第一章Fourier变换-复变函数与积分变换-教学课件

工程数学之工程数学之积分变换第四版积分变换第四版东南大学数学系东南大学数学系 张元林编张元林编高等教育出版社高等教育出版社引言引言n在自然科学和工程技术中，为了把较复杂的运算简单化，人们常常采用所谓的变换的方法来到达目的。如十七世纪，航海和天文学积累了大批观察数据，需要对它们进行大量的乘除运算。在当时，这是非常繁重的工作，为了克服这个困难，1614年纳皮尔Napier)创造了对数，它将乘除运算转化为加减运算，通过两次查表，便完成了这一艰巨的任务。n十八世纪，微积分学中，人们通过微分、积分运算求解物体的运动方程。到了十九世纪，英国著名的无线电工程师海维赛德Heaviside为了求解电工学、物理学领域中的线性微分方程，逐步形成了一种所谓的符号法，后来就演变成了今天的积分变换法。即通过积分运算把一个函数变成另一个函数。同时，将函数的微积分运算转化为代数运算，把复杂、耗时的运算简单、快速完成。n积分变换的理论和方法不仅在数学的学多分支中，而且在其它自然科学和各种工程技术邻域中都有着广泛的应用。第一章第一章 Fourier变换变换n1.1 Fourier积分积分n1.1.1 傅立叶级数的复指数形式傅立叶级数的复指数形式n设设 是以是以 为周期的周期函数，如果它在为周期的周期函数，如果它在区间区间 上满足狄利克雷条件：上满足狄利克雷条件：n1 在在 上连续或者只有有限个上连续或者只有有限个第一类间断点；第一类间断点；n2 在在 上只有有限个极值点。上只有有限个极值点。n那么，那么，在在 上就可以展开成傅氏上就可以展开成傅氏n级数，在 的连续点处，级数的三角形式为：n (1.1)n其中，n假设令 ，n那么(1.1)式可写成n或n这就是傅立叶级数的复指数形式。n1.1.2 傅立叶积分定理傅立叶积分定理n假设假设 在在 上满足以下条件：上满足以下条件：n1 在任一有限区间上满足狄利克雷在任一有限区间上满足狄利克雷条件；条件；2 在无限区间在无限区间 上绝上绝对可积即积分对可积即积分 收敛，那么有收敛，那么有n (1.2)n成立，而左端的成立，而左端的 在它的间断点处，应以在它的间断点处，应以n 来代替。来代替。n这个公式称为傅立叶积分公式。n假设 为奇函数，那么有n假设 为偶函数，那么有n它们分别称为傅立叶正弦积分公式和傅立叶余弦积分公式。例例1 求函数 的傅立叶积分表达式。解解：根据Fourier积分公式的复数形式，有当 时，应以代替。练习：练习：求矩形单脉冲函数 的傅里叶积分公式。解：n1.2 Fourier变换变换n1.2.1 Fourier变换的概念变换的概念n在在(1.2)式中，设式中，设n (1.3)n那么那么n (1.4)n(1.3)式称为式称为 的傅立叶变换式，可记为的傅立叶变换式，可记为n n 叫做 的象函数象函数，(1.4)式称为 的傅立叶逆变换傅立叶逆变换，可记为n n 叫做 的象原函数象原函数。n当 为奇函数时，n叫做 的傅立叶正弦变换傅立叶正弦变换，而n叫做 的傅立叶正弦逆变换傅立叶正弦逆变换。n当 为偶函数时，n叫做 的傅立叶余弦变换傅立叶余弦变换，而n叫做 的傅立叶余弦逆变换傅立叶余弦逆变换。注：假设注：假设 仅在仅在 上有定义，且满足上有定义，且满足Fourier积分存在定理的条件，也可采用奇延积分存在定理的条件，也可采用奇延拓或偶延拓的方法，得到拓或偶延拓的方法，得到 相应的相应的Fourier正弦积分展开式或余弦积分展开式。正弦积分展开式或余弦积分展开式。例例1 求函数 的傅立叶变换及其积分表达式，其中 ，这个 叫做指数衰减函数，是工程技术中常碰到的一个函数。解：解：傅立叶变换为故所求积分表达式为例例2 求函数 的正弦变换和余弦变换。解解：的正弦变换为 的余弦变换为n1.2.2 非周期函数的频谱非周期函数的频谱nFourier变换和频谱概念有着密切的联系，变换和频谱概念有着密切的联系，随着无线电技术、声学、振动学的蓬勃开展，随着无线电技术、声学、振动学的蓬勃开展，频谱理论也相应地得到了开展。频谱理论也相应地得到了开展。n在频谱分析中，傅氏变换在频谱分析中，傅氏变换 又称为又称为 的的频谱函数，而模频谱函数，而模 称为称为 的振幅频谱，的振幅频谱，简称频谱，它是简称频谱，它是 的偶函数，即的偶函数，即 。n1.3 Fourier变换的性质变换的性质n1、线性性质、线性性质n设设 ，是常数，是常数，那么那么n n2、对称性质、对称性质n假设假设 ，那么有，那么有n ，3、位移性质、位移性质 例例1 求矩形单脉冲 的频谱函数。解一：由定义，有解二：因的频谱函数为故n4、微分性质、微分性质n如果如果 在在 上连续或只有有限个可上连续或只有有限个可去间断点，且当去间断点，且当 时，时，那，那么么n n推论：假设推论：假设 在在 上连续或只有上连续或只有有限个可去间断点，且有限个可去间断点，且 n n那么有那么有 象函数的导数公式象函数的导数公式n例例2 函数函数 ，n试求试求 及及 。解：解：由中例1可知，的傅里叶变换为利用象函数的求导公式，有n5、积分性质、积分性质n假设假设 时，时，n那么那么 n运用傅立叶变换的线性性质、微分性质以运用傅立叶变换的线性性质、微分性质以及积分性质，可以将线性常系数微分方程及积分性质，可以将线性常系数微分方程包括积分方程和微积分方程转化为代包括积分方程和微积分方程转化为代数方程，通过解代数方程与求傅立叶逆变数方程，通过解代数方程与求傅立叶逆变换，就可以得到相应的原方程的解。换，就可以得到相应的原方程的解。n1.4 卷积与相关函数卷积与相关函数n1.卷积的概念卷积的概念n假设给定两个函数假设给定两个函数 和和 ，那么由积分，那么由积分n确定的确定的 的函数称为的函数称为 和和 的卷积，的卷积，记作记作 ，即，即n卷积满足交换律和对加法的分配律：n例1 假设 n求 与 的卷积。由 ，可知当 时，的区间为 ，故n2.卷积定理卷积定理n假设假设 都满足都满足Fourier积分定理中的积分定理中的条件，且条件，且 ，那么，那么n1n或或 n2 例例2 求单位阶跃函数和指数衰减函数的傅立叶变换的卷积 。解解：n1.5 Fourier变换的应用变换的应用例例1 求积分方程的解，其中解：解：该积分方程可以改写为故 可看作 的傅立叶逆变换，从而有例例2 求解积分方程其中 为函数，且和 的傅立叶变换都存在。解：设 ，和，由卷积定理知，积分方程右端第二项等于 ，因此上述积分方程两端取傅立叶变换，由卷积定理可得所以由傅立叶逆变换，可求得积分方程的解例例3 求常系数非齐次线性微分方程的解，其中 为函数。解解：设 ，利用傅立叶变换的线性性质和微分性质，对上述微分方程两端取傅立叶变换，可得故从而可得由于 的逆变换是 ，故有例例4 求微分积分方程的解，其中 均为常数。解：根据傅立叶变换的性质，记 ，对上述方程两端取傅立叶变换，可得而上式的傅立叶逆变换为