薛定谔方程课件

微观粒子运动的统计规律微观粒子运动的统计规律 宏宏观观物物体体的的运运动动遵遵循循经经典典力力学学原原理理。而而测测不不准准原原理理告告诉诉我我们们，具具有有波波粒粒二二象象性性的的微微观观粒粒子子不不能能同同时时测测准准其其位位置置和和动动量量，因因此此不不能能找找到到类类似似宏宏观观物物体体的的运运动动轨轨道道。那那么么微微观观粒子的运动遵循的规律是什么呢？粒子的运动遵循的规律是什么呢？微观粒子运动的统计规律 宏观物体的运动遵循经典1 进进一一步步考考察察前前面面提提到到的的 Davisson 和和 Germer 所所做做的的电电子子衍衍射射实实验验，实实验验结结果果是是在在屏屏幕幕上上得得到到明明暗暗相相间间的的衍衍射射环纹。环纹。若控制该实验的速度，使电子一个一个地从射出，这若控制该实验的速度，使电子一个一个地从射出，这时屏幕上会出现一个一个的亮点，忽上忽下忽左忽右，毫时屏幕上会出现一个一个的亮点，忽上忽下忽左忽右，毫无规律可言，难以预测下一个电子会击中什么位置。这是无规律可言，难以预测下一个电子会击中什么位置。这是电子的粒子性的表现。但随着时间的推移，亮点的数目逐电子的粒子性的表现。但随着时间的推移，亮点的数目逐渐增多，其分布开始呈现规律性渐增多，其分布开始呈现规律性 得到明暗相间衍射得到明暗相间衍射环纹。这是电子的波动性的表现。所以说电子的波动性可环纹。这是电子的波动性的表现。所以说电子的波动性可以看成是电子的粒子性的统计结果。以看成是电子的粒子性的统计结果。进一步考察前面提到的 Davisson 和 2 这这种种统统计计的的结结果果表表明明，对对于于微微观观粒粒子子的的运运动动，虽虽然然不不能能同同时时准准确确地地测测出出单单个个粒粒子子的的位位置置和和动动量量，但但它它在在空空间间某某个区域内出现的机会的多与少，却是符合统计性规律的。个区域内出现的机会的多与少，却是符合统计性规律的。从从电电子子衍衍射射的的环环纹纹看看，明明纹纹就就是是电电子子出出现现机机会会多多的的区区域域，而而暗暗纹纹就就是是电电子子出出现现机机会会少少的的区区域域。所所以以说说电电子子的的运运动可以用统计性的规律去进行研究。动可以用统计性的规律去进行研究。这种统计的结果表明，对于微观3 要要研研究究电电子子出出现现的的空空间间区区域域，则则要要去去寻寻找找一一个个函函数数，用用该该函函数数的的图图象象与与这这个个空空间间区区域域建建立立联联系系。这这种种函函数数就就是是微观粒子运动的波函数微观粒子运动的波函数 。1926 年年奥奥地地利利物物理理学学家家 E.Schrdinger 建建立立了了著著名名的的微微观观粒粒子子的的波波动动方方程程，即即 Schrdinger 方方程程。描描述述微微观观粒粒子运动状态的波函数子运动状态的波函数 ，就是解，就是解 Schrodinger 方程求出的。方程求出的。要研究电子出现的空间区域，则要去寻找一个函数4由经典物理知：频率为由经典物理知：频率为n n、波长为、波长为l l、沿、沿x 方向传播的平面机械方向传播的平面机械波可表示为：波可表示为：用复数的表示：用复数的表示：但是，对于自由粒子而言，其对应的平面波，还具有微粒性但是，对于自由粒子而言，其对应的平面波，还具有微粒性 (波粒二像性波粒二像性)德布罗意关系式德布罗意关系式得：得：量子力学基本假设之一量子力学基本假设之一量子力学基本假设之一量子力学基本假设之一自由粒子的波函数自由粒子的波函数自由粒子德布罗自由粒子德布罗意波的波函数意波的波函数16-1 16-1 波函数及其统计诠释波函数及其统计诠释由经典物理知：频率为n、波长为l、沿x 方向传播的平面机械波5波函数波函数3.3.波函数的物理意义：波函数的物理意义：波函数的物理意义：波函数的物理意义：(Born(Born解释解释解释解释)光波光波波动：衍射图样最亮处，光振动的振幅最大，强度波动：衍射图样最亮处，光振动的振幅最大，强度微粒：衍射图样最亮处，射到此的光子数最多，微粒：衍射图样最亮处，射到此的光子数最多，波函数波函数是什么是什么？它既不是位移它既不是位移y；又不是电矢量又不是电矢量E结论结论某时刻，在空间某地点，粒子出现的几率，正某时刻，在空间某地点，粒子出现的几率，正比于该时刻、该地点的波函数的模的平方。比于该时刻、该地点的波函数的模的平方。物质波物质波波动：电子波的强度波动：电子波的强度 微粒：微粒：（电子数）（电子数）（单个电子在该处出现的几率）（单个电子在该处出现的几率）（波函数模的平方）（波函数模的平方）电子衍射实验解释电子衍射实验解释:二者皆可二者皆可.这意味着粒子与波一一对这意味着粒子与波一一对应应波函数又称为波函数又称为几率波几率波波函数3.波函数的物理意义：(Born解释)光波波动：衍射图6与粒子与粒子(某时刻、在空间某处某时刻、在空间某处)出现的几率成正比出现的几率成正比波函数是什么呢？波函数是什么呢？物质波既不是机械波，又不是电磁波，而是物质波既不是机械波，又不是电磁波，而是几率波！几率波！几率波！几率波！物质波是什么呢？物质波是什么呢？对微观粒子，讨论其运动轨道及速度是对微观粒子，讨论其运动轨道及速度是没有意义的。没有意义的。波函数所反映的只是微观粒波函数所反映的只是微观粒运动的统计规律。运动的统计规律。结论结论几率波几率波几率波几率波是描写微观体系的统计行为，而不是单个粒子的是描写微观体系的统计行为，而不是单个粒子的是描写微观体系的统计行为，而不是单个粒子的是描写微观体系的统计行为，而不是单个粒子的单次过程。单次过程。单次过程。单次过程。宏观物体宏观物体：讨论它的：讨论它的位置位置在哪里。在哪里。微观粒子微观粒子：研究它在那里出现的：研究它在那里出现的几率几率有多大。有多大。区别区别与粒子(某时刻、在空间某处)出现的几率成正比波函数是什么呢？7波函数的性质波函数的性质几率密度几率密度1）波函数具有归一性）波函数具有归一性粒子在整个空间出现的几率：粒子在整个空间出现的几率：波函数的波函数的归一化条件归一化条件 粒子在某区域出现的几率正比于该区域的大小，粒子在某区域出现的几率正比于该区域的大小，某时刻、在某时刻、在（x,y,z）附近的体积元附近的体积元 dt t 中，出现粒子的几率为：中，出现粒子的几率为：表示某时刻、在空间某地点表示某时刻、在空间某地点附近单位体积内粒子出现的几率附近单位体积内粒子出现的几率=1=1波函数的性质几率密度1）波函数具有归一性粒子在整个空间出84）单值性：）单值性：波函数可不满足单值性，但波函数的模满足单值波函数可不满足单值性，但波函数的模满足单值性。性。2）连续性）连续性:一定时刻，在空间某点附近，单位体积内，粒子出现的一定时刻，在空间某点附近，单位体积内，粒子出现的几率应有一定的量值。几率应有一定的量值。在空间各点都有粒子出现的可能。在空间各点都有粒子出现的可能。波函数的标准化条件波函数的标准化条件波函数的归一性波函数的归一性波函数的连续性波函数的连续性波函数的有限性波函数的有限性 3）有限性）有限性:保证波函数是平方可积。保证波函数是平方可积。1）归一性：）归一性：4）单值性：波函数可不满足单值性，但波函数的模满足单值性。9组组组组合：合：合：合：量子力学中态的叠加原理导致了叠加态下观测结果的不确定性，量子力学中态的叠加原理导致了叠加态下观测结果的不确定性，出现了干涉图样。出现了干涉图样。它是由微观粒子波粒二象性所决定的。它是由微观粒子波粒二象性所决定的。处于态处于态处于态处于态1 1和态和态和态和态2 2的几率分别为：的几率分别为：的几率分别为：的几率分别为：双缝同时打开时，电子的几率分布为：双缝同时打开时，电子的几率分布为：双缝同时打开时，电子的几率分布为：双缝同时打开时，电子的几率分布为：第三项为第三项为相干项相干项满足态叠加原理满足态叠加原理组合：量子力学中态的叠加原理导致了叠加态下观测结果的不确定性10波函数的一些概念总结波函数的一些概念总结（2）波函数是波粒二象性的体现：测不准关系；波函数是波粒二象性的体现：测不准关系；（3）波函数模的平方表示在（波函数模的平方表示在（x,y,z)附近处单位体积附近处单位体积内找到粒子的几率；内找到粒子的几率；（4）波函数满足的三个条件：归一化、连续和有限；波函数满足的三个条件：归一化、连续和有限；y y 和和1010y y 描述的是同一个波函数。描述的是同一个波函数。（1）波函数是几率波波函数是几率波波函数的一些概念总结（2）波函数是波粒二象性的体现：测不准11微观粒子量子状态用波函数完全描述，微观粒子量子状态用波函数完全描述，粒子的运动也就是粒子运动状态的随时间粒子的运动也就是粒子运动状态的随时间改变应当由运动方程来描写改变应当由运动方程来描写.16.2 Schrodinger 16.2 Schrodinger 方程方程一、薛定谔方程一、薛定谔方程微观粒子量子状态用波函数完全描述，粒子的运动也就是粒子运动121 1引进方程的基本考虑引进方程的基本考虑从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t t 粒子的粒子的状态状态 r r 和和 p p 。因为初条件知道的是坐标及其对时。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。们以启发。（1 1）经典情况）经典情况1引进方程的基本考虑从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 13（2 2）量子情况）量子情况1 1因为，因为，t=tt=t0 0 时刻，已知的初态是时刻，已知的初态是(r,t(r,t0 0)且只知且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程的方程只能含只能含对时间对时间 的一阶导数的一阶导数。2 2另一方面，另一方面，要满足态叠加原理要满足态叠加原理，即，若，即，若1 1(r,t)(r,t)和和2 2(r,t)(r,t)是方程的解，那末。是方程的解，那末。(r,t)=C(r,t)=C1 11 1(r,t)+C(r,t)+C2 22 2(r,t)(r,t)也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含程中只能包含,对时间的一阶导数对时间的一阶导数和和对坐标各阶导数的对坐标各阶导数的一次项一次项，不能含它们的平方或开方项。，不能含它们的平方或开方项。3 3方程方程不能包含状态参量不能包含状态参量，如，如 p p,E E等，否则方程只能被等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。（2）量子情况1因为，t=t0 时刻，已知的初态是(142 2自由粒子满足的方程自由粒子满足的方程这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量 E E。将。将对坐标二次微商，得：对坐标二次微商，得：描写自由粒子波函数描写自由粒子波函数:应是所要建立的方程的解。应是所要建立的方程的解。将上式对将上式对 t t 微微商，得商，得：2自由粒子满足的方程这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参15(1)(2)(1)(2)式式(1)(2)式16薛定谔方程课件17该方程称为该方程称为 Schrodinger Schrodinger 方程，也常称为方程，也常称为波动方程波动方程。若粒子处于势场若粒子处于势场 U(r)U(r)中运动，则能动量关系变为：中运动，则能动量关系变为：将其作用于波将其作用于波函数得：函数得：做（做（4 4）式的）式的算符替换得：算符替换得：该方程称为 Schrodinger 方程，也常称为波动方程。18注：注：1 1）同牛顿定律一样，此方程也不是从理论上推出，）同牛顿定律一样，此方程也不是从理论上推出，它的正确性来自实践。它的正确性来自实践。2 2）此方程只对）此方程只对V VC C的粒子成立的粒子成立薛定谔方程薛定谔方程体系势能体系势能量子力学的量子力学的量子力学的量子力学的第二个重要假定第二个重要假定第二个重要假定第二个重要假定注：1）同牛顿定律一样，此方程也不是从理论上推出，2）此方程19讨论讨论:1 薛定谔方程是量子力学中的一项基本假设薛定谔方程是量子力学中的一项基本假设；2 .薛定谔方程是线性齐次常微分方程，保证了态的线性叠加薛定谔方程是线性齐次常微分方程，保证了态的线性叠加性在时间进程中保持不变。性在时间进程中保持不变。3 .薛定谔方程是关于时间的一阶偏微分方程；薛定谔方程是关于时间的一阶偏微分方程；知道初始时刻波函数，就可以确定以后任何时刻的波函数知道初始时刻波函数，就可以确定以后任何时刻的波函数.4.薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程,因此波动形式因此波动形式解要求在方程中必须有虚数因子解要求在方程中必须有虚数因子 i，波函数波函数是复是复函数函数.5.只有动量确定的自由粒子才能用平面波的描写只有动量确定的自由粒子才能用平面波的描写讨论:2 .薛定谔方程是线性齐次常微分方程，保证了态的线性20二、定态二、定态SchrodingerSchrodinger方程方程现在让我们讨论外场不含时间情况下的现在让我们讨论外场不含时间情况下的 Schrodinger Schrodinger 方程：方程：可分离变量令：可分离变量令：代代入入二、定态Schrodinger方程现在让我们讨论外场不含时间21于是有于是有:第一个方程可以解得第一个方程可以解得:第二个方程称为第二个方程称为定态定态 Schrodinger 方程方程整理后整理后,可以得到如下两个方程可以得到如下两个方程:于是有:第一个方程可以解得:第二个方程称为定态 Schrod22注：注：1 1）粒子的几率密度）粒子的几率密度当当U(r)与时间无关，粒子的波函数可为与时间无关，粒子的波函数可为:与时间无关与时间无关即：粒子的几率分布不随时间改变，则粒子处于定态即：粒子的几率分布不随时间改变，则粒子处于定态2）粒子的定态能级的能量值就是）粒子的定态能级的能量值就是E定态是指定态是指能量有确定值状态能量有确定值状态几率分布是确定的几率分布是确定的与玻尔理论对应与玻尔理论对应与玻尔理论对应与玻尔理论对应注：1）粒子的几率密度当U(r)与时间无关，粒子的波函数可为23定态薛定谔方程的定态薛定谔方程的意义意义:*在势场中运动在势场中运动质量为质量为m的一个粒子的一个粒子,有一个有一个波函数波函数 与它的与它的运动的运动的稳定状态稳定状态相联系相联系,这个这个波函数波函数满足满足定态定态薛定谔方程薛定谔方程.*方程的解方程的解 表示粒子运动的某一个稳定状态表示粒子运动的某一个稳定状态.与这个解与这个解相应的常数相应的常数E(参数参数),),就是粒子在这个稳定状态的能量就是粒子在这个稳定状态的能量.只有只有 E 为一些特定的值时，方程才有解，这些为一些特定的值时，方程才有解，这些 E值叫值叫本征值本征值，与这些与这些 E值对应的波函数值对应的波函数 叫叫本征函数本征函数.总之，总之，解定态薛定谔方程解定态薛定谔方程，就是就是求出求出：(2)与这些状态对应与这些状态对应确定能量确定能量E，从而动量从而动量P (1)波函数波函数 表示粒子所处的各个可能的稳定状态表示粒子所处的各个可能的稳定状态.定态薛定谔方程的意义:*在势场中运动质量为m的一个粒子,有一24三三.波动力学中力学量算符波动力学中力学量算符量子力学的第三个基本假设量子力学的第三个基本假设例如：例如：能量算符（哈密顿算符）：能量算符（哈密顿算符）：量子力学的力学量是算符，而不是标量或矢量等。量子力学的力学量是算符，而不是标量或矢量等。量子力学的力学量是算符，而不是标量或矢量等。量子力学的力学量是算符，而不是标量或矢量等。动量算符：动量算符：算符的数学特性及表示的物理含义：算符的数学特性及表示的物理含义：（1）力学量算符的本征方程、本征值和本征态）力学量算符的本征方程、本征值和本征态能量本征方程能量本征方程动量本征方程动量本征方程三.波动力学中力学量算符量子力学的第三个基本假设例如：能25角角动量算符的表达式：量算符的表达式：角动量算符的表达式：26角角动量算符的模方定量算符的模方定义为：球坐标球坐标角动量算符的模方定义为：球坐标27四、四、本征本征值和本征函数和本征函数是力学量是力学量A 取确定取确定值 时的的本征本征态称上式称上式为算符算符 的的本征本征值方程方程。是力学量是力学量 的一个的一个本征本征值。由本征由本征值方程解出的全部本征方程解出的全部本征值 就是相就是相应力学量的力学量的可能取可能取值。当力学量算符当力学量算符 作用在波函数作用在波函数 上，其上，其结果是果是 同一个函数乘以一个常量同一个函数乘以一个常量时：四、本征值和本征函数是力学量A 取确定值 时的本征态28（1 1）坐标平均值）坐标平均值为简单，舍去时间变量（或者说，先不考虑随时间的为简单，舍去时间变量（或者说，先不考虑随时间的变化）变化）设设(x)(x)是归一化波函数，是归一化波函数，|(x)|(x)|2 2 是粒子出现在是粒子出现在x x点点的几率密度，则的几率密度，则对三维情况对三维情况，设，设(r)(r)是归一化波函数，是归一化波函数，|(r)|(r)|2 2是是粒子出现在粒子出现在 r r 点的几率密度，则点的几率密度，则x x的平均值为的平均值为若粒子所处的状态不是该力学量得本征态若粒子所处的状态不是该力学量得本征态,则该力学量就不具则该力学量就不具有确定值有确定值,而是具有一系列可能值而是具有一系列可能值,这些可能值具有确定的概率这些可能值具有确定的概率分布分布,由概率分布就可以计算其平均值由概率分布就可以计算其平均值.在量子力学中在量子力学中,任何一个力学量的平均值都可以用下式表示任何一个力学量的平均值都可以用下式表示:（1）坐标平均值对三维情况，设(r)是归一化波函数，|29一维情况一维情况：令：令(x)(x)是归一化波函数，相应动量表象波是归一化波函数，相应动量表象波函数为函数为（2 2）动量平均值）动量平均值一维情况：令(x)是归一化波函数，相应动量表象波函数为（230举例：动量算符的本征值方程是举例：动量算符的本征值方程是式中式中 是动量算符的本征值，在直角坐标系下是动量算符的本征值，在直角坐标系下 为为 均为实数。动量本征值方程的解均为实数。动量本征值方程的解举例：动量算符的本征值方程是式中 是动量算符的本征值，在31 Hamilton Hamilton 算符的本征值方程算符的本征值方程 Hamilton 算符的本征值方程32Hamilton Hamilton 算符的本征值方程的解算符的本征值方程的解Hamilton 算符的本征值方程的解33五五.概率守恒和概率流密度矢量概率守恒和概率流密度矢量描写粒子运动状态的波函数描写粒子运动状态的波函数概率密度为概率密度为概率密度随时间变化率概率密度随时间变化率薛定谔方程薛定谔方程五.概率守恒和概率流密度矢量描写粒子运动状态的波函数概率密34积分表达式积分表达式：则则-概率守恒的微分表达式概率守恒的微分表达式上式上式 :左边左边,是体积是体积V内概率的增长率内概率的增长率 右边右边,单位时间内通过单位时间内通过V的表面流入的表面流入V的概率的概率.令令或或积分表达式：则-概率守恒的微分表达式上式 :左35当当 r 时，时，可以证明右边积分可以证明右边积分0，对一粒子而言，在全空间找到它的概率总和不随时间变化对一粒子而言，在全空间找到它的概率总和不随时间变化 或波函数的归一化不随时间变化或波函数的归一化不随时间变化.1.概率守恒是有定域性质的：概率守恒是有定域性质的：当粒子在空间某处概率减小时当粒子在空间某处概率减小时,必然在另一处概率增必然在另一处概率增加加,总概率不变总概率不变.2.薛定谔是非相对论量子力学的基本方程：薛定谔是非相对论量子力学的基本方程：实物粒子没有产生和湮没的现象，所以随时间演化过实物粒子没有产生和湮没的现象，所以随时间演化过程中程中,粒子数目保持不变，概率守恒是必然的粒子数目保持不变，概率守恒是必然的.积分表达式：积分表达式：概率守恒的微分表达式：概率守恒的微分表达式：当 r 时，可以证明右边积分0，对一粒子36定态薛定谔方程的应用定态薛定谔方程的应用1 一维无限深势阱中粒子的运动一维无限深势阱中粒子的运动（1）求解求解.设粒子处在势阱设粒子处在势阱U(x)中中（定态问题）（定态问题）在在 0 x a 的区域中，粒子的定态的区域中，粒子的定态 薛方程为：薛方程为：其通解为：其通解为：显然显然，在，在 的区域中：的区域中：解：解：定态薛定谔方程的应用1 一维无限深势阱中粒子的运动（1）求37式中式中 A、B、k 可由可由边界条件、归一化条件边界条件、归一化条件确定确定边界边界条件条件 k 是什么？是什么？能量本征值能量本征值 这样的波函数不满足归一化条件这样的波函数不满足归一化条件!其通解为：其通解为：则：则：若若注意：注意：式中 A、B、k 可由边界条件、归一化条件确定边界条件 38式中的式中的A 可由归一化条件确定：可由归一化条件确定：方程的解为：方程的解为：薛方程的解：薛方程的解：即：即：势阱中电子的波函数：势阱中电子的波函数：本征函数本征函数1 一维无限深势阱中粒子的运动一维无限深势阱中粒子的运动式中的A 可由归一化条件确定：方程的解为：薛方程的解：即：势39 能量是量子化的能量是量子化的相邻两能级的间隔：相邻两能级的间隔：当势阱宽度当势阱宽度a小到原子的尺度，小到原子的尺度，E 很大，能量的量子化显著很大，能量的量子化显著当势阱宽度当势阱宽度a大到宏观的尺度，大到宏观的尺度，E很小，能量量子化不显著很小，能量量子化不显著 可把能量看成连续，回到了经典理论可把能量看成连续，回到了经典理论（2）一维无限深方势阱中粒子特点：一维无限深方势阱中粒子特点：这是解薛方程的必然结果，这是解薛方程的必然结果，不是玻尔理论中的人为假设不是玻尔理论中的人为假设量子数量子数例例.电子在原子中，电子在原子中，a=10-10m的势阱中，的势阱中，其能量为：其能量为：量子化显著量子化显著若电子在若电子在a=10-2m的宏观势阱中的宏观势阱中不可分辨，量子化消失不可分辨，量子化消失 能量是量子化的相邻两能级的间隔：当势阱宽度a小到原子的尺度40粒子的能级图粒子的能级图当当 时时经典经典量子量子等价等价玻尔的对应原理玻尔的对应原理（2）一维无限深方势阱中粒子特点：一维无限深方势阱中粒子特点：在高能级上可看成能级连续分布在高能级上可看成能级连续分布在高能级上可看成能级连续分布在高能级上可看成能级连续分布粒子的能级图当 时经典量子等41势阱中电子最低能量不可能为零势阱中电子最低能量不可能为零（与与a 有关，居然与有关，居然与v无关！）无关！）经典理论中粒子的能量可以为零，量子理论认为势阱中的粒子经典理论中粒子的能量可以为零，量子理论认为势阱中的粒子能量不可能为零能量不可能为零。-动能动能(因因U=0)这是由测不准关系决定的这是由测不准关系决定的!（2）一维无限深方势阱中粒子特点：一维无限深方势阱中粒子特点：势阱中电子最低能量不可能为零（与a 有关，居然与v无关！）42电子势阱中各处出现的几率电子势阱中各处出现的几率n+1个个节点节点稳定的驻波能级！稳定的驻波能级！ax00aa/2电子势阱中各处出现的几率n+1个节点稳定的驻波能级！ax0043（2 2）束缚定态能级的高低，由驻波的半波数来定，）束缚定态能级的高低，由驻波的半波数来定，半波数越多半波数越多(驻波波长越短驻波波长越短)，对应粒子的能级越高。，对应粒子的能级越高。例：例：n=8（4）当）当 n，粒子在各处出现的几率相同粒子在各处出现的几率相同量子化消失量子化消失（能级连成一片）能级连成一片）说明说明：1）粒子被限制在势阱中，它的状态称为粒子被限制在势阱中，它的状态称为束缚态束缚态，从物理意义上理解束缚定态方程从物理意义上理解束缚定态方程 的解，是一些的解，是一些驻波驻波。这。这些驻波图形些驻波图形,形象地表示出处在某个能量状态的粒形象地表示出处在某个能量状态的粒 子在子在 0 x a 范围内哪些地方出现粒子的范围内哪些地方出现粒子的几率几率最大、最小。最大、最小。（3）第）第 n 个能级个能级,波函数在总区间内有波函数在总区间内有 n+1个节点。个节点。节点处找到粒子的几率为零节点处找到粒子的几率为零.（2）束缚定态能级的高低，由驻波的半波数来定，例：n=8（4442 2、势垒贯穿（隧道效应）势垒贯穿（隧道效应）（1 1）有限方势垒：）有限方势垒：薛方程：薛方程：OIII其解为：其解为：（E UU0,衰减解）衰减解）(E U0,振动解）振动解）电子逸出金属表面的模型电子逸出金属表面的模型dIII2、势垒贯穿（隧道效应）（1）有限方势垒：薛方程：OIII其45