线性代数总复习(有-有讲解)资料课件

线性代数性代数总复复习(有有-有有讲解解)资料料一、内一、内 容容 提提 要要 v行列式的性质行列式的性质性质性质2 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.性质性质1 行列式及它的转置行列式相等行列式及它的转置行列式相等.性质性质4 对换两行对换两行,行列式值反号行列式值反号.性质性质3 若行列式某一行的元素都是两数之和若行列式某一行的元素都是两数之和,则该行拆开则该行拆开,原行列式可以表为相应的两个行列式之和原行列式可以表为相应的两个行列式之和.性质性质6 把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行对应的元素上去把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行对应的元素上去,行列式的值不变行列式的值不变.性质性质5 若有两行元素对应成比例若有两行元素对应成比例,则行列式值为零则行列式值为零.设设 A,B 为为 n 阶矩阵阶矩阵,则有则有|AB|A|B|.一、内一、内 容容 提提 要要 vLaplace 按行列展开按行列展开定理定理 行列式等于某一行行列式等于某一行(列列)的元素及其对应的代数余的元素及其对应的代数余子式乘积之和子式乘积之和.即即 设设 A (aij)为为 n 阶方阵阶方阵,则有则有一、内一、内 容容 提提 要要 v伴随阵伴随阵 设设 A 为为 n 阶方阵阶方阵,Aij 为为(i,j)元的代数余子式元的代数余子式,记记称称 A 为方阵为方阵 A 的的转置转置伴随阵伴随阵.v伴随阵的性质伴随阵的性质 设设 A 为为 n 阶方阵阶方阵 A 的伴随阵的伴随阵,则有则有 如果如果|A|0,那么那么,称方阵称方阵 A 为为非奇异矩阵非奇异矩阵.v逆阵计算公式逆阵计算公式 非奇异矩阵非奇异矩阵 A 的逆阵为的逆阵为v逆矩阵逆矩阵 如果存在矩阵如果存在矩阵 B,使使 AB BA E那么那么,称方阵称方阵 A 为可逆的为可逆的,并称并称 B 为为 A 的逆矩阵的逆矩阵.v定理定理 设设 A,B 为为 n 阶方阵阶方阵,若若 AB E,则则 A,B 可逆可逆,且有且有一、内一、内 容容 提提 要要 v逆矩阵的性质逆矩阵的性质 设设 A,B 为为 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵,则有则有一、内一、内 容容 提提 要要 v分块对角阵的性质分块对角阵的性质(3)A 可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是 Ai(i=1,s)都可逆都可逆,且有且有一、内一、内 容容 提提 要要 设设 Ai(i 1,s)都是方阵都是方阵,设设 A,B 都是方阵都是方阵,则有则有 矩阵矩阵 A 及及 B 行等价的充要条件是行等价的充要条件是:存在可逆矩阵存在可逆矩阵 P,使使 B PA.矩阵矩阵 A 及及 B 列等价的充要条件是列等价的充要条件是:存在可逆矩阵存在可逆矩阵 Q,使使 B AQ.具体地有具体地有一、内一、内 容容 提提 要要 v等价矩阵等价矩阵 如果矩阵如果矩阵 A 经过有限次初等经过有限次初等(行行,列列)变换变换,化为矩阵化为矩阵 B,就称矩阵就称矩阵 A 及及 B(行行,列列)等价等价,记为记为 AB.v行最简形矩阵行最简形矩阵 v行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 一、内一、内 容容 提提 要要 v矩阵的秩矩阵的秩 一、内一、内 容容 提提 要要 如果矩阵如果矩阵 A 的等价标准形为的等价标准形为 那么称那么称 F 中单位阵的阶数中单位阵的阶数 r 为矩阵为矩阵 A 的秩的秩,记为记为 R(A).性质性质1 等价矩阵有相等的秩等价矩阵有相等的秩.性质性质2 性质性质4 性质性质3 n 阶方阵阶方阵 A 可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是 R(A)n.行阶梯形矩阵的秩为非零行的行数行阶梯形矩阵的秩为非零行的行数.性质性质5 v矩阵的秩矩阵的秩 一、内一、内 容容 提提 要要 如果矩阵如果矩阵 A 的等价标准形为的等价标准形为 那么称那么称 F 中单位阵的阶数中单位阵的阶数 r 为矩阵为矩阵 A 的秩的秩,记为记为 R(A).性质性质7 性质性质8 性质性质9 若若 则则 性质性质6 逆矩阵的初等变换求法逆矩阵的初等变换求法v矩阵初等变换的应用矩阵初等变换的应用 线性方程组的最简形解法线性方程组的最简形解法 将线性方程组的增广矩阵化为行最简形将线性方程组的增广矩阵化为行最简形,写出同解写出同解方程组方程组,解便一目了然解便一目了然.矩阵方程矩阵方程 AX B,XA B 的初等变换解法的初等变换解法一、内一、内 容容 提提 要要 (1)当当 R(A,b)R(A)时时,方程组无解方程组无解;(2)当当 R(A,b)R(A)n 时时,方程组有唯一解方程组有唯一解;(3)当当 R(A,b)R(A)n 时时,方程组有无穷多解方程组有无穷多解.设设 n 元线性方程组元线性方程组 Ax b.n 元方程组元方程组 Ax 0 有非零解的充要条件是有非零解的充要条件是 R(A)n.AX B 有解的充要条件是有解的充要条件是 R(A)R(A,B).v线性方程组的可解性定理线性方程组的可解性定理 当当 A为方阵时为方阵时,Ax 0 有非零解的充要条件是有非零解的充要条件是|A|0.一、内一、内 容容 提提 要要 v齐次通解结构定理齐次通解结构定理 设设 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax 0 的一个基础解系为的一个基础解系为x x1,x xn r,其中其中 r R(A),则则 Ax 0 的通解为的通解为(k1,kn r 为任意数为任意数)v非齐次通解结构定理非齐次通解结构定理(k1,kn r 为任意数为任意数)设设 x h h 是是 n 元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组 Ax b 的一个解的一个解(称特解称特解),x x1 1,x xn r 是导出组是导出组 Ax 0 的一个基础解系的一个基础解系,则则 Ax b 的通解为的通解为一、内一、内 容容 提提 要要 一、内一、内 容容 提提 要要 v线性组合线性组合 设有向量组设有向量组 及向量及向量 如果存在一组数如果存在一组数 使使那么那么,称向量称向量 b 为向量组为向量组 的一个线性组合的一个线性组合,称向量称向量 b 可由向量组可由向量组 并并线性表示线性表示.设设 矩阵矩阵 则线性方程组则线性方程组 Ax b有一组解有一组解等价于等价于v线性相关性线性相关性 设有向量组设有向量组 如果存在一组不全为如果存在一组不全为 0 的数的数 使使那么那么,称称 线性相关线性相关.否则否则,称称 线性无关线性无关.v基本性质基本性质 一、内一、内 容容 提提 要要 (1)若向量若向量 b 可由向量组可由向量组 a1,am 线性表示线性表示,则向量组则向量组b,a1,am 线性相关线性相关.(2)若部分组线性相关若部分组线性相关,则整个向量组也线性相关则整个向量组也线性相关.(3)若向量组线性无关若向量组线性无关,则任一部分组也线性无关则任一部分组也线性无关.v定理定理 v线性相关性线性相关性 设有向量组设有向量组 如果存在一组不全为如果存在一组不全为 0 的数的数 使使那么那么,称称 线性相关线性相关.否则否则,称称 线性无关线性无关.一、内一、内 容容 提提 要要 向量组向量组 线性无关的充分必要条件是线性无关的充分必要条件是 a1,am 线性无关线性无关,也即向量方程也即向量方程只有零解只有零解.v向量组的秩向量组的秩 设设 A 为一向量组为一向量组,A 中线性无关向量组所含向量个中线性无关向量组所含向量个数的最大值数的最大值 r,称为向量组称为向量组 A 的秩的秩,记为记为 R(A).v向量组的最大无关组向量组的最大无关组 设向量组设向量组 A 的秩为的秩为 r,如果如果 a1,ar 为为 A 中一个线中一个线性无关向量组性无关向量组,那么称那么称 a1,ar 为为 A 的一个最大无关组的一个最大无关组.v最大无关组的性质最大无关组的性质 设设 A 为一向量组为一向量组,则部分组则部分组 a1,ar 为为 A 的一个最的一个最大无关组的充分必要条件是大无关组的充分必要条件是(2)A 中任一向量可由中任一向量可由 a1,ar 线性表示线性表示.(1)a1,ar 线性无关线性无关;一、内一、内 容容 提提 要要 化矩阵化矩阵 A 为行最简形为行最简形 A0,通过观察通过观察 A0,便知便知 A 的的列向量组的秩和一个特定的最大无关组列向量组的秩和一个特定的最大无关组,以及以及 A 的其的其余列向量在该最大无关组下的线性表示余列向量在该最大无关组下的线性表示.一、内一、内 容容 提提 要要 v秩及最大无关组的一个算法秩及最大无关组的一个算法 例例 设设 的秩为的秩为3,一个最大无关组为一个最大无关组为则则且有且有 初等行变换保持矩阵的列向量组的初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系线性关系.v向量组的线性表示向量组的线性表示 若向量组若向量组 B 中的任一向量都可由向量组中的任一向量都可由向量组 A 中的向中的向量线性表示量线性表示,就称向量组就称向量组 B 可由向量组可由向量组 A 线性表示线性表示.一、内一、内 容容 提提 要要 向量组向量组 B 可由向量组可由向量组 A 线性表示的充要条件是线性表示的充要条件是 若向量组若向量组 B 可由向量组可由向量组 A 线性表示线性表示,则则 R(B)R(A).v等价向量组等价向量组 可以相互线性表示的两个向量组可以相互线性表示的两个向量组,称等价向量组称等价向量组.向量组向量组 A 及向量组及向量组 B 等价的充分必要条件是等价的充分必要条件是 v向量空间向量空间 设设 Rn 的非空集的非空集 V 满足条件：满足条件：那么那么,称称 V 为一个向量空间为一个向量空间.当非空集当非空集 V 满足条件满足条件(1),(2)时时,称称 V 对线性运算封闭对线性运算封闭.(1)若若 a V,b V,则则 a +b V;(2)若若 a V,k R,则则 ka V,齐次线性方程组齐次线性方程组 Ax 0 的解集的解集 S 是一个向量空间是一个向量空间.v子空间子空间 设有向量空间设有向量空间 V1 及及 V2,若若 V1 V2,就称就称 V1 是是 V2 的的子空间子空间.当当 V1 V2 时时,称称 V1 是是 V2 的真子空间的真子空间.一、内一、内 容容 提提 要要 v向量空间的基和维数向量空间的基和维数 称向量空间称向量空间 V 的秩为的秩为 V 的维数的维数,记为记为 dim V.称向量空间称向量空间 V 的任一最大无关组为的任一最大无关组为 V 的一个基的一个基.v基的性质基的性质 设设 V 为一个向量空间为一个向量空间,则则 V 中向量组中向量组 a1,ar 为为V 的一个基的充分必要条件是的一个基的充分必要条件是(2)V 中任一向量可由中任一向量可由 a1,ar 线性表示线性表示.(1)a1,ar 线性无关线性无关;n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax 0 的基础解系为解空间的基础解系为解空间S 的的一个基一个基,dim S n R(A).一、内一、内 容容 提提 要要 v生成空间生成空间 设有向量组设有向量组 A:a1,am,记记称称 L(A)为由向量组为由向量组 A 生成的向量空间生成的向量空间,简称生成空间简称生成空间.称称 a1,am 为生成元为生成元.v向量组线性表示的等价说法向量组线性表示的等价说法 设有向量组设有向量组 A:a1,as,B:b1,bt.则有则有(1)L(A)为为 L(B)的子空间的充分必要条件是的子空间的充分必要条件是 A 组可由组可由B 组线性表示；组线性表示；(2)L(A)L(B)的充分必要条件是的充分必要条件是 A 组及组及 B 组等价组等价.一、内一、内 容容 提提 要要 v向量在基下的坐标向量在基下的坐标 设设 V 为一个为一个 r 维向量空间维向量空间,则则 V 中任意中任意 r 个线性无个线性无关向量关向量 a1,ar 为为 V 的一个基的一个基,且有且有V 中任一向量中任一向量 a 可唯一地表示为可唯一地表示为称称(k1,kr)为为 a 在基在基 a1,ar 下的坐标下的坐标.一、内一、内 容容 提提 要要 v过度矩阵过度矩阵一、内一、内 容容 提提 要要 设设 a1,ar 及及 b1,br 是向量空间是向量空间 V 的两个基的两个基,称此关系式为基变换公式称此关系式为基变换公式.称矩阵称矩阵 P 为从基为从基 a1,ar 到基到基 b1,br 的的过渡矩阵过渡矩阵.过渡矩阵是可逆矩阵过渡矩阵是可逆矩阵.则则存在存在 r 阶矩阵阶矩阵 P,使使v向量的内积向量的内积一、内一、内 容容 提提 要要 设有设有 n 维向量维向量 a (a1,an),b (b1,bn),称称 a,b 为向量为向量 a 及及 b 的内积的内积.记记v向量的范数向量的范数 称称为向量为向量 a 的范数的范数(或长度或长度),记为记为|a|.若若 a,b 0,则称向量则称向量 a 及及 b 正交正交.v向量的夹角向量的夹角 非零向量非零向量 a 及及 b 的夹角为的夹角为v规范正交基规范正交基一、内一、内 容容 提提 要要 r 维向量空间维向量空间 V 中中,任一正交单位向量组任一正交单位向量组 e1,er,称为称为 V 的一个规范正交基的一个规范正交基.v正交矩阵正交矩阵 如果如果 PTP E(P 1 PT),则称方阵则称方阵 P 为正交矩阵为正交矩阵.P 为为 n 阶正交阵的充分必要条件是阶正交阵的充分必要条件是 P 的列的列(行行)向量组向量组为为 Rn 的一个规范正交基的一个规范正交基.v正交变换正交变换 若若 P 为正交阵为正交阵,则称线性变换则称线性变换 y Px 为正交变换为正交变换.正交变换保持向量的内积不变正交变换保持向量的内积不变.v方阵的特征值方阵的特征值一、内一、内 容容 提提 要要 称称 n 次多项式次多项式|l lE A|为为 A 的的特征多项式特征多项式.称称 n 次方程次方程|l lE A|0 的根为方阵的根为方阵 A 的的特征值特征值.设设 l l1,l ln 为为 A 的所有特征值的所有特征值,则有则有v特征值的性质特征值的性质(2)(1)A 的迹的迹,记为记为tr(A).设设 f 是一个多项式是一个多项式,若若 l l 为方阵为方阵 A 的一个特征值的一个特征值,则则 f(l l)为为 f(A)的一个特征值的一个特征值.v方阵的特征向量方阵的特征向量一、内一、内 容容 提提 要要 设设 l l 为方阵为方阵 A 的特征值的特征值,称方程组称方程组 (l lE A)x 0的任一非零解为方阵的任一非零解为方阵 A 对应于特征值对应于特征值 l l 的特征向量的特征向量.对应于对应于 n 阶矩阵阶矩阵 A 的特征值的特征值 l l 有有 n R(l lE A)个线性个线性无关的特征向量无关的特征向量,v定理定理 设设 l l1,l lm 是方阵是方阵 A 的的 m 个不相同的特征值个不相同的特征值,A1,Am 分别为属于分别为属于 l l1,l lm 的线性无关特征向量组的线性无关特征向量组,则由则由 A1,Am 的并集构成的向量组线性无关的并集构成的向量组线性无关.称属于称属于 l l 的线性无关特征向量组的线性无关特征向量组.v定理定理 设设 l l1,l lm 是方阵是方阵 A 的的 m 个不相同的特征值个不相同的特征值,p1,pm 为对应的特征向量为对应的特征向量,则则 p1,pm 线性无关线性无关.v相似矩阵相似矩阵一、内一、内 容容 提提 要要 设设 A,B 为为 n 阶方阵阶方阵,若存在可逆矩阵若存在可逆矩阵 P,使使那么那么,称称 B 是是 A 的相似矩阵的相似矩阵.称称 P 为相似变换矩阵为相似变换矩阵.矩阵的相似具有矩阵的相似具有反身性、对称性和传递性反身性、对称性和传递性.v定理定理 相似矩阵有相同的特征多项式相似矩阵有相同的特征多项式(特征值特征值).推论推论 若对角阵若对角阵 L L 是是 A 的相似矩阵的相似矩阵,则则 L L 以以 A 的特征值的特征值为对角元素为对角元素.v定理定理一、内一、内 容容 提提 要要 n 阶方阵阶方阵 A 及对角阵相似的充分必要条件是及对角阵相似的充分必要条件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.v定理定理 设设 l l 是是 n 阶矩阵阶矩阵 A 的的 k 重特征值重特征值,则则v定理定理 方阵方阵 A 可相似对角化的充分必要条件是可相似对角化的充分必要条件是 A的每一特征值的几何重数等于代数重数的每一特征值的几何重数等于代数重数.称称 k 为特征值为特征值 l l 的的代数重数代数重数.称称 n R(l lE A)为特征值为特征值 l l 的的几何重数几何重数.(1)求出求出 n 阶方阵阶方阵 A 的所有特征值的所有特征值 l li.一、内一、内 容容 提提 要要 (2)求求(l li E A)x 0 的一个基础解系的一个基础解系.(3)将求出的将求出的 n 个特征向量排成矩阵个特征向量排成矩阵则则v可对角化矩阵的多项式计算可对角化矩阵的多项式计算 当当 P 11AP L L diag(l l1,l ln)时时,v方阵相似对角化的算法方阵相似对角化的算法二、典二、典 型型 例例 题题 例例1 设设 a1,a2,a3,b 均为均为3维列向量维列向量,矩阵矩阵A (a1,a2,a3),解解B (3a1,2a2,b),且已知行列式且已知行列式 det A 2,det B 6.计算计算 det(3A B)和和 det(3A+B).解解例例2 设设 计算计算知识点例例3 计算矩阵计算矩阵 A2n 的行列式的行列式,其中其中解解例例4 设设且且 A2+AB A E,求求 A9 和和 B.解解证明证明 例例5 设设 A 满足方程满足方程 A2+2A E O,证明证明 A 及及 A+3E都可逆都可逆,并求它们的逆阵并求它们的逆阵.由由 A2+2A E O,得得因此因此 A 可逆可逆,且有且有因此因此 A+3E 可逆可逆,且有且有且且 AB B+A,求求 B.已知已知 解解例例6 由由 AB B+A,得得 例例7 设设 求求 An.解解则有则有 令令 知识点问问 a 取什么值时取什么值时,(1)b 可由可由 a1,a2,a3 线性表示线性表示,且表示式唯一且表示式唯一;(2)b 可由可由 a1,a2,a3 线性表示线性表示,但表示式不唯一但表示式不唯一;(3)b 不可由不可由a1,a2,a3线性表示线性表示.解解 对对(A,b)(a1,a2,a3,b)施行施行初等行变换初等行变换(1)当当a 2 时时,R(A,b)R(A)3,b可由可由a1,a2,a3线性表示线性表示,且表示且表示式唯一式唯一(因因a1,a2,a3线性无关线性无关);(2)当当 a 2 时时,R(A,b)R(A)2,b可由可由a1,a2,a3线性表示线性表示,但表示但表示式不唯一式不唯一(因因a1,a2,a3线性相关线性相关);(3)当当 a 2 时时,R(A,b)R(A),b 不可由不可由 a1,a2,a3 线性表示线性表示.例例8 设设 例例9 设矩阵设矩阵A(a1,a2,a3,a4),其中其中a3,a4线性无关线性无关,a3 2a1+a2,a4 3a1+2a2.向量向量b a1+a2+a3+a4,求方程组求方程组 Ax b 的通解的通解.解解知识点由由a3 2a1+a2,a4 3a1+2a2 知知x x1 (2,1,1,0)T,x x2(3,2,0,1)T为方程组为方程组 Ax 0 的两个解的两个解,又因又因a3,a4线性无关线性无关,所以所以a3,a4为为a1,a2,a3,a4的一个最大无关组的一个最大无关组,秩秩 R(A)2.易知易知 R(x x1,x x2)2 4 R(A),因此因此 x x1,x x2 为方程组为方程组 Ax 0 的一个基础解系的一个基础解系.由由 b a1+a2+a3+a4 知知h h (1,1,1,1)T为方程组为方程组 Ax b的一个特解的一个特解.因此因此,方程组方程组 Ax b 的通解为的通解为且有且有解解 且有且有例例10 设设(1)求求A的列向量组的列向量组 a1,a2,a3,a4的秩和一个最大无关组的秩和一个最大无关组,并把并把其余向量用此最大无关组线其余向量用此最大无关组线性表示性表示;(2)求求 Ax 0 的通解的通解.(1)化化 A 为行最简形为行最简形:a1,a2,a3,a4 的秩为的秩为2,一个最大无关组为一个最大无关组为a1,a2,知识点(2)Ax 0 的同解方程组为的同解方程组为其中其中 k1,k2 为任意数为任意数.令自由未知元令自由未知元 x3 k1,x4 k2,得得 Ax 0 的通解为的通解为证证1 因因 Ax xi 0(i 1,n r),上式两边左乘上式两边左乘 A 得得设存在一组数设存在一组数 x,x1,xn r,使使 即即(1)而而 x x1 1,x xn r 线性无关线性无关,因因 Ah h 0,所以所以 代入代入(1)得得 所以所以 所以所以 h h,h h+x x1 1,h h+x xn r 线性无关线性无关.(2)由由(2)得得 x 0,例例11 设设x x1,x xn r 是是 Ax 0 的一个基础解系的一个基础解系,而而h h不不是是 Ax 0 的解的解,证明证明 h h,h h+x x1,h h+x xn r 线性无关线性无关.知识点若若 s r,则向量组则向量组 b1,bs 线性相关线性相关.设向量设向量 b1,bs 可由向量组可由向量组 a1,ar 线性表示线性表示,定理定理 设向量组设向量组 线性无关线性无关,若若 线性相关线性相关,则向量则向量 b 可由可由 线性表示线性表示.而而 x x1 1,x xn r 线性无关线性无关,所以所以 h h,h h+x x1 1,h h+x xn r 线性无关线性无关.因因 x x1 1,x xn r 的线性组合也是的线性组合也是 Ax 0 的解的解,h h 不可由不可由 x x1 1,x xn r 线性表示线性表示,证证2 由定理知由定理知h h,x x1,x xn r 线性无关线性无关,从而从而易知易知 h h,h h+x x1,h h+x xn r 及及 h h,x x1,x xn r 等价等价,因此因此所以所以例例11 设设x x1,x xn r 是是 Ax 0 的一个基础解系的一个基础解系,而而h h不不是是 Ax 0 的解的解,证明证明 h h,h h+x x1,h h+x xn r 线性无关线性无关.知识点证证1 例例12 设设 m n 矩阵矩阵 A 的秩的秩 R(A)n,证明证明 于是存在于是存在 m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P,使使 A PF.因此因此因因 R(A)n,可知可知 A 的等价标准形为的等价标准形为(也是行最简形也是行最简形)知识点证证2 若若 x 满足满足 Bx 0,则有则有 A(Bx)0,即即(AB)x 0;若若 x 满足满足(AB)x 0,则有则有 A(Bx)0,因为因为 R(A)n,综上可知综上可知(AB)x 0 及及 Bx 0 同解同解,所以所以 Bx 0.设解空间为设解空间为 S,则有则有 n 元方程组元方程组 Ax 0 有非零解的充要条件是有非零解的充要条件是 R(A)n.n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax 0 的基础解系为解空间的基础解系为解空间S 的一个基的一个基,dim S n R(A).例例12 设设 m n 矩阵矩阵 A 的秩的秩 R(A)n,证明证明 解解 例例13 设设(1)求求(2)说明说明 a1,a2 和和 a3,a4 为为V 的两个基的两个基,并求从基并求从基 a1,a2 到基到基 a3,a4 的过渡矩阵的过渡矩阵.易知易知故故a1,a2 和和a3,a4都是都是V 的基的基.从基从基 a1,a2 到基到基 a3,a4 的过渡矩阵为的过渡矩阵为知识点证明证明 例例14 设设 a,b 为为 n 维维(列列)向量向量,证明证明 并说明其几何意义并说明其几何意义.以以 b 代换代换 b,得得 因此因此 其几何意义是其几何意义是:平行四边形两对角线的平方和等于四边的平方和平行四边形两对角线的平方和等于四边的平方和.解解方阵方阵 A 的特征多项式为的特征多项式为例例15 求方阵求方阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量.方阵方阵 A 的特征值为的特征值为解解例例15 求方阵求方阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量.当当 l l1 3 时时,解方程组解方程组 由由 得基础解系得基础解系方阵方阵 A 对应于对应于 l l1 3 的全部特征向量为的全部特征向量为解解例例15 求方阵求方阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量.当当 l l2 l l3 3 l l4 4 1 时时,解方程组解方程组 由由 得基础解系得基础解系方阵方阵 A 对应于对应于 l l2 l l3 3 l l4 4 1 的全部特征向量为的全部特征向量为(k2,k3,k4 不同时为零不同时为零)解解例例16 设矩阵设矩阵 A 及及 B 相似相似,其中其中(1)因因 A 及对角阵及对角阵 B 相似相似,知知 A 的特征值为的特征值为 2,2,b.由特征值的性质得由特征值的性质得求得求得知识点(1)求常数求常数 a,b;(2)求可逆矩阵求可逆矩阵 P,使使 P 1AP B.(3)求求 An.解解例例16 设矩阵设矩阵 A 及及 B 相似相似,其中其中(1)求常数求常数 a,b;(2)求可逆矩阵求可逆矩阵 P,使使 P 1AP B.(3)求求 An.(2)当当 l l 2 时时,解方程组解方程组(2E A)x 0,得基础解系得基础解系当当 l l 6 时时,解方程组解方程组(6E A)x 0,得基础解系得基础解系取可逆矩阵取可逆矩阵则有则有 P 1AP B.知识点解解例例16 设矩阵设矩阵 A 及及 B 相似相似,其中其中(1)求常数求常数 a,b;(2)求可逆矩阵求可逆矩阵 P,使使 P 1AP B.(3)求求 An.(3)A PBP 1,An PBnP 1.解解例例16 设矩阵设矩阵 A 及及 B 相似相似,其中其中(1)求常数求常数 a,b;(2)求可逆矩阵求可逆矩阵 P,使使 P 1AP B.(3)求求 An.(3)A PBP 1,An PBnP 1.证明证明例例17 设设 A,B为为n阶矩阵阶矩阵,l l 为为AB的非零特征值的非零特征值,证明证明l l 也也为为 BA 的特征值的特征值.存在非零向量存在非零向量 p,使使 ABp l l p.于是于是由由 l l 0,p 0,可知可知 Bp 0.(而而 Bp 为对应的特征向量为对应的特征向量)因此因此 l l 为为 BA 的特征值的特征值.例例18 设矩阵设矩阵求求 a 的值的值,并讨论并讨论 A 可否相似对角化可否相似对角化.有一个二重特征值有一个二重特征值,解解方阵方阵 A 的特征多项式为的特征多项式为解解求求 a 的值的值,并讨论并讨论 A 可否相似对角化可否相似对角化.若若 l l 2 是二重特征值是二重特征值,则则 l l 2 是是的根的根,求得求得 a 2.例例18 设矩阵设矩阵有一个二重特征值有一个二重特征值,R(2E A)1,从而从而 A 可相似对角化可相似对角化.l l 2 的几何重数为的几何重数为 2,等于代数重数等于代数重数,知识点解解求求 a 的值的值,并讨论并讨论 A 可否相似对角化可否相似对角化.若若 l l 2 不是二重特征值不是二重特征值,则则有重根有重根 l l 4,求得求得 R(4E A)2,从而从而 A 不可相似对角化不可相似对角化.例例18 设矩阵设矩阵有一个二重特征值有一个二重特征值,l l 4 的几何重数为的几何重数为 1,小于代数重数小于代数重数 2,人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。2021/4/13612021/4/1362谢谢观赏！2020/11/563