验中测得的力学量应为实数，即本征值应为实实验中测得的力学量应为实数，即本征值应为实数，因而平均值也是实数数，因而平均值也是实数.这就要求力学量算符这就要求力学量算符必须是厄米的。必须是厄米的。实际上，由实际上，由分别以分别以 和和 乘以以上两式，再积分则有乘以以上两式，再积分则有:一般定义一般定义 是厄米是厄米的，是满足的，是满足 4)、力学量算符的对易关系：、力学量算符的对易关系：如果如果,算符算符 、，满足条件，满足条件或记为或记为 其中其中是任意波函数是任意波函数则则 、称为对易算符。称为对易算符。此条件下，当粒子处在此条件下，当粒子处在 的本征态的本征态 ，则，则 也是也是 的本征态的本征态.物理上解释为，当粒子处在物理上解释为，当粒子处在 、共同的本征态中，共同的本征态中，、两两力力学学量量可可以以同同时时确确定定，实实验验能能同同时时测测量量出出确定的确定的 ，的值的值 g、f 。反之，若反之，若例如：例如：因此因此 x 和和 px 不可能同时测定。不可能同时测定。则则 和和 不可对易，此时不可对易，此时 、无共同本征态无共同本征态 和和 不不可可能能同同时时测测定定，不不确确定定原原理理关关系系式式正正是是描述这一物理现象的。描述这一物理现象的。于是有于是有 解：本征方程解：本征方程Px是是动量本征值。动量本征值。所以所以例例1.1.求动量的求动量的x分量分量 的本征函数的本征函数 C为积分常数。为积分常数。若粒子位置不受限制，则若粒子位置不受限制，则 P Px 可以取任何实数值可以取任何实数值 ,是连续变化的。是连续变化的。显然显然解：对于一维自由粒子解：对于一维自由粒子本征方程为本征方程为相应的能量相应的能量例例2 2：求一维自由粒子的能量本征态。：求一维自由粒子的能量本征态。可以取不为负的一切实数值。可以取不为负的一切实数值。其解为其解为例例3 3：以以二二能能级级原原子子模模型型为为例例，说说明明量量子子力力学学中原子定态和迭加态概念中原子定态和迭加态概念。如果原子处在叠加态如果原子处在叠加态,在叠加态中，各个本征态以在叠加态中，各个本征态以一定的概率出现一定的概率出现,也叫也叫非本征态，非本征态，处于该态粒子的能量没有确定的处于该态粒子的能量没有确定的实验测量值与它对应，需求能量算符的平均值。实验测量值与它对应，需求能量算符的平均值。解：解：设二能级原子有两个设二能级原子有两个本征态本征态 和和 分别具有能分别具有能 量本征值量本征值 。在在矢量空间中，任一矢量可以用一组分量来表示，矢量空间中，任一矢量可以用一组分量来表示，例如电场例如电场 还可写成矩阵形式还可写成矩阵形式根据根据 的正交归一，的正交归一，二能级原子的基态和二能级原子的基态和激发态也可表示为态矢量激发态也可表示为态矢量和和它表示原子以概率它表示原子以概率处在基态处在基态同时以概率同时以概率处在激发态处在激发态 基态和激发态构成二能级原子状态的一组矢量空基态和激发态构成二能级原子状态的一组矢量空间的基矢，也叫能量本征态。二能级原子的任一其他间的基矢，也叫能量本征态。二能级原子的任一其他的态可以按这基矢展开。的态可以按这基矢展开。一般来说，二能级原子，任一状态为一般来说，二能级原子，任一状态为一、无限深一维方势阱一、无限深一维方势阱这种势能分布即为这种势能分布即为无限深方势阱无限深方势阱。粒子处于粒子处于束缚态束缚态：在阱内势能为零，粒子不受力的：在阱内势能为零，粒子不受力的 作用；在边界处，势能突然增加到无限大，粒子受作用；在边界处，势能突然增加到无限大，粒子受 到无限大的斥力。粒子被限制在到无限大的斥力。粒子被限制在0 xa的范围内，的范围内，不可能到此范围外。不可能到此范围外。0ax粒子在力场中的势能函数为：粒子在力场中的势能函数为：2.2 无限深方势阱中的粒子无限深方势阱中的粒子 (Particle in infinite square-well otential)二、求解定态薛定谔方程二、求解定态薛定谔方程由于势函数不随时间变化，所以属定态解。由于势函数不随时间变化，所以属定态解。(0 x-连续连续(5)每一个能量本征态对应于德布每一个能量本征态对应于德布罗意罗意 波的一个特定波长的波的一个特定波长的驻波驻波 ，可见可见a越大越大 越小，当越小，当a大到宏观尺度时，大到宏观尺度时，能量可，能量可看作连续变化，这和经典理论相对应。看作连续变化，这和经典理论相对应。（3）相邻两个能级之差）相邻两个能级之差(6)把坐标原点移至势阱中点，则把上面结果中的把坐标原点移至势阱中点，则把上面结果中的 x 改改为为 x-a/2，就得到新坐标系下的波函数（可能有正负号就得到新坐标系下的波函数（可能有正负号的差别，但作为波函数是等价的）：的差别，但作为波函数是等价的）：n=1,3,5,时的波函数是偶函数时的波函数是偶函数,这些状态叫做这些状态叫做偶宇偶宇称态称态，n=2,4,6,时的波函数是奇函数，这些态叫做时的波函数是奇函数，这些态叫做奇宇称态奇宇称态。EOaxE1n=14E1n=29E1n=3Enn|n|2EOa/2x-a/2无限深方势阱内粒子的无限深方势阱内粒子的能级、波函数和概率密度能级、波函数和概率密度E1n=14E1n=29E1n=3例例：一粒子在一维无限深方势一粒子在一维无限深方势阱阱中运动而处于中运动而处于基态基态。从阱宽的。从阱宽的一端到离此端点一端到离此端点1/41/4阱宽的距离阱宽的距离内它出现的概率多大？内它出现的概率多大？解：解：基态基态波函数为波函数为:n=1,粒子粒子从阱宽的一端到离此端点从阱宽的一端到离此端点1/41/4阱宽的距离内它阱宽的距离内它出现的概率出现的概率为为半无限深方势阱半无限深方势阱的势能函数为的势能函数为定态薛定谔方程定态薛定谔方程,必需满足标准化条件下，求解薛定谔方程必需满足标准化条件下，求解薛定谔方程,“自然地自然地”得到如下图所示量子化的能级、波函数和概率密度。得到如下图所示量子化的能级、波函数和概率密度。2.3 势垒穿透势垒穿透 (Barrier penetration)EOa/2xU0U-a/2量子力学：量子力学：EE1E3E2-a/2a/2xU0Enn|n|20能量小于能量小于U0的粒子，只能在的粒子，只能在 阱内运动阱内运动,不可进入其能量小不可进入其能量小于势能的于势能的 的区域，否的区域，否则动能将为负值。则动能将为负值。薛定谔方程给出的解薛定谔方程给出的解 ,在其势能在其势能U0大于总能量大于总能量E的的区域区域 内虽然逐渐衰内虽然逐渐衰减，但仍有一定的值。减，但仍有一定的值。讨论：讨论：与经典理论不同，与经典理论不同，微观粒子能进入势能远大于微观粒子能进入势能远大于总能量的区域，总能量的区域，这可用测不准关系加以说明这可用测不准关系加以说明,在该区域在该区域内，其动能的不确定度大于观察不到的负动能值。内，其动能的不确定度大于观察不到的负动能值。指数降低指数降低经典理论：经典理论：解薛定谔方程，可得如图所示的波函数。可见解薛定谔方程，可得如图所示的波函数。可见,能能量低于势垒高度的粒子不仅有可能进入势垒内部，而量低于势垒高度的粒子不仅有可能进入势垒内部，而还有一定的概率穿过势垒，这种现象称为还有一定的概率穿过势垒，这种现象称为隧道效应隧道效应。E(x)UOaxU0 对有限厚度的势垒，粒子的势能函数为对有限厚度的势垒，粒子的势能函数为a 越小越小,U0 越小越小,穿透率越高。穿透率越高。二、隧道效应二、隧道效应隧道电流隧道电流I I与样品和与样品和针尖间距离针尖间距离S S的关系的关系利用扫描隧道显微镜看到的硅表面利用扫描隧道显微镜看到的硅表面（7 7 重构图象重构图象）隧道效应已经被实验完全证实。隧道效应已经被实验完全证实。粒子从放射性核中放出就是隧道效粒子从放射性核中放出就是隧道效应的例子，黑洞的量子蒸发、热核应的例子，黑洞的量子蒸发、热核反应也是隧道效应的结果。隧道效反应也是隧道效应的结果。隧道效应的重要应用是应的重要应用是扫描隧道显微镜。扫描隧道显微镜。1994 1994 年中国科学家年中国科学家 “写写”出的原子字。出的原子字。原子操纵原子操纵移移动动4848个个Fe原原子子组组成成“量量子子围围栏栏”，围围栏栏中的电子形成驻波。中的电子形成驻波。一、势函数一、势函数M：振子质量，振子质量，：固有频率，固有频率，x：位移位移二、定态薛定谔方程二、定态薛定谔方程 有定态薛定谔方程有定态薛定谔方程 2.4 2.4 谐振子谐振子 (Harmonic oscillator)哈密顿量哈密顿量这是一个变系数常微分方程，求解复杂。这是一个变系数常微分方程，求解复杂。为使波函数满足单值、有界、连续的条件，谐振子为使波函数满足单值、有界、连续的条件，谐振子的能量必须是量子化的。求得能级公式为（其中的能量必须是量子化的。求得能级公式为（其中 n 为为量子数）量子数）结论结论Oxn=0n=3n=2n=1|0|2|3|2|2|2|1|21.普朗克假设的谐振普朗克假设的谐振子能量量子化是解薛子能量量子化是解薛定谔方程的自然结果。定谔方程的自然结果。2.能级是等间隔的，能级是等间隔的，基态能量为基态能量为 称为称为零点能零点能。零点能零点能：谐振子的最低：谐振子的最低能量不等于零，即它永能量不等于零，即它永远不能静止不动。这与远不能静止不动。这与经典力学截然不同经典力学截然不同,是是波粒二向性的表现，可波粒二向性的表现，可用不确定关系加以说明。用不确定关系加以说明。3.谐振子运动中可能谐振子运动中可能进入势能大于其总能进入势能大于其总能量的区域。量的区域。Oxn=0n=3n=2n=1|0|2|3|2|2|2|1|2一唯谐振子的一唯谐振子的能级和能级和概率密度分布图概率密度分布图4.4.与经典谐振子不同，量子的基态位置概率分布在与经典谐振子不同，量子的基态位置概率分布在x=0=0处概率最大，而经典的，其在处概率最大，而经典的，其在x=0=0处概率最小。处概率最小。5.5.当当 能量量子化能量量子化将对应经典的将对应经典的能量取连续值。能量取连续值。例、例、弹簧振子质量弹簧振子质量 m=1g,弹性系数弹性系数 k=0.1N/m,振幅振幅 A=1mm,求能级间隔，估算这能量所对应的量子数求能级间隔，估算这能量所对应的量子数 n。解：弹簧振子的角频率解：弹簧振子的角频率能级间隔能级间隔振子总能量振子总能量 可见可见,宏观谐振子是处于非常高的能级。相邻能级宏观谐振子是处于非常高的能级。相邻能级间隔小得完全可以忽略，因此它的能量是连续变化的。间隔小得完全可以忽略，因此它的能量是连续变化的。得量子数得量子数由由 第二章第二章 薛定谔方程小结薛定谔方程小结 （Summary and revision)定义定义:能量算符能量算符,动量算符和坐标算符动量算符和坐标算符哈密顿算符哈密顿算符 定态薛定谔方程定态薛定谔方程（一维）（一维）条件：条件：U=U(x,y,z)不随时间变化。不随时间变化。总波函数总波函数：一般薛定谔方程（三维）一般薛定谔方程（三维）波函数的归一化和标准条件波函数的归一化和标准条件：单值、有限，连续：单值、有限，连续1、薛定谔得出的波动方程薛定谔得出的波动方程2.2.一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的粒子能量量子化：能量量子化：3.3.势垒穿透势垒穿透在势能有限的情况下在势能有限的情况下,微观粒子可以穿过势垒到达微观粒子可以穿过势垒到达另一侧，称另一侧，称“隧道效应隧道效应”。4.4.谐振子谐振子能量量子化能量量子化:零点能零点能:在在势势阱阱内内概概率率密密度度分分布布不不均均匀匀,随随x改改变变,且且与与n有有关关。但经典粒子在各点出现的概率是相同的。但经典粒子在各点出现的概率是相同的。德布罗意德布罗意 波波长波波长量子化量子化:类似经典的类似经典的驻波。驻波。