第一章函数及其图形课件

1在在一一切切理理论论成成就就中中，未未必必有有什什么么像像1717世世纪纪下下半半叶叶微微积积分分的的发发明明那那样样被被看看作人类精神的卓越胜利了。作人类精神的卓越胜利了。恩格斯恩格斯23中科院中科院“十一五十一五”规划教材规划教材经济管理类数学基础系列经济管理类数学基础系列微积分微积分主编：党高学主编：党高学 韩金仓韩金仓科学出版社科学出版社4前言前言 现代的自然科学和社会科学融合了大量的高等数学知识，现代的自然科学和社会科学融合了大量的高等数学知识，掌握其主体内容成为一个大学生的必备技能。掌握其主体内容成为一个大学生的必备技能。本课程主要介绍三块内容：微积分学、级数理论本课程主要介绍三块内容：微积分学、级数理论和微（差）和微（差）分方程分方程，其中微积分学分为一元微积分学和多元微积分学，其中微积分学分为一元微积分学和多元微积分学，本，本学期主要学期主要介绍一元介绍一元微积分学及微分方程，微积分学及微分方程，其余其余在下学期介绍在下学期介绍。通过高等数学的学习，不但使学生具备学习后续其他数学通过高等数学的学习，不但使学生具备学习后续其他数学课程和专业课程所需要的基本数学知识，而且还使学生在数学课程和专业课程所需要的基本数学知识，而且还使学生在数学的抽象性、逻辑性与严密性方面受到必要的训练和熏陶，使他的抽象性、逻辑性与严密性方面受到必要的训练和熏陶，使他们具有理解和运用逻辑关系、研究和领会抽象事物、认识和利们具有理解和运用逻辑关系、研究和领会抽象事物、认识和利用数形规律的初步能力。因此，高等数学的学习不仅关系到学用数形规律的初步能力。因此，高等数学的学习不仅关系到学生在整个大学期间甚至研究生期间的学习质量，而且还关系到生在整个大学期间甚至研究生期间的学习质量，而且还关系到学生的思维品质、思辨能力、创造潜能等科学和文化素养。高学生的思维品质、思辨能力、创造潜能等科学和文化素养。高等数学教学既是科学的基础教育，又是文化基础教育，是素质等数学教学既是科学的基础教育，又是文化基础教育，是素质教育的一个重要的方面。教育的一个重要的方面。5同时发同时发明了微积分，微积分研究的主要对明了微积分，微积分研究的主要对象就是函数。象就是函数。微积分微积分(Calculus)是一门以变是一门以变量为研究对象、以量为研究对象、以极限极限方法作为研方法作为研究工具的数学学科，应用极限方法究工具的数学学科，应用极限方法研究各类变化率问题和几何学中曲研究各类变化率问题和几何学中曲线的切线问题，就产生了线的切线问题，就产生了微分学微分学；应用极限方法研究诸如曲边梯形的应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量无穷积累的问面积等涉及到微小量无穷积累的问题，就产生了题，就产生了积分学积分学。英国数学家。英国数学家牛顿牛顿和德国数学家和德国数学家莱布尼兹莱布尼兹6 牛顿牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、天文，是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。学家和自然哲学家。16421642年年1212月月2525日生于英格兰林肯日生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村,1727,1727年年3 3月月2020日在伦敦日在伦敦病逝。病逝。牛顿牛顿16611661年入英国剑桥大学三一学院，年入英国剑桥大学三一学院，16651665年获年获文学士学位。随后两年在家乡躲避瘟疫。这两年里，文学士学位。随后两年在家乡躲避瘟疫。这两年里，他制定了一生大多数重要科学创造的蓝图。他制定了一生大多数重要科学创造的蓝图。16671667年回年回剑桥后当选为三一学院院委，次年获硕士学位。剑桥后当选为三一学院院委，次年获硕士学位。16691669年任卢卡斯教授直到年任卢卡斯教授直到17011701年。年。16961696年任皇家造币厂监年任皇家造币厂监督，并移居伦敦。督，并移居伦敦。17031703年任英国皇家学会会长。年任英国皇家学会会长。17061706年受女王安娜封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。年受女王安娜封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学的创建。的创建。7莱布尼茨莱布尼茨，德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积，德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始人；分的创始人；16461646年年7 7月月1 1日生于莱比锡，日生于莱比锡，17161716年年1111月月1414日卒于德国的汉诺威。他父亲是莱比锡大学伦理学日卒于德国的汉诺威。他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣。教授，家庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣。16611661年入年入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学学习几何，莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学学习几何，16661666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写的论文论组合的技巧已含有数理逻辑的早期时写的论文论组合的技巧已含有数理逻辑的早期思想，后来的工作使他成为数理逻辑的创始人。思想，后来的工作使他成为数理逻辑的创始人。1667 1667年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。16761676年到汉诺威，任腓特烈公爵顾问及图书馆的馆长，并年到汉诺威，任腓特烈公爵顾问及图书馆的馆长，并常居汉诺威，直到去世。莱布尼茨的多才多艺在历史常居汉诺威，直到去世。莱布尼茨的多才多艺在历史上很少有人能和他相比，他的著作包括数学、历史、上很少有人能和他相比，他的著作包括数学、历史、语言、生物、地质、机械、物理、法律、外交等各个语言、生物、地质、机械、物理、法律、外交等各个方面。方面。8一、微积分的实际背景一、微积分的实际背景 1.1.瞬时速度瞬时速度 2.2.曲线的切线斜率曲线的切线斜率 3.3.曲边图形的面积曲边图形的面积 二、微积分学的思想方法二、微积分学的思想方法 运动、变化、发展乃至质变，是微积分的根本思运动、变化、发展乃至质变，是微积分的根本思想方法，但运动、变化的定量刻画却表现在它的反想方法，但运动、变化的定量刻画却表现在它的反面，即相对静止之中，也就是说，用定量的方法来面，即相对静止之中，也就是说，用定量的方法来刻画变量的变化。刻画变量的变化。9三、微积分学的基本结构三、微积分学的基本结构 比如做家具：比如做家具：原料：函数原料：函数工具：极限工具：极限产品一：导数产品一：导数产品二：积分产品二：积分方式一方式一方式二方式二10第一章第一章函数及其图形函数及其图形11 由于实践和各门科学自身发展的需要，到了由于实践和各门科学自身发展的需要，到了16世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个新的时代，即变量数学的时代入了一个新的时代，即变量数学的时代.作为在运动作为在运动中变化的量中变化的量(变量变量)及它们之间的依赖关系的反映，及它们之间的依赖关系的反映，数学中产生了变量和函数的概念数学中产生了变量和函数的概念.例如，伽利略发现自由落体下落的距离例如，伽利略发现自由落体下落的距离s与经历与经历的时间的时间t的平方成正比，得到著名的公式的平方成正比，得到著名的公式确定了变量确定了变量t与与s之间的依赖关系，即之间的依赖关系，即函数关系函数关系，这就，这就是自由落体运动规律的数学表述是自由落体运动规律的数学表述.12 数学的一项重要任务，就是要找出反映各种实数学的一项重要任务，就是要找出反映各种实际问题中变量的变化规律，即其中所蕴含的变量之际问题中变量的变化规律，即其中所蕴含的变量之间的函数关系间的函数关系.函数是数学中最基本的概念之一，函数是数学中最基本的概念之一，微积分微积分研究研究函数的一些局部的和整体的性态函数的一些局部的和整体的性态.本章介绍函数的一般概念，几种常用的表示方本章介绍函数的一般概念，几种常用的表示方式，最基本的函数式，最基本的函数类型类型初等函数，函数的性质，初等函数，函数的性质，以及经济学中几种常用的函数以及经济学中几种常用的函数.13第一节第一节 预备知识预备知识一、集合及其运算集合及其运算集合是数学中的一个基本概念集合是数学中的一个基本概念.具有某种指定性质的事物的总体称为一个具有某种指定性质的事物的总体称为一个集合集合。组成这个集合的事物称为这个集合的组成这个集合的事物称为这个集合的元素元素。通常用大写字母通常用大写字母A、B、C等表示集合，用小写等表示集合，用小写字母字母a、b、c等表示集合的元素。等表示集合的元素。如果如果a是集合是集合A的元素，则记作的元素，则记作a A，读作读作a属属于于A；如果如果a不是集合不是集合A的元素，则记作的元素，则记作 ，或或 ，读作，读作a不属于不属于A。14 由有限个元素构成的集合称为由有限个元素构成的集合称为有限集有限集，由无，由无限多个元素构成的集合称为限多个元素构成的集合称为无限集无限集。不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集，记为，记为。集合的集合的表示法表示法通常有两种：通常有两种：1、列举法列举法：把集合中的元素一一列举出来把集合中的元素一一列举出来.2、描述法描述法：即用刻画集合中全体元素的性质来说明即用刻画集合中全体元素的性质来说明.例如：例如：例如：例如：15常见数集常见数集的记号：的记号：自然数集自然数集整数集整数集有理数集有理数集正整数集正整数集实数集实数集数轴数轴本书中如无特别说明，均限于实数范围内。本书中如无特别说明，均限于实数范围内。161、包含、包含 如果集合如果集合A的元素都是集合的元素都是集合B的元素，则称集合的元素，则称集合A是是集合集合B的的子集子集.记作记作 。例如：例如：2、相等、相等 如果集合如果集合A和和B互相包含，即互相包含，即 且且 ,则称则称A和和B的的相等相等，记作记作 。BA集合之间的关系集合之间的关系：171、并、并集合之间的运算集合之间的运算：BA例如，例如，则则基本性质：基本性质：182、交、交BA例如，例如，则则基本性质：基本性质：193、差、差BAAB例如，例如，表示全体无理数组成的集合。表示全体无理数组成的集合。基本性质：基本性质：20二、绝对值及其基本性质绝对值及其基本性质设设x为一实数，则其绝对值定义为为一实数，则其绝对值定义为几何意义：几何意义：|x|表示数轴上点表示数轴上点x到原点的距离。到原点的距离。|x-y|表示数轴上两点表示数轴上两点x和和y之间的距离。之间的距离。03-3|x|=321例例1 1 解下列绝对值不等式：解下列绝对值不等式：解解22绝对值的基本性质绝对值的基本性质23三、区间和邻域区间和邻域开区间开区间闭区间闭区间左闭右开区间左闭右开区间左开右闭区间左开右闭区间24无穷区间无穷区间25邻域邻域记作记作2627第二节第二节 函数函数伽利略经过精确的实验，测得自由落体的运动方伽利略经过精确的实验，测得自由落体的运动方程程 在力学中，质量为在力学中，质量为m，速度为速度为v的物体运动时所具有的物体运动时所具有的能量（称为动能）的能量（称为动能）在电学中，电流强度为在电学中，电流强度为I的电流通过电阻为的电流通过电阻为R的导的导线时，在单位时间内所产生的热量线时，在单位时间内所产生的热量28在几何中半径为在几何中半径为r的圆的面积的圆的面积上述这些变量之间的关系都有一个相同的抽象形式上述这些变量之间的关系都有一个相同的抽象形式这就是一个函数关系式。这就是一个函数关系式。如果将这个函数关系的性质研究清楚了，那么前面如果将这个函数关系的性质研究清楚了，那么前面的那些实际变量之间的关系的性质也就清楚了的那些实际变量之间的关系的性质也就清楚了.数学的一个特点是它的高度抽象性，随之也就具有数学的一个特点是它的高度抽象性，随之也就具有应用的广泛性应用的广泛性.下面给出函数的一般定义下面给出函数的一般定义.29一、函数概念一、函数概念x称为称为自变量自变量，y称为称为因变量因变量.30注意：注意：例如，例如，是定义在是定义在R上的一个函数，上的一个函数，它的值域是它的值域是确定函数的两要素：确定函数的两要素：定义域和对应法则。定义域和对应法则。31例例1 1判断下列各对函数是否相同？判断下列各对函数是否相同？相同相同不同不同(定义域不同定义域不同)不同不同(对应法则不同对应法则不同)相同相同不同不同(定义域不同定义域不同)32(1)根据实际问题；根据实际问题；(2)自然定义域：使算式有意义的一切实数值自然定义域：使算式有意义的一切实数值.如何求函数的自然定义域？如何求函数的自然定义域？(a)分式的分母不等于零；分式的分母不等于零；(b)偶次根号内的式子应大于或等于零；偶次根号内的式子应大于或等于零；(c)对数的真数应大于零；对数的真数应大于零；(e)若函数的表达式由多项组成若函数的表达式由多项组成,则定义域为各项则定义域为各项定义域的交集；定义域的交集；(f)分分段段函函数数的的定定义义域域是是各各段段定定义义域域的的并并集集.定义域的确定：定义域的确定：33例例2 2 求下列函数的求下列函数的(自然自然)定义域。定义域。因此，函数的定义域为因此，函数的定义域为解解即定义域为即定义域为34因此，函数的定义域为因此，函数的定义域为351）图象法）图象法2）表格法）表格法3）解析法）解析法(公式法公式法)二、函数的表示法二、函数的表示法36在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式对应法则用不同的式子来表示的函数子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.分段函数分段函数37这也是分段函数，其定义域为这也是分段函数，其定义域为 yOx11-12-2-138解解例例3 3391)符号函数符号函数几个分段函数的例子几个分段函数的例子.402)取整函数取整函数y=xx表示不超过表示不超过x的最大整数的最大整数.1 2 3 4 5 -2-4 -4 -3 -2 -1 -1-3xyo123441o有理数点有理数点无理数点无理数点1xy3)狄利克雷函数狄利克雷函数(Dirichlet)42三、函数的四则运算三、函数的四则运算设有函数设有函数f,g如下：如下：和和则定义则定义f,g的和、差、积、商如下：的和、差、积、商如下：43在实际应用中，常常不用抽象的函数记号，而直接在实际应用中，常常不用抽象的函数记号，而直接依次表示为依次表示为44解解例例4 4因此因此g(x)的定义域为的定义域为45第三节第三节 函数的几种基本特性函数的几种基本特性一、有界性一、有界性M-Mba则称函数则称函数有界。有界。46ba函数的有界性还可以细分为：函数的有界性还可以细分为：则称函数则称函数f(x)在在I上上下有界下有界.M2M1M1称为称为f(x)在在I上的上的下界下界。M2称为称为f(x)在在I上的上的上界上界。定理定理：函数：函数f(x)有界当且仅有界当且仅当当f(x)上有界且下有界。上有界且下有界。则称函数则称函数f(x)在在I上上上有界上有界.47 因为存在因为存在M=1，使对任意使对任意x(-,+)，有有|sinx|1，所以所以y=sinx是是(-,+)内的有界函数。内的有界函数。y=sinx 有界吗有界吗?4849二、单调性二、单调性5051例如例如,函数函数y=x 3在在(-,+)内单调增加。内单调增加。52而而函函数数y=x2 在在区区间间(-,0)内内单单调调减减少少；在在区区间间(0,+)内单调增加。内单调增加。53三、奇偶性三、奇偶性54例例1 1 判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：偶函数偶函数非奇非偶非奇非偶偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数55例例2 2是偶函数；而是偶函数；而是奇函数。是奇函数。证明是容易的。证明是容易的。由此可证：定义域关于原点对称的函数必可表由此可证：定义域关于原点对称的函数必可表示为一个偶函数和一个奇函数之和：示为一个偶函数和一个奇函数之和：56偶函数的图形关于偶函数的图形关于y 轴对称。轴对称。yxox-x具有奇偶性的函数的图形有某种具有奇偶性的函数的图形有某种对称性对称性：yxox-x奇函数的图形关于原点对称。奇函数的图形关于原点对称。57例例3 3解解故故 f(x)是偶函数是偶函数.2-1158四、周期性四、周期性(通常周期函数的周期是指其通常周期函数的周期是指其最小正周期最小正周期).注意注意：并非任意周期函数都有最小正周期：并非任意周期函数都有最小正周期.如狄利克雷函数如狄利克雷函数任何正有理数都是它的周期任何正有理数都是它的周期,但并不存在最小的正有理数但并不存在最小的正有理数。59练习练习：习习题题一一1、集合、集合A=x|x2+x-6=0,B=x|ax+1=0,若若BA，则，则a=_2、已知集合、已知集合A=x|,若若AR=，则实，则实数数m的取值范围是的取值范围是_3、求下列函数的定义域：、求下列函数的定义域：（1）（2）（3）4、判断奇偶性：判断奇偶性：（1）（2）（3）5、证明证明(1)(2)6061第四节第四节 反函数反函数定义定义设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为D，值域为值域为Z。如果对于如果对于每个每个y Z，存在唯一存在唯一x D，使使f(x)=y，则则x是一个定义是一个定义在在Z上的函数，称为上的函数，称为y=f(x)的反函数，记为的反函数，记为x=f-1(y)。函数函数y=f(x)与函数与函数x=f-1(y)是互为反函数。是互为反函数。将将x与与y互换，就得所求反函数为互换，就得所求反函数为例例1 1求求y=3x-1的反函数。的反函数。解解62直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线对称对称.63例例如如，在在(-,+)内内，y=x2不不是是一一一一对对应应的的函函数数关系，所以它没有反函数。关系，所以它没有反函数。一个函数若有反函数，它必定是一一对应的函数关系。一个函数若有反函数，它必定是一一对应的函数关系。在在(0,+)内内y=x2有反函数有反函数 在在(-,0)内，内，y=x2有反函数有反函数 x-x y64解解例例2 2求函数求函数xyO的反函数。的反函数。所以所求反函数为所以所求反函数为65例例3 3与与互为反函数。互为反函数。66第五节第五节 复合函数复合函数例如例如：可看作由可看作由复合而成。复合而成。注：不是任何函数都可以复合成一个函数。注：不是任何函数都可以复合成一个函数。不能复合。不能复合。和和u 称为中间变量。称为中间变量。67注意复合次序：注意复合次序：复合可以多次进行。复合可以多次进行。例例1 1例例2 2的复合。的复合。68 重要问题：把一个复杂的函数分解为几个简单函重要问题：把一个复杂的函数分解为几个简单函数的数的复合运算复合运算或或四则运算四则运算。例例3 3例例4 469例例5 5(1)解解(2)70例例6 6解解所以所以于是于是71第六节第六节 初等函数初等函数1.1.常数函数常数函数一、基本初等函数一、基本初等函数 常函数的定义域常函数的定义域为为(-,+)，图形，图形为平行于为平行于x轴轴,在在y轴轴上截距为上截距为C的直线。的直线。72 幂函数的定义域随幂函数的定义域随a而异，而异，但不论但不论a 为何值为何值,它在它在(0,+)内总有定义。幂函数图内总有定义。幂函数图形都经过形都经过(1,1)点。点。常见的幂函数及其图形：常见的幂函数及其图形：2.2.幂函数幂函数73 幂函数的定义域随幂函数的定义域随a而异，而异，但不论但不论a 为何值为何值,它在它在(0,+)内总有定义。幂函数图内总有定义。幂函数图形都经过形都经过(1,1)点。点。常见的幂函数及其图形：常见的幂函数及其图形：2.2.幂函数幂函数74 幂函数的定义域随幂函数的定义域随a而异，而异，但不论但不论a 为何值为何值,它在它在(0,+)内总有定义。幂函数图内总有定义。幂函数图形都经过形都经过(1,1)点。点。常见的幂函数及其图形：常见的幂函数及其图形：2.2.幂函数幂函数75 幂函数的定义域随幂函数的定义域随a而异，而异，但不论但不论a 为何值为何值,它在它在(0,+)内总有定义。幂函数图内总有定义。幂函数图形都经过形都经过(1,1)点。点。常见的幂函数及其图形：常见的幂函数及其图形：2.2.幂函数幂函数76 幂函数的定义域随幂函数的定义域随a而异，而异，但不论但不论a 为何值为何值,它在它在(0,+)内总有定义。幂函数图内总有定义。幂函数图形都经过形都经过(1,1)点。点。常见的幂函数及其图形：常见的幂函数及其图形：2.2.幂函数幂函数77 幂函数的定义域随幂函数的定义域随a而异，而异，但不论但不论a 为何值为何值,它在它在(0,+)内总有定义。幂函数图内总有定义。幂函数图形都经过形都经过(1,1)点。点。常见的幂函数及其图形：常见的幂函数及其图形：2.2.幂函数幂函数783.3.指数函数指数函数 定义域为定义域为(-,+)，值域为，值域为(0,+)，都通过点都通过点(0,1),当当a1时，函数单调增加；时，函数单调增加；当当0a1时时,函数单调增加；函数单调增加；当当0an),为为使使运运费费最最省省，想想在在铁铁路路上上另另修修一一小小站站M作作为为转转运运站站，那那么么运运费费的的多多少少决决定定于于M的地点。试将运费表示为距离的地点。试将运费表示为距离|BM|的函数。的函数。B MC A b x a 设设|BM|=x，运费为运费为y。其定义域为其定义域为0,b。解解根据题意，有根据题意，有于是于是94例例3 3 某企业对某产品制定了如下的销售策略：购买某企业对某产品制定了如下的销售策略：购买不超过不超过20公斤，每公斤公斤，每公斤10元；购买不超过元；购买不超过200公斤，公斤，其中超过其中超过20公斤的部分，每公斤公斤的部分，每公斤7元；购买超过元；购买超过200公公斤的部分，每公斤斤的部分，每公斤5元。试写出购买量为元。试写出购买量为x公斤的费用公斤的费用函数函数C(x).解解95二、经济学中几种常见的函数二、经济学中几种常见的函数1 1、需求函数和供给函数、需求函数和供给函数P：价格价格D：需求需求S：供给供给需求函数：需求函数：供给函数：供给函数：常见的需求函数：常见的需求函数：(a,b 0)需求函数的反函数有时也称为需求函数的反函数有时也称为价格函数价格函数：962 2、成本函数、成本函数 某某产产品品的的总总成成本本是是指指生生产产一一定定数数量量的的产产品品所所需需的的全全部部经经济济资资源源投投入入的的价价格格或或费费用用总总额额。它它由由固固定定成成本本与与可可变成本组成。变成本组成。设设C为为总总成成本本，C1为为固固定定成成本本，C2为为可可变变成成本本,C为为平均成本，平均成本，Q为产量为产量,则有则有总成本函数：总成本函数：C=C(Q)=C1+C2(Q)；平均成本函数：平均成本函数：97例例4 4某某工工厂厂生生产产某某产产品品，每每日日最最多多生生产产100单单位位。它它的的日日固固定定成成本本为为130元元，生生产产一一个个单单位位产产品品的的可可变变成成本本为为6元。求该厂日总成本函数及平均单位成本函数。元。求该厂日总成本函数及平均单位成本函数。解解设日总成本为设日总成本为C，平均单位成本为平均单位成本为 C，日产量为日产量为x。由由于于日日总总成成本本为为固固定定成成本本与与可可变变成成本本之之和和。根根据据题题意，日总成本函数为意，日总成本函数为 C=C(x)=130+6x，D(C)=0,100；平均单位成本函数为平均单位成本函数为98总收益总收益是出售一定数量的产品所得到的全部收入。是出售一定数量的产品所得到的全部收入。总利润总利润是生产一定数量的产品的总收益与总成本之差。是生产一定数量的产品的总收益与总成本之差。平均收益函数：平均收益函数：3 3、收益函数与利润函数、收益函数与利润函数设设P为为商商品品价价格格，Q为为商商品品量量，R为为总总收收益益，C(Q)为为总成本，则有总成本，则有总收益函数：总收益函数：R=R(Q)=Q P(Q)；总利润函数：总利润函数：L(Q)=R(Q)-C(Q)；99例例5 5 设设某某产产品品的的价价格格与与销销售售量量的的关关系系为为P=10-0.2Q，成成本本函函数数为为C=50+2Q，求求销销售售量量为为30时时的的总总收收益益、平平均均收收益和总利润。益和总利润。R(Q)=Q P(Q)=10Q-0.2Q2，R(30)=120；R(Q)=P(Q)=10-0.2Q，R(30)=4；L(Q)=R(Q)-C(Q)=10Q-0.2Q2-(50+2Q)=8Q-0.2Q2-50；L(30)=10。解解100例例6 6 设设某某工工厂厂生生产产某某型型号号车车床床，年年产产量量为为a台台，分分若若干干批批进进行行生生产产，每每批批生生产产准准备备费费为为b元元。设设产产品品均均匀匀投投入入市市场场，且且上上一一批批用用完完后后立立即即生生产产下下一一批批，即即平平均均库库存存量量为为批批量量的的一一半半。设设每每年年每每台台库库存存费费为为c元元。试试求求出出一一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系。年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系。设批量为设批量为x，库存费与生产准备费的和为库存费与生产准备费的和为P(x)。定义域为定义域为(0,a中中a的正整数因子。的正整数因子。每年生产的批数为每年生产的批数为 a/x,每年生产准备费为每年生产准备费为 ba/x,解解每年平均库存量为每年平均库存量为 x/2,2,每年库存费为每年库存费为 cx/2,2,因此因此101练习练习：习习题题二二1、求下列函数的反函数、求下列函数的反函数（1）（2）y=cosx2、设、设f(x)的定义域为的定义域为0,1,试求试求f(x+a)+f(x-a)的定的定义域。义域。3、设设4、某厂生产某产品，年产量为某厂生产某产品，年产量为x x百台，成本为百台，成本为C C万元，其中固定成本为万元，其中固定成本为2 2万元，每生产万元，每生产1 1百台，百台，成本增加成本增加1 1万元，市场上每年可销售此种商品万元，市场上每年可销售此种商品4 4百台，收益函数如下百台，收益函数如下求求（1 1）总利润函数；（）总利润函数；（2 2）当产量分别为）当产量分别为2 2百台，百台，三百台和四百台时的利润。三百台和四百台时的利润。102