第8章弯曲刚度课件

第 8 章 弯曲刚度 第8章弯曲刚度8-1 弯曲变形与位移的基本概念弯曲变形与位移的基本概念8-2 小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分8-3 工程中的叠加法工程中的叠加法8-4 简单的静不定梁简单的静不定梁8-5 弯曲刚度计算弯曲刚度计算一、梁弯曲后的挠度曲线一、梁弯曲后的挠度曲线在弹性范围内加载时，梁的轴线在弯曲后变成一连续在弹性范围内加载时，梁的轴线在弯曲后变成一连续光滑的曲线，这一连续光滑曲线称为挠度曲线。光滑的曲线，这一连续光滑曲线称为挠度曲线。8-1 弯曲变形与位移的基本概念弯曲变形与位移的基本概念AB第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度弯曲变形与位移的基本概念弯曲变形与位移的基本概念二、梁的挠度与转角二、梁的挠度与转角1.1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。用用“w”表示。表示。挠度方程挠度方程挠度向下为正；向上为负。挠度向下为正；向上为负。AB第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度弯曲变形与位移的基本概念弯曲变形与位移的基本概念2.2.转角：横截面绕中性轴转过的角度。转角：横截面绕中性轴转过的角度。用用“”表表示。示。转角方程转角方程顺时针为正；逆时针为负。顺时针为正；逆时针为负。AB第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度弯曲变形与位移的基本概念弯曲变形与位移的基本概念3.3.挠度和转角的关系挠度和转角的关系横截面上的转角等于挠曲线在该截面处的斜率横截面上的转角等于挠曲线在该截面处的斜率即：即：AB第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度弯曲变形与位移的基本概念弯曲变形与位移的基本概念三、梁的位移与约束密切相关三、梁的位移与约束密切相关AB因为因为所以所以第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度弯曲变形与位移的基本概念弯曲变形与位移的基本概念d 对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。如果过大会增加轴承的磨损等等。四、梁的位移分析的工程意义四、梁的位移分析的工程意义第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度弯曲变形与位移的基本概念弯曲变形与位移的基本概念8-2 小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分一、一、小挠度微分方程小挠度微分方程AB曲率与弯矩的关系曲率与弯矩的关系曲率与挠度曲线的关系（数学表达式曲率与挠度曲线的关系（数学表达式)第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分小挠度情形下小挠度情形下小挠度情形下小挠度情形下(d dwd dx)2 2 1 1小挠度微分方程小挠度微分方程第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分使用条件：使用条件：弹性范围内工作的细长梁。弹性范围内工作的细长梁。本书所采本书所采用的情况用的情况第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分 利用梁的位移条件确定式中的积分常数，就得转角方利用梁的位移条件确定式中的积分常数，就得转角方程程 =(x)=w(x)和挠度方和挠度方程程 w=w(x)，从而也就可从而也就可以求某个具体横截面处的转角和挠度了以求某个具体横截面处的转角和挠度了。这种求这种求转角和转角和挠度的方法称为挠度的方法称为积分法积分法。第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分二、积分常数的确定二、积分常数的确定1.1.边界条件边界条件BAF abC梁截面的已知位移条件或位移约束条件梁截面的已知位移条件或位移约束条件第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分2.2.连续条件连续条件BAF abC分段处挠曲线所应满足的连续、光滑条分段处挠曲线所应满足的连续、光滑条件，简称为梁位移的连续条件。件，简称为梁位移的连续条件。第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分解：解：1.1.建立坐标系建立坐标系 求图示悬臂梁的转角方程求图示悬臂梁的转角方程 =(x)和挠度方和挠度方程程 w=w(x)，并求最大转角并求最大转角 max及最及最大挠度大挠度 wmax。梁在竖直平面内弯曲时的抗弯刚度梁在竖直平面内弯曲时的抗弯刚度EI为已知。为已知。2.2.求支反力求支反力3.3.列弯矩方程列弯矩方程例题例题 8-1 第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分4.4.建立挠曲线近似微分方程并积分建立挠曲线近似微分方程并积分5.5.确定积分常数确定积分常数边界条件边界条件在在在在x x=0 0 处处处处 ,=0 0,w w=0 0 求得：求得：求得：求得：C C=0 0,D=D=0 0 第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分6.6.建立转角与挠度方程建立转角与挠度方程7.7.绘制挠曲线略图并计算最大转角与挠度绘制挠曲线略图并计算最大转角与挠度（）（）第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分 一、叠加法一、叠加法一、叠加法一、叠加法8-38-3 工程中的叠加法工程中的叠加法 小变形条件下成立。小变形条件下成立。小变形条件下成立。小变形条件下成立。材料服从胡克定律。材料服从胡克定律。材料服从胡克定律。材料服从胡克定律。第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度工程中的叠加法工程中的叠加法所以所以所以所以即即即即第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度工程中的叠加法工程中的叠加法1.叠加法叠加法 在材料服从胡克定律和小变形的条件下，几个力在材料服从胡克定律和小变形的条件下，几个力在材料服从胡克定律和小变形的条件下，几个力在材料服从胡克定律和小变形的条件下，几个力共同作用引起梁的变形共同作用引起梁的变形共同作用引起梁的变形共同作用引起梁的变形 ，等于这几个力分别单独作，等于这几个力分别单独作，等于这几个力分别单独作，等于这几个力分别单独作用时引起梁的变形的代数和。用时引起梁的变形的代数和。用时引起梁的变形的代数和。用时引起梁的变形的代数和。分解载荷分解载荷分解载荷分解载荷每种情况都是简单模型；每种情况都是简单模型；每种情况都是简单模型；每种情况都是简单模型；2.2.用叠加法求梁的挠度和转角用叠加法求梁的挠度和转角用叠加法求梁的挠度和转角用叠加法求梁的挠度和转角 分别计算分别计算分别计算分别计算查表；查表；查表；查表；叠加。叠加。叠加。叠加。步骤：步骤：第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度工程中的叠加法工程中的叠加法简单模型简单模型简单模型简单模型-悬臂梁悬臂梁悬臂梁悬臂梁第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度工程中的叠加法工程中的叠加法简单模型简单模型简单模型简单模型-简支梁简支梁简支梁简支梁BAF CBACACB第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度工程中的叠加法工程中的叠加法ACB叠加法求叠加法求A截面的转角截面的转角和和C截面的挠度截面的挠度.ACB=ACB+解：解：例题例题 8-2 第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度工程中的叠加法工程中的叠加法ACB叠加法求叠加法求A截面的转角截面的转角和和C截面的挠度截面的挠度.第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度工程中的叠加法工程中的叠加法试求如图所示梁试求如图所示梁C C 点处挠度和转角。点处挠度和转角。qAlB已知悬臂梁在均布载荷 q 作用下B点的挠度和转角为：（其中l 为梁长）ACBq2l解：解：ACBql2lqAC2lB例题例题 8-3 第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度工程中的叠加法工程中的叠加法1.1.静定梁：梁的未知力个数等于独立静力方程的个数静定梁：梁的未知力个数等于独立静力方程的个数 利用静力平衡方程就可以求出所有的未知力。利用静力平衡方程就可以求出所有的未知力。7-6 7-6 简单静不定梁简单静不定梁ACB第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度简单静不定梁简单静不定梁ACB2.2.静不定梁：梁的未知力个数多于独立静力方程的个静不定梁：梁的未知力个数多于独立静力方程的个 数，只利用静力方程不能求出所有的未数，只利用静力方程不能求出所有的未 知力。知力。第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度简单静不定梁简单静不定梁ACB4.4.多余约束：在静不定梁中，凡是多余维持平衡所必多余约束：在静不定梁中，凡是多余维持平衡所必 需的约束，称为多余约束。需的约束，称为多余约束。5.5.多余支反力：与多余约束相对应的支反力或支反力偶多余支反力：与多余约束相对应的支反力或支反力偶 矩，统称为多余支反力。矩，统称为多余支反力。3.3.静不定次数：在静不定梁中，未知力与独立的平衡方静不定次数：在静不定梁中，未知力与独立的平衡方 程数之差，称为静不定次数。程数之差，称为静不定次数。第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度简单静不定梁简单静不定梁6.6.相当系统：多余约束解除后，所得之受力与原静不定相当系统：多余约束解除后，所得之受力与原静不定梁相同的静定梁，称为原静不定梁的相当系统。梁相同的静定梁，称为原静不定梁的相当系统。BACACB即即变形协变形协调方程调方程物理方程物理方程物理方程物理方程补充方程补充方程补充方程补充方程第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度简单静不定梁简单静不定梁7.7.求解静不定的梁的方法与步骤求解静不定的梁的方法与步骤（1 1）根据支反力与有效平衡方程的数目，判断梁的静不）根据支反力与有效平衡方程的数目，判断梁的静不定次数；定次数；（2 2）解除多余约束，并以相应多余支反力代替其作用，）解除多余约束，并以相应多余支反力代替其作用，得原静不定梁的相当系统；得原静不定梁的相当系统；（3 3）计算相当系统在多余约束处的位移，并根据相应的）计算相当系统在多余约束处的位移，并根据相应的变形协调方程建立补充方程，从而求出多余支反力。变形协调方程建立补充方程，从而求出多余支反力。第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度简单静不定梁简单静不定梁解：解：解：解：1 1 1 1.判断梁的静不定次数；判断梁的静不定次数；判断梁的静不定次数；判断梁的静不定次数；3.3.3.3.变形协调条件；变形协调条件；变形协调条件；变形协调条件；已知：已知：已知：已知：EI EI EI EI=常数常数常数常数 求：作求：作求：作求：作M M 图图图图5.5.5.5.补充方程并求解；补充方程并求解；补充方程并求解；补充方程并求解；6.6.6.6.作作作作M M 图图图图M 2 2 2 2.建立相当系统；建立相当系统；建立相当系统；建立相当系统；4 4 4 4.物理方程；物理方程；物理方程；物理方程；例题例题 8-4 第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度简单静不定梁简单静不定梁8-58-5 弯曲刚度计算弯曲刚度计算d 对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。如果过大会增加轴承的磨损等等。第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度弯曲刚度计算弯曲刚度计算一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件上述二式中上述二式中上述二式中上述二式中 w w 和和和和 分别称为许用挠度和许用转角，分别称为许用挠度和许用转角，分别称为许用挠度和许用转角，分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度弯曲刚度计算弯曲刚度计算 已知：已知：已知：已知：钢制圆轴，左端受力为钢制圆轴，左端受力为FP，FP20 kN，alm，l2 m，E=206 GPa，其他尺寸如图其他尺寸如图所示。规定轴承所示。规定轴承B B 处的许用转角处的许用转角 =0.5。1 1.校核刚度；校核刚度；2.2.设计截面尺寸；设计截面尺寸；二、刚度计算二、刚度计算3.3.确定外载荷。确定外载荷。d试：试：试：试：根据刚度要求确定该轴的直径根据刚度要求确定该轴的直径d d。例题例题 8-5 第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度弯曲刚度计算弯曲刚度计算1 1查表确定查表确定 B B 处的转角处的转角2 2根据刚度设计准则确定轴的直径根据刚度设计准则确定轴的直径 2d解：解：解：解：第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度弯曲刚度计算弯曲刚度计算第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度