相关系数与切比雪夫不等式课件

第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式2.中心中心 矩矩定义定义2为为X 的的 k 阶阶中心矩中心矩。设设X 是随机变量，则称是随机变量，则称定义定义1为为X 的的 k 阶阶原点矩原点矩。设设 X 是随机变量，则称是随机变量，则称1.原点矩原点矩3.3.原点矩与中心矩的关系原点矩与中心矩的关系原点矩与中心矩的关系原点矩与中心矩的关系 回顾：回顾：例题例题解解第九讲第九讲 均值、矩与方差均值、矩与方差一、方差与标准差一、方差与标准差1.定义定义 背景：背景：在统计应用中，二阶中心矩的具有特殊的重要性。在统计应用中，二阶中心矩的具有特殊的重要性。因为它能表达随机变量的偏离程度，这种偏离程度是均值无因为它能表达随机变量的偏离程度，这种偏离程度是均值无法反映的。例如，某小公司有法反映的。例如，某小公司有10个员工，它们的年薪分别是个员工，它们的年薪分别是（万元）（万元）25,18,36,28,16,20,29,32,41,150.其均值是其均值是39万万5千千元。于是老板宣布我们公司的平均年薪元。于是老板宣布我们公司的平均年薪3939万万5 5千元。这引起多千元。这引起多数员工的不满。为什么？因为数据中有数员工的不满。为什么？因为数据中有150150万元是老板自己的万元是老板自己的年薪，其它年薪，其它9 9人中有人中有6 6人偏离均值很远。本例说明，均值只代人偏离均值很远。本例说明，均值只代表平均收入，却不能表达数据的偏离度。在中心矩概念中，表平均收入，却不能表达数据的偏离度。在中心矩概念中，二阶中心矩表述了变量与其均值之间的差的程度，为此将它二阶中心矩表述了变量与其均值之间的差的程度，为此将它作为衡量变量偏离均值的专有量值，并命名为方差。作为衡量变量偏离均值的专有量值，并命名为方差。第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式离差离差的平方的数学期望叫做随机变量的平方的数学期望叫做随机变量X 的的方差方差,记作记作随机变量随机变量X 与其数学期望的差叫做随机变量与其数学期望的差叫做随机变量X的的离差离差。即。即离差与偏差定义离差与偏差定义标准差标准差随机变量随机变量X 的方差的算术平方根叫做随机变量的方差的算术平方根叫做随机变量X 的的标准差或均方差，记作标准差或均方差，记作(X)，即，即或或说明说明：1.D(X)1.D(X)非负，且非负，且D(X)D(X)即是二阶中心距即是二阶中心距 2.2.实际应用中常用标准差，它与随机变量的量纲一实际应用中常用标准差，它与随机变量的量纲一致，但为了运算方便，理论推导和研究通常用方差。致，但为了运算方便，理论推导和研究通常用方差。第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式2.方差计算方差计算由方差定义：由方差定义：第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式用均值计算方差定理用均值计算方差定理:证明：证明：第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式解解例题例题10-1-110-1-1 设随机变量设随机变量 ，求方差求方差 D(X)。3.例题讲解例题讲解例题例题10-1-210-1-2设随机变量设随机变量 ，求方差求方差 D(X)。解解其密度函数为其密度函数为例题例题10-1-310-1-3解解 其密度函数为其密度函数为第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式4.方差性质方差性质1.1.定理（定理（1 1、2 2）证明第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式定理定理3利用定理利用定理3 3，用归纳法可以证明以下推论，用归纳法可以证明以下推论第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式口诀：方差：常数为零系数提平方，独立加减都算加口诀：方差：常数为零系数提平方，独立加减都算加证证X 的标准化的随机变量。的标准化的随机变量。设随机变量设随机变量X 的数学期望为的数学期望为E(X)，标准差为，标准差为设随机变量设随机变量证明：证明：例例10-1-4.均值为均值为0,方差为方差为1的特殊分布的特殊分布第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式则则n次试验中事件次试验中事件 A 发生的次数为：发生的次数为：且且X1,X2,Xn相互独立，相互独立，则则 例例10-1-5.二项分布均值与方差二项分布均值与方差其中：其中：第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式解：由已知概率：解：由已知概率：由于由于X1,X2,Xn相互独立，则相互独立，则求方差求方差 D(Y)。例例10-1-6(2000)设随机变量设随机变量 X 在区间在区间-1,2 上服从均匀分布上服从均匀分布,随机变量随机变量 第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式解解因随机变量因随机变量 X 在区间在区间-1,2 上服从均匀分布上服从均匀分布,则则第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式 例题例题10-1-7.几何分布几何分布概率函数概率函数而第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式而而第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式0-1分布分布 二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布 几何分布几何分布 超几何分布超几何分布指数分布指数分布常用分布的期望与方差列表常用分布的期望与方差列表第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式解解 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)在以点在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形为顶点的三角形 区域区域 G 上服从均匀分布上服从均匀分布,求随机变量求随机变量 U=X+Y 的方差的方差.例题例题10-1-8（2001）第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式例例10-1-9（2008，4分）分）例例10-1-10（1995，4分）分）第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式例例10-1-11（2010，4分）分）第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式例例10-1-12（2004，4分）分）二、协方差与相关系数二、协方差与相关系数1.背景知识背景知识设随机变量设随机变量 X X 与与Y Y 相互相互独立独立，则则:第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式2.协方差协方差:covariance协方差协方差(相关矩相关矩):离散型随机变量离散型随机变量：连续型随机变量：连续型随机变量：证证第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式（1）均值性质定理：）均值性质定理：3.协方差性质协方差性质（2）独立性质定理：）独立性质定理：设随机变量设随机变量X与与Y 相互独立，则：相互独立，则：证证因为随机变量因为随机变量X与与Y 相互独立相互独立,第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式证证(3)方差性质定理：方差性质定理：设设X与与Y是任意两个随机变量是任意两个随机变量,则：则：4.相关系数相关系数第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式（1）定义：）定义：X与与 Y 的相关系数的相关系数:第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式（2）相关系数的计算）相关系数的计算:证证并且(4)(4)强相关定理强相关定理第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式证证“”于是于是 设设第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式即即(5)(5)不相关概念不相关概念由定义容易得到不相关的几个等价结论由定义容易得到不相关的几个等价结论第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式10-2-1 将一枚硬币重复掷将一枚硬币重复掷n次，次，X 和和Y 分别表示正面向上和反分别表示正面向上和反面向上的次数，则面向上的次数，则X和和Y的相关系数等于的相关系数等于解解选选(A).(A)-1 (B)0 (C)0.5 (D)1.（2001年）年）第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式例题例题10-2-2（2000，3分）分）三、切比雪夫定理三、切比雪夫定理 1.1.背景：背景：若已知一个随机变量分布的均值与方差，那么随若已知一个随机变量分布的均值与方差，那么随机变量值的是以什么形式集中在均值附近？例如某年级机变量值的是以什么形式集中在均值附近？例如某年级10001000名名学生线性代数课程成绩的均值为学生线性代数课程成绩的均值为8585分，我们关心的是，有多少分，我们关心的是，有多少学生的成绩集中在均值附近？学生的成绩集中在均值附近？2.2.切比雪夫定理（不等式）：切比雪夫定理（不等式）：第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式例题例题10-3-1(2001，数一），数一）设独立随机变量设独立随机变量 并且方差是并且方差是一致有上界一致有上界的，即存在某的，即存在某则对于任何正数则对于任何正数 ，恒有，恒有 定理定理2（切比雪夫大数定理）（切比雪夫大数定理）分别有数学期望分别有数学期望及方差及方差 D(X1),一常数一常数K，使得使得第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式证证第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式3.3.依概率收敛定义依概率收敛定义推论：推论：存在存在:设独立随机变量设独立随机变量服从同一分布服从同一分布,期望及方差期望及方差则对于任何正数则对于任何正数 ，有，有第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式在独立试验序列中在独立试验序列中,设事件设事件 A 的概率的概率P(A)=p，定理定理3(3(伯努利定理）伯努利定理）按概率收敛于事件按概率收敛于事件 A 的概率的概率p.即对于任何正数即对于任何正数则事件则事件 A在在 n 次独立试验中发生的频率次独立试验中发生的频率fn(A),当试验次数当试验次数,有有证证设随机变量设随机变量 Xi 表示事件表示事件A 在第在第 i 次试验中发生的次数次试验中发生的次数(i=1,2,n,),则这些随机变量相互独立，服从相同的则这些随机变量相互独立，服从相同的0 0-1 1分布，分布，且有数学期望与方差：且有数学期望与方差：由切比雪夫定理的推论即得由切比雪夫定理的推论即得而而就是事件就是事件A在在n次试验中发生的次数次试验中发生的次数m，由此可知，由此可知第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式解解设事件设事件 表示表示“在在 n 次独立试验中，事件次独立试验中，事件A发生发生”；而而 设在每次试验中，事件设在每次试验中，事件 A 发生的概率均为发生的概率均为 p(0p1)，且，且 p 很很 小小(小概率事件小概率事件)，求在求在 n 次独立试验中，事件次独立试验中，事件A发生的概率。发生的概率。例题例题10-3-2概率很小的事件在概率很小的事件在个别个别试验中是不可能发生的。试验中是不可能发生的。3.3.3.3.小概率事件的实际不可能性原理小概率事件的实际不可能性原理小概率事件的实际不可能性原理小概率事件的实际不可能性原理 显然，显然，注注 小概率事件在大量试验中几乎必然发生。小概率事件在大量试验中几乎必然发生。第十讲第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式方差、相关系数与切比雪夫不等式