第一章数学物理方程的解法课件

课程特点：课程特点：数学物理方法是物理学类、电子信息科数学物理方法是物理学类、电子信息科学类和通信科学类的重要公共基础课和工具。学类和通信科学类的重要公共基础课和工具。主要特色在于数学和物理的紧密结合，主要特色在于数学和物理的紧密结合，将数学用于实际的物理和交叉科学的实际问将数学用于实际的物理和交叉科学的实际问题的分析中，通过物理过程建立数学模型，题的分析中，通过物理过程建立数学模型，通过求解和分析模型，对具体物理过程的深通过求解和分析模型，对具体物理过程的深入理解。提高分析解决实际问题的能力。入理解。提高分析解决实际问题的能力。2024/7/131 课程内容：课程内容：第一章：微分几何（第一章：微分几何（4）第二章：线性空间（第二章：线性空间（4）第三章：渐近方法（第三章：渐近方法（5）第四章：格林函数法（第四章：格林函数法（5）第五章：积分方程的解法（第五章：积分方程的解法（5）2024/7/132 课程学习目标：课程学习目标：1、掌握微分几何、线性空间的相关定义和本征函数、掌握微分几何、线性空间的相关定义和本征函数集的应用；集的应用；2、掌握数学物理方程常规解法的技巧，以及特殊函、掌握数学物理方程常规解法的技巧，以及特殊函数的应用；数的应用；3、掌握格林函数在数学物理方法求解中的应用，掌、掌握格林函数在数学物理方法求解中的应用，掌握积分方程的数值求解方法，学习数值渐近方法。握积分方程的数值求解方法，学习数值渐近方法。4、学习和提高编程分析实际问题的能力。、学习和提高编程分析实际问题的能力。2024/7/133 学习要求：学习要求：按时到课，完成作业，及时复习。按时到课，完成作业，及时复习。按时到课，完成作业，及时复习。按时到课，完成作业，及时复习。考核方法：考核方法：考核方法：考核方法：30%30%平时平时平时平时+70%70%期末（闭卷）期末（闭卷）期末（闭卷）期末（闭卷）推荐用书：推荐用书：推荐用书：推荐用书：数学物理方法王一平主编，电子工业出版社数学物理方法王一平主编，电子工业出版社数学物理方法王一平主编，电子工业出版社数学物理方法王一平主编，电子工业出版社微分几何的理论和习题微分几何的理论和习题微分几何的理论和习题微分几何的理论和习题利普舒茨著，上海科学利普舒茨著，上海科学利普舒茨著，上海科学利普舒茨著，上海科学技术出版社技术出版社技术出版社技术出版社微分几何微分几何微分几何微分几何梅向明梅向明梅向明梅向明 黄敬之黄敬之黄敬之黄敬之 编，高等教育出版社编，高等教育出版社编，高等教育出版社编，高等教育出版社物理学中的数学方法物理学中的数学方法物理学中的数学方法物理学中的数学方法拜伦著，拜伦著，拜伦著，拜伦著，19821982年，科学出年，科学出年，科学出年，科学出版社版社版社版社2024/7/134第一章第一章 微分几何微分几何 微分几何的产生和发展是与微分几何的产生和发展是与数学分析数学分析密切相连的，密切相连的，在这方面做出突出贡献的有瑞士数学家欧拉，法国的在这方面做出突出贡献的有瑞士数学家欧拉，法国的蒙日，德国的高斯、克莱因等。蒙日，德国的高斯、克莱因等。在在波的辐射、传播、散射、反射波的辐射、传播、散射、反射等应用领域常等应用领域常遇到对物体几何形状的分析，而微分几何所阐明遇到对物体几何形状的分析，而微分几何所阐明的概念和方法，在这一方面成为有力的工具。的概念和方法，在这一方面成为有力的工具。经近经近300年的发展，已逐渐成为数学上独具年的发展，已逐渐成为数学上独具特色，应用广泛的学科。特色，应用广泛的学科。2024/7/135第一章第一章 微分几何微分几何 微分几何是采用微分几何是采用微积分微积分的方法研究的方法研究几何几何图形图形 的学科。本章重点讨论曲面理论的基本原理。的学科。本章重点讨论曲面理论的基本原理。微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方微分几何特有的研究方法法。学习本章的重点是掌握微分几何基本概念理解学习本章的重点是掌握微分几何基本概念理解空间曲面的定义、定理及重要几何量的计算方法。空间曲面的定义、定理及重要几何量的计算方法。2024/7/136第一章第一章 微分几何微分几何 微分几何涉及用微积分方法了解空间形状及其性质。微分几何涉及用微积分方法了解空间形状及其性质。微分几何解决问题的微分几何解决问题的一般思路一般思路是：是：参数方程定参数方程定义几何体义几何体求导求导 从微积分导出能说从微积分导出能说明几何学某些性质明几何学某些性质的几何量的几何量给定某些微给定某些微分量分量求解求解 确定几何体确定几何体几何量几何量满足的条件（微分方程）满足的条件（微分方程）微分方程的解集即几何体微分方程的解集即几何体2024/7/137第一章第一章 微分几何微分几何 1、三维空间中的曲线；、三维空间中的曲线；2、三维空间中的曲面；、三维空间中的曲面；3、曲面的第一、二基本形式；、曲面的第一、二基本形式；4、曲面的曲率；、曲面的曲率；5、测地线；、测地线；6、张量简述。、张量简述。2024/7/138：推荐用书：推荐用书：推荐用书：推荐用书：数学物理方法王一平主编，电子工业出版社数学物理方法王一平主编，电子工业出版社数学物理方法王一平主编，电子工业出版社数学物理方法王一平主编，电子工业出版社微分几何的理论和习题微分几何的理论和习题微分几何的理论和习题微分几何的理论和习题利普舒茨著，上海科学利普舒茨著，上海科学利普舒茨著，上海科学利普舒茨著，上海科学技术出版社技术出版社技术出版社技术出版社微分几何讲义微分几何讲义微分几何讲义微分几何讲义陈省身陈省身陈省身陈省身 陈维恒陈维恒陈维恒陈维恒著，著，著，著，北京大北京大北京大北京大学出学出学出学出版社版社版社版社微分几何微分几何微分几何微分几何梅向明梅向明梅向明梅向明 黄敬之编，高等教育出版社黄敬之编，高等教育出版社黄敬之编，高等教育出版社黄敬之编，高等教育出版社第一章第一章 微分几何微分几何 2024/7/139 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 在在 E3 中中Descartes直角坐标系直角坐标系 O-xyz 下下运动质点的位置为运动质点的位置为其中其中 为单位正交基向量为单位正交基向量空间曲线定义空间曲线定义：区间区间(a,b)上点上点t 在映射：在映射：t (x(t),y(t),z(t)下像的集合下像的集合曲线曲线C的表示：的表示：1.1.1 曲线的表示曲线的表示 式中式中t 称为称为 C 的的参数参数 C 可用向量形式的参数方程表示为可用向量形式的参数方程表示为或写为分量形式的参数方程或写为分量形式的参数方程 一、曲线的表示一、曲线的表示 2024/7/1310 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 假定所研究的曲线假定所研究的曲线 至少是至少是t 的一阶连续可微函数。的一阶连续可微函数。1.1.1 曲线的表示曲线的表示 二、正则二、正则 定义定义 ：如果给定参数曲线如果给定参数曲线 C:,t(a,b)若若 ，则称，则称 t t0 的对应点的对应点 为为 C 的一个的一个正则点正则点若若 ，则称，则称 t t0 的对应点的对应点 为为 C 的一个的一个奇点奇点；若曲线上所有点正则，则称若曲线上所有点正则，则称 C 为为正则曲线正则曲线，并称参数，并称参数 t 为为正则正则参数参数几何意义：几何意义：视参数曲线为动点轨迹，正则点的几何意义则是当参数在该点视参数曲线为动点轨迹，正则点的几何意义则是当参数在该点处作微小变动时动点的位置同时作真正的变动处作微小变动时动点的位置同时作真正的变动2024/7/1311 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.1 曲线的表示曲线的表示 例例1若若参参数数曲曲线线 C:,t R，则则其其几几何何图图形形仅仅仅仅表表示示一一点点，而而不不是是正正常常的的曲曲线线，此此时时所所有有的的参参数数值值对对应应于于图图形形实实体体的的同同一一点点这这是是非非正正则则曲曲线线的的极极端端例例子子例例2半半径径为为a，螺螺距距为为2v的的圆圆柱柱螺螺线线，如如视视为为动动点点的的轨轨迹，表示为迹，表示为 (t)(a cos(w w t),a sin(w w t),v t),t R，其其中中三三个个常常数数 a 0,w w 0 和和 v 0 分分别别为为动动点点运运动动的的圆圆周半径、角速率和向上速率此时周半径、角速率和向上速率此时(t)(aw w sin(w wt),aw w cos(w wt),v)0，说明该参数化使之成为正则曲线。说明该参数化使之成为正则曲线。或者称该曲线是或者称该曲线是（,）上的正则曲线）上的正则曲线。2024/7/1312 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.1 曲线的表示曲线的表示 例例3半立方抛物线光滑曲线半立方抛物线光滑曲线(t)(t3,t2,0),t R，则则 (t)(3t2,2t,0)，故此时其奇点有且仅有一个：故此时其奇点有且仅有一个：r(0)该曲线是该曲线是（,0,0）和）和（0 0,）上的正则曲线。）上的正则曲线。同一条曲线可有不同的参数表示。如果曲线同一条曲线可有不同的参数表示。如果曲线C为为 (t)，用，用tt(t1)引入新参量引入新参量t1，则则 (t)(t(t1)1(t1)，为保障，为保障t,t1一一对应且一一对应且为使为使t,t1增加的方向均相应于曲线正向，要求增加的方向均相应于曲线正向，要求 三、同一曲线的不同参数表示三、同一曲线的不同参数表示 曲线曲线C上一点如取参数上一点如取参数t 时为正则点，则在取时为正则点，则在取t1表示时也为正则点表示时也为正则点2024/7/1313 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.1 曲线的表示曲线的表示 可以选取弧长作为曲线的参数并能够方便地确定曲线的可以选取弧长作为曲线的参数并能够方便地确定曲线的切线切线是曲线切矢量的长度。是曲线切矢量的长度。注意：注意：弧长是代数量；弧长是代数量；弧长只依赖于曲线上所选取的始末点，而与参数的选择无关；弧长只依赖于曲线上所选取的始末点，而与参数的选择无关；对正则曲线可选取弧长对正则曲线可选取弧长s作为表示曲线的新参数，这时切矢量作为表示曲线的新参数，这时切矢量 为一单位矢量。为一单位矢量。四、正则曲线的意义四、正则曲线的意义 设曲线设曲线 C:(t),t(a,b)正则，则曲线从参数正则，则曲线从参数t0到到t处的弧长处的弧长为为其中其中2024/7/1314 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.1 曲线的表示曲线的表示 选取弧长作为参数的曲线称为选取弧长作为参数的曲线称为单位速率曲线单位速率曲线。单位速率曲线的意义单位速率曲线的意义 类比：类比：空间曲线空间曲线质点在空间的运动轨迹质点在空间的运动轨迹参数参数t 时间时间 质点的运动速度质点的运动速度 质点经历的路程质点经历的路程选取弧长作为曲线的参数的好处是曲线上每一点的切向量都选取弧长作为曲线的参数的好处是曲线上每一点的切向量都是单位向量。是单位向量。2024/7/1315 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.1 曲线的表示曲线的表示 t 为正则参数为正则参数，且有，且有 ds=|r(t)|dt=a2w2+v2 dt s(t)-s(t0)=tt0|r(u)|du=tt0 a2w2+v2du=a2w2+v2(t-t0)点点(a,0,0)对应于参数对应于参数t0，故从点，故从点(a,0,0)计起的弧长参数计起的弧长参数 s(t)s(0)=t sqrt(a2w w2 2+v2)故一个螺纹对应于参数故一个螺纹对应于参数t取值区间为取值区间为t0，t0+|2/|的长度为的长度为 s(2/)s(0)=|2/|sqrt(a2w2+v2)例例4圆柱螺线参数化为圆柱螺线参数化为 (t)(a cos(w wt),a sin(w wt),vt),t R，其中三个常数，其中三个常数 a 0,w w 0 和和 v 0 试求其从点试求其从点(a,0,0)计起的弧长参数，并确定其一个螺纹的长度计起的弧长参数，并确定其一个螺纹的长度解解：因因2024/7/1316 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.2 空间曲线的重要几何量空间曲线的重要几何量 一、曲线的曲率一、曲线的曲率 考虑单位切向及其方向相对于弧长的变化率考虑单位切向及其方向相对于弧长的变化率定义：定义：曲率曲率曲率和曲率矢量的定义不依赖于正则参数的选取曲率和曲率矢量的定义不依赖于正则参数的选取曲率的意义曲率的意义表征了曲线的切向量相对于弧长的转动速度。表征了曲线的切向量相对于弧长的转动速度。其值的大小代表了其值的大小代表了曲线的弯曲程度曲线的弯曲程度。2024/7/1317 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.2 空间曲线的重要几何量空间曲线的重要几何量 定义定义曲率半径；曲率矢量曲率半径；曲率矢量其中，其中，是与是与 正交的单位矢。且指向曲线的凹向。正交的单位矢。且指向曲线的凹向。曲率曲率曲率半径曲率半径曲率矢量曲率矢量2024/7/1318 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.2 空间曲线的重要几何量空间曲线的重要几何量 一、曲线的曲率一、曲线的曲率 密切面方程密切面方程 如果密切面上的点用如果密切面上的点用 定义定义密切平面密切平面曲线曲线 (s)在在s点的点的 所构成的平面所构成的平面 表示，则表示，则 位于密切面内，即位于密切面内，即 命命 为曲线在为曲线在s处的从法向单位矢，它是密切面的法线。处的从法向单位矢，它是密切面的法线。2024/7/1319 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.2 空间曲线的重要几何量空间曲线的重要几何量 从切面从切面 曲线曲线 (s)在在s点的点的 描述曲线密切面方向变化引入描述曲线密切面方向变化引入挠挠率率 密切面密切面 所构成的平面所构成的平面 法平面法平面 二、曲线的挠率二、曲线的挠率 由上式所确定的函数由上式所确定的函数 称为曲线在称为曲线在s点的点的挠挠率率 挠挠率的绝对值表示了曲线的密切面（或从法矢量）随率的绝对值表示了曲线的密切面（或从法矢量）随s的旋转速率的旋转速率 2024/7/1320 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.2 空间曲线的重要几何量空间曲线的重要几何量 1）当曲线以弧长为参数表示时，即）当曲线以弧长为参数表示时，即 三、曲线的曲率挠率的计算公式三、曲线的曲率挠率的计算公式 曲曲率率挠挠率率2）当曲线以一般参数）当曲线以一般参数 t 表示表示 曲曲率率挠挠率率2024/7/1321 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.2 空间曲线的重要几何量空间曲线的重要几何量 例例5 对曲率非零的曲线对曲率非零的曲线 C 而言，而言，C 为平面曲线的充要条件为平面曲线的充要条件是其挠率函数恒等于零是其挠率函数恒等于零证明：只要证明证明：只要证明“从法向量恒等于常向量从法向量恒等于常向量”等价于等价于“挠率挠率函数恒等于零函数恒等于零”，而这由而这由 (s)，即可得证，即可得证 如果曲线的挠率恒为零，则如果曲线的挠率恒为零，则 (s)常矢量。于是常矢量。于是 由此得由此得设设s0是曲线上任一点，则由上式得是曲线上任一点，则由上式得可见可见 (s)位于通过位于通过s0，法线为，法线为 的平面上，即其是一平面曲线。的平面上，即其是一平面曲线。还可类似证明曲率恒为零的曲线为直线。还可类似证明曲率恒为零的曲线为直线。2024/7/1322 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.2 空间曲线的重要几何量空间曲线的重要几何量 物理意义物理意义：挠率是刻划曲线弯曲状况的又一个重要的几何量，挠率是刻划曲线弯曲状况的又一个重要的几何量，因而又可称之为曲线的因而又可称之为曲线的第二曲率第二曲率；由于挠率体现了密切平面的扭转状况，通常说它表由于挠率体现了密切平面的扭转状况，通常说它表示了曲线的示了曲线的扭曲程度扭曲程度当挠率非零时，称其倒数为当挠率非零时，称其倒数为挠率半径挠率半径2024/7/1323 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.2 空间曲线的重要几何量空间曲线的重要几何量 曲率、曲率、挠挠率的意义率的意义：沿曲线的变化告诉我们曲线自身在空间中是如何旋转弯曲的沿曲线的变化告诉我们曲线自身在空间中是如何旋转弯曲的的变化又由微分的变化又由微分 决定。决定。由由 的定义的定义所以曲率描述了所以曲率描述了 方向的变化。方向的变化。因为因为 是三维空间是三维空间R3中三个相互垂直的单位向量。故中三个相互垂直的单位向量。故R3中中任一向量都是它们的线性组合，如果任一向量都是它们的线性组合，如果 ，如能确定，如能确定a,b,c 则也就确定了则也就确定了2024/7/1324 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.2 空间曲线的重要几何量空间曲线的重要几何量 同理同理的表达式中仅剩一个非零系数，既然不能用已知量刻画它，的表达式中仅剩一个非零系数，既然不能用已知量刻画它，就把它定义为就把它定义为挠挠率。率。因为因为所以所以由由为零为零因为因为所以所以定义定义为曲线的挠率，则为曲线的挠率，则2024/7/1325 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.3 曲线在一点邻近的性质曲线在一点邻近的性质 一、一、Frenet标架标架在曲线上与自身几何属性密切相关的标架场在曲线上与自身几何属性密切相关的标架场Frenet标架标架 按照标架运动的一般规律，对于无逗留点的曲线按照标架运动的一般规律，对于无逗留点的曲线 r，其，其Frenet标架关于曲线弧长标架关于曲线弧长 s 的运动公式（作微小位移时的变的运动公式（作微小位移时的变换公式）为换公式）为这组公式称为这组公式称为Frenet 公式（公式（曲线论基本方程）曲线论基本方程），它包含了，它包含了曲线几何的最基本信息：弧长，曲率，挠率曲线几何的最基本信息：弧长，曲率，挠率2024/7/1326 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 二、曲线在一点邻近的性质二、曲线在一点邻近的性质在明确了在明确了Frenet公式之后，公式之后，Frenet标架关于弧长的各阶导标架关于弧长的各阶导向量在向量在Frenet标架下的分量就都可以用曲率、挠率以及它标架下的分量就都可以用曲率、挠率以及它们的各阶导数等几何量具体表示出来。们的各阶导数等几何量具体表示出来。一阶近似一阶近似二阶近似二阶近似三阶近似三阶近似(Frenet 近似近似)意义意义：如果如果挠率挠率正，随正，随s的增加曲线沿法线的正方向穿过密切面，的增加曲线沿法线的正方向穿过密切面，反之则反向穿过；反之则反向穿过；该曲线段近似于一段圆柱螺线，该曲线段近似于一段圆柱螺线，挠率挠率正，右螺旋，负，左螺旋正，右螺旋，负，左螺旋 1.1.3 曲线在一点邻近的性质曲线在一点邻近的性质 2024/7/1327 1.2 三维空间中的曲面三维空间中的曲面 一、曲面一、曲面参数参数u,v在二维区域在二维区域D内变化时，依赖于两个参数的矢量内变化时，依赖于两个参数的矢量设设端点的轨迹确定出的曲面可表为端点的轨迹确定出的曲面可表为是是D中任一固定点中任一固定点 1.2 三维空间中的曲面三维空间中的曲面 固定固定让让在在D中变动得中变动得 曲线曲线曲线曲线参参数数曲曲线线网网如果如果即点即点 处处u曲线的切向量与曲线的切向量与v曲线的切向量不平行，则曲线的切向量不平行，则称该点为曲面上的称该点为曲面上的正则点正则点。反之为奇点。由正则点所构成。反之为奇点。由正则点所构成的曲面称为的曲面称为正则曲面正则曲面。2024/7/1328二、正则坐标网二、正则坐标网对正则曲面，在点对正则曲面，在点(u0,v0)处若处若 根据根据ru和和rv 的连续的连续性，则存在该点的一个邻域，使得在此邻域内性，则存在该点的一个邻域，使得在此邻域内 1.2 三维空间中的曲面三维空间中的曲面 于是在这块曲面上每一点有惟一的一条于是在这块曲面上每一点有惟一的一条u曲线和一条曲线和一条v曲线，曲线，且这两条曲线不相切。这样的两族曲线构成且这两条曲线不相切。这样的两族曲线构成正则坐标网。正则坐标网。例例6 球面方程可表示为球面方程可表示为因为因为故当且仅当故当且仅当 时为零。即除球面上南北极外，球面上的时为零。即除球面上南北极外，球面上的经线经线(等于常数等于常数)和纬线和纬线(等于常数等于常数)构成正则曲线网。构成正则曲线网。1.2 三维空间中的曲面三维空间中的曲面 2024/7/1329一、切平面一、切平面曲面在某点处曲面在某点处 所构成的平面为曲面在该点的所构成的平面为曲面在该点的切平面切平面的切平面上的点，则的切平面上的点，则如果用如果用 1.2.1曲面的切平面与法向量曲面的切平面与法向量 上式即上式即切平面方程切平面方程。表示曲面表示曲面 1.2 三维空间中的曲面三维空间中的曲面 2024/7/1330二、法向量二、法向量曲面的切平面的法线称为曲面在切点处的曲面的切平面的法线称为曲面在切点处的法线法线。曲面的单位法向量为曲面的单位法向量为 1.2.1曲面的切平面与法向量曲面的切平面与法向量 正负号取决于法线正方向的选取。在电磁理论与天线工程中正负号取决于法线正方向的选取。在电磁理论与天线工程中研究反射面或波面时，总取其正向指向波源。研究反射面或波面时，总取其正向指向波源。曲面法向量也满足参数变换下的不变性。如果在一种参数曲面法向量也满足参数变换下的不变性。如果在一种参数描述下某点为正则点，则在另一种参数描述下一定也是正描述下某点为正则点，则在另一种参数描述下一定也是正则的。则的。1.2 三维空间中的曲面三维空间中的曲面 2024/7/1331一、一些常见的曲面一、一些常见的曲面1)椭圆锥面椭圆锥面 1.2.2曲面举例曲面举例 2)椭圆抛物面椭圆抛物面 3)椭球面椭球面 4)双曲抛物面双曲抛物面 5)单叶双曲面单叶双曲面 6)双叶双曲面双叶双曲面 1.2 三维空间中的曲面三维空间中的曲面 2024/7/13321)椭圆锥面椭圆锥面 1.2.2曲面举例曲面举例 1.2 三维空间中的曲面三维空间中的曲面 program tuo_yuan_zhui use msimsl integer i,j real*8 x,y,z,theta1,theta2,f open(10,file=1椭圆锥面.txt)write(10,*)x ,y ,z write(*,*)请输入两个张角(用角度表示)：read(*,*)theta1,theta2 theta1=theta1*3.1415926535897932384626433832795/180.theta2=theta2*3.1415926535897932384626433832795/180.do i=0,50 do j=0,360,5 f=j*3.1415926535897932384626433832795/180.z=i*(5./50.)x=z*dcos(f)*dtan(theta1)y=z*dsin(f)*dtan(theta2)write(10,11)x,y,z end do end do11 format(1x,3(f9.5,5x)end2024/7/1333 1.2.2曲面举例曲面举例 2)椭圆抛物面椭圆抛物面 1.2 三维空间中的曲面三维空间中的曲面 a=2,b=3x=-15:0.1:15;y=-20:0.1:20;X,Y=meshgrid(x,y);Z=(X./2).2+(Y./3).2;surfc(X,Y,Z);shading interp;%hidden onxlabel(x);ylabel(y);zlabel(z);colormap default;title(椭圆抛物面椭圆抛物面);axis equal;2024/7/1334 1.2.2曲面举例曲面举例 3)椭球面椭球面 1.2 三维空间中的曲面三维空间中的曲面 xc=0;yc=0;zc=0;xr=5;yr=4;zr=3;X,Y,Z=ellipsoid(xc,yc,zc,xr,yr,zr,100);surf(X,Y,Z);shading interp;colormap copper;title(椭球面椭球面);axis equal;2024/7/1335 1.2.2曲面举例曲面举例 1.2 三维空间中的曲面三维空间中的曲面 4)双曲抛物面双曲抛物面 X=-10:0.1:10;Y=-15:0.1:15;x,y=meshgrid(x,y);Z=(x./2).2-(y./3).2;Surfc(x,y,z);Shading interp;Xlabel(X);ylabel(y);ylabel(z);Colormap jet;a=2,b=32024/7/1336 1.2.2曲面举例曲面举例 5)单叶双曲面单叶双曲面 1.2 三维空间中的曲面三维空间中的曲面 program dan_ye_shuang_qu_mian use msimsl integer i,j real x,y,z,theta,fai,a,b,u open(10,file=5单叶双曲面.txt)write(10,*)x ,y ,z write(*,*)请输入三个参量：(a,b,c)read(*,*)a,b,c!a=2.d0!b=2.d0!c=2.0 do u=-2,2,0.1 do j=1,360,5 fai=j*3.1415926535897932384626433832795/180.x=a*cosh(u)*cos(fai)y=b*cosh(u)*sin(fai)z=c*sinh(u)write(10,11)x,y,z end do end do11 format(1x,3(f9.5,5x)End2024/7/1337 1.2.2曲面举例曲面举例 6)双叶双曲面双叶双曲面 1.2 三维空间中的曲面三维空间中的曲面 这里取 program shuang_ye_shuang_qu_mian use msimsl integer i,j real x,y,z,theta,fai,a,b,u open(10,file=6双叶双曲面.txt)write(10,*)x ,y ,z!write(*,*)请输入二个参量：(a,b,c)!read(*,*)a,b,c a=2.d0 b=2.d0 c=2.0 do u=1,3,0.1 do j=1,360,5 fai=j*3.1415926535897932384626433832795/180.x=a*sinh(u)*cos(fai)y=b*sinh(u)*sin(fai)z=c*cosh(u)write(10,11)x,y,z end do end do c=-2 do u=1,3,0.1 do j=1,360,5 fai=j*3.1415926535897932384626433832795/180.x=a*sinh(u)*cos(fai)y=b*sinh(u)*sin(fai)z=c*cosh(u)write(10,11)x,y,z end do end do11 format(1x,3(f9.5,5x)End2024/7/1338二、旋转曲面二、旋转曲面将将xoz平面上的曲线平面上的曲线 1.2.2曲面举例曲面举例 绕绕z轴旋转一周，该曲线扫过的轨迹为旋转曲面轴旋转一周，该曲线扫过的轨迹为旋转曲面 其参数方程为其参数方程为 因为因为 1.2 三维空间中的曲面三维空间中的曲面 2024/7/1339一、曲面第一基本形式一、曲面第一基本形式 设设C：1.3 曲面的第一二基本形式曲面的第一二基本形式 为曲面上一条曲线为曲面上一条曲线，即，即 若用若用s表示表示C的弧长，则的弧长，则 则则曲面第一基本形式曲面第一基本形式 它们是曲面上点的函数对给定点为常数。但与曲面参数选取有关。它们是曲面上点的函数对给定点为常数。但与曲面参数选取有关。第一基本量第一基本量 1.3 曲面的基本形式曲面的基本形式 2024/7/13401)计算弧长计算弧长 1.3 曲面的第一二基本形式曲面的第一二基本形式 P为曲面上任一点，为曲面上任一点，2)确定曲面上两曲线的夹角确定曲面上两曲线的夹角 PC2C1二、曲面第一基本形式的应用二、曲面第一基本形式的应用 曲面上相交于曲面上相交于P的两条曲线切向量分别为的两条曲线切向量分别为则则C1,C2在在P点处的夹角为点处的夹角为 1.3 曲面的基本形式曲面的基本形式 2024/7/1341 1.3 曲面的第一二基本形式曲面的第一二基本形式 二、曲面第一基本形式的应用二、曲面第一基本形式的应用 曲线曲线C1,C2在在P点处正交的充要条件为点处正交的充要条件为如果曲线如果曲线C1,C2分别为曲面上的分别为曲面上的u曲线和曲线和v曲线，则曲线，则为两参数曲线夹角的公式。为两参数曲线夹角的公式。3)确定曲面块的面积确定曲面块的面积 设给定曲面设给定曲面曲面块的面积为曲面块的面积为 1.3 曲面的基本形式曲面的基本形式 2024/7/1342 1.3 曲面的第一二基本形式曲面的第一二基本形式 例例7 写出平面、旋转曲面的第一基本形式。写出平面、旋转曲面的第一基本形式。解：对平面解：对平面第一基本形式为第一基本形式为 对旋转面对旋转面 第一基本形式为第一基本形式为 1.3 曲面的基本形式曲面的基本形式 2024/7/1343 1.3 曲面的第一二基本形式曲面的第一二基本形式 曲面的第二基本形式曲面的第二基本形式L,M,N 是曲面上点的函数。在给定点是常数。但与是曲面上点的函数。在给定点是常数。但与参数的选取有关。参数的选取有关。三、曲面第二基本形式三、曲面第二基本形式 1.3 曲面的基本形式曲面的基本形式 2024/7/1344 1.3 曲面的第一二基本形式曲面的第一二基本形式 例例8 求旋转曲面的第二基本量。求旋转曲面的第二基本量。解：解：故第二基本量为故第二基本量为 对旋转面对旋转面 因为因为 1.3 曲面的基本形式曲面的基本形式 2024/7/1345 1.4 曲面的曲率曲面的曲率 1.4 曲面的曲率曲面的曲率 对给定点，对给定点，、为已知。为已知。曲线的曲率曲线的曲率k仅取决于它在仅取决于它在P点的切线方向（点的切线方向（du：dv）及）及曲线的主法线与曲面法线的夹角。曲线的主法线与曲面法线的夹角。设设P(u,v)是曲面上一给定点。是曲面上一给定点。C是该曲面上过是该曲面上过P点的任一曲线。点的任一曲线。C在在P点的切矢量和曲率矢量为点的切矢量和曲率矢量为一、曲面上曲线的曲率一、曲面上曲线的曲率设设 是曲面在是曲面在P点的法向量，则点的法向量，则 在在 方向上的投影为方向上的投影为2024/7/1346 1.4 曲面的曲率曲面的曲率 考虑曲面经过考虑曲面经过P点沿某固定切线方向的曲线的曲率。点沿某固定切线方向的曲线的曲率。把曲面上曲线在某点的曲率矢在曲面法向量上的投影称为把曲面上曲线在某点的曲率矢在曲面法向量上的投影称为曲线在该点的曲线在该点的法曲率法曲率若用曲线若用曲线C的密切面去截曲面，则截线是一平面曲线，的密切面去截曲面，则截线是一平面曲线，由于曲面上过给定点的任意两条曲线只要在该点具有由于曲面上过给定点的任意两条曲线只要在该点具有相同的切线方向和主法线方向，则曲率相同，因此该相同的切线方向和主法线方向，则曲率相同，因此该曲线与曲线曲线与曲线C曲率相同，曲率相同，即研究即研究曲面上的曲率曲面上的曲率可转化为研究可转化为研究平面曲线的曲率平面曲线的曲率。二、曲面的法曲率二、曲面的法曲率也称为曲面沿方向也称为曲面沿方向du：dv的的法曲率法曲率 1.4 曲面的曲率曲面的曲率 2024/7/1347 1.4 曲面的曲率曲面的曲率 曲面上给定点处的法曲率一般与曲面上给定点处的法曲率一般与du：dv有关。有关。定义定义：如果曲面上某点沿各个方向的法曲率均相等，：如果曲面上某点沿各个方向的法曲率均相等，则称此点为则称此点为脐点脐点。三、主曲率和主方向三、主曲率和主方向曲面上某点为脐点的曲面上某点为脐点的充要条件充要条件是曲面在该点处的第一、二基是曲面在该点处的第一、二基本量成比例。本量成比例。定义定义：对于曲面上的非脐点，称法曲率的极值为曲面在该点：对于曲面上的非脐点，称法曲率的极值为曲面在该点的的主曲率主曲率。是法曲率取极值的方向称为。是法曲率取极值的方向称为主方向主方向。对于脐点，一切方向共同的法曲率可以称为主曲率，任一对于脐点，一切方向共同的法曲率可以称为主曲率，任一方向可视为主方向。方向可视为主方向。1.4 曲面的曲率曲面的曲率 2024/7/1348 1.4 曲面的曲率曲面的曲率 定理定理2：曲面上两个非脐点的主方向是正交的。：曲面上两个非脐点的主方向是正交的。定理定理1：对于曲面上的非脐点，有两个主曲率，两个主方向。对于曲面上的非脐点，有两个主曲率，两个主方向。如果曲面上某条曲线，它的每一点的切线方向都是曲面在该如果曲面上某条曲线，它的每一点的切线方向都是曲面在该点的一个主方向，则称这条曲线为点的一个主方向，则称这条曲线为曲率线曲率线。证明证明：F=M=0 是参数曲线为曲率线的充分必要条件。是参数曲线为曲率线的充分必要条件。若参数曲线是曲率线，则若参数曲线是曲率线，则四、曲率线四、曲率线应满足曲率线方程应满足曲率线方程由于曲率线正交，而参数曲线又是曲率线，故由于曲率线正交，而参数曲线又是曲率线，故F=0,从而从而M=0反之亦可得证。反之亦可得证。1.4 曲面的曲率曲面的曲率 2024/7/1349 1.4 曲面的曲率曲面的曲率 解：解：例例 9 求曲面求曲面 上的曲率线。上的曲率线。所以所以 1.4 曲面的曲率曲面的曲率 2024/7/1350 1.4 曲面的曲率曲面的曲率 将将EFGLMN代入曲率线方程代入曲率线方程再用再用去除等式两边，得去除等式两边，得由此得由此得或或其解其解 代表一族同心圆。代表一族同心圆。代表过原点的直线族。代表过原点的直线族。uv平面上的这两族曲线在所讨论曲面上的像就是曲面上的曲率线平面上的这两族曲线在所讨论曲面上的像就是曲面上的曲率线原点处为脐点。原点处为脐点。1.4 曲面的曲率曲面的曲率 2024/7/1351 1.4 曲面的曲率曲面的曲率 如果选择曲面上的曲率线网作为新参数的参数曲线网。则如果选择曲面上的曲率线网作为新参数的参数曲线网。则F=M=0,u 曲线和曲线和v曲线均为曲率线。曲面上任一点的法曲率曲线均为曲率线。曲面上任一点的法曲率设设k1，k2分别对应于主方向分别对应于主方向dv0和和du0的主曲率，则的主曲率，则k1L/Ek2=N/Gdu:dv方向上的法曲率写为矢量形式即方向上的法曲率写为矢量形式即五、法曲率随方向的变换规律五、法曲率随方向的变换规律 设此方向与设此方向与u曲线切线方向的夹角为曲线切线方向的夹角为 1.4 曲面的曲率曲面的曲率 2024/7/1352 1.4 曲面的曲率曲面的曲率 于是由法曲率的表达式可得于是由法曲率的表达式可得上式为法曲率随方向变化的公式，如果上式为法曲率随方向变化的公式，如果k10,椭圆点椭圆点 两个主曲率同号。法截线朝同向弯曲，两个主曲率同号。法截线朝同向弯曲，即曲面在该点邻近的点位于切平面同侧。即曲面在该点邻近的点位于切平面同侧。2)kG0,双曲点双曲点 两个主曲率异号。两条法截线中一条朝两个主曲率异号。两条法截线中一条朝法向量方向弯曲，另一条朝法向量反方向弯曲。法向量方向弯曲，另一条朝法向量反方向弯曲。即曲面在该点附近曲面处于切平面的两侧。即曲面在该点附近曲面处于切平面的两侧。3)kG=0 抛物点抛物点 两主曲率中至少有一个为零。两主曲率中至少有一个为零。如果另一主曲率也为零，这样的点为平点。如果另一主曲率也为零，这样的点为平点。如果另一主曲率大于零，则除一个方向外，一如果另一主曲率大于零，则除一个方向外，一切法截线都朝切平面同侧弯曲。切法截线都朝切平面同侧弯曲。1.4 曲面的曲率曲面的曲率 2024/7/1355 1.4 曲面的曲率曲面的曲率 1.4 曲面的曲率曲面的曲率 例例 求旋转曲面求旋转曲面 的的高斯曲率高斯曲率和和平均曲率平均曲率。解：解：2024/7/1356 1.4 曲面的曲率曲面的曲率 1.4 曲面的曲率曲面的曲率 若取若取xoz平面上最初的曲线为平面上最初的曲线为 ,即取坐标即取坐标z作为最初的作为最初的曲线的参数，则有曲线的参数，则有于是于是2024/7/1357 1.4 曲面的曲率曲面的曲率 1.4 曲面的曲率曲面的曲率 由于由于F=M=0，所以旋转面的坐标曲线是曲率线，并且主曲率为，所以旋转面的坐标曲线是曲率线，并且主曲率为平均曲率为平均曲率为故高斯曲率为故高斯曲率为2024/7/1358曲面的参数表示为曲面的参数表示为 ,在点在点(u,v)处曲面的法向量记为处曲面的法向量记为 曲面上该点处的两个主曲率分别用曲面上该点处的两个主曲率分别用k1(u,v)和和k2(u,v)表示，则点表示，则点 1.4 曲面的曲率曲面的曲率 称为曲面在点称为曲面在点(u,v)处的处的主曲率中心主曲率中心。当点。当点(u,v)沿曲面变化时，沿曲面变化时，曲面的曲率中心也变化，曲面上所有相应的主曲率中心的集合曲面的曲率中心也变化，曲面上所有相应的主曲率中心的集合所确定的曲面所确定的曲面曲率中心曲面曲率中心曲面，即，即七、焦散面七、焦散面 曲面某点的主曲率中心称曲面某点的主曲率中心称焦点焦点，曲率中心曲面称，曲率中心曲面称焦散面焦散面。1.4 曲面的曲率曲面的曲率 2024/7/1359 1.5 测地线测地线 1.5 测地线测地线 一、一、Gauss-Weingarten公式公式 空间曲线空间曲线 对空间曲面有完全类似的情况。引入活动标架对空间曲面有完全类似的情况。引入活动标架曲线特性曲线特性 Frenet标架标架 空间曲面空间曲面Frenet公式公式 Frenet标架标架之间的变化之间的变化 用于描述空间曲面特性用于描述空间曲面特性2024/7/1360 1.5 测地线测地线 用用 分别点乘第分别点乘第4第第5式式，得，得把把对对u,v的偏导数用的偏导数用 的线性组合表示为的线性组合表示为上式给出第一、二基本形式矩阵之间的关系。上式给出第一、二基本形式矩阵之间的关系。1.5 测地线测地线 2024/7/1361 1.5 测地线测地线 Q矩阵为曲率矩阵。矩阵为曲率矩阵。Q矩阵行列式对应矩阵行列式对应高斯曲率；高斯曲率；Q矩阵迹的一半矩阵迹的一半平均曲率平均曲率Q矩阵的两个特征值矩阵的两个特征值主曲率。主曲率。可解得可解得活动标架的变化活动标架的变化Weingarten公式公式 1.5 测地线测地线 2024/7/1362 1.5 测地线测地线 二、测地曲率二、测地曲率 定义：设定义：设C：uu(s),v=v(s)是曲面是曲面S:r(u,v)上过上过P点的一条有向点的一条有向曲线，该曲线在曲线，该曲线在P点的切向矢和主法向矢分别用点的切向矢和主法向矢分别用 和和 表示表示曲面在曲面在P点的法线用点的法线用 表示，命表示，命将曲线将曲线C的曲率矢分解为的曲率矢分解为式中，式中，为为测地曲率测地曲率，为法曲率。为法曲率。几何意义几何意义：曲线：曲线C在在P点的测地曲率在绝对值上等于曲线点的测地曲率在绝对值上等于曲线C在在曲面于曲面于P点的切平面上的投影曲线点的切平面上的投影曲线C的曲率。的曲率。1.5 测地线测地线 2024/7/1363 1.5 测地线测地线 其中其中定义定义：测地线测地线是测地曲率为零的曲线。是测地曲率为零的曲线。测地曲率的计算测地曲率的计算三、测地线三、测地线 曲面上一条曲线为测地线的充要条件是曲线曲面上一条曲线为测地线的充要条件是曲线的主法矢与曲面的法矢量平行。的主法矢与曲面的法矢量平行。球面上仅大圆是测地线。球面上仅大圆是测地线。1.5 测地线测地线 2024/7/1364 1.5 测地线测地线 如果曲面上的一个坐标网，其中一族坐标曲线是测地线，如果曲面上的一个坐标网，其中一族坐标曲线是测地线，另一族是这族的正交轨迹线，则这个坐标网称为半测地另一族是这族的正交轨迹线，则这个坐标网称为半测地坐标网，简称坐标网，简称测地坐标网测地坐标网。测地坐标网下曲面的第一基本形式为测地坐标网下曲面的第一基本形式为 如果曲面的第一基本形式具有上式的形式，则如果曲面的第一基本形式具有上式的形式，则u曲线一定是测地线。曲线一定是测地线。四、测地坐标四、测地坐标 如取测地线的参数如取测地线的参数u为测地线的弧长参数，则为测地线的弧长参数，则E=1,有有 1.5 测地线测地线 2024/7/1365谢谢！谢谢！6667