线性代数矩阵课件

线线性性代代数数课程的重要性课程的重要性课程要求课程要求综合考评综合考评课时分配课时分配如何学好如何学好做好预习复习做好预习复习多看多练多想多看多练多想工科基础工科基础考研基础考研基础v期末成绩期末成绩v平时成绩平时成绩v授课学时授课学时36v习题课习题课1*4=4按时完成作业按时完成作业ABC教材与参考书目教材与参考书目教材教材参考书目参考书目工程数学工程数学线性代数，第线性代数，第4版，同济大学版，同济大学应用数学系，应用数学系，2003，高教出版社，高教出版社线性代数线性代数作者：作者：陈建龙，周建华，韩瑞珠，周后型陈建龙，周建华，韩瑞珠，周后型科学出版社，科学出版社，2007.2线性代数附册线性代数附册学习辅导与习题选解，第学习辅导与习题选解，第4版，同济大学应用数学系，版，同济大学应用数学系，2003，高教出，高教出版社版社线线性性代代数数一、核心工具一、核心工具解线性方程组解线性方程组 线性方程组线性方程组方程间方程间的关系的关系向量间向量间的关系的关系矩阵的性矩阵的性质和运算质和运算 行列式行列式的运算的运算 返回考虑考虑再学再学方程对应一个向量方程对应一个向量再学再学向量组构成矩阵向量组构成矩阵再学再学方阵方阵再学再学二、主要问题二、主要问题 应用线性方程组应用线性方程组求方阵的特征值特征向量求方阵的特征值特征向量方阵的相似对角化问题方阵的相似对角化问题实对称矩阵的正定性实对称矩阵的正定性三、重点难点三、重点难点向量组的线性无关性向量组的线性无关性逆矩阵逆矩阵线性方程组：线性方程组：第一章第一章矩矩阵阵1.1矩阵的基本概念矩阵的基本概念一一.矩阵与向量矩阵与向量二二.几种特殊矩阵几种特殊矩阵一一.矩阵的矩阵的线性运算线性运算三三.矩阵的矩阵的转置转置1.2矩阵的基本运算矩阵的基本运算二二.矩阵的矩阵的乘法乘法例例1.某厂家向三个代理商发送四种产品某厂家向三个代理商发送四种产品.A=2050302516201616B=200180190100120100150160140180150150单价单价(元元/箱箱)重量重量(Kg/箱箱)数量数量(箱箱)南京南京 苏州苏州 常州常州啤酒啤酒(瓶装瓶装)2016200180190啤酒啤酒(易拉罐易拉罐)5020100120100干啤干啤3016150160140生啤生啤25161801501501.1矩阵的基本概念矩阵的基本概念例例2.四个城市间的单向航线如图所示四个城市间的单向航线如图所示.若若aij表示从表示从i市市到到j市航线的条数市航线的条数,则右图可用矩阵表示为则右图可用矩阵表示为1423A=aij=01111000010010101.1矩阵的基本概念矩阵的基本概念一一.矩阵与向量矩阵与向量1.m n矩阵矩阵(Matrix)元素元素:aij(i=1,m,j=1,n)注注:元素都是实元素都是实(复复)数的矩阵称为数的矩阵称为实实(复复)矩阵矩阵.今后除非特别说明今后除非特别说明,我们所考虑的矩阵都我们所考虑的矩阵都是实矩阵是实矩阵(Rmn).复矩阵复矩阵(Cmn).Amn=(aij)mna11a12a1na21a22a2n am1am2amnn阶方阵阶方阵:n n矩阵矩阵2.方阵方阵主对角线元素主对角线元素:aii(i=1,n)3.向量向量(Vector)n维行向量维行向量:1 n矩阵矩阵ai=(ai1,ai2,ain)n维列向量维列向量:n 1矩阵矩阵Aj=常用希腊字常用希腊字母母,表示表示.5.同型矩阵同型矩阵 A=(aij)m n与与B=(bij)m n 6.相等矩阵相等矩阵A=Baij=bij,1 i m,1 j n同型矩阵同型矩阵a1ja2j janj j4.1 1矩阵矩阵(a11)=a11 7.零矩阵零矩阵 Om n aij=0，1 i m,1 j n1.对角矩阵对角矩阵(diagonal)=diag(1,2,n)=1000 2000 n2.数量矩阵数量矩阵3.单位矩阵单位矩阵引入引入Kronecker记号记号 ij=1,i=j0,i j=(ij)=(ij)=(i ij)二二.几种特殊矩阵几种特殊矩阵4.三角矩阵三角矩阵a11a12a1n0 a22a2n00anna1100a21 a220an1an2anna11a1n-1a1na21 a2n-10an10000a1n0 a2n-1a2nan1a1n-1ann上三角矩阵：方阵的主对角线下的元素全为上三角矩阵：方阵的主对角线下的元素全为0下三角矩阵：方阵的主对角线上的元素全为下三角矩阵：方阵的主对角线上的元素全为05.行阶梯矩阵行阶梯矩阵称称A中非零行的行数为中非零行的行数为A的的阶梯数阶梯数,记为记为 r(A).(简称简称阶梯阵阶梯阵)(row echelon form)若若A有零行有零行(元素全为零的行元素全为零的行),则零行位于最下方则零行位于最下方;非零行的非零首元非零行的非零首元(自左至右第一个不为零的元自左至右第一个不为零的元,称为称为主元主元)的列标随行标的递增而递增的列标随行标的递增而递增.r(A)=3r(A)=411 2040132 2000 2300000110040102 2000 23000046.行最简形矩阵行最简形矩阵A为为阶梯形矩阵阶梯形矩阵(简称简称阶梯阵阶梯阵)若若A有零行有零行,则零行位于最下方则零行位于最下方;主元主元的列标随行标的递增而递增的列标随行标的递增而递增.A为为行最简形矩阵行最简形矩阵(reduced row echelon form)(rref)各非零首元各非零首元(主元主元)全为全为1,主元所在的列主元所在的列(称为主列称为主列)除除1外其余元素全为外其余元素全为0.不是不是rref单位列向量单位列向量是是rref10 2010130 2000100000010101010000110000000001.加法加法注注1:A,B同型同型.C=A+B=(aij+bij)m n注注3:负矩阵负矩阵 A=(aij)m n注注4:减法：减法：2.数乘数乘kA=(kaij)m n=向量向量:k+l =(kai+lbi)(A A,B B是同型矩阵是同型矩阵是同型矩阵是同型矩阵)kA lB=(kaij lbij)m nka11ka12ka1nka21ka22ka2n kam1kam2kamn1.2矩阵的基本运算矩阵的基本运算一一.矩阵的矩阵的线性运算线性运算A B=A+(B)3.性质性质定理定理2.1设设A,B,C,O是同型矩阵是同型矩阵,k,l是数是数,则则(1)A+B=B+A,(2)(A+B)+C=A+(B+C),(3)A+O=A,(4)A+(A)=O,(5)1A=A,(6)k(lA)=(kl)A,(7)(k+l)A=kA+lA,(8)k(A+B)=kA+kB.(9)kA=0k=0或或A=O.(10)A+X=BX=B A.A=2050302516201616B=200180190100120100150160140180150150单价单价(元元/箱箱)重量重量(Kg/箱箱)数量数量(箱箱)南京南京苏州苏州常州常州瓶装啤酒瓶装啤酒2016200180190易拉罐易拉罐5020100120100干啤干啤3016150160140生啤生啤2516180150150总价总价(元元)180001815016750总重总重(Kg)10480102409680C=AB1.设设A=(aij)m s,B=(bij)s n,则则A与与B的的乘积乘积是是C=AB=(cij)m n=(Ai*B*j)=,其中其中cij=ai1b1j+ai2b2j+aisbsj=aikbkj.k=1s二二.矩阵的乘法矩阵的乘法注注1:时才有意义，且时才有意义，且.(1)(kA)B=k(AB),(2)A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC,(3)(AB)C=A(BC).注注2:性质性质AB=(Ai*B*j)=二二.矩阵的乘法矩阵的乘法注注3:注注4:不一定都有意义不一定都有意义 同型但不相等同型但不相等 AB:A左乘以左乘以B;B右乘以右乘以A 有意义但不同型有意义但不同型 注注5:方阵的正整数幂：方阵的正整数幂：A2=AA,Ak+1=AkA,AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl,(AB)k Ak Bk,(A+B)2 A2+B2+2AB,只有只有AB=BA时等式成立时等式成立.注注6:消去律未必成立消去律未必成立.(AB)k=AB AB AB.(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+B2+AB+BA 比如比如:(A+B)(A B)=A2 B2 AB+BA A2 B2例例3.关于关于Ak解解:注注7：对角矩阵的性质：对角矩阵的性质=(i ij)(ti ij)=(i ti ij)=(ti ij)(i ij)=EmAm n=Am n=Am nEn(a Em)Am n=a Am n=Am n(a En)t1000t20 00tn 1000 20 00 n 1 1t1000 2 2t20 00 ntn=注注8：方阵的多项式：方阵的多项式设设A为一个方阵为一个方阵,f(x)为一个多项式为一个多项式称之为称之为方阵方阵A的一个多项式的一个多项式.f(x)=asxs+as 1xs 1+a1x+a0f(A)=asAs+as 1As 1+a1A+a0E例例5：第一章第一章矩矩阵阵1.2矩阵的基本运算矩阵的基本运算一一.矩阵的线性运算矩阵的线性运算二二.矩阵的乘法矩阵的乘法三三.矩阵的转置矩阵的转置kA lB=(kaij lbij)m nAB=(Ai*B*j)=矩阵乘法是否有意义，乘积矩阵的行列数矩阵乘法是否有意义，乘积矩阵的行列数交换率一般不成立交换率一般不成立消去率一般不成立消去率一般不成立三三.矩阵的转置矩阵的转置1.设矩阵设矩阵A=(aij)mn,则矩阵则矩阵A的的转置转置为为2.性质：性质：(1)(AT)T=A,nm(4)证明：证明：(2)(A+B)T=AT+BT,(4)(AB)T=BTAT.(3)(kA)T=kAT,=3.对称矩阵对称矩阵满足满足AT=A.A=(aij)m n为对称矩阵为对称矩阵m=n且且aij=aji(i,j=1,2,n).反对称反对称矩阵矩阵A：满足满足AT=A.A=(aij)m n为反对称矩阵为反对称矩阵A为方阵且为方阵且aij=aji(i,j=1,2,n).比如：比如：为对称矩阵；为对称矩阵；为反对称矩阵为反对称矩阵.反对称矩阵对角线元素全为反对称矩阵对角线元素全为0证明：设证明：设A,B,C为为n阶方阵，并且阶方阵，并且例例6.证明任意一个证明任意一个n阶方阵都可以表示成一个阶方阵都可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和对称矩阵与一个反对称矩阵之和.1.3分块矩阵分块矩阵一一.矩阵的分块矩阵的分块在矩阵的某些行之间插一些横线，在某些列在矩阵的某些行之间插一些横线，在某些列之间插一些竖线，将矩阵分成一些子块。之间插一些竖线，将矩阵分成一些子块。GH三种特殊的分块方法三种特殊的分块方法设设A为为mn矩阵矩阵,记记Aj为为A的第的第j列列,i为为A的的第第i行行(j=1,n,i=1,m),则有如下两则有如下两种重要的分块方法种重要的分块方法A=(A1,A2,An),1 2 mA=A A=A A1 1 O OO OO O A A2 2O O O O O OA As s,其中其中A1,A2,As都是方都是方阵阵,则称则称A为为分块对角阵分块对角阵(或或准对角矩阵准对角矩阵).二二.分块矩阵的运算分块矩阵的运算1.分块加法分块加法A=A11A12A1rA21A22A2r As1As2Asr,B=B11B12B1rB21B22B2r Bs1Bs2Bsr,设矩阵设矩阵A与与B是同型的是同型的,采用相同的分块采用相同的分块法分块将法分块将A与与B分块如下分块如下A11+B11A12+B12A1r+B1rA21+B21A22+B22A2r+B2r As1+Bs1As2+Bs2Asr+Bsr.A+B=设矩阵设矩阵A=A11A12A1rA21A22A2r As1As2Asr,为常数为常数.A11 A12 A1r A21 A22 A2r As1 As2 Asr.则则 A=2.分块数乘分块数乘3.分块乘法分块乘法设设A为为m l 矩阵矩阵,B为为l n 矩阵矩阵,将它们分块如下将它们分块如下A=A11A12A1tA21A22A2t As1As2Ast,B=B11B12B1rB21B22B2r Bt1Bt2Btr,Ai1,Ai2,Ait的列数分别与的列数分别与B1j,B2j,Btj的行数相等的行数相等.(i=1,2,s;j=1,2,r.)C11C12C1r C21C22C2r Cs1Cs2Csr,其中其中Cij=AikBkj,则则AB=k=1t10 10 120 110012110B=,求求AB.10000100 12100101例例1.设设A=,解解:A=,EOA1EB=,B11 EB21B22于是于是AB=EOA1EB11 EB21B22,B11 E=10 12=.A1B11+B21=34 121021+24 13=,100 1 24 131 11 1A1B11+B21B22 A1设矩阵设矩阵A=A11A12A1rA21A22A2r As1As2Asr,A11TA21TAs1T A12TA22TAs2T A1rTA2rTAsrT.则则AT=4.分块转置分块转置分外层内层分外层内层双重转置双重转置AT=A1,A2,AnT=1T,2T,mT.1 2 mAT=A1TA2TAnT=T三三.矩阵与分块矩阵的应用矩阵与分块矩阵的应用线性方程组的表示形式线性方程组的表示形式三三.分块矩阵的应用分块矩阵的应用线性变换线性变换y=Ax从从x1,x2,xn到到y1,y2,ym的线性变换的线性变换恒等变换恒等变换y=Ex旋转变换旋转变换y=Ax几何含义：将平面上任一点几何含义：将平面上任一点P(x1,x2)旋转旋转 角得到点角得到点P(y1,y2)1.4初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵二二.矩阵的初等变换矩阵的初等变换三三.相抵标准形相抵标准形一一.线性方程组的初等变换线性方程组的初等变换四四.初等矩阵初等矩阵一一.线性方程组的初等变换线性方程组的初等变换 2x1 3x2+4x3=4 x1+2x2 x3=32x1+2x2 6x3=2 x1+2x2 x3=3 2x1 3x2+4x3=4x1+x2 3x3=1x1+2x2 x3=3 x2+2x3=2 x2 2x3=2 2 2 (1)1)x1+2x2 x3=3 x2+2x3=20=0 1/21/2 1 1对换变换对换变换倍乘变换倍乘变换倍加变换倍加变换阶梯形方程组阶梯形方程组x1 5x3=1 x2+2x3=20=0 x1+2x2 x3=3 x2+2x3=20=0阶梯形方程组阶梯形方程组 (2)2)x1=5x3+1x2=2x3 2x3=x3(任意任意)最简形方程组最简形方程组或写成向量形式或写成向量形式由此可得原方程组的通解由此可得原方程组的通解其中其中c为任意数为任意数.x=5c+1 2c 2c,二二.矩阵的初等变换矩阵的初等变换 2x1 3x2+4x3=4 x1+2x2 x3=32x1+2x2 6x3=2 x1+2x2 x3=3 2x1 3x2+4x3=4x1+x2 3x3=1x1+2x2 x3=3 x2+2x3=2 x2 2x3=2 2 (1)x1+2x2 x3=3 x2+2x3=20=0 1/2 1 2 34 412 1 322 6 2轻轻装装上上阵阵12 1 3 2 34 411 3 1 1/212 1 3012 20 1 22 2(1)12 1 3012 20000 1增增广广矩矩阵阵的的初初等等变变换换阶梯形方程组阶梯形方程组阶梯形矩阵阶梯形矩阵1.矩阵的矩阵的初等行变换初等行变换初等列变换初等列变换:把上述定义中的把上述定义中的“行行”换成换成“列列”(相应的记号是把相应的记号是把“r”换成换成“c”).初等行变换与初等列变换统称为初等行变换与初等列变换统称为初等变换初等变换.(1)对调两行对调两行rirj(2)以以非零非零的数的数k乘以第乘以第i行行,记为记为ri k(3)把第把第j行的的行的的k倍加到第倍加到第i行上去行上去,记为记为ri+krj 初等行变换的逆变换：初等行变换的逆变换：ri kABri 1/kBAri+krjABri krjBA(行行row)(列列column)三三.相抵标准形相抵标准形2.性质性质(1)反身性反身性:A A.(2)对称性对称性:A BB A.(3)传递性传递性:A B,B CA C.矩阵间的相抵关系是一种等价关系矩阵间的相抵关系是一种等价关系.1.A与与B相抵相抵(或或等价等价)记为记为A B.初等变换初等变换注：初等变换包括初等行变换和初等列变换注：初等变换包括初等行变换和初等列变换.3.通过通过初等行变换初等行变换将矩阵化为与其将矩阵化为与其等价的等价的行最简形矩阵行最简形矩阵例例1.用初等行变换将用初等行变换将A化为化为行最简形矩阵行最简形矩阵 r2 2r10411r3 4r1051515r4 r10211r3/50411r2r30133021100 11 11013300 5 5r3 4r2r4 2r2 r3/11r4+5r3001101330000r1+r2r2 3r30011010000001004相抵标准形相抵标准形.ErOr(n r)O(m r)rO(m r)(n r)3.记记若若Am n与与相抵相抵,则称则称为为A的的10002200300042 305460初等初等行行变换变换初等初等行行变换变换100001003000001054 20初等初等列列变换变换1000010000100000000021116234633310426145139例如例如,rref是初等是初等行变换下行变换下的最简形的最简形初等变换下初等变换下的最简形的最简形r为阶梯数，即阶梯阵中非零行的行数为阶梯数，即阶梯阵中非零行的行数.四四.初等矩阵初等矩阵1.初等矩阵初等矩阵:E rirj E(i,j)E cicj E(i,j)E ri k E(i(k)Eci k E(i(k)E ri+krj E(i,j(k)E cj+kciE(i,j(k)(1)(2)(3)按定义按定义,初等矩阵共有如下初等矩阵共有如下3类类:一次初一次初等变换等变换E(i,j)=第第i行行1101101111第第j行行第第i列列第第j列列E rirj E(i,j)E cicj E(i,j)(1)E(i(k)=第第i行行1k11第第i列列1E ri k E(i(k)Eci k E(i(k)(2)E(i,j(k)=第第i行行1k 11第第j行行第第i列列第第j列列1E ri+krj E(i,j(k)E cj+kciE(i,j(k)(3)2.初等矩阵的性质初等矩阵的性质定理定理1.1一次初等一次初等行行变换变换一次初等一次初等列列变换变换其中其中P为相应的初等阵为相应的初等阵.(左行左行右列右列)010100001a b cx y z123,=x y za b c123010100001ax1by2cz3,=xa1yb2z c31k0010001a b cx y z123,=a+kx b+ky c+kz x y z1231k0010001ax1by2cz3.=aak+x1bbk+y2cck+z310001000ka b cx y z123,=ab cxy zk2k3k10001000kax1by2cz3,=axkby2kcz3k定理定理1.2.对任意对任意m n矩阵矩阵A,总存在行最简形矩总存在行最简形矩阵阵U和和m阶初等阵阶初等阵P1,P2,Ps,使得使得 P1P2Ps A=U.定理定理1.3.对任意对任意m n阶矩阵阶矩阵A,必可找到必可找到m阶初等阶初等阵阵P1,P2,Ps和和n阶初等阵阶初等阵Q1,Q2,Qt,使得使得P1P2Ps A Q1Q2Qt =E(r),其中其中r min(m,n)为为A的的阶梯数阶梯数.行阶梯形行阶梯形Am n行最简形行最简形相抵标准形相抵标准形一般地一般地,初等初等列列变换变换ErOr(n r)O(m r)rO(m r)(n r)初等初等行行变换变换初等初等行行变换变换一一.初等变换和初等矩阵初等变换和初等矩阵二二.相抵标准形相抵标准形一次初一次初等变换等变换(左行左行右列右列)相抵是一种等价关系，最简形为相抵标准形。相抵是一种等价关系，最简形为相抵标准形。初等变换初等变换一次初等一次初等行行变换变换一次初等一次初等列列变换变换Am n行最简形行最简形相抵标准形相抵标准形初等初等列列变换变换初等初等行行变换变换左乘初等阵左乘初等阵P1,P2,Ps右乘初等阵右乘初等阵Q1,Q2,Qt1.5方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵一一.逆矩阵的概念逆矩阵的概念1.定义定义:设设A为方阵为方阵,若存在方阵若存在方阵B,使得使得 AB=BA=E.则称则称A可逆可逆,并称并称B为为A的的逆矩阵逆矩阵.事实上事实上,若若AB=BA=E,AC=CA=E,则则B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.今后我们把可逆矩阵今后我们把可逆矩阵A的逆矩阵记为的逆矩阵记为A 1.注注2.可逆方阵的逆矩阵是唯一的可逆方阵的逆矩阵是唯一的.注注1.逆矩阵只是定义在逆矩阵只是定义在n阶方阵阶方阵上的上的.2.逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质设设A,B为同阶可逆方阵为同阶可逆方阵,数数k 0.则则(1)(A 1)1=A.(2)(AT)1=(A 1)T.(3)(kA)1=k 1A 1.(4)(AB)1=B 1A 1.例例1.设设A与与E A都可逆都可逆,G=(E A)1 E,求证求证G也也可逆可逆,并求并求G 1.证明证明:G=(E A)1(E A)1(E A)=(E A)1(E(E A)=(E A)1A G 1=A 1(E A)=A 1 E.(5)(ABG)1=G 1B 1A 1.则则A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是A1,A2,As都都可逆可逆.且当且当A1,As都可逆时都可逆时,有有3.分块对角矩阵的逆矩阵分块对角矩阵的逆矩阵,设分块对角矩阵设分块对角矩阵A=A1000A20 00AsA 1=A1 1000A2 10 00As 1.则则A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是A1,A2,As都都可逆可逆.且当且当A1,As都可逆时都可逆时,有有3.分块对角矩阵的逆矩阵分块对角矩阵的逆矩阵设分块矩阵设分块矩阵A=00A10A20 As00,A 1=00As 10As-1 10 A1 100.例例2.设设A,B为为s 阶阶t 阶可逆矩阵阶可逆矩阵,Cs t,Ot s,求求解解:设设X1X2X3 X4ACO BE OO E=,则则 AX1+CX3=EAX2+CX4=OBX3=OBX4=E|解得解得X4=B-1,X3=O,X1=A-1,X2=A-1CB-1.所以所以A-1 A-1CB-1O B-1X1X2X3 X4=.ACO B-14.分块求逆分块求逆ACO B-1二二.初等阵与可逆阵初等阵与可逆阵1.初等矩阵的可逆性初等矩阵的可逆性按定义按定义,初等矩阵共有如下初等矩阵共有如下3类类:一次初一次初等变换等变换初等矩阵初等矩阵E rirj E(i,j)E cicj E(i,j)E ri k E(i(k)Eci k E(i(k)E ri+krj E(i,j(k)E cj+kciE(i,j(k)(1)(2)(3)E(i,j)=第第i行行1101101111第第j行行第第i列列第第j列列E(i,j)1=E(i,j)E rirj E(i,j)(1)E(i(k)=第第i行行1k11第第i列列1(E(i(k)1=E(i(1/k)E ri k E(i(k)(2)E(i,j(k)=第第i行行1k 11第第j行行第第i列列第第j列列1E(i,j(k)1=E(i,j(k)E ri+krj E(i,j(k)(3)1.初等矩阵的可逆性初等矩阵的可逆性命题命题.初等矩阵都可逆初等矩阵都可逆,且且E(i,j)1=E(i,j),(E(i(k)1=E(i(1/k),(E(i,j(k)1=E(i,j(k).定理定理1.2.对对m n矩阵矩阵A,总存在行最简形阵总存在行最简形阵U和和m阶初等阵阶初等阵P1,P2,Ps,使得使得 P1P2Ps A=U.问题：可逆方阵问题：可逆方阵A的行最简形矩阵的行最简形矩阵U=？E可逆方阵可逆方阵A=Ps 1P2 1P1 1.定理定理1.5n阶方阵阶方阵A可逆可逆A=初等矩阵的乘积，初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵即存在初等矩阵P1,P2,Ps,使得使得A=P1P2Ps.推论推论.A B存在初等阵使存在初等阵使B=P1Ps AQ1Qt 存在可逆矩阵存在可逆矩阵P,Q使得使得B=PAQ.定理定理1.5n阶方阵阶方阵A可逆可逆A=初等矩阵的乘积，初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵即存在初等矩阵P1,P2,Ps,使得使得A=P1P2Ps.定理定理1.6对对m n矩阵矩阵B,B存在初等阵使存在初等阵使B=P1Ps Q1Qt 存在可逆矩阵存在可逆矩阵P,Q使得使得B=P Q.设设A可逆可逆,则则A可以经过有限次初等可以经过有限次初等行行变换化为变换化为行简化阶梯阵行简化阶梯阵单位矩阵单位矩阵E.A E(AE)(E?)P1(AE)Pl Pl-1P2P1(AE)P1AP2P1APl Pl-1P2P1A(E,Pl Pl-1P2P1)?=Pl Pl-1P2P1=A 1(AE)初等初等行行变换变换(EA 1)相当于左乘相当于左乘A 1(AB)初等初等行行变换变换(E )相当于左乘相当于左乘A 1A 1B AX=EX=A 1 AX=BX=A 1B例例3.设设A=123221343,求求A 1.r2 2 r1r3 3 r1r3 r2 1/2r2;r3r1 2 r2r2 5/2r3r1+2r3123100221010343001解解:A 1=13 2 3/2 35/211 1例例4.设设A=,B=253143求矩阵求矩阵X使使AX=B.r2 2 r1r3 3 r1r3 r2 1/2r2;r3r1 2 r2r2 5 5/2r3r1+2+2r3123221343123252213134343解解:故故X=32 2 313.写在最后写在最后成功的基成功的基础在于好的学在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits67 结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日