线性代数讲义(第三章)课件

第三章 线性方程组n维向量的定义线性方程组的消元解法向量组的线性相关性向量组的秩向量空间线性方程组解的结构 定义定义 3.1 由数域由数域F 中的中的n个数个数a1,a2,an组成的有组成的有序数组序数组3.1 n维向量的概念维向量的概念 或或称为称为n维向量维向量；前者称为行向量，后者称为列向量；前者称为行向量，后者称为列向量 数数 称为向量的第称为向量的第i个个分量分量；通常用；通常用 ,等等希腊字希腊字母母来表示向量。来表示向量。1、n维向量的定义维向量的定义(1)n维行向量可以看作一个维行向量可以看作一个1 n矩阵，矩阵，n维列向维列向量可以看作量可以看作n 1矩阵。矩阵。定义定义：若向量若向量 ,均为均为n维维行行(列列)向量且对应分量相向量且对应分量相等，则称等，则称 与与 相等，记作相等，记作 =。分量全为分量全为0的向量称为的向量称为零向量零向量，记作，记作0，维数不同的零维数不同的零向量是不同的向量。向量是不同的向量。向量和矩阵的关系：向量和矩阵的关系：(2)设设A为为m n矩阵矩阵,A的行为的行为n维行向量，维行向量，A 的列的列为为m 维列向量。反之，给定一组向量，可以以它维列向量。反之，给定一组向量，可以以它们为行们为行(或列或列)构成一个矩阵。构成一个矩阵。若向量的所有分量均为实数，则称之为实向量若向量的所有分量均为实数，则称之为实向量.n阶单位矩阵阶单位矩阵In的的n个列向量分别记为：个列向量分别记为：称为称为n维基本向量。维基本向量。在以下的内容中，若不特别说明，在以下的内容中，若不特别说明，n维向量均指列维向量均指列向量，写作向量，写作 定义定义3.2 设设 =(a1,a2,an)T，=(b1,b2,bn)T是两个是两个n维向量，维向量，k为实数，定义为实数，定义加法加法：+=(a1+b1,a2+b1,an+bn)T数乘数乘：k =(ka1,ka2,kan)T向量的加法与数乘统称为向量的向量的加法与数乘统称为向量的线性运算。线性运算。2、n维向量的线性运算维向量的线性运算设设 =(a1,a2,an)T，称，称(-a1,-a2,-an)T为为 的负向量，记作的负向量，记作-。设设，为为n维向量，定义维向量，定义 -=+(-)3.2 线性方程组的消元解法线性方程组的消元解法1、线性方程组的相关概念、线性方程组的相关概念含含m个方程个方程n个未知量的线性方程组的一般形式为个未知量的线性方程组的一般形式为其中其中 x1,x2,xn为未知量为未知量，aij,bi为常数为常数。若若bi=0，i=1,2,m，则称之为则称之为齐次线性方程组齐次线性方程组，若至少有一个若至少有一个bi不为不为0则称之为则称之为非齐次线性方程组非齐次线性方程组。记记则上述方程组可表示为：则上述方程组可表示为：称为线性方程组的矩阵表示形式。称为线性方程组的矩阵表示形式。A称为线性方称为线性方程组的系数矩阵，程组的系数矩阵，x称为未知数列向量，称为未知数列向量，b称为常称为常数列向量。数列向量。称为线性方程组的称为线性方程组的增广矩阵增广矩阵。若向量若向量 =(a1,a2,an)T满足方程组中的每一个方满足方程组中的每一个方程，则称程，则称 是方程组的是方程组的解解，或，或解向量解向量。2、线性方程组解的存在性实例分析、线性方程组解的存在性实例分析 线性方程组在什么条件下有解？在什么条件下无线性方程组在什么条件下有解？在什么条件下无解？以下通过实例，用消元法解方程组来寻求线性解？以下通过实例，用消元法解方程组来寻求线性方程组解的存在条件。方程组解的存在条件。由于由于初等变换不改变矩阵的秩，初等变换不改变矩阵的秩，在上例中，在上例中，r(A)=r(A|b)=3(未知数的个数未知数的个数)，此时线性方程组有解，且，此时线性方程组有解，且解唯一。解唯一。由上例可以看出，消元法使用了以下三种运算：由上例可以看出，消元法使用了以下三种运算：(1)交换两个方程的位置；交换两个方程的位置；(2)以不等于以不等于0的常数乘某一个方程的两边；的常数乘某一个方程的两边；(3)将某一方程的将某一方程的k倍倍加到另一个方程上。加到另一个方程上。这相当于对增广矩阵施行相应的初等这相当于对增广矩阵施行相应的初等行行变换。变换。故用消元法解线性方程组的过程就是对方程组的增故用消元法解线性方程组的过程就是对方程组的增广矩阵施行初等广矩阵施行初等行行变换的过程，且初等变换的过程，且初等行行变换不改变换不改变线性方程组的解。变线性方程组的解。经验证知：经验证知：向量向量(2,0,1)T为原方程组的解。为原方程组的解。再如线性方程组再如线性方程组显然，无论显然，无论x1,x2,x3 取什么数值，都不能满足第三取什么数值，都不能满足第三个方程；线性方程组无解个方程；线性方程组无解，此时此时r(A)=2，r(A|b )=3，r(A)r(A|b)。由前面两个例子，可以得到关于线性方程组的解的存由前面两个例子，可以得到关于线性方程组的解的存在性的结论：在性的结论：定理定理 3.1 对于对于m n型线性方程组型线性方程组Ax=b；(1)方程组有唯一解当且仅当方程组有唯一解当且仅当 r(A)=r(A|b)=n；(2)方程组有无穷多解当且仅当方程组有无穷多解当且仅当 r(A)=r(A|b)n；(3)方程组无解当且仅当方程组无解当且仅当 r(A)r(A|b)。定理定理 3.2 m n型齐次线性方程组型齐次线性方程组Ax=0有非零解有非零解当且仅当当且仅当 r(A)n。由定理由定理 3.1 可得可得：在在3.2.2的两个例子中所用的解线性方程组的方的两个例子中所用的解线性方程组的方法，称为法，称为Gauss消元法消元法。它的原理是：。它的原理是：将一个线性方程组的增广矩阵实施初等将一个线性方程组的增广矩阵实施初等行行变换化为变换化为行标准型行标准型，即：，即：再对行标准型矩阵对应的方程组求解，即得原方再对行标准型矩阵对应的方程组求解，即得原方程组的解。程组的解。例例 1 解线性方程组解线性方程组解解:增广矩阵为增广矩阵为r(A)=2 3=r(A b)，故方程组无解。故方程组无解。例例 2 解线性方程组解线性方程组解解:增广矩阵为增广矩阵为r(A)=r(A|b)=2s，则向量组则向量组A线性相关。线性相关。可简述为：可简述为：以少表多，多者相关以少表多，多者相关。结论：结论：任意任意n+1个个n维向量构成的向量组线性相关。维向量构成的向量组线性相关。证：设证：设T=1,2,n+1，则则T 可由基本向量组可由基本向量组E=e1,e2,en线性表出线性表出，以少表多，多者相关。以少表多，多者相关。注：注：若只是等价的向量组，它们所含的向量个数若只是等价的向量组，它们所含的向量个数未必相等。未必相等。推论推论 5 若两个若两个线性无关线性无关的向量组等价，则它们所的向量组等价，则它们所含的向量个数相等。含的向量个数相等。推论推论 4 若向量组若向量组A:1,2,r可由向量组可由向量组B:1,2,s线性表出线性表出，且且A线性无关，则线性无关，则rs。可可可可简述为：简述为：表出无关组，个数非少数表出无关组，个数非少数。注注：若若T1为为T2的部分组，则的部分组，则T1必可由必可由T2 线性表出线性表出。如：设如：设T1:1,2,r为向量为向量组组T2:1,2,r,r+1,m的的部分组，则部分组，则3.4.2 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组定义定义 3.6 设设 1,2,r为向量组为向量组T 的一个部分组，的一个部分组，满足满足(1)1,2,r 线性无关线性无关；(2)T 可由可由 1,2,r 线性表出线性表出,即即T 中任一中任一(除除 1,2,r之外之外)向量都可由向量都可由 1,2,r 线性线性表出；则称表出；则称 1,2,r为为T 的一个的一个极大极大(线性线性)无无关组。关组。由定义可知：向量组由定义可知：向量组T 的极大线性无关组首先是线的极大线性无关组首先是线性无关的，其次是极大的，即若向该向量组添加性无关的，其次是极大的，即若向该向量组添加T 中任一向量，所得向量组均线性相关中任一向量，所得向量组均线性相关。例例 5 设设求向量组求向量组 1,2,3的极大线性无关组。的极大线性无关组。解解 首先首先 1 0，故故 1线性无关线性无关；又又 1,2的对应分的对应分量不成比例，故量不成比例，故 1,2 线性无关；而线性无关；而 3=1 2故故 1,2即为所求的极大线性无关组。即为所求的极大线性无关组。(3)向量组向量组的任意两个极大线性无关组所含向量个的任意两个极大线性无关组所含向量个数相同；数相同；向量组的极大线性无关组所含的向量个数向量组的极大线性无关组所含的向量个数称为向量组的称为向量组的秩秩。设设 1,2,r与与 1,2,s为为向量组向量组T 的两个极的两个极大线性无关组，它们都与大线性无关组，它们都与T等价，所以等价，所以 r=s。如例如例5中的向量组中的向量组 1,2，1,3及及 2,3都是它的极大线性无都是它的极大线性无关组。关组。向量组向量组的极大线性无关组的性质：的极大线性无关组的性质：(1)向量组向量组的极大线性无关组不一定唯一；的极大线性无关组不一定唯一；(2)向量组向量组T 的极大线性无关组与的极大线性无关组与向量组向量组T 等价；等价；(4)若向量组若向量组T1与与向量组向量组T2等价，则等价，则它们它们的极大线的极大线性无关组也等价；故等价的向量组的秩相同；性无关组也等价；故等价的向量组的秩相同；(5)线性无关的向量组的秩等于向量组所含向量线性无关的向量组的秩等于向量组所含向量的个数。的个数。例例 6 设设n维基本向量组维基本向量组E：e1,e2,en可由可由n维向量维向量组组 1,2,n 线性表示线性表示，证明证明 1,2,n线性线性无关。无关。证：证：由于每一由于每一 i均可由均可由基本向量组基本向量组E：e1,e2,en线性表出，于是向量组线性表出，于是向量组 1,2,n与与e1,e2,en等价，又等价的向量组有相同的秩，而等价，又等价的向量组有相同的秩，而E的秩为的秩为n，故故 1,2,n的秩也为的秩也为n，即即 1,2,n线性无线性无关。关。3.4.3 向量组的秩与矩阵秩的关系向量组的秩与矩阵秩的关系定理定理 3.11 矩阵矩阵A的初等的初等行行变换不改变变换不改变A的的列列向量组的向量组的线性相关性和线性组合关系。线性相关性和线性组合关系。定理定理 3.11可用来判别向量组的线性相关性及求向可用来判别向量组的线性相关性及求向量组的极大无关组。量组的极大无关组。例例 7 设向量组设向量组：(1)求向量组的一个极大线性无关组；求向量组的一个极大线性无关组；(2)把其余向量表示成为该极大线性无关组的把其余向量表示成为该极大线性无关组的 线性组合。线性组合。解：解：令令A=(1,2,3,4)，把矩阵把矩阵A化为行标准化为行标准形形得：得：B=(e1,e2,2e1,e1 e2,)，B的极大线性无关组的极大线性无关组为为e1,e2，故故 1,2,3,4的极大线性无关组为的极大线性无关组为 1,2。求向量组的极大无关组的步骤求向量组的极大无关组的步骤:推论：推论：设设A为为m n矩阵矩阵，则有则有：(1)A的行向量组线性无关当且仅当的行向量组线性无关当且仅当r(A)=m；A的行向量组线性相关当且仅当的行向量组线性相关当且仅当r(A)m。(2)A的列向量组线性无关当且仅当的列向量组线性无关当且仅当r(A)=n；A的列向量组线性相关的列向量组线性相关当且仅当当且仅当r(A)n。定理定理 3.12 矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于也等于它的行向量组的秩它的行向量组的秩。练习练习：设向量组设向量组(1)求向量组的一个极大线性无关组；求向量组的一个极大线性无关组；(2)把其余向量表示成为该极大线性无关组的把其余向量表示成为该极大线性无关组的 线性组合。线性组合。3.5 向向 量量 空空 间间3.5.1 向量空间的概念向量空间的概念定义定义 3.7 设设 V 为为n 维向量构成的维向量构成的非空集合非空集合,且关于向且关于向量的量的线性运算线性运算封闭封闭,即即 (1)对对 ,V,+V;(2)对对 V,R,V.则称则称 V为为向量空间向量空间。设设 V 为为n 维向量构成的非空集合维向量构成的非空集合,则则V为为向量空间当向量空间当且仅当对且仅当对 ,V及及,m m R,+m m V.若若V为为向量空间，则向量空间，则0 V.定义定义 3.8 设设U,V 均为向量空间均为向量空间，若若U V，则称则称U为为V 的子空间。的子空间。由定义由定义 3.8，要说明，要说明U为向量空间为向量空间V的子空间，只需的子空间，只需说明：说明：(1)U为向量空间，即为向量空间，即U对线性运算封闭；对线性运算封闭；(2)U V。由所有由所有n维实向量构成的集合记作维实向量构成的集合记作 Rn，则，则Rn是向是向量空间；此外，量空间；此外，单独一个零向量构成的集合单独一个零向量构成的集合0也是向量空间，称为零空间。也是向量空间，称为零空间。例例 8 集合集合V=(0,x2,xn)T|x2,xnR是是一个向量空间。一个向量空间。例例 9 集合集合V=(1,x2,xn)T|x2,xnR不不是向量空间。是向量空间。例例 10 设设V是一个是一个向量空间，向量空间，1,2,.,m 为为V 中中m个向量，则由向量个向量，则由向量 1,2,.,m 的所有线性组的所有线性组合构成的集合：合构成的集合：L=1 1+2 2+m m|1,2,m R 为为V的一个子空间；称为由向量的一个子空间；称为由向量 1,2,.,m 生生成的子空间。成的子空间。证：证：(1)L对线性运算封闭，故对线性运算封闭，故L为向量空间；为向量空间；(2)L V，对任意，对任意 L，=1 1+2 2+m m，而而 1,2,.,m V且且V是是向量空间，故向量空间，故 V。3.5.2 向量空间的基与维数向量空间的基与维数定义定义 3.9 设设V 为向量空间为向量空间,若向量组若向量组 1,2,.,r V 满足满足：(1)1,2,.,r 线性无关；线性无关；(2)V 中任一向量都可由中任一向量都可由 1,2,.,r 线性表出；线性表出；则称向量组则称向量组 1,2,.,r 为向量空间为向量空间V 的一个的一个基基,r 称为称为V 的的维数维数，记作记作dimV=r，并称，并称V为为r 维向量空维向量空间间；规定零空间规定零空间0的维数为的维数为0。注：注：向量空间向量空间V的基的基,实际上就是实际上就是V 的一个极大线性的一个极大线性无关组；向量空间无关组；向量空间V 的维数的维数,就是就是V 的一个极大线性的一个极大线性无关组中向量的个数。无关组中向量的个数。由定义由定义 3.9可知可知：若向量组若向量组 1,2,.,m是向量空间是向量空间V 的一个基的一个基,则则V=1 1+2 2+.+r m|1,.,m R这是由于：若这是由于：若x V，则则x=1 1+.+r m 反之，若反之，若x=1 1+.+r m，则则x V，(因因V对线性运算封闭对线性运算封闭)。由于由于向量组的极大无关组不唯一，故向量组的极大无关组不唯一，故向量空间的基向量空间的基也不唯一。也不唯一。定理定理 3.13 若若dimV=r，则，则V中任意中任意r个线性无关的向量个线性无关的向量都是都是V的基。的基。例例：基本向量组基本向量组e1,e2,.,en为向量空间为向量空间Rn的一个的一个基基；故故Rn的维数为的维数为n。3.5.3 空间向量的坐标空间向量的坐标定义定义3.10 设设 1,2,.,r 为向量空间为向量空间V 的一组基的一组基,则对任一则对任一 V,可唯一地表示为可唯一地表示为 =x1 1+x2 2+.+xr r称称向量向量x=(x1,x2,.,xr)T为为 关于基关于基 1,2,.,r的的坐标向量坐标向量。例例 11 设设(1)证明证明 1,2,3,4为为R4的一组基的一组基；(2)求求 =(1,1,4,5)T关于关于 1,2,3,4的坐标的坐标；(3)求求 =(1,1,4,5)T关于关于e1,e2,e3,e4的坐标的坐标。解解 (1)因因故故 1,2,3,4线性无关线性无关，是是R4的一组基的一组基。(2)设设 =x1 1+x2 2+x3 3+x4 4，即即故故 关于关于 1,2,3,4的坐标为的坐标为(2,3,1,5)T。由本例可知，同一个向量关于不同基的坐标不同。由本例可知，同一个向量关于不同基的坐标不同。(3)因因 =e1 e2+4e3+5e4 故故 关于关于e1,e2,e3,e4的坐标为的坐标为(1,1,4,5)T。m n型齐次线性方程组的一般形式为：型齐次线性方程组的一般形式为：(1)3.6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构3.6.1 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构(1)的向量表示形式为：的向量表示形式为：(1)的矩阵表示形式为：的矩阵表示形式为：Ax=0，A为系数矩阵。为系数矩阵。定理定理 3.14 记记N(A)为齐次线性方程组为齐次线性方程组(1)的所有解的所有解(向向量量)构成的集合，即构成的集合，即N(A)=x|Ax=0，则则 (1)对对 1,2 N(A),1+2 N(A)；(2)对对 N(A)及及 实数实数k，k N(A)。齐次线性方程组总是有解的，且当齐次线性方程组总是有解的，且当r(A)=n时仅有零时仅有零解解；当当r(A)n时，有非零解。我们下面只考虑有非时，有非零解。我们下面只考虑有非零解的情形。此时齐次线性方程组的所有解向量构零解的情形。此时齐次线性方程组的所有解向量构成一个向量空间。成一个向量空间。定理定理3.14表明，齐次线性方程组表明，齐次线性方程组Ax=0所有的解所有的解(向量向量)构成的集合是一个向量空间，称为构成的集合是一个向量空间，称为Ax=0的解空间。的解空间。定义定义 3.11 齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=0的解空间的解空间N(A)的的基基称为方程组称为方程组的的基础解系基础解系。即即 1,2,r为为Ax=0的的基础解系当且仅当基础解系当且仅当 (1)A i=0，即即 i是是Ax=0 的解，的解，i=1,2,r；(2)1,2,r线性无关线性无关；(3)对对 x N(A)，x可以由可以由 1,2,r线性表出，线性表出，即存在实数即存在实数k1,k2,kr使得使得x=k1 1+k2 2+kr r。称称x=k1 1+k2 2+ks r为线性方程组为线性方程组Ax=0的的通解通解。由定理由定理3.13知若知若dimV=r，则，则V中任意中任意r个线性无关的向量个线性无关的向量都是都是V的基。的基。以下讨论以下讨论Ax=0的解空间的解空间N(A)的维数。的维数。定理定理 3.15 m n型型齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=0的解空间的解空间N(A)的维数为：的维数为：dimN(A)=n r(A).证：证：记记r(A)=r，则则rn，则矩阵则矩阵A的列向量组的列向量组 1,2,n的秩为的秩为r，为便于讨论设它的极大线性无关组为便于讨论设它的极大线性无关组为为 1,2,r，对矩阵，对矩阵A施以初等行变换，将它化施以初等行变换，将它化为行标准形，由于初等行变换不改变列向量组的线为行标准形，由于初等行变换不改变列向量组的线性相关性，故性相关性，故对对(xr+1,xr+2,xn)T依次取下列依次取下列nr组值组值分别代入分别代入可得方程组的可得方程组的nr个解向量：个解向量：1.这这nr个解向量是线性无关的。个解向量是线性无关的。设设k1,k2,kr,kr+1,kn为方程组的任一解，则为方程组的任一解，则即即2.方程组的任一解都可以由方程组的任一解都可以由 1,2,n r 线性表线性表出。出。推论推论 m n型型齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=0的任意的任意n r(A)个个线性无关的解向量线性无关的解向量 1,2,n r(A)都是都是Ax=0的一的一个基础解系。个基础解系。综合上述讨论可知综合上述讨论可知 1,2,n r是方程组的基是方程组的基础解系。故础解系。故线性方程组线性方程组Ax=0的解空间的维数为的解空间的维数为nr。且线性方程组的通解为：且线性方程组的通解为：由定理由定理3.13可得：可得：注注：上述定理也为我们提供了一个求基础解系的方法上述定理也为我们提供了一个求基础解系的方法 其中其中k1,k2,kn-r为任意一组常数。为任意一组常数。例例 12 求求的的基础解系与通解基础解系与通解.解解：得得令令得基础解系得基础解系方程组的通解为方程组的通解为k1,k2为任意实为任意实数数例例 13 解线性方程组解线性方程组解：解：得基础解系得基础解系非齐次线性方程组解的性质：非齐次线性方程组解的性质：3.6.2 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构m n型非齐次线性方程组型非齐次线性方程组Ax=对应的齐次线性方对应的齐次线性方程组程组Ax=0称为称为Ax=的导出方程组。的导出方程组。定理定理 3.16 设设 1,2为非为非齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=的任意两的任意两个解个解，则则 1 2为它的导出方程组为它的导出方程组Ax=0的解。的解。证明：证明：因因 A(1 2)=A 1 A 2=0，故故 1 2为为Ax=0解。解。注：注：非非齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=的两个解的两个解 1,2之和之和 1+2不再是不再是方程组方程组Ax=的解，的解，故故非齐次线性方程组解向量的集合不构成向量空间非齐次线性方程组解向量的集合不构成向量空间.我们将利用导出方程组解的结构来讨论对应的非我们将利用导出方程组解的结构来讨论对应的非齐次线性方程组的结构。齐次线性方程组的结构。定理定理 3.17 设设h h为非齐次线性方程组为非齐次线性方程组Ax=的一个解，的一个解，1,2,r为它的导出为它的导出方程组方程组Ax=0的一个基础的一个基础解系解系，则则Ax=的通解为的通解为x=k1 1+k2 2+kr r+h h；k1,k2,kr为任意实数。为任意实数。证明：证明：设设x为非齐次线性方程组为非齐次线性方程组Ax=的任意一个解，的任意一个解，则则x h h为为它的导出方程组它的导出方程组Ax=0的解，故的解，故x h h =k1 1+k2 2+kr r；k1,k2,kr为任意实数。从为任意实数。从而而x=k1 1+k2 2+kr r+h h。由定理由定理3.17，当非齐次线性方程组，当非齐次线性方程组Ax=的解不唯一的解不唯一时，要求它的通解，只需求出它的一个特解及时，要求它的通解，只需求出它的一个特解及它的它的导出方程组导出方程组Ax=0的一个基础解系即可。的一个基础解系即可。例例 14 求下述方程组的解求下述方程组的解 解：解：r(A)=r(A|b)=25，方程组有无穷多解。方程组有无穷多解。1.求导出方程组的基础解系求导出方程组的基础解系 令令得基础解系得基础解系 2.求特解求特解 故通解为：故通解为：例例 15 设设在在4维列向量组维列向量组 1,2,3,4中中，1,2,4线性无关，线性无关，3=3 1 2 2 4，=1+2 2+3 3+4 4，A=1,2,3,4，求非齐次线性方程组求非齐次线性方程组Ax=的通解。的通解。解：解：由于由于A=1,2,3,4，故方程组故方程组Ax=即：即：x1 1+x2 2+x3 3+x4 4=，又，又=1+2 2+3 3+4 4,故故(1,2,3,4)T是方程组是方程组Ax=的一个解。的一个解。而而 1,2,4线性无关，线性无关，3=3 1 2 2 4，故向量，故向量组组 1,2,3,4的秩为的秩为3，从而，从而r(A)=3，解空间解空间的维数为的维数为1，而而3 1 2 3 2 4=0.故故(3,1,1,2)T是方程组是方程组Ax=0基础解系。基础解系。