第一章数理逻辑课件

第一篇第一篇数理逻辑数理逻辑引言引言第一章第一章数理逻辑数理逻辑第二章第二章非经典逻辑简介非经典逻辑简介引言引言：数理逻辑简介：数理逻辑简介1、逻辑学：、逻辑学：研究人的思维（推理）形式的学科。其中的核心研究人的思维（推理）形式的学科。其中的核心内容是推理的有效性。内容是推理的有效性。2、形式逻辑：、形式逻辑：用自然语言研究人的思维（推理）形式。又称语用自然语言研究人的思维（推理）形式。又称语言逻辑，由言逻辑，由古希腊思想家、哲学家亚里斯多德在古希腊思想家、哲学家亚里斯多德在2300多年前创立，多年前创立，至今仍在不断发展和完善中。至今仍在不断发展和完善中。3、数理逻辑：、数理逻辑：用数学方法研究人的思维（推理）形式，由用数学方法研究人的思维（推理）形式，由17世世纪德国哲学家和数学家莱布尼兹创立。由于数学具有符号化、一义纪德国哲学家和数学家莱布尼兹创立。由于数学具有符号化、一义性两大特征，所以人们常常把数理逻辑称为符号逻辑。性两大特征，所以人们常常把数理逻辑称为符号逻辑。4、数理逻辑在逻辑学中的地位：、数理逻辑在逻辑学中的地位：初等逻辑初等逻辑命题逻辑命题逻辑经典逻辑经典逻辑谓词逻辑（一阶逻辑）谓词逻辑（一阶逻辑）高等逻辑高等逻辑公理集论公理集论证明论证明论数理逻辑数理逻辑递归论递归论模型论模型论多值逻辑多值逻辑非经典逻辑非经典逻辑模态逻辑模态逻辑非单调逻辑非单调逻辑模糊逻辑模糊逻辑多值逻辑多值逻辑第一章第一章数理逻辑数理逻辑1.1命题及命题联结词命题及命题联结词1.2命题公式及命题公式之间的逻辑关系命题公式及命题公式之间的逻辑关系1.3谓词与量词谓词与量词1.4谓词公式及谓词公式之间的逻辑关系谓词公式及谓词公式之间的逻辑关系1.5范式范式1.6数理逻辑推理理论数理逻辑推理理论1.7数理逻辑推理系统数理逻辑推理系统N1.8谓词逻辑推理系统谓词逻辑推理系统NL1.1命题及命题联结词命题及命题联结词1.1.1命题命题一、定义：具有确定真值的判断称为命题。一、定义：具有确定真值的判断称为命题。二、说明：二、说明：1、命题是逻辑学中的最基本单元。、命题是逻辑学中的最基本单元。2、由命题的定义知，每个命题都具有两个要素，即、由命题的定义知，每个命题都具有两个要素，即它必是一个陈述句它必是一个陈述句，并且有唯一的真值。并且有唯一的真值。3、有有的的判判断断虽虽然然它它的的真真值值，但但只只要要它它的的真真值值非非0即即1，则则它它也也是一个命题。是一个命题。三、命题的分类三、命题的分类1、按命题的真值情况，所有命题可分为真命题和假命题两类。、按命题的真值情况，所有命题可分为真命题和假命题两类。2、按命题的复杂程度，所有命题可分为简单命题和复合命题两类。、按命题的复杂程度，所有命题可分为简单命题和复合命题两类。四、命题符号四、命题符号本本教教材材中中用用大大写写英英文文字字母母或或大大写写英英文文字字母母加加下下标标来来表表示示简简单单命命题题，用用命题公式来表示复合命题。命题公式来表示复合命题。1.1.2命题联结词命题联结词一、定一、定义义（1）否定（）否定（）：设）：设P是任意一个命题，是任意一个命题，P的真值为的真值为1当且仅当当且仅当P的真值为的真值为0。（2）合取（）合取（）：设）：设P，Q是任意两个命题，是任意两个命题，PQ的真值为的真值为1当且仅当当且仅当P，Q的的真值都为真值都为1。（3）析取（）析取（）：设）：设P，Q是任意两个命题，是任意两个命题，PQ的真值为的真值为0当且仅当当且仅当P，Q的的真值都为真值都为0。（4）蕴涵（）蕴涵（）：设）：设P，Q是任意两个命题，是任意两个命题，PQ的真值为的真值为0当且仅当当且仅当P的真值的真值为为1，且，且Q的真值为的真值为0。（5）等价（）等价（）：设）：设P，Q是任意两个命题，是任意两个命题，P Q的真值为的真值为1当且仅当当且仅当P的的真值和真值和Q的真值相同。的真值相同。二、联结词的优先级二、联结词的优先级在同一层次中，各联结词的优先级由高到低依次为：在同一层次中，各联结词的优先级由高到低依次为：，。1.1.3命题的符号化命题的符号化例例将下列命题符号化。将下列命题符号化。（1）两军相遇，勇者胜。）两军相遇，勇者胜。（2）小王很聪明，但是不用功学习，所以他的成绩不好。）小王很聪明，但是不用功学习，所以他的成绩不好。（3）我不能一边吃饭，一边踢球。）我不能一边吃饭，一边踢球。（4）只要我有足够的钱，我就一定会去买一部新手机。只要我有足够的钱，我就一定会去买一部新手机。（5）只有我有足够的钱，我才会去买新手机。）只有我有足够的钱，我才会去买新手机。（6）李芳是否唱歌，完全视王强是否伴奏而定。）李芳是否唱歌，完全视王强是否伴奏而定。解解：（：（1）令令P：两军相遇：两军相遇Q：勇者胜：勇者胜则符号化为：则符号化为：PQ（2）令令P：小王很聪明：小王很聪明Q：小王用功学习：小王用功学习R：小王的成绩：小王的成绩好好则符号化为：则符号化为：PQ R（3）令令P：我正在吃饭：我正在吃饭Q：我正在踢球：我正在踢球则符号化为：则符号化为：（PQ）（4）令）令P：我有足够的钱：我有足够的钱Q：我去买一部新手机：我去买一部新手机则符号化为：则符号化为：PQ（5）令）令P：我有足够的钱我有足够的钱Q：我去买一部新手机我去买一部新手机 则符号化为：则符号化为：PQ（6）令令P：李芳唱歌李芳唱歌Q：王强伴奏王强伴奏 则符合化为：则符合化为：P Q例例设设P表示表示“天下雨天下雨”，Q表示表示“我有空闲时间我有空闲时间”，R表示表示“我去看球赛我去看球赛”。请用自然语言表示下面的复合命题。请用自然语言表示下面的复合命题。（1）QR（2）Q（P R）（3）PR解：（解：（1）虽然我有空闲时间，但是我还是没有去看球赛。）虽然我有空闲时间，但是我还是没有去看球赛。（2）只要我有空闲时间，那么我去看球赛当且仅当天不下雨。）只要我有空闲时间，那么我去看球赛当且仅当天不下雨。（3）我冒着雨去看球赛。）我冒着雨去看球赛。说说明明：在在符符号号化化一一个个命命题题的的时时候候，首首先先需需要要将将其其中中的的每每个个简简单单命命题题找找出出来来，并并分分别别用用一一个个命命题题符符号号表表示示，然然后后通通过过分分析析命命题题（关关键键是是其其中中的的连连词词）的的含含义义，选选择择适适当当的的联联结结词词来来反反映映它它们们的的逻逻辑辑意意义义，最最终终用用联联结结词词把把各各命命题题符符号号连连接接起起来来，得得到该命题的符号化形式。到该命题的符号化形式。有有了了联联结结词词和和命命题题符符号号以以后后，每每个个符符合合数数理理逻逻辑辑语语法法规规范范的的符符号号串串（即即下下节节所所说说的的命命题题公公式式）就就表表示示了了一一类类结结构构相相同同命命题题。如如果果进进一一步步指指定定符符号号串串中中每每个个命命题题符符号的含义，则该符号串便成了一个具体的命题。号的含义，则该符号串便成了一个具体的命题。1.2命题公式及命题公式之间的逻辑关系命题公式及命题公式之间的逻辑关系1.2.1命题公式命题公式一、构造（递推）式定义一、构造（递推）式定义（1）单个命题符号及）单个命题符号及0，1是命题公式；是命题公式；（2）若）若A是命题公式，则是命题公式，则 A也是命题公式；也是命题公式；（3）若若A，B是是命命题题公公式式，则则(AB),(AB),(AB),(AB)也也是是命题公式；命题公式；（4）有限次使用）有限次使用(1)(2)(3)(4)所形成的符号串是命题公式。所形成的符号串是命题公式。二、内涵式定义二、内涵式定义设设$是是由由命命题题符符号号、0、1、联联结结词词、括括号号组组成成的的长长度度有有限限的的符符号串，如果号串，如果$中的每个符号都有意义，则称中的每个符号都有意义，则称$是一个命题公式。是一个命题公式。1.2.2公式的赋值公式的赋值一一、定定义义：设设A是是一一个个含含有有命命题题符符号号P1、P2、Pn的的公公式式，用用n个个确确定定的的真真值值t1、t2、tn分分别别赋赋值值给给P1、P2、Pn，称为对公式称为对公式A作了一种赋值。作了一种赋值。二、赋值的意义二、赋值的意义一一般般情情况况下下，一一个个命命题题公公式式在在赋赋值值之之前前是是没没有有真真值值的的（或或者者说说是不确定的）。是不确定的）。但但是是任任何何一一个个命命题题公公式式作作了了一一种种赋赋值值后后，就就可可以以求求出出一一个个唯唯一一的、确定的真值来了。的、确定的真值来了。所以，我们可以通过赋值，来对一个命题公式进行考察。所以，我们可以通过赋值，来对一个命题公式进行考察。三、成真赋值与成假赋值三、成真赋值与成假赋值成真赋值：成真赋值：使命题公式使命题公式A的真值为的真值为1的赋值称为的赋值称为A的一种成真的一种成真赋值。赋值。成假赋值：成假赋值：使命题公式使命题公式A的真值为的真值为0的赋值称为的赋值称为A的一种成假的一种成假赋值。赋值。四、赋值的数目四、赋值的数目定理：定理：设设A是一个含有是一个含有n n种命题符号的公式，则对种命题符号的公式，则对A共有共有2n种种不同的赋值。不同的赋值。本定理利用组合数学中的乘法定理易证。本定理利用组合数学中的乘法定理易证。1.2.3 1.2.3 真值表真值表 对给定的公式对给定的公式A，将，将A在每种赋值下的真值都求出来，然后在每种赋值下的真值都求出来，然后按一定的规范汇列成表，这样得到的表称为公式按一定的规范汇列成表，这样得到的表称为公式A的真值表。的真值表。例例设有公式设有公式A=（PQ）P）R），），则其真值表见下则其真值表见下表表。P Q R （PQ）P）R）00010011010101111001101111001111 实际中构造一个公式的真值表时，经常把运算的中间结果也放入实际中构造一个公式的真值表时，经常把运算的中间结果也放入表中，如下表。表中，如下表。P Q R PQ P （PQ）P （PQ）P）R）0 0 0 0 1 1 10 0 1 0 1 1 10 1 0 0 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 1 11 1 0 1 0 0 01 1 1 1 0 0 11.2.4公式的分类公式的分类一、命题公式的分类一、命题公式的分类1、永真式：在任何赋值情况下真值都为永真式：在任何赋值情况下真值都为1的命题公式。的命题公式。2、永假式：在任何赋值情况下真值都为、永假式：在任何赋值情况下真值都为0的命题公式。的命题公式。3、可满足式：至少有一种成真赋值的命题公式。可满足式：至少有一种成真赋值的命题公式。二、命题公式之间的逻辑关系二、命题公式之间的逻辑关系1、如果公式、如果公式A是个永真式，则是个永真式，则 A必是永假式。必是永假式。2、如果公式、如果公式A是个永假式，则是个永假式，则 A必是永真式。必是永真式。3、如果公式、如果公式A是个可满足式，则是个可满足式，则A必不是永假式。必不是永假式。4、如果如果A是永真式，则是永真式，则A必是可满足式。必是可满足式。5、如果、如果A是永假式，是永假式，B是任一公式，则是任一公式，则AB必是永假式，必是永假式，AB必必是永真式。是永真式。6、如果、如果A是永真式，是永真式，B是任一公式，则是任一公式，则AB必是永真式，必是永真式，BA必是永真式必是永真式1.2.5命题公式之间的逻辑关系命题公式之间的逻辑关系一、等值一、等值1、定义：、定义：设设A、B是命题公式，如果在任何一种赋值下，是命题公式，如果在任何一种赋值下，A、B的真的真值都相同，则称值都相同，则称A等值于等值于B，有时也称有时也称A与与B是等值的。记作是等值的。记作A B。显然有显然有AB当且仅当且仅当当AB是永真式。是永真式。2、等值的性质、等值的性质对任意的公式对任意的公式A、B、C，下面的结论都成立。下面的结论都成立。（1）A A。（自反性）自反性）（2）若）若A B，则，则B A。（对称性）对称性）（3）若）若A B，且，且B C，则，则A C。（传递性）传递性）3 3、基本等值式、基本等值式设设A A、B B、C C是任意的公式，是任意的公式，1 1表示任意一个永真式，表示任意一个永真式，0 0表示任意一个表示任意一个永假式，则下列等值式成立。永假式，则下列等值式成立。（1 1）A A 双重否定律双重否定律（2）A AA等幂律等幂律A AA（3）AB BA交换律交换律AB BA（4）（）（AB）C A（BC）结合律结合律（AB）C A（BC）（5）A（BC）（AB）（AC）分配律分配律 A（BC）（AB）（AC）（6）（AB）AB德德摩根律摩根律（AB）AB（7）A（AB）A吸收律吸收律A（AB）A（8）A0A同一律同一律 A1A（9）A00零律零律A11（10）AA 1排中律排中律（11）AA 0矛盾律矛盾律（12）AB AB 蕴涵等值式蕴涵等值式（13）A B（AB）（B A）等价等值式等价等值式（14）AB B A假言易位假言易位（15）（）（AB）（A B）A归缪律归缪律4、等值式的证明、等值式的证明法一法一真值表法真值表法要证明要证明A B，只需证明只需证明A，B的真值表完全相同即可。的真值表完全相同即可。例例证明证明(PQ)PQ证明：作出证明：作出（PQ）和和 PQ 的真值表如下的真值表如下P Q PQ (PQ)P Q PQ0001111011010010100101110000因为因为(PQ)与与 PQ的真值表完全相同，所以的真值表完全相同，所以(PQ)PQ。法二法二等值变换法等值变换法 定理：定理：设设A是任意一个公式，是任意一个公式，A1是是A的一个子公式，若将的一个子公式，若将A中的中的 A1用与之等值的公式用与之等值的公式 A2替换掉，得到的公式记为替换掉，得到的公式记为A/若若A1A2，则，则 AA/。上上述述定定理理又又称称为为替替换换规规则则，它它说说明明当当把把A中中的的任任何何子子公公式式用用与与之之等等值值的的公公式式替替换换以以后后，得得到到的的新新公公式式必必等等值值于于A。我我们们把把“将将公公式式A变换成与之等值的公式变换成与之等值的公式B”称为称为“对对A作了一次等值变换作了一次等值变换”。根根据据替替换换规规则则，要要证证明明等等值值式式A B，只只需需要要证证明明公公式式A可可以以通通过过等等值值变变换换变变成成B即即可可。在在变变换换的的过过程程中中，每每一一步步变变换换都都是是利利用用一个基本等值式而进行的。一个基本等值式而进行的。例例证明证明P（Q R）（PQ）R。证：证：P（Q R）P（QR）（蕴涵等值式）（蕴涵等值式）P（QR）（蕴涵等值式）蕴涵等值式）（PQ）R（结合律）结合律）（PQ）R（德德摩根律）摩根律）（PQ）R（蕴涵等值式）蕴涵等值式）二、蕴涵二、蕴涵1、定义：、定义：设设A、B是命题公式，如果在任何一种使是命题公式，如果在任何一种使A真值为真值为1赋值下，赋值下，B的真值都为的真值都为1，则称，则称A蕴涵蕴涵B。记作记作A B。显然有显然有AB当且仅当当且仅当AB是永真式。是永真式。2、等值的性质、等值的性质对任意的公式对任意的公式A、B、C，下面的结论都成立。下面的结论都成立。（1）A A。（自反性）自反性）（2）若）若A B，且，且B C，则，则A C。（传递性）传递性）3、基本等值式、基本等值式设设A、B、C是任意的公式，是任意的公式，1表示任意一个永真式，表示任意一个永真式，0表示任意一表示任意一个永假式，则下列蕴涵式成立。个永假式，则下列蕴涵式成立。(1)AAB附加规则附加规则 ABA(2)ABA化简规则化简规则ABB(3)AB，AB 假言推理规则假言推理规则(4)AB，AB 析取三段论规则析取三段论规则AB，BA(5)AB，B A 拒取式规则拒取式规则(6)AB，BCAC假言三段论规则假言三段论规则(7)AB，CD，ACBD构造性二难推理规则构造性二难推理规则(8)A，BAB合取引入规则合取引入规则1.3谓词与量词谓词与量词1.3.1个体个体一、个体一、个体：可以独立存在的对象。：可以独立存在的对象。一般，能用名词来代表的对象都是个体。个体可以是一个具体的事一般，能用名词来代表的对象都是个体。个体可以是一个具体的事物，也可以是一个抽象的概念。物，也可以是一个抽象的概念。二、个体符号二、个体符号：用小写英文字母表示个体。：用小写英文字母表示个体。特别，用特别，用a,b,c,a1,a2,a3,等表示确定的个体，称为个体常等表示确定的个体，称为个体常元；用元；用x,y,z,x1,x2,x3,等表示任何一个个体，称为个体变元。等表示任何一个个体，称为个体变元。三、个体域：三、个体域：个体变元的取值范围称为个体域，用个体变元的取值范围称为个体域，用D D表示。是一个集表示。是一个集合，代表讨论范围内所有事物组成的集合。合，代表讨论范围内所有事物组成的集合。四、全总个体域：四、全总个体域：所有个体组成的集合称为全总个体域，用所有个体组成的集合称为全总个体域，用U U表示。表示。1.3.2 1.3.2 谓词谓词一、谓词：一、谓词：用来刻画个体的性质或个体之间的关系的句子成分。用来刻画个体的性质或个体之间的关系的句子成分。一般，谓词在作为命题的句子中取到谓语的作用。一般，谓词在作为命题的句子中取到谓语的作用。二、谓词符号：用大写英文字母或大写英文字母加下标来表示个体。二、谓词符号：用大写英文字母或大写英文字母加下标来表示个体。如如F,G,H,F1,F 2,F3,等。等。三、谓词的元数：三、谓词的元数：1、0元谓词：具体的命题称为一元谓词。元谓词：具体的命题称为一元谓词。2、一元谓词：刻画某种性质的谓词称为一元谓词。、一元谓词：刻画某种性质的谓词称为一元谓词。3、n元谓词：刻画元谓词：刻画n（n大于等于大于等于2）个个体之间的关系的谓词称为）个个体之间的关系的谓词称为n元谓词。元谓词。四、命题函数：一个四、命题函数：一个n元谓词总是同元谓词总是同n个个体符号结合起来使用，称为个个体符号结合起来使用，称为命题函数。命题函数。对一个命题函数，如果其中含有对一个命题函数，如果其中含有m种个体变元，则称这个命题函种个体变元，则称这个命题函数是一个数是一个m元命题函数。例如元命题函数。例如F（a，b，c）是一个）是一个0元命题函数，元命题函数，G（x，y）是一个）是一个2元命题函数，元命题函数，H（a，x）是一个）是一个1元命题函数。元命题函数。1.3.3量词量词一、量词：刻画对讨论范围（个体域）中的个体下结论的方式。一、量词：刻画对讨论范围（个体域）中的个体下结论的方式。二、两个基本量词二、两个基本量词1、全称量词：表示、全称量词：表示“对任意的对任意的”、“每个每个”、“所有的所有的”等下结论方式的量词称为全称量词。用符号等下结论方式的量词称为全称量词。用符号“”表示。表示。2、存在量词：表示、存在量词：表示“有的有的”、“至少有一个至少有一个”、“存在存在”等下结论方式的量词称为存在量词。用符号等下结论方式的量词称为存在量词。用符号“”表示。表示。三、量词的作用元三、量词的作用元一一般般，单单独独的的量量词词符符号号是是没没有有意意义义的的。量量词词的的后后面面必必须须紧紧跟跟一一个个个个体体变变元元，这这个个个个体体变变元元称称为为该该量量词词的的作作用用元元。例例如如 x中中，x是是 的作用元；的作用元；y中，中，y是是 的作用元。的作用元。四、量词的辖域：即量词的作用范围。四、量词的辖域：即量词的作用范围。1.3.4命题的符号化命题的符号化利用谓词逻辑的三类符号个体、谓词、量词，可以将任何利用谓词逻辑的三类符号个体、谓词、量词，可以将任何命题进行符号化。命题进行符号化。在对一个命题符号化时，应注意下列几点：在对一个命题符号化时，应注意下列几点：1.在在不不同同的的个个体体域域情情况况下下，同同一一个个命命题题符符号号化化的的结结果果可可能能不同。不同。2.若若没没有有指指定定个个体体域域，则则应应以以全全总总个个体体域域为为个个体体域域进进行行符符号化。号化。3.当当个个体体域域中中除除了了命命题题中中所所述述个个体体以以外外，还还有有其其它它种种类类的的个体时，必须使用特性谓词。个体时，必须使用特性谓词。4.使使用用特特性性谓谓词词后后，若若量量词词为为全全称称量量词词“”，则则联联结结词词应应使使用用蕴蕴涵联结词涵联结词“”；若量词为存在量词若量词为存在量词“”，则联结词应使用合取联结词，则联结词应使用合取联结词“”。5.个体域和谓词的含义确定以后，个体域和谓词的含义确定以后，n元谓词要转化为具体的命题，至元谓词要转化为具体的命题，至少需要少需要n个个量词。量词。6.多个量词同时出现时，各个量词的先后顺序不能随意颠倒。多个量词同时出现时，各个量词的先后顺序不能随意颠倒。例例.（1）尽管有的人很聪明，但未必一切人都很聪明。）尽管有的人很聪明，但未必一切人都很聪明。（2）不管白猫还是黑猫，能抓老鼠的就是好猫。）不管白猫还是黑猫，能抓老鼠的就是好猫。（3）不存在比飞机更快的牛车。）不存在比飞机更快的牛车。解：（解：（1）令）令F（x）：）：x是人是人G（x）：）：x很聪明很聪明则符号化为：则符号化为：x（F（x）G（x）x（F（x）G（x）（2）令）令F（x）：）：x是白猫是白猫G（x）：）：x是黑猫是黑猫H（x）：）：x能抓老鼠能抓老鼠I（x）：）：x是好猫是好猫 则符号化为：则符号化为：x（F（x）G（x）H（x）I（x）（3）令）令F（x）：）：x是牛车是牛车G（x）：）：x是飞机是飞机H（x，y）：）：x比比y快快则则 x（F（x）y（G（y）H（x，y）1.4谓词公式及谓词公式之间的逻辑关系谓词公式及谓词公式之间的逻辑关系1.4.1谓词逻辑中的合法符号谓词逻辑中的合法符号一共有如下七类：一共有如下七类：（1）个体常元符号：用带或不带下标的小写英文字母）个体常元符号：用带或不带下标的小写英文字母a,b,c,a1,a2，a3来表示。当个体域来表示。当个体域D给出时，它代表是给出时，它代表是D中某个特定的元素。中某个特定的元素。（2）个体变元符号：用带或不带下标的小写英文字母）个体变元符号：用带或不带下标的小写英文字母x,y,z,x1,x2,x3来表示。当个体域来表示。当个体域D给出时，它可以代表给出时，它可以代表D中任何一个元素。中任何一个元素。（3）函数符号：用带或不带下标的小写英文字母）函数符号：用带或不带下标的小写英文字母f,g,h,f1,f2,f3,来表示。当个体域来表示。当个体域D给出时，给出时，n元函数符号元函数符号f(x1,x2,xn)是一个是一个D的函数。的函数。（4）谓词符号）谓词符号:用带或不带下标的大写英文字母用带或不带下标的大写英文字母F,G,H,F1,F2,F3,来表示。当个体域来表示。当个体域D给出时，给出时，n元谓词符号元谓词符号f(x1,x2,xn)是一个是一个0，10,1的函数。的函数。（5）量词符号：全称量词）量词符号：全称量词，存在量词，存在量词（6）联结词符号：）联结词符号：，（7）辅助符号：（，），）辅助符号：（，），1.4.2项项项的构造性定义如下：项的构造性定义如下：（1）单个个体常元符号，单个个体变元符号都是项；）单个个体常元符号，单个个体变元符号都是项；（2）若）若f(x1,x2,xn)是是n元函数，元函数，t1，t2，tn是项，是项，则则f(t1，t2，tn)也是项；也是项；（3）仅仅由有限次使用）仅仅由有限次使用(1),(2)产生的符号串才是项。产生的符号串才是项。说明：每个项都是表示一个个体的符号串。说明：每个项都是表示一个个体的符号串。1.4.3谓词公式谓词公式谓词公式的构造性定义如下：谓词公式的构造性定义如下：（1 1）若）若F(x1,x2,xn)是是n元谓词，元谓词，t1,t2,tn是项，是项，则则F(t1,t2,tn)是是谓词公式；谓词公式；（2）若）若A，B是谓词公式，则是谓词公式，则 A、A B、A B、AB、AB也是谓词公式；也是谓词公式；（3）若）若A是谓词公式，是谓词公式，x是个体变元符号，则是个体变元符号，则 x A、x A也是谓词公式；也是谓词公式；（4）只有有限次使用只有有限次使用(1)、(2)、(3)产生的符号串才是产生的符号串才是谓词公式。谓词公式。显然，谓词公式中只可能含有显然，谓词公式中只可能含有1.4.1中所列出的符中所列出的符号。号。1.4.4有关谓词公式的概念有关谓词公式的概念（1）约束变元：受到量词作用的个体变元。）约束变元：受到量词作用的个体变元。（2）自由变元：未受到量词作用的个体变元。）自由变元：未受到量词作用的个体变元。（3）闭式：不含自由变元的谓词公式。）闭式：不含自由变元的谓词公式。（4）开式：含有自由变元的谓词公式。）开式：含有自由变元的谓词公式。显然，每个个体变元不是约束变元就是自由变元。显然，每个个体变元不是约束变元就是自由变元。同样，每个谓词公式，不是开式就是闭式。同样，每个谓词公式，不是开式就是闭式。1.4.5谓词公式的解释谓词公式的解释一、定义一、定义对谓词公式对谓词公式G的一种解释由如下四部分组成：的一种解释由如下四部分组成：（1）非空的个体域集合非空的个体域集合D；（2）G中的每个个体常量符号，指定为中的每个个体常量符号，指定为中的某个特定元素；中的某个特定元素；（3）G中的每个中的每个n元函数符号，指定为元函数符号，指定为中的某个特定的中的某个特定的n元函数；元函数；（4）G中中的的每每个个n元元谓谓词词符符号号，指指定定为为 0，1 中中的的某某个个特特定定的的n n元元谓谓词。词。二、解释的数目二、解释的数目对任何一个谓词公式，都有无穷多种不同的解释。对任何一个谓词公式，都有无穷多种不同的解释。三、解释的意义三、解释的意义（1）对谓词公式）对谓词公式G的一种解释，实际上是将的一种解释，实际上是将G中的每个不确定的因中的每个不确定的因素都指定一种确定的含义。素都指定一种确定的含义。（2）任何一个闭式在作了一种解释以后，可以求出唯一的一个真值；）任何一个闭式在作了一种解释以后，可以求出唯一的一个真值；但有的开式无论对其作出何种解释，都得不到确定的真值。但有的开式无论对其作出何种解释，都得不到确定的真值。（3）本教材中，如果不作特殊说明，所提到的谓词公式都指的是闭）本教材中，如果不作特殊说明，所提到的谓词公式都指的是闭式。式。1.4.6谓词公式的分类谓词公式的分类一、谓词公式的分类一、谓词公式的分类1、有效公式：在任何解释情况下真值都为、有效公式：在任何解释情况下真值都为1的谓词公式。又可的谓词公式。又可称为永真式。称为永真式。2、矛盾公式：在任何解释情况下真值都为、矛盾公式：在任何解释情况下真值都为0的谓词公式。又可的谓词公式。又可称为永假式。称为永假式。3、可满足公式：至少有一种成真解释的谓词公式。、可满足公式：至少有一种成真解释的谓词公式。二、谓词公式之间的逻辑关系二、谓词公式之间的逻辑关系1、如果谓词公式、如果谓词公式A是个永真式，则是个永真式，则 A必是永假式。必是永假式。2、如果谓词公式、如果谓词公式A是个永假式，则是个永假式，则 A必是永真式。必是永真式。3、如果谓词公式、如果谓词公式A是个可满足式，则是个可满足式，则A必不是永假式。必不是永假式。4、如果如果A是永真式，则是永真式，则A必是可满足式。必是可满足式。5、如果、如果A是永假式，是永假式，B是任一谓词公式，则是任一谓词公式，则AB必是永假式，必是永假式，AB必是永真式。必是永真式。6、如果、如果A是永真式，是永真式，B是任一谓词公式，则是任一谓词公式，则AB必是永真式，必是永真式，BA必是永真式。必是永真式。1.4.7谓词公式之间的逻辑关系谓词公式之间的逻辑关系一、等值一、等值1、定义：设、定义：设A，B是两个公式，如果是两个公式，如果AB是有效公式，则称是有效公式，则称A等值于等值于B，记作记作A B，并称，并称A B是一个等值式。是一个等值式。显然，公式显然，公式A等值于公式等值于公式B的充分必要条件是，在任何一种解的充分必要条件是，在任何一种解释下释下A，B的真值的真值都是相同的。都是相同的。2、基本等值式、基本等值式（1）命题逻辑基本等值式的推广命题逻辑基本等值式的推广利用代入实例的特性（永真的命题公式的任何代入实例都是利用代入实例的特性（永真的命题公式的任何代入实例都是有效公式），有效公式），可以得到一些与可以得到一些与命题逻辑基本等值式结构相同的，谓词逻辑命题逻辑基本等值式结构相同的，谓词逻辑中的基本等值式。中的基本等值式。例如，由例如，由 PP可推广出可推广出 xF(x)xF(x)，由，由PQ PQ可推广出可推广出 xF(x)x yG(x，y)xF(x)x yG(x，y)等等等等。（2）谓词逻辑中特有的基本等值式）谓词逻辑中特有的基本等值式 设设A(x)，B(x)都是含自由变元都是含自由变元x的任意的谓词公式，的任意的谓词公式，C是是不含作为自由变元在其中出现的任意的谓词公式，则有下列结论。不含作为自由变元在其中出现的任意的谓词公式，则有下列结论。a.换名规则换名规则 x A(x)yA(y)，其中，其中y不在不在A(x)中出现；中出现；xA(x)yA(y)，其中其中y不在不在A(x)中出现。中出现。b.量词否定律量词否定律xA(x)x A(x)xA(x)x A(x)c.量词消去律量词消去律当个体域当个体域D是有限集合，即是有限集合，即D=a1,a2,an时，有时，有 xA(x)A（a1）A（a2）A（an）；）；x A(x)A（a1）A（a2）A（an）。）。d.量词分配律量词分配律 x（A(x)B(x)）xA(x)x B(x)；x（A(x)B(x)）xA(x)x B(x)。e.量词辖域的扩张与收缩量词辖域的扩张与收缩 x（A(x)C）xA(x)C；x（A(x)C）xA(x)C；x（A(x)C）xA(x)C；x（CA(x)）C xA(x)；x（A(x)C）xA(x)C；x（A(x)C）xA(x)C；x（A(x)C）xA(x)C；x（CA(x)）C xA(x)。二、二、蕴涵蕴涵1、定义：、定义：设设A，B是两个谓词公式，如果是两个谓词公式，如果AB是有效公式，是有效公式，则称则称A蕴涵蕴涵B，记记 作作AB，并称并称A B是一个蕴涵式。是一个蕴涵式。2、基本等值式、基本等值式（1）命题逻辑基本蕴涵式的推广命题逻辑基本蕴涵式的推广利用代入实例的特性（永真的利用代入实例的特性（永真的命题公式的任何代入实例都是有效公命题公式的任何代入实例都是有效公式），可以得到一些与式），可以得到一些与命题命题逻辑基本蕴涵式结构相同的，谓词逻辑中的基本蕴涵式。逻辑基本蕴涵式结构相同的，谓词逻辑中的基本蕴涵式。例如，由例如，由PQP可推广出可推广出 xF（x）yG（y）xF（x）；）；由由P QP Q，PQ可推出可推出 xF（x）x yG（x，y），），xF（x）x yG（x，y）等等。等等。（2）谓词逻辑中特有的基本蕴涵式）谓词逻辑中特有的基本蕴涵式设设A（x），），B（x）都是含自由变元）都是含自由变元x的任意的谓词公式，则下的任意的谓词公式，则下述结论成立。述结论成立。a.xA（x）x A（x）；）；b.x（A（x）B（x）x A（x）x B（x）；）；c.xA（x）xB（x）x（A（x）B（x）；）；d.x A（x）xB（x）x（A（x）B（x）；）；e.x（A（x）B（x）xA（x）xB（x）；）；f.x（A（x）B（x）x A（x）x B（x）。）。1.5范式范式1.5.1主析主析(合合)取范式取范式一、析一、析(合合)取范式取范式1、简单合、简单合(析析)取式：由单个命题变元或单个命题变元的否定所取式：由单个命题变元或单个命题变元的否定所组成的合组成的合(析析)取式。取式。约定：单个命题变元符号或单个命题变元的否定既是简单合取式，约定：单个命题变元符号或单个命题变元的否定既是简单合取式，也是简单析取式。也是简单析取式。2、析、析(合合)取范式：由有限个简单合取范式：由有限个简单合(析析)取式组成的析取式。取式组成的析取式。约定：单个简单合约定：单个简单合(析析)取式既是析取范式，也是合取范式。取式既是析取范式，也是合取范式。3、析、析(合合)取范式的存在性：对任何一个命题公式，都存在与之取范式的存在性：对任何一个命题公式，都存在与之等值的析等值的析(合合)取范式。但不唯一。取范式。但不唯一。4、析、析(合合)取范式的求法：取范式的求法：事实上，对任何一个命题公式事实上，对任何一个命题公式A，都可以通过下列，都可以通过下列3步，等值步，等值变换成析变换成析(合合)取范式。取范式。第一步：利用蕴涵等值式、等价等值式第一步：利用蕴涵等值式、等价等值式AB ABA B（AB）（BA）消去消去A中的联结词中的联结词，。第二步：利用德第二步：利用德摩根律摩根律（AB）A B （AB）A B将公式中的每个将公式中的每个 移到单个命题变元前。移到单个命题变元前。第三步：适当利用结合律、分配律、交换律、等幂律、吸收律、第三步：适当利用结合律、分配律、交换律、等幂律、吸收律、双重否定律等基双重否定律等基 本等值式，将公式化成析（合）取范式。本等值式，将公式化成析（合）取范式。例例.求命题公式（求命题公式（PQ）R）P的析取范式和合取范式。的析取范式和合取范式。解：（解：（1）求析取范式）求析取范式（PQ）R）P（PQ）R）P蕴涵等值式蕴涵等值式（PQ）R）P蕴涵等值式蕴涵等值式（P Q）R）P德德摩根律摩根律（P Q）R）P德德摩根律摩根律（PQ）R）P德德摩根律摩根律（PQ）R）P双重否定律双重否定律（P R）（Q R）P分配律分配律（P R）（Q R）P结合律结合律（2）求合取范式）求合取范式 前前6步变换同（步变换同（1），有），有（PQ）R）P （PQ）R）P （PQ）P）（RP）分配律分配律（P（QP）（RP）结合律结合律（P（PQ）（RP）交换律交换律（PP）Q）（RP）结合律结合律（PQ）（RP）等幂律等幂律二、主析（合）取范式二、主析（合）取范式 1、极小（大）项、极小（大）项 （1）定义：设）定义：设G是含有是含有n种命题变元种命题变元P1,P2,Pn的命题公式，的命题公式，若简单合取式若简单合取式m中，命题变元中，命题变元P1,P2,Pn都在都在m中出现且仅出现一中出现且仅出现一次，则称次，则称m是G的一个极小项；若简单析取式若简单析取式M中，命题变元中，命题变元P1,P2,Pn都在都在M中出现且仅出现一次，则称中出现且仅出现一次，则称M是G的一个极大项。（2）极小（大）项的数目：一个含有）极小（大）项的数目：一个含有n 种命题变元的命题公式共种命题变元的命题公式共有有2n个不同的极小项和个不同的极小项和2n个不同的极大项。个不同的极大项。（3）极小（大）项的性质）极小（大）项的性质含含n种命题变元的命题公式种命题变元的命题公式A的极小（大）项有下述性质：的极小（大）项有下述性质：a.A的每个极小项有且仅有的每个极小项有且仅有1种成真赋值，种成真赋值，2n-1种成假赋值；种成假赋值；A的每个极大项有且仅有的每个极大项有且仅有1种成假赋值，种成假赋值，2n-1种成真赋值。种成真赋值。b.A的全体极小项的析取是一个永真式；的全体极小项的析取是一个永真式；A的全体极大项的合的全体极大项的合取是一个永假式。取是一个永假式。c.极小项与二进制数之间的一一对应：极小项与二进制数之间的一一对应：设设A中的命题变元已排好先后次序（不妨假设为中的命题变元已排好先后次序（不妨假设为P1，P2，Pn），），m是是A的一个极小项，规定的一个极小项，规定m与这样的一个与这样的一个n位二进制数位二进制数B对应：对应：B的第的第i位为位为1当且仅当当且仅当Pi 在在m中出现中出现当且仅当当且仅当 Pi不在不在m中出现中出现；1in则则m与唯一的一个二进制数与唯一的一个二进制数B对应，并将对应，并将B记为记为mB。例如，设命题公式例如，设命题公式A中共含有三种命题变元中共含有三种命题变元P，Q，R，则，则A的不同的的不同的极大项有极大项有8个，它们与二进制数，十进制数，约定记法之间的关系个，它们与二进制数，十进制数，约定记法之间的关系见下表。见下表。极大项极大项M二进制数二进制数B 十进制数十进制数约定记法约定记法MB PQR 0000M000（或（或M0）PQ R 0011M001（或（或M1）P QR 0102M010（或（或M2）P Q R 0113M011（或（或M3）PQR 1004M100（或（或M4）PQ R 1015M101（或（或M5）P QR 1106M110（或（或M6）P Q R 1117M111（或（或M7）d.极大项与二进制数之间的一一对应：极大项与二进制数之间的一一对应：设设A中的命题变元已排好先后次序（不妨假设为中的命题变元已排好先后次序（不妨假设为P1，P2，Pn），），M是是A的一个极大项，规定的一个极大项，规定M与这样的一个与这样的一个n位二进制数位二进制数B对对应：应：B的第的第i位为位为1当且仅当当且仅当 Pi在在M中出现当且仅当中出现当且仅当Pi不在不在M中出现中出现；1in 则则M与唯一的一个二进制数与唯一的一个二进制数B对应，并将对应，并将B记为记为MB。2、主析（合）取范式、主析（合）取范式（1）定义：对命题公式）定义：对命题公式A，如果它的析（合）取范式中，每个如果它的析（合）取范式中，每个简单合（析）取式都是极小（大）项，则称此析（合）取范式是简单合（析）取式都是极小（大）项，则称此析（合）取范式是A的主析（合）取范式。的主析（合）取范式。特别约定，特别约定，0是永假式的主析取范式，是永假式的主析取范式，1是永真式的主合取范式。是永真式的主合取范式。（2）主析（合）取范式）主析（合）取范式的存在性的存在性定理：对任何命题公式，都存在与之等值的主析（合）取范式。且定理：对任何命题公式，都存在与之等值的主析（合）取范式。且每个命题公式的主析（合）取范式是唯一的。每个命题公式的主析（合）取范式是唯一的。（3）主析（合）取范式的求法）主析（合）取范式的求法解法一：真值表法解法一：真值表法要求命题公式要求命题公式A的主析取范式，只须将的主析取范式，只须将A的所有成真赋值对应的所有成真赋值对应的极小项用的极小项用“”连接起来即可；连接起来即可；要求命题公式要求命题公式A的主合取范式，就是将的主合取范式，就是将A的所有成假赋值对应的所有成假赋值对应的极大项用的极大项用“”连接起来即可。连接起来即可。例例用真值表法求（用真值表法求（PQ）R）P的主析（合）取范式。的主析（合）取范式。解：作出公式（解：作出公式（PQ）R）P的真值表如下的真值表如下PQRPQ（PQ）R （PQ）R）P000010001010010101011110100101101111110101111111所以（所以（PQ）R）P的主析取范式为：的主析取范式为：m2m4m5m6m7；主合取范式为：主合取范式为：M0M1M3。解法二：等值变换法解法二：等值变换法 对任意的命题公式对任意的命题公式G，经下列四步骤，必可等值变换成与之等经下列四步骤，必可等值变换成与之等值的主析取范式。值的主析取范式。第一步：求出第一步：求出G的一个析取范式的一个析取范式G/；第二步：若第二步：若G/的某个简单合取式的某个简单合取式B中缺少命题变元中缺少命题变元x，则将则将G/扩展为如下形式：扩展为如下形式：B B 1B（x x）（Bx）（B x）第三步：将重复出现的命题变元、矛盾式及重复出现的极小第三步：将重复出现的命题变元、矛盾式及重复出现的极小（大）项都进行（大）项都进行“消去消去”。如如PP用用P代，代，P P用用0代，代，mimi用用mi代。代。第四步：将极小项按下标由小到大升序排列，并用第四步：将极小项按下标由小到大升序排列，并用表示之。表示之。如如m0m5m2用用（0，2，5）表示。表示。求主合取范式的方法与求主析取范式的方法类似求主合取范式的方法与求主析取范式的方法类似。1.5.2前束范式前束范式一、定义一、定义设设G是谓词公式，如果是谓词公式，如果G中的一切量词都位于该公式的最前端中的一切量词都位于该公式的最前端(不不含否定词含否定词)且这些量词的辖域都延伸到公式的末端，则称公式且这些量词的辖域都延伸到公式的末端，则称公式G是一个是一个前束范式，前束范式，二、前束范式的存在性二、前束范式的存在性定理：任一谓词公式都可化为与之等价的前束范式，但其前束范定理：任一谓词公式都可化为与之等价的前束范式，但其前束范式不惟一。式不惟一。三、前束范式的求法三、前束范式的求法设设G是任一谓词公式，可通过下述步骤将其转化为与之等价的前是任一谓词公式，可通过下述步骤将其转化为与之等价的前束范式。束范式。（1）如公式中有联结词如公式中有联结词“”、“”，则消去联结词，则消去联结词“”、“”；（2）反复运用德反复运用德 摩根定律，直接将摩根定律，直接将“”内移到原子谓词公式的内移到原子谓词公式的前端；前端；（3）使用谓词逻辑的基本等值式将所有的量词提到公式的最前端。使用谓词逻辑的基本等值式将所有的量词提到公式的最前端。例例.求求x y a x yxyQ y bR x的前束范式。的前束范式。解：（解：（1）消去联结词）消去联结词“”、“”，得，得x y a x yxyQ y bR x）（2）内移，得内移，得 x y a x yxyQ y bR x）x y a x yxy Q y bR x（3）量词左移，得量词左移，得 xy a x yy Q y bR x x y a x yz Q z bR x x y z a x yQ z bR x 即即 x y z a x yQ z bR x 为为 x y a x y xyQ y bR x的前束范式。的前束范式。由于前束范式中量词的顺序可以不同，因此，其前束范式不惟一。由于前束范式中量词的顺序可以不同，因此，其前束范式不惟一。1.6数理逻辑推理理论数理逻辑推理理论1.6.1命题逻辑推理理论命题逻辑推理理论一、推理的概念一、推理的概念1、推理：、推理：由一些前提由一些前提A1，A2，An（n1）推出一个结论推出一个结论B的思的思维过程维过程。2、有效推理：、有效推理：对一个由对一个由A1，A2，An推出推出B的推理，若的推理，若A1A2An B是永真式，则称该推理是有效的，并称是永真式，则称该推理是有效的，并称B是是A1，A2，An的有效结论（逻辑结果）。记为的有效结论（逻辑结果）。记为A1，A2，An B。3、有效推理的实际意义有效推理的实际意义对一个由对一个由A1,A2,An 推出推出B的推理，该推理是有效的当且仅当的推理，该推理是有效的当且仅当A1,A2,An都真时，都真时，B必真必真。也就是说，一个推理是有效的，意味着该推理得到的结论是所用前也就是说，一个推理是有效的，意味着该推理得到的结论是所用前提的必然结果。提的必然结果。4、有效结论与真结论、有效结论与真结论（1）有效结论不一定是真结论（真值为）有效结论不一定是真结论（真值为1的命题）的命题）（2）真结论不一定是有效结论。）真结论不一定是有效结论。二、推理的规则二、推理的规则推理规则主要有下述两个：推理规则主要有下述两个：1、前提引入规则：在推理过程中，已有的前提任何时候都可以引用，并且引、前提引入规则：在推理过程中，已有的前提任何时候都可以引用，并且引用次数不限。用次数不限。前提引入规则简称前提引入规则简称P规则。规则。2、结论引入规则：、结论引入规则：在推理过程中，已经推出的结论在推出之后，任何时候都在推理过程中，已经推出的结论在推出之后，任何时候都 可以引用，并且引用次数不限。可以引用，并且引用次数不限。结论引入规则简称结论引入规则简称T规则。规则。三、推理的依据三、推理的依据1、基本蕴涵式。、基本蕴涵式。2、基本等值式。可双向应用。、基本等值式。可双向应用。四、推理的表示四、推理的表示数理数理逻辑中采用符号化方式来描述推理过程。一般形式如下：逻辑中采用符号化方式来描述推理过程。一般形式如下：序号序号结果结果规则及依据规则及依据命题公式命题公式1推理规则推理规则命题公式命题公式2推理规则及推理依据推理规则及推理依据命题公式命题公式3推理规则及推理依据推理规则及推理依据 n命题公式命题公式n推理规则及推理依据推理规则及推理依据五、有效推理的论证五、有效推理的论证要论证一个推理的有效性，可采用以下方法。要论证一个推理的有效性，可采用以下方法。解法一：真值表法（定义法）解法一：真值表法（定义法）要证明要证明A1，A2，An B，只须作出只须作出A1A2An B的真值表，说明的真值表，说明A1A2An B是是一个永真式即可。一个永真式即可。例例.求证：求证：（PQ），），RQ R证明：证明：构造真值表如下：构造真值表如下：PQR P PQ （PQ）RQ R （PQ）（RQ）R000110111001110001010110111011110101100001111101001001110010111111010101由上表可看出，由上表可看出，（PQ）（RQ）R是个永真式，所以有是个永真式，所以有（PQ），），RQ R。解法二解法二演绎法演绎法（1）直接演绎法（又称直接证法）直接演绎法（又称直接证法）推理过程中，每一个引入的新命题都是运用推理过程中，每一个引入的新命题都是运用P规则，由前提集合中直接规则，由前提集合中直接取出来的。取出来的。例例.求证：求证：（PQ），），RQ R证明：证明：（PQ）P规则规则P QT规则规则，E：（AB）A B QT规则规则，I：AB BRQP规则规则 RT规则规则，I：AB，B A（2）间接演绎法（又称间接证法）间接演绎法（又称间接证法）间间接接演演绎绎法法破破除除了了直直接接演演绎绎法法“新新命命题题只只能能直直接接来来自自于于前前提提集集合合”的的限限制制，根根据据要要论论证证的的推推理理问问题题的的特特点点，预预先先引引入入一一个个新新的的特特殊殊前前提提，然然后后根根据据此特殊前提与原有前提一起推出的结论情况，来确认原推理的有效性。此特殊前提与原有前提一起推出的结论情况，来确认原推理的有效性。间接演绎法依据使用的规则的不同，又被细分为反证法和附加前提法。间接演绎法依据使用的规则的不同，又被细分为反证法和附加前提法。a.反证法反证法反证演绎规则：要证明反证演绎规则：要证明A1,A2,An B，只须证明由只须证明由A1,A2,An,B可可以推出一个永假式即可以推出一个永假式即可。例例.用反证法证明：用反证法证明：（PQ），），RQ R 证明：证明：R否定结论引入否定结论引入R T规则规则，E：AARQP规则规则QT规则规则，I：AB，AB （PQ）P规则规则P QT规则规则，E：（AB）A B QT规则规则，I：AB B Q QT规则规则，I：A，B AB b.附加前提法附加前提法 CP规则：要证明规则：要证明A1，A2，An AB，只须证只须证A1，A2，An，A B即可。即可。例例.用用附加前提法证明：附加前提法证明：P Q，RP QR 证明：证明：Q附加前提引入附加前提引入P QP规则规则PT规则规则，I：AB，B ARPP规则规则 RT规则规则，I：AB，B AQRCP规则规则1.6.2谓词逻辑推理理论谓词逻辑推理理论一、推理的概念一、推理的概念（同命题逻辑推理理论）（同命题逻辑推理理论）二、推理的规则二、推理的规则1、前提引入规则（、前提引入规则（P规则）规则）2、结论引入规则（、结论引入规则（T规则）规则）3、关于量词的推理规则、关于量词的推理规则（1）全称特指规则（简称）全称特指规则（简称US）xG(x)G(y)（2）存在特指规则（简称存在特指规则（简称ES）xG(x)G(c)（3）全称推广规则（简称全称推广规则（简称UG）G(y)xG(x)（4