第二章-非线性方程求解课件

第二章非线性非线性方程求解方程求解 第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进第二章第二章 非线性方程求解目录非线性方程求解目录 1对分法对分法2迭代法迭代法2.1迭代法的基本思想迭代法的基本思想2.2迭代法的收敛条件迭代法的收敛条件2.3 Steffensen方方 法法 简简 单单 迭迭 代代法的加速法的加速3Newton法与弦截法法与弦截法3.1Newton法法3.2弦截法弦截法第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进第二章 非线性方程求解概述 很多科学计算问题常常很多科学计算问题常常很多科学计算问题常常很多科学计算问题常常归结为求解方程：归结为求解方程：归结为求解方程：归结为求解方程：第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进例如，从曲线例如，从曲线例如，从曲线例如，从曲线y y=x x和和和和y y=lg xlg x的简单草图可看出方程的简单草图可看出方程的简单草图可看出方程的简单草图可看出方程lglg x x+x x=0=0有唯一的正根有唯一的正根有唯一的正根有唯一的正根x x*，但是没有求，但是没有求，但是没有求，但是没有求x x*的准确值的已的准确值的已的准确值的已的准确值的已知方法，即使是对代数方程，要求其精确解也是困难的。知方法，即使是对代数方程，要求其精确解也是困难的。知方法，即使是对代数方程，要求其精确解也是困难的。知方法，即使是对代数方程，要求其精确解也是困难的。对于二次方程对于二次方程对于二次方程对于二次方程axax2 2+bx+cbx+c=0=0，我们可以用熟悉的求根公式，我们可以用熟悉的求根公式，我们可以用熟悉的求根公式，我们可以用熟悉的求根公式：对于三、四次代数方程，尽管存在求解公式，但并对于三、四次代数方程，尽管存在求解公式，但并对于三、四次代数方程，尽管存在求解公式，但并对于三、四次代数方程，尽管存在求解公式，但并不实用。而对于大于等于五次的代数方程，它的根不能不实用。而对于大于等于五次的代数方程，它的根不能不实用。而对于大于等于五次的代数方程，它的根不能不实用。而对于大于等于五次的代数方程，它的根不能用方程系数的解析式表示，至于一般的超越方程，更没用方程系数的解析式表示，至于一般的超越方程，更没用方程系数的解析式表示，至于一般的超越方程，更没用方程系数的解析式表示，至于一般的超越方程，更没有求根公式。因此，为求解一个非线性方程，我们必须有求根公式。因此，为求解一个非线性方程，我们必须有求根公式。因此，为求解一个非线性方程，我们必须有求根公式。因此，为求解一个非线性方程，我们必须依靠某种数值方法来求其近似解。依靠某种数值方法来求其近似解。依靠某种数值方法来求其近似解。依靠某种数值方法来求其近似解。对于方程（对于方程（对于方程（对于方程（2-12-1）要求得其准确解一般来说是不可能的。）要求得其准确解一般来说是不可能的。）要求得其准确解一般来说是不可能的。）要求得其准确解一般来说是不可能的。第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进求方程根的近似解，一般有下列几个问题：求方程根的近似解，一般有下列几个问题：求方程根的近似解，一般有下列几个问题：求方程根的近似解，一般有下列几个问题：3.3.3.3.根的精确化：根的精确化：根的精确化：根的精确化：已知一个根的粗略近似值后，建立计算已知一个根的粗略近似值后，建立计算已知一个根的粗略近似值后，建立计算已知一个根的粗略近似值后，建立计算方法将近似解逐步精确化，直到满足给定精度为止。方法将近似解逐步精确化，直到满足给定精度为止。方法将近似解逐步精确化，直到满足给定精度为止。方法将近似解逐步精确化，直到满足给定精度为止。设函数设函数设函数设函数f f(x x)在区间在区间在区间在区间 a a,b b 上连续，严格单调，且上连续，严格单调，且上连续，严格单调，且上连续，严格单调，且f f(a a)f f(b b)0)0，则在，则在，则在，则在 a a,b b 内方程内方程内方程内方程f f(x x)=0)=0有且仅有一个实根。有且仅有一个实根。有且仅有一个实根。有且仅有一个实根。根据此结论，我们可以采用如下两种方法求出根的隔根据此结论，我们可以采用如下两种方法求出根的隔根据此结论，我们可以采用如下两种方法求出根的隔根据此结论，我们可以采用如下两种方法求出根的隔离区间。离区间。离区间。离区间。1.1.根的存在性：根的存在性：根的存在性：根的存在性：方程是否有根？如果有根，有几个根？方程是否有根？如果有根，有几个根？方程是否有根？如果有根，有几个根？方程是否有根？如果有根，有几个根？2.2.2.2.根的隔离：根的隔离：根的隔离：根的隔离：确定根所在的区间，使方程在这个小区间确定根所在的区间，使方程在这个小区间确定根所在的区间，使方程在这个小区间确定根所在的区间，使方程在这个小区间内有且仅有一个根，这一过程称为根的隔离，完成根的隔内有且仅有一个根，这一过程称为根的隔离，完成根的隔内有且仅有一个根，这一过程称为根的隔离，完成根的隔内有且仅有一个根，这一过程称为根的隔离，完成根的隔离，就可得到方程的各个根的近似值。离，就可得到方程的各个根的近似值。离，就可得到方程的各个根的近似值。离，就可得到方程的各个根的近似值。关于根的存在性是纯数学问题，不详细介绍，可查阅有关于根的存在性是纯数学问题，不详细介绍，可查阅有关于根的存在性是纯数学问题，不详细介绍，可查阅有关于根的存在性是纯数学问题，不详细介绍，可查阅有关代数学内容。关代数学内容。关代数学内容。关代数学内容。根的隔离主要依据如下结论：根的隔离主要依据如下结论：根的隔离主要依据如下结论：根的隔离主要依据如下结论：第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进求根的隔离区间的两种方法1.1.描图法：描图法：描图法：描图法：画出画出画出画出y=y=f f(x x)的草图，由的草图，由的草图，由的草图，由f f(x x)与与与与x x轴交点的大概轴交点的大概轴交点的大概轴交点的大概位置来确定有根区间。也可利用导函数位置来确定有根区间。也可利用导函数位置来确定有根区间。也可利用导函数位置来确定有根区间。也可利用导函数f f (x x)的正、负与函的正、负与函的正、负与函的正、负与函数数数数f f(x x)的单调性的关系来确定根的大概位置。的单调性的关系来确定根的大概位置。的单调性的关系来确定根的大概位置。的单调性的关系来确定根的大概位置。例例例例1 1 求求求求f f(x x)=3)=3x x 1 1 coscosx x=0=0的有根区间的有根区间的有根区间的有根区间解：将方程变形为解：将方程变形为解：将方程变形为解：将方程变形为3 3x x 1=cos1=cosx x绘出曲线绘出曲线绘出曲线绘出曲线 y y=3=3x x 1 1及及及及 y y=cos=cosx x，由图由图由图由图8-18-1可知，方程只有一个可知，方程只有一个可知，方程只有一个可知，方程只有一个实根：实根：实根：实根：yxx x*图图图图8-18-1例例例例2 2紧接下屏紧接下屏紧接下屏紧接下屏第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进2.2.逐步搜索法：逐步搜索法：逐步搜索法：逐步搜索法：从区间从区间从区间从区间 a a,b b 的左端点的左端点的左端点的左端点a a出发，按选定的步长出发，按选定的步长出发，按选定的步长出发，按选定的步长h h一步步向右一步步向右一步步向右一步步向右搜索，若搜索，若搜索，若搜索，若:则区间则区间则区间则区间 a a+jhjh,a a+(+(j j+1)+1)h h 内必有根。搜索过程也可以从内必有根。搜索过程也可以从内必有根。搜索过程也可以从内必有根。搜索过程也可以从 b b开始，这时应取步长开始，这时应取步长开始，这时应取步长开始，这时应取步长h h00,)0,f f(0)=10,(0)=10,f f(3)=(3)=260,260)0所以仅有所以仅有所以仅有所以仅有二个实根，分别位于二个实根，分别位于二个实根，分别位于二个实根，分别位于(0,3),(3,(0,3),(3,)内。又因内。又因内。又因内。又因f f(4)=10,(4)=10,所以，所以，所以，所以，二个隔根区间确定为二个隔根区间确定为二个隔根区间确定为二个隔根区间确定为(0,3),(3,4)(0,3),(3,4)。第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进1对分法设设设设f f(x x)在区间在区间在区间在区间 a a,b b 上连续，严格单调，且上连续，严格单调，且上连续，严格单调，且上连续，严格单调，且f f(a a)f f(b b)0)0，不妨设，不妨设，不妨设，不妨设f f(a a)0,)0)0，则方程，则方程，则方程，则方程f f(x x)=0)=0在在在在 a a,b b 内存在唯内存在唯内存在唯内存在唯一实根，对分法的基本思想是：用对分区间的方法，通过一实根，对分法的基本思想是：用对分区间的方法，通过一实根，对分法的基本思想是：用对分区间的方法，通过一实根，对分法的基本思想是：用对分区间的方法，通过判别函数判别函数判别函数判别函数f f(x x)在每个对分区间中点的符号，逐步将有根区在每个对分区间中点的符号，逐步将有根区在每个对分区间中点的符号，逐步将有根区在每个对分区间中点的符号，逐步将有根区间缩小，最终求得一个具有相当精确程度的近似根。具体间缩小，最终求得一个具有相当精确程度的近似根。具体间缩小，最终求得一个具有相当精确程度的近似根。具体间缩小，最终求得一个具有相当精确程度的近似根。具体步骤为步骤为步骤为步骤为:第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进若每次对分区间时所取区间中点都不是根，则若每次对分区间时所取区间中点都不是根，则上述过程将无限地进行下去，当上述过程将无限地进行下去，当n时，区间将时，区间将最终收缩为一点最终收缩为一点x*，显然，显然x*就是所求方程的根就是所求方程的根。第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进对分法的误差估计作为作为作为作为x x*的近似值，则误差为：的近似值，则误差为：的近似值，则误差为：的近似值，则误差为：只要只要只要只要n n足够大（即区间对分次数足够多），足够大（即区间对分次数足够多），足够大（即区间对分次数足够多），足够大（即区间对分次数足够多），x xn n的误差就的误差就的误差就的误差就可足够小，且只要可足够小，且只要可足够小，且只要可足够小，且只要f f(x x)连续，对分区间总是收敛的。连续，对分区间总是收敛的。连续，对分区间总是收敛的。连续，对分区间总是收敛的。式（式（式（式（8-28-2）不仅可以估计对分区间法的误差，而且可以）不仅可以估计对分区间法的误差，而且可以）不仅可以估计对分区间法的误差，而且可以）不仅可以估计对分区间法的误差，而且可以给定的误差限给定的误差限给定的误差限给定的误差限 估计出对分区间的次数，因为由式（估计出对分区间的次数，因为由式（估计出对分区间的次数，因为由式（估计出对分区间的次数，因为由式（2-22-2）有：有：有：有：若取区间若取区间若取区间若取区间 a an n,b bn n 的中点：的中点：的中点：的中点：第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进例例3解：解：解：解：因为因为因为因为f f(x x)连续且连续且连续且连续且f f (x x)=3)=3x x2 2+100(+100(x x (,)，故故故故f f(x x)在在在在(,)上单调增加上单调增加上单调增加上单调增加而而而而f f(1)=(1)=90,90(2)=80所以所以所以所以原方程在（原方程在（原方程在（原方程在（1 1，2 2）内有唯一实根。）内有唯一实根。）内有唯一实根。）内有唯一实根。第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进N Na an nb bn nx xn nf f(x xn n)0 01 12 21.51.5-1.625-1.6251 11.51.52 21.751.752.8593752.8593752 21.51.51.751.751.6251.6250.541015630.541015633 31.51.51.6251.6251.56251.5625-0.56030273-0.560302734 41.56251.56251.6251.6251.593751.59375-0.01431274-0.014312745 51.593751.593751.6251.6251.6093751.6093750.262172700.262172706 61.593751.593751.60937501.60937501.60156251.60156250.123636720.123636727 71.593751.593751.60156251.60156251.59765621.59765620.054588850.054588858 81.593751.593751.59765621.59765621.59570311.59570310.020119790.020119799 91.593751.593751.59570311.59570311.59472661.59472660.002898960.0028989610101.593751.593751.59472661.59472661.59423831.5942383-0.00570803-0.0057080311111.59423831.59423831.59472661.59472661.59448241.5944824-0.00140482-0.0014048212121.59448241.59448241.59472661.59472661.59460451.59460450.000747000.0007470013131.59448241.59448241.59460451.59460451.59454351.5945435-0.00032893-0.0003289314141.59454361.59454361.59460461.59460461.59457411.5945741 第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进n f=x3+10*x-20nf=nx3+10*x-20n double(solve(f)nans=n 1.5946 n -0.7973+3.4506in -0.7973-3.4506i第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进对分法的优缺点对分法的优点是计算简单，对分法的优点是计算简单，方法可靠，容易估计误差。方法可靠，容易估计误差。但它收敛较慢，不能求偶次但它收敛较慢，不能求偶次重根，也不能求复根。重根，也不能求复根。因此，一般在求方程近似根因此，一般在求方程近似根时，很少单独使用，常用于为其时，很少单独使用，常用于为其他高速收敛算法（如牛顿法）提他高速收敛算法（如牛顿法）提供初值。供初值。第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进2 简单迭代法 迭代法迭代法是求解方程是求解方程f(x)=0的根的一种主要方法。它是利的根的一种主要方法。它是利用同一个迭代公式，逐次逼近用同一个迭代公式，逐次逼近方程的根，使其得到满足预先方程的根，使其得到满足预先给定精度要求的近似值。给定精度要求的近似值。第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进2.1迭代法的基本思想迭代法是一种重要的逐次逼近法，迭代法是一种重要的逐次逼近法，迭代法是一种重要的逐次逼近法，迭代法是一种重要的逐次逼近法，其基本思想是其基本思想是其基本思想是其基本思想是：设方程设方程设方程设方程f f(x x)=0)=0在区间在区间在区间在区间 a a,b b 内有一根内有一根内有一根内有一根x x*，将方程化为等价，将方程化为等价，将方程化为等价，将方程化为等价方程方程方程方程x x=(x x)，并在，并在，并在，并在 a a,b b 内任取一点内任取一点内任取一点内任取一点x x0 0作为初始近似值，作为初始近似值，作为初始近似值，作为初始近似值，然后按迭代公式计第二章然后按迭代公式计第二章然后按迭代公式计第二章然后按迭代公式计第二章 非线性方程求解算：非线性方程求解算：非线性方程求解算：非线性方程求解算：产生迭代序列产生迭代序列产生迭代序列产生迭代序列x x0 0,x x1 1,x xn n,显然，若显然，若显然，若显然，若 x xn n 收敛于收敛于收敛于收敛于x x*，(x x)在在在在x x*处连续，就有处连续，就有处连续，就有处连续，就有:这种求根方法称为这种求根方法称为这种求根方法称为这种求根方法称为迭代法迭代法迭代法迭代法，式（，式（，式（，式（2-32-3）称为）称为）称为）称为迭代格式迭代格式迭代格式迭代格式，(x x)称为称为称为称为迭代函数迭代函数迭代函数迭代函数，x x0 0称为称为称为称为迭代初值迭代初值迭代初值迭代初值，x xn n 称为称为称为称为迭代序列迭代序列迭代序列迭代序列如果迭代序列收敛，则称迭代格式（如果迭代序列收敛，则称迭代格式（如果迭代序列收敛，则称迭代格式（如果迭代序列收敛，则称迭代格式（2-32-3）收敛，否）收敛，否）收敛，否）收敛，否则称为发散。则称为发散。则称为发散。则称为发散。即：即：即：即：x x*是方程是方程是方程是方程f f(x x)=0)=0的解。的解。的解。的解。故：当故：当故：当故：当n n充分大时，可取充分大时，可取充分大时，可取充分大时，可取x xn n作为方程的近似解。作为方程的近似解。作为方程的近似解。作为方程的近似解。满足x=(x)的点的点x也称为不动点也称为不动点第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进例例4解：容易验证，解：容易验证，解：容易验证，解：容易验证，方程在方程在方程在方程在1,21,2内内内内有根，取有根，取有根，取有根，取x x0 0=1.5=1.5第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进n nx xn nn nx xn n0 01.51.58 81.59449341.59449341 11.63265311.63265319 91.59459001.59459002 21.57908581.579085810101.59455081.59455083 31.60083091.600830911111.59456671.59456674 41.59201961.592019612121.59456031.59456035 51.59559281.595592813131.59456291.59456296 61.59414421.594144214141.59456181.59456187 71.59473151.594731515151.59456221.5945622第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进迭代法举例续例例例例5 5 解：解：解：解：对方程进行变换，可得如下三种等价形式：对方程进行变换，可得如下三种等价形式：对方程进行变换，可得如下三种等价形式：对方程进行变换，可得如下三种等价形式：分别按以上三种分别按以上三种分别按以上三种分别按以上三种形式建立迭代格式，形式建立迭代格式，形式建立迭代格式，形式建立迭代格式，并取并取并取并取x x00=1=1进行迭代进行迭代进行迭代进行迭代计算，结果如下：计算，结果如下：计算，结果如下：计算，结果如下：例例例例5 5的计算结果表明：将一方程化为等价方程的方法很多，的计算结果表明：将一方程化为等价方程的方法很多，的计算结果表明：将一方程化为等价方程的方法很多，的计算结果表明：将一方程化为等价方程的方法很多，由此可构造许多不同的迭代函数，得到多种迭代格式。而由此可构造许多不同的迭代函数，得到多种迭代格式。而由此可构造许多不同的迭代函数，得到多种迭代格式。而由此可构造许多不同的迭代函数，得到多种迭代格式。而它们所产生的迭代序列则可能收敛，也可能发散，可能收它们所产生的迭代序列则可能收敛，也可能发散，可能收它们所产生的迭代序列则可能收敛，也可能发散，可能收它们所产生的迭代序列则可能收敛，也可能发散，可能收敛很快，也可能收敛很慢。迭代法的收敛性取决于迭代函敛很快，也可能收敛很慢。迭代法的收敛性取决于迭代函敛很快，也可能收敛很慢。迭代法的收敛性取决于迭代函敛很快，也可能收敛很慢。迭代法的收敛性取决于迭代函数在方程的根的邻近的性态。数在方程的根的邻近的性态。数在方程的根的邻近的性态。数在方程的根的邻近的性态。第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进迭代法的几何含义从几何上看，迭代法是将求曲线从几何上看，迭代法是将求曲线从几何上看，迭代法是将求曲线从几何上看，迭代法是将求曲线y y=f f(x x)的零点问题化的零点问题化的零点问题化的零点问题化为求曲线为求曲线为求曲线为求曲线y y=(x x)与直线与直线与直线与直线y y=x x的交点，迭代过程如图的交点，迭代过程如图的交点，迭代过程如图的交点，迭代过程如图2-22-2所所所所示，从初始点示，从初始点示，从初始点示，从初始点x x0 0出发，沿直线出发，沿直线出发，沿直线出发，沿直线x x=x x0 0走到曲线走到曲线走到曲线走到曲线y y=(x x)，得，得，得，得点点点点(x x0 0,(x x0 0)，再沿直线，再沿直线，再沿直线，再沿直线y y=(x x0 0)走到直线走到直线走到直线走到直线y y=x x，交点，交点，交点，交点为为为为(x x1 1,(x(x1)1)，如此继续下去，越来越接近点，如此继续下去，越来越接近点，如此继续下去，越来越接近点，如此继续下去，越来越接近点(x x*,*,x x*)*)。y=xy=(x)xx0 x2x*x1xyy y=x xy y=(x x)x x2 2x x0 0 x*x x1 1图图图图8-28-2第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进当然，迭代过程也可能出现图当然，迭代过程也可能出现图当然，迭代过程也可能出现图当然，迭代过程也可能出现图8-38-3所示的情况，此时点所示的情况，此时点所示的情况，此时点所示的情况，此时点(x xn n,x xn n)越来越远离交点越来越远离交点越来越远离交点越来越远离交点(x x*,*,x x*)*)，迭代序列发散，迭代序列发散，迭代序列发散，迭代序列发散。yy=xy=(x)xx2x0 x*x3x1y=xy=(x)xx2x0 x*x1图图图图8-38-3由此可见，使用迭代法必须解决两个问题：一是迭代由此可见，使用迭代法必须解决两个问题：一是迭代由此可见，使用迭代法必须解决两个问题：一是迭代由此可见，使用迭代法必须解决两个问题：一是迭代格式满足什么条件才能保证收敛；二是如何判别迭代收敛格式满足什么条件才能保证收敛；二是如何判别迭代收敛格式满足什么条件才能保证收敛；二是如何判别迭代收敛格式满足什么条件才能保证收敛；二是如何判别迭代收敛的速度，建立收敛快的迭代格式。的速度，建立收敛快的迭代格式。的速度，建立收敛快的迭代格式。的速度，建立收敛快的迭代格式。迭代法的几何含义（续）第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进2.2迭代法的收敛条件（三大定理）定理定理2.6（压缩映象原理）（压缩映象原理）（压缩映象原理）（压缩映象原理）设函数设函数设函数设函数 (x x)在区间在区间在区间在区间 a a,b b 上满足条件：上满足条件：上满足条件：上满足条件：则方程则方程则方程则方程x x=(x x)在在在在 a a,b b 内有唯一的内有唯一的内有唯一的内有唯一的根根根根x x*，且对任意，且对任意，且对任意，且对任意初值初值初值初值x x00 a a,b b，迭代序列：迭代序列：迭代序列：迭代序列：证明见下屏：证明见下屏：证明见下屏：证明见下屏：第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进压缩映象原理的证明由条件（由条件（由条件（由条件（2 2）易得）易得）易得）易得 (x x)在在在在 a a,b b 上连续。上连续。上连续。上连续。令令令令 (x x)=)=x x (x x)，则，则，则，则 (x x)也在也在也在也在 a a,b b 上连续，且：上连续，且：上连续，且：上连续，且：由连续函数介值定理，存在由连续函数介值定理，存在由连续函数介值定理，存在由连续函数介值定理，存在 a a,b b，使得，使得，使得，使得 ()=0)=0，即即即即 =()所以方程所以方程所以方程所以方程x=x=(x x)在在在在 a a,b b 内有根。内有根。内有根。内有根。假设方程假设方程假设方程假设方程x=x=(x x)在在在在 a a,b b 内有两个根内有两个根内有两个根内有两个根x x1 1*x x2 2*，由，由，由，由条件（条件（条件（条件（2 2）有：）有：）有：）有：导出矛盾，唯一性得证。导出矛盾，唯一性得证。导出矛盾，唯一性得证。导出矛盾，唯一性得证。（存在性）（存在性）（唯一性）（唯一性）第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进对任意的对任意的x0 a,b，由迭代公式有：，由迭代公式有：即对任意初值即对任意初值x0 a,b，迭代序列迭代序列xn均收敛到方程均收敛到方程的根的根x*。压缩映象原理的证明（续1）（收敛性）（收敛性）第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进类似地，对任意正整数类似地，对任意正整数类似地，对任意正整数类似地，对任意正整数K K，有，有，有，有：定理定理定理定理2.62.6证明中的两个误差估计式证明中的两个误差估计式证明中的两个误差估计式证明中的两个误差估计式（2-52-5）,（2-62-6）是很有意义的。）是很有意义的。）是很有意义的。）是很有意义的。（误差估计公式）（误差估计公式）利用利用利用利用第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进两个重要误差公式说明1.式（式（式（式（2-52-5）说明，在正常情况下，即）说明，在正常情况下，即）说明，在正常情况下，即）说明，在正常情况下，即L L不太接近于不太接近于不太接近于不太接近于1 1（若（若（若（若L L接近于接近于接近于接近于1 1，则收敛速度很慢），可用相邻两次迭代值，则收敛速度很慢），可用相邻两次迭代值，则收敛速度很慢），可用相邻两次迭代值，则收敛速度很慢），可用相邻两次迭代值之差的绝对值来估计误差，控制迭代次数。之差的绝对值来估计误差，控制迭代次数。之差的绝对值来估计误差，控制迭代次数。之差的绝对值来估计误差，控制迭代次数。就停止计算，取就停止计算，取就停止计算，取就停止计算，取x xn n作为方程的近似根。这种用相邻两次计作为方程的近似根。这种用相邻两次计作为方程的近似根。这种用相邻两次计作为方程的近似根。这种用相邻两次计算结果来估计误差的方法，称为算结果来估计误差的方法，称为算结果来估计误差的方法，称为算结果来估计误差的方法，称为事后估计法事后估计法。即当给定精度即当给定精度即当给定精度即当给定精度时，如果有：时，如果有：时，如果有：时，如果有：第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进2.而式（而式（而式（而式（2-62-6）的误差估计，称为）的误差估计，称为）的误差估计，称为）的误差估计，称为事前估计法事前估计法，因为用，因为用，因为用，因为用它可以估计出要达到给定精度它可以估计出要达到给定精度它可以估计出要达到给定精度它可以估计出要达到给定精度 所需次数所需次数所需次数所需次数n事实上，由事实上，由事实上，由事实上，由 注意：注意：定理定理定理定理2.62.6给出了判别迭代收敛的给出了判别迭代收敛的给出了判别迭代收敛的给出了判别迭代收敛的 充分条件。在实际计算时，由于充分条件。在实际计算时，由于充分条件。在实际计算时，由于充分条件。在实际计算时，由于L L比较难求，而我们所讨比较难求，而我们所讨比较难求，而我们所讨比较难求，而我们所讨 论的函数通常是可导函数，因此，实用的收敛条件是用论的函数通常是可导函数，因此，实用的收敛条件是用论的函数通常是可导函数，因此，实用的收敛条件是用论的函数通常是可导函数，因此，实用的收敛条件是用 导数的界得到的。见下屏：导数的界得到的。见下屏：导数的界得到的。见下屏：导数的界得到的。见下屏：第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进迭代法的收敛条件之二推论推论推论推论1 1（1 1）对任意的）对任意的）对任意的）对任意的x x a a,b b，有，有，有，有 (x x)a a,b b；（2 2）存在常数）存在常数）存在常数）存在常数00L L 11，使得对任意，使得对任意，使得对任意，使得对任意x x a a,b b，都有：，都有：，都有：，都有：则方程则方程则方程则方程x x=(x x)在在在在 a a,b b 上有唯一的根上有唯一的根上有唯一的根上有唯一的根x x*，且对任意初值，且对任意初值，且对任意初值，且对任意初值x x0 0 a a,b b，迭代序列，迭代序列，迭代序列，迭代序列：均收敛于均收敛于均收敛于均收敛于x x*，并有：，并有：，并有：，并有：证明见下屏：证明见下屏：证明见下屏：证明见下屏：设函数设函数设函数设函数 (x x)在区间在区间在区间在区间 a a,b b 上满足条件：上满足条件：上满足条件：上满足条件：第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进证明设设x,y为为a,b上的任意两点，由微分中值定理，在上的任意两点，由微分中值定理，在 x,y之间至少存在一点之间至少存在一点，使得，使得:于是：于是：即即(x)满足定理满足定理2.6的条件（的条件（2），故结论成立。），故结论成立。第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进推论1应用举例采用的三种迭代格式，采用的三种迭代格式，采用的三种迭代格式，采用的三种迭代格式，在隔根区间（在隔根区间（在隔根区间（在隔根区间（1,1.21,1.2）内有：）内有：）内有：）内有：用推论用推论1判别简单迭代法的收敛性比定理判别简单迭代法的收敛性比定理2.6方便方便如对例题如对例题5：第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进第一种迭代格式发散，第二、三种迭代格式收敛且第第一种迭代格式发散，第二、三种迭代格式收敛且第第一种迭代格式发散，第二、三种迭代格式收敛且第第一种迭代格式发散，第二、三种迭代格式收敛且第三种迭代格式比第二种迭代格式中的三种迭代格式比第二种迭代格式中的三种迭代格式比第二种迭代格式中的三种迭代格式比第二种迭代格式中的L L要小，因而收敛要要小，因而收敛要要小，因而收敛要要小，因而收敛要快得多，这与实际迭代结果完全吻合。快得多，这与实际迭代结果完全吻合。快得多，这与实际迭代结果完全吻合。快得多，这与实际迭代结果完全吻合。故可取故可取故可取故可取n n=7=7，只需迭代，只需迭代，只需迭代，只需迭代7 7次就可达到所要求的精度。次就可达到所要求的精度。次就可达到所要求的精度。次就可达到所要求的精度。根据推论根据推论1可知，可知，对第三种迭代格式，为使与方程近似根的误差不超过对第三种迭代格式，为使与方程近似根的误差不超过对第三种迭代格式，为使与方程近似根的误差不超过对第三种迭代格式，为使与方程近似根的误差不超过1010-6-6，可估计迭代次数：，可估计迭代次数：，可估计迭代次数：，可估计迭代次数：第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进应用举例LeonardoLeonardo于于于于12251225年研究了方程年研究了方程年研究了方程年研究了方程曾经轰动一时，因为没有人知道他用的是什么方法。曾经轰动一时，因为没有人知道他用的是什么方法。曾经轰动一时，因为没有人知道他用的是什么方法。曾经轰动一时，因为没有人知道他用的是什么方法。我们现在可用迭代法求解：我们现在可用迭代法求解：我们现在可用迭代法求解：我们现在可用迭代法求解：还可用还可用还可用还可用NewtonNewton法，法，法，法，弦截法求解弦截法求解弦截法求解弦截法求解第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进迭代法的收敛条件之三定理定理2.7 第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进定理定理定理定理2.32.3强调迭代初值强调迭代初值强调迭代初值强调迭代初值x x0 0应取在根应取在根应取在根应取在根x x*的邻域中。如果对的邻域中。如果对的邻域中。如果对的邻域中。如果对任意给定的任意给定的任意给定的任意给定的x x0 0，迭代格式均收敛，则称此格式具有，迭代格式均收敛，则称此格式具有，迭代格式均收敛，则称此格式具有，迭代格式均收敛，则称此格式具有全局收全局收全局收全局收敛性敛性敛性敛性，但这样的格式是极其稀少的。如果对根，但这样的格式是极其稀少的。如果对根，但这样的格式是极其稀少的。如果对根，但这样的格式是极其稀少的。如果对根x x*的某邻域的某邻域的某邻域的某邻域内的任一点内的任一点内的任一点内的任一点x x0 0，迭代格式均收敛，则此格式具有，迭代格式均收敛，则此格式具有，迭代格式均收敛，则此格式具有，迭代格式均收敛，则此格式具有局部收敛局部收敛局部收敛局部收敛性性性性。即可保证对其中任取的一点即可保证对其中任取的一点即可保证对其中任取的一点即可保证对其中任取的一点x x0 0迭代收敛。事实上，在用迭迭代收敛。事实上，在用迭迭代收敛。事实上，在用迭迭代收敛。事实上，在用迭代法求解方程（代法求解方程（代法求解方程（代法求解方程（2-12-1）时，常常先用对分区间求得较好的）时，常常先用对分区间求得较好的）时，常常先用对分区间求得较好的）时，常常先用对分区间求得较好的初值，然后再进行迭代。初值，然后再进行迭代。初值，然后再进行迭代。初值，然后再进行迭代。本定理给出的就是局部收敛性条件本定理给出的就是局部收敛性条件本定理给出的就是局部收敛性条件本定理给出的就是局部收敛性条件。具体解题时，虽然。具体解题时，虽然。具体解题时，虽然。具体解题时，虽然无法判别隔根区间是否为以无法判别隔根区间是否为以无法判别隔根区间是否为以无法判别隔根区间是否为以x x*为中心的邻域，但只要它足为中心的邻域，但只要它足为中心的邻域，但只要它足为中心的邻域，但只要它足够小，且在邻域中满足：够小，且在邻域中满足：够小，且在邻域中满足：够小，且在邻域中满足：第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进2.3Steffensen方程简单迭代法的加速收敛速度（收敛速度的阶）：收敛速度（收敛速度的阶）：成立，则称成立，则称xn是是r 阶收敛的，或称阶收敛的，或称xn的收敛阶为的收敛阶为r，收敛阶，收敛阶r 的大小刻划了序列的大小刻划了序列xn的收敛速度：的收敛速度：r 越大，收敛越快越大，收敛越快:r=1线性收敛线性收敛r 1超线性收敛超线性收敛r=2平方收敛平方收敛设序列设序列xn收敛于收敛于x*，若存在正数，若存在正数r和和a使得：使得：第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进xn的r 阶收敛定理定理定理2.8设迭代函数设迭代函数(x)在在x*邻近有邻近有r阶连续导数，阶连续导数，且且x*=(x*)，并且有，并且有证明：证明：1）(x)满足收敛定理的条件满足收敛定理的条件xnx*；紧接下屏紧接下屏紧接下屏紧接下屏第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进2 2）利用）利用）利用）利用TaylorTaylor公式将公式将公式将公式将 (x x)在在在在x x*附近展开：附近展开：附近展开：附近展开：这表明：这表明：这表明：这表明：x xn n 是是是是r r阶收敛的。阶收敛的。阶收敛的。阶收敛的。一阶收敛即为线性收敛，收敛速度较慢，下面想法加速：一阶收敛即为线性收敛，收敛速度较慢，下面想法加速：一阶收敛即为线性收敛，收敛速度较慢，下面想法加速：一阶收敛即为线性收敛，收敛速度较慢，下面想法加速：第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进1、Aitken加速法若序列若序列xn线性收敛于线性收敛于x*，可按式：，可按式：当当当当n n充分大时，有：充分大时，有：充分大时，有：充分大时，有：紧接下屏紧接下屏紧接下屏紧接下屏第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进Aitken加速法（续）由此式可推导出：由此式可推导出：由此式可推导出：由此式可推导出：由此可得比值：由此可得比值：由此可得比值：由此可得比值：第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进3Newton法与弦截法3.13.1Newton法法法法 将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的解，这就是性方程的解，这就是性方程的解，这就是性方程的解，这就是NewtonNewton法的基本思想法的基本思想法的基本思想法的基本思想。设已知方程设已知方程设已知方程设已知方程f f(x x)=0)=0的近似根的近似根的近似根的近似根x x0 0，f f(x x)在其零点在其零点在其零点在其零点x x*邻近邻近邻近邻近一阶连续可微，一阶连续可微，一阶连续可微，一阶连续可微，且且且且f f (x x)0 0，当，当，当，当x x0 0充分接近充分接近充分接近充分接近x x*时，时，时，时，f f(x x)可可可可用用用用TaylorTaylor公式近似表示为公式近似表示为公式近似表示为公式近似表示为：则方程则方程则方程则方程f f(x x)=0)=0可用线性方程近似代替，即：可用线性方程近似代替，即：可用线性方程近似代替，即：可用线性方程近似代替，即：第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进Newton法（续）解此线性方程得：解此线性方程得：取此取此x作为原方程的新近似值作为原方程的新近似值x1，重复以上步骤，重复以上步骤，于是得迭代公式：于是得迭代公式：按式（按式（2-7）求方程）求方程f(x)=0近似解称为近似解称为Newton法。法。第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进Newton法的几何意义如此继续下去，如此继续下去，如此继续下去，如此继续下去，x xn n+1+1为曲线上点为曲线上点为曲线上点为曲线上点(x xn n,f f(x xn n)处的切线与处的切线与处的切线与处的切线与x x轴的交点。因此轴的交点。因此轴的交点。因此轴的交点。因此NewtonNewton法是用曲线的切线与法是用曲线的切线与法是用曲线的切线与法是用曲线的切线与x x轴的交点作轴的交点作轴的交点作轴的交点作为曲线与为曲线与为曲线与为曲线与x x轴交点的近似，故轴交点的近似，故轴交点的近似，故轴交点的近似，故Newton法又称为切线法法又称为切线法。Xx*x*x x2 2x x1 1x x0 0Y图图2-4 NewtonNewton迭代法有迭代法有迭代法有迭代法有着明显的几何意着明显的几何意着明显的几何意着明显的几何意义如图义如图义如图义如图3-43-4所示，所示，所示，所示，过点过点过点过点(x x0 0,f f(x x0 0)作曲线作曲线作曲线作曲线y y=f f(x x)的切线，的切线，的切线，的切线，切线方程为：切线方程为：切线方程为：切线方程为：y y=f f(x x0 0)+)+f f (x x)()(x x x x0 0)该切线与该切线与该切线与该切线与x x轴的交点的横坐标即为新的近似值轴的交点的横坐标即为新的近似值轴的交点的横坐标即为新的近似值轴的交点的横坐标即为新的近似值x x1 1，而，而，而，而x x2 2则是则是则是则是曲线上点曲线上点曲线上点曲线上点(x x1 1,f f(x x1 1)处的切线与处的切线与处的切线与处的切线与x x轴的交点。轴的交点。轴的交点。轴的交点。第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进Newton法举例例例7解：解：因为因为f (x)=3x2+10，故，故Newton迭代公式为：迭代公式为：x1=1.5970149，x2=1.5945637，x3=1.5945621=x4迭代三次所得近似解就准确到迭代三次所得近似解就准确到8位有效数字。位有效数字。代入初值代入初值x0得：得：可见可见Newton法收敛很快。法收敛很快。一般地，有如下屏定理一般地，有如下屏定理3-5：第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进Newton法收敛定理定理定理3.5 设函数设函数f(x)在其零点在其零点x*邻近二阶连续可邻近二阶连续可微，且微，且f (x*)0，则存在，则存在 0，使得对，使得对任意任意x0 x*,x*+，Newton法所产生法所产生的序列的序列xn至少二阶收敛于至少二阶收敛于x*。按式（按式（2-7），），Newton法的迭代函数为：法的迭代函数为：于是有：于是有：证明：证明：第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进由已知由已知f (x)在在x*邻近连续，因而邻近连续，因而 (x)在在x*邻近连续，且邻近连续，且根据定理根据定理2.4，Newton法产生的序列法产生的序列xn至少至少二阶收敛于二阶收敛于x*。定理定理3.5表明，当初值表明，当初值x0充分接近充分接近x*时，时，Newton法的收敛速度较快，但当初值不够好时，法的收敛速度较快，但当初值不够好时，可能会不收敛或收敛于别的根，这可从可能会不收敛或收敛于别的根，这可从Newton法法的几何意义看到：的几何意义看到：紧接下屏紧接下屏紧接下屏紧接下屏第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进定理定理 在Newton法中，我们为了保证方法收敛，由局部收敛性可知：初始值尽量靠近所求根，但这是一个不易办到的事。如果函数f(x)具有更强的性质，则初始值的取法较随便一些。（2 2）分别不变号；,使则 Newton 迭代法产生的数列收敛到方程f(x)=0（3 3）取初值上具有二阶连续导数且满足条件（1 1）唯一的根第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进x0 x*x1X X(a a)x0 x1x*X Xx1x*x0X Xx*x1x0X X(b b)(c c)(d d)（图（图（图（图3-53-5）Newton法的几何意义及其优劣如图如图如图如图3-53-5（a a）所示）所示）所示）所示.应用中可由实际问题的背景来预测利用应用中可由实际问题的背景来预测利用应用中可由实际问题的背景来预测利用应用中可由实际问题的背景来预测利用对分区间法求得较好的初值对分区间法求得较好的初值对分区间法求得较好的初值对分区间法求得较好的初值x x0 0。使在其邻近。使在其邻近。使在其邻近。使在其邻近f f (x x)f f (x x)不不不不变号，并且使变号，并且使变号，并且使变号，并且使f f(x x0 0)f f (x x0 0)0)0，这就能保证收敛，如图，这就能保证收敛，如图，这就能保证收敛，如图，这就能保证收敛，如图3-3-5 5（b b）（d d）。）。）。）。NewtonNewton法具有收敛快，稳定性好，精度高等优点，它法具有收敛快，稳定性好，精度高等优点，它法具有收敛快，稳定性好，精度高等优点，它法具有收敛快，稳定性好，精度高等优点，它是求解非线性方程的有效方法之一。是求解非线性方程的有效方法之一。是求解非线性方程的有效方法之一。是求解非线性方程的有效方法之一。但它每次迭代均需要计算函数值与导数值，故计算量但它每次迭代均需要计算函数值与导数值，故计算量但它每次迭代均需要计算函数值与导数值，故计算量但它每次迭代均需要计算函数值与导数值，故计算量较大。而且当导数值提供有困难时，较大。而且当导数值提供有困难时，较大。而且当导数值提供有困难时，较大。而且当导数值提供有困难时，NewtonNewton法无法进行。法无法进行。法无法进行。法无法进行。第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进 例：例：用用NewtonNewton迭代法于方程迭代法于方程 导出导出 的的迭代公式，并用此求迭代公式，并用此求 的值的值。第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进3.2计算重根的牛顿迭代法若若x*为方程为方程f(x)=0的的m(m1)重根，则重根，则f(x)可表为可表为:其其中中g(x*)0，此此时时用用牛牛顿顿迭迭代代法法求求x*仍仍然然收收敛敛，只只是是收收敛速度将大大减慢。事实上，因为敛速度将大大减慢。事实上，因为:第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进计算重根的牛顿迭代法(续1）可见用牛顿法求方程的重根仅为线性收敛。可见用牛顿法求方程的重根仅为线性收敛。为了提高求重根的收敛速度，有两种可供选择方法为了提高求重根的收敛速度，有两种可供选择方法:(1)(1)方法之一是将求重根的问题转化为求单根。注意到方法之一是将求重根的问题转化为求单根。注意到函数：函数：第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进计算重根的牛顿迭代法(续2）上述迭代格式右端较复杂，应用起来不方便。上述迭代格式右端较复杂，应用起来不方便。(2)(2)另一种求另一种求m重根的方法是采用如下迭代格式：重根的方法是采用如下迭代格式：可以证明它是求可以证明它是求m重根重根x*的的具平方收敛的迭代格式。具平方收敛的迭代格式。问题是如何确定根的重数问题是如何确定根的重数m？下面介绍一个边迭代边估计？下面介绍一个边迭代边估计重数方法。设重数方法。设xk2，xk1，xk为用牛顿迭代格式（为用牛顿迭代格式（2-7）所）所得三个相邻的迭代值，令得三个相邻的迭代值，令第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进则则由式（由式（2-8）可知）可知故故 因此可用因此可用下式估计下式估计m第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进例例8用牛顿迭代法求方程用牛顿迭代法求方程在0.95附近之根。解解取取x0=0.95，用牛顿迭代法，用牛顿迭代法，按式（按式（2 2-7）求得的）求得的xk见表见表3 3-3，由表中数据可见，由表中数据可见xk收敛很慢。由收敛很慢。由可知，所求根为可知，所求根为m=2重根，重根，改用式改用式(2-9)迭代格式，得：迭代格式，得：收敛速度大大快于直接用牛顿迭代公式（收敛速度大大快于直接用牛顿迭代公式（8-6）.第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进表表3-3kxk k01234560.950.97442790.98705830.99348780.99673280.99835760.99919010.50900.50470.50070.51252.03692.01902.00282.0511m第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进3.2弦截法不不足足之之处：需要计算导数值，较难；处：需要计算导数值，较难；这就是这就是弦截法迭代公式弦截法迭代公式 Newton法优点：收敛快（平方阶），固定格式；法优点：收敛快（平方阶），固定格式；修修正：以差商代替导数（微商）正：以差商代替导数（微商）第二章第二章非线性方程求解非线性方程求解返回前进弦截法迭代公式的几何解释与与与与x x轴相交，轴相交，轴相交，轴相交，即即即即y y=0=0，解出，解出，解出，解出x x得：得：得：得：即以割线代替曲线即以割线代替曲线即以割线代替曲线即以割线代替曲线f f(x x)，以割线与，以割线与，以割线与，以割线与x x轴的交点去近似曲轴的交点去近似曲轴的交点去近似曲轴的交点去近似曲线与线与线与线与x x轴的交点，又称为轴的交点，又称为轴的交点，又称为轴的交点，又称为割线法割线法。割线法割线法也可看作以（也可看作以（也可看作以（也可看作以（x xn n-1-1，f f(x xn n-1-1)），），），），(x xn