相似理论与模型试验课件

相相 似似 理理 论论 与与 模模 型型 实实 验验 授课对象：研究生授课对象：研究生授课教师：授课教师：严仁军严仁军二二一一四四年年十十月月相似理论与模型实验授课对象Page 2引引言言1.人们对自然规律的不倦探索人们对自然规律的不倦探索 在古代，人们以初等数学为工具从量的方面来探索自然界的规律性。但初等数学以研究常量为主，只能研究事物在静止状态下的规律性，这就大大限制了它在客观世界中被利用的范围。高等数学的出现，是人们认识客观世界的一个飞跃，也是探索自然规律的一种有力工具。但自然界的现象毕竟是错综复杂的。有许多实际问题至今靠高等数学尚不能全部解决或根本无法解决，于是逼使人们不得不走直接实验的道路。引言Page 3 但最先人们采用直接实验的方法发现它有着较大的局限性，在于它常常只能得出个别量之间的规律性关系，难以发现或抓住现象的全部本质，从而无法向实验条件范围以外的同类现象推广。但通过人们长期实践、总结，一种用于指导自然规律研究的全新理论“相似理论”，便应运而生了。它是把数学解析法和试验法的优点结合起来，用来研究和解决生产和工程中的问题。这是科学研究的主要方法之一，也是解决生产和工程问题的一种有效方法。从而扩展了人们探索自然奥秘的领域。但最先人们采用直接实验的方法发现它有着较大的局限性，Page 42.相似理论相似理论与模型试验与模型试验 相似理论是说明自然界和工程中各种相似现象相似原理的学说。它的理论基础，是关于相似的三个定理。以相似理论为指导，形成研究自然界和工程中各种相似现象的新方法，即所谓的“相似方法”。“相似方法”是一种可以把个别现象的研究成果，推广到所有相似的现象上去的科学方法。“模拟”一般情况是指在实验室条件下，用缩小的（特殊情况下也有放大的）模型来进行现象的研究。2.相似理论与模型试验Page 5 这样，又引伸出“模型试验”的概念。模型试验是相似方法的重要内容。在近代科学研究设计工作中，起着很重要的作用，从相似理论的角度出发，“模型”是与物理系统密切有关的装置，通过对它的观察与试验，可以在需要的方面精确地预测系统的性能。这个被预测的物理系统，通常被叫做“原型”。相似理论与模型试验课件Page 6 根据这个定义，为了利用一个模型，当然有必要在模型与原型间满足某种关系。这种关系称为模型设计条件，或系统的相似性要求。由此可见，相似理论与模型试验的关系是十分密切的，是整个问题的两个组成部分。在人类长期、广泛的实践活动中，二者是相辅相成、相得益彰，促成了整门学科的发展。根据这个定义，为了利用一个模型，当然有必要在模型与原型Page 73.3.模型试验的意义和现状模型试验的意义和现状 模型试验的意义，可从五个方面加以说明：模型试验作为一种研究手段，可以严格控制试验对象的主要参数而不受外界条件和自然条件的限制，做到结果准确。模型试验有利于在复杂的试验过程中突出主要矛盾，便于把握、发现现象的内在联系。并且有时可用来对原型所得结论进行校验。由于模型与原型相比，尺寸一般都是按比例缩小的。故制造加工容易，装拆方便，试验人员少，较之实物试验，能节省资金、人力和时间。3.模型试验的意义和现状Page 8模型试验能预测尚未建造出来的实物对象或根本不能直接研究的实物对象的性能。当其它各种分析方法不可能采用时，模型试验就成了现象相似性问题唯一的和更为重要的研究手段。目前，相似理论和模型试验方法已用于物理、化学、工程结构、热力学、气象、航天等各个领域，并有着广泛的应用前景。模型试验能预测尚未建造出来的实物对象或根本不能直接研究Page 9一、一、物理模拟和数学模拟物理模拟和数学模拟物理模拟是指基本现象相同情况下的模拟。这时模型与原型的所有物理量相同，物理本质一致。区别只在于各物理量的大小比例不同。因此，物理模拟也可说成是保持物理本质一致的模拟。（两个现象物理量及其性质相同，只有大小不同）。一、物理模拟和数学模拟Page 10数学模拟是指存在于不同类型现象之间的模拟。这时模型与原型的物理过程有本质的区别，但它们的对应量都遵循着同样的方程式，具有数学上的相似性。如二阶运算子:2=的微分方程 ，可代表重力场、电势场、温度场等。这时，人们只要对不同的物理量建立起一一对应关系，便可用一个现象去类比另一不同现象的解。在工程中，常用电场来模拟温度场、材料的应力场和有限自由度的振动系统；用导热现象来模拟分子的扩散现象；以及在同一拉普拉斯方程指导下，用电解槽各点的点位来模拟不可压缩无粘性流体的运动、柱状弹性杆的自由扭转、薄膜的变形和一些热传导的问题。诸如此类的问题，都是数学模拟的实际例子。数学模拟是指存在于不同类型现象之间的模拟。这时模型与原型Page 11下面以单自由度振动系统的电模拟法为例来说明这个问题。图1-1下面以单自由度振动系统的电模拟法为例来说明这个问题。图1-Page 12右边代表一个LRC串联电路，现在要由它来模拟左边由k，m，组成的单自由度振动系统。作为它们一一对比的量是：电感L 质量m 电阻R 阻尼 电容C 弹簧k 外加电压E 外力F，电荷q 位移y，(单位时间的电荷变化量，即为电流I。)右边代表一个LRC串联电路，现在要由它来模拟左边由k，Page 13它们之间方程式和初始相似性在于：机械系统 （1-1）电路系统 （1-2）所以，只要适当地选择各种物理量和初始条件，就能使y(t)和q(t)在对应的时间内完全成比例地变化，因此，通过测量各种电量就能换算出位移、速度等机械量。类似这种电路系统，当其适应性很强时，就是通常所说的模拟计算机。它们之间方程式和初始相似性在于：Page 14物理模拟和数学模拟各有其特点:物理模拟可把具体的现象再现出来，较之数学模拟能更全面地表现被模拟的现象。而对于复杂现象，物理模拟又不可从根本上依赖、或根本不依赖于所说的物理方程。反之，数学模拟由于以方程为基础，可较方便地看出各种参量对结果的影响，进行不同现象结构的对比。指出哪一些参量是重要的。它在实际模拟过程中易于控制，可代替对于原型的较为繁难的数学计算和物理模拟中对于原型的较为复杂的模型试验。这些是它的优点。如前所述，农机-土壤系统由于与土壤发生关系，属于比较复杂的物理现象，故在目前条件下，只能从物理模拟的角度去研究它的相似性问题。相似理论与模型试验课件Page 15二、相似的概念二、相似的概念2 2.1.1各种物理量的相似各种物理量的相似 相似这一概念，是从初等几何学借用过来的。例 如 两 个 三 角 形（图 2-1），如 果 对 应 的 角 各 各 相 等，或 对 应 的边保持相同的比例，则称两个三角形相似。这是平面相似问题，属于 这类问题的，还有各种多边 形、圆、椭圆等。空间也可以实现几何相似。如三角锥、立方体、长方体、球、椭圆等的相似都属于空间相似。图2-1二、相似的概念图2-1Page 16推而广之，各种物理现象也都可以实现相似。它们的各种物理量（如时间、力、速度等）都可以抽象为二维、三维或多维空间（即超空间）的坐标，从而把现象相似简化为一般的几何学问题。推而广之，各种物理现象也都可以实现相似。它们Page 17下面举例说明各种物理量相似的定义。时间相似时间相似是指对应的时间间隔成比例，可举内燃机的两个相仿的压力指示图为例（图2-2）。图中，时间相似用公式表示，即（2-1）图2-2下面举例说明各种物理量相似的定义。图2-2Page 18力相似力相似是指力场的几何相似，它表现为所有对应点上的作用力都有各相一致的方向，而其大小则相应地成比例。可举具有几何相似的索多边形的两个变截面梁为例（图2-3）。图中，力相似可用下二公式表示（2-2）（2-3）力相似又称动力学相似。图2-3力相似力相似是指力场的几何相似，它表现为所有对应点上Page 19速度相似速度相似是指速度场的几何相似，它表现为各对应点、对应时刻上的向量方向一致，而大小成比例。可举不同直径的圆管内液体的层流运动为例（图2-4）。图中，速度相似用公式表示，即（2-4）速度相似如辅之以加速度相似，则可笼统的称为运动学相似图2-4速度相似速度相似是指速度场的几何相似，它表现为各Page 20除此而外，就独立的物理变量而言，还有压力相似、温度相似、浓度相似等多种。综上所述，可知在作相似分析时，如式（2-1）（2-4）所示的一类相似条件是十分重要的，其中等，可统称为相似常数。除此而外，就独立的物理变量而言，还有压力相Page 212.现象相似与物理量相似的关系现象相似与物理量相似的关系物理量蕴于现象之中，现象的相似是通过多种物理量的相似来表现的。由于用来表示现象特征的各种物理量，一般来说是不孤立的、互不关联的，而是处在为自然规律所决定的一定关系之中，所以各种相似常数的大小，是不能随意选择的。由于在许多情况下，这种关系表现为数学方程的形式，并且当现象相似时，这些方程又具有同一的形式，因而便决定了在各相似常数间必定存在着某种数学上的约束关系，或数学联系。2.现象相似与物理量相似的关系Page 22例如，热力设备中的各种现象，如流体的运动，热量的交换等，都伴随着许多物理量的变化。对于这种伴随有许多物理量变化的现象，相似是指表述此种现象的所有物理量在空间相对应的各点及时间上相对应的各瞬间各自互成一定的比例关系，并且被约束在一定的数学关系之中。在土壤机器系统中，各种现象，如拖拉机（或汽车、机械工程、坦克等）的驱动力矩、滑转率、下陷深度、滚动阻力等的变化，也都首先被许多自变物理量，诸如土壤抗剪强度，承载能力p，外附力a，内聚力c，内摩擦角以及湿度等的变化所决定的。它们的相似，自然也要把各种物理量抽象为多维空间的坐标，使之在相对应的点和相对应的时刻上各自互成一定的比例关系。但它们的相似内容和相似条件较之式（2-1）-（2-4）所示的一类相似，要复杂的多，因此给模型研究带来了许多新的内容和问题。例如，热力设备中的各种现象，如流体的运动，热量Page 23以上谈到的各种相似基本是三大类：一般几何相似；动力学相似和运动学相似。结合物理物理系统各类相似的特点，三者的地位、意义可以这样来描述：即任二系统，如果在几何学、动力学和运动学上都达到了相似，则该二系统的性能相似。其中，几何学相似较易通过人为的努力实现，而运动学相似又是随着几何学相似和动力学相似而得到表现的。因此，三类相似动力学相似是关键。凡是在几何相似条件下由动力学相似获得的解，理应满足运动学相似。以上谈到的各种相似基本是三大类：一般几何相似；Page 24实际上，取决于现象的运动学特征，在几何学、动力学相似得以实现的情况下，运动学未必相似，这时就有必要控制运动学参量的数值范围，将其影响缩减至最小，或予以忽略。这一点，对于今后用相似理论和模型试验来解决实际问题（其中特别是复杂现象的相似问题），具有指导意义。在一般场合下，当谈到几何相似时，都是指的初等几何相似。现象除了以上三类相似，还包含有材料或介质特性等一类物理学的相似。但由于在它们的测量单位中包含有几何参量、运动学参量和动力学参量的量纲成分，所以从概念上说，此类相似不能自成范畴，只能被列作模型设计条件或设计的相似性要求，或构成其中的一种成分。实际上，取决于现象的运动学特征，在几何学、动Page 25三、相似三定理三、相似三定理 相似理论的理论基础是相似三定理。相似三定理的实用意义在于指导模型的设计及有关实验数据的处理和推广，并在特定情况下，根据经过处理的数据，提供建立微分方程的指示。对于一些复杂的物理现象，相似理论还进一步帮助人们科学而简捷地去建立一些经验性的指导方程。工程上的许多经验公式，就是由此而得。三、相似三定理Page 26相似理论的作用如此，就必须首先从理论上说：1.相似现象具有什么性质；2.个别现象的研究结果如何推广到所有相似的现象中去；3.满足说明条件才能实现现象相似。弄清楚这些问题，才能相应解答模型试验中的这样几个问题：1.模型试验需要测量哪些物理量；2.如何整理实验结果，使之推广到原型等相似现象中去；3.模型试验应遵守什么条件。相似理论的作用如此，就必须首先从理论上说：1.Page 273.3.1 1 相似第一定理相似第一定理（相似正定理）（相似正定理）相似第一定理可表述为对相似的现象，其相似指标等于1。或对相似的现象，其相似准则的数值相同。它是说明相似现象的性质，也是现象相似的必然结果。相似现象的相似性质：相似现象能为文字上完全相同的方程组所描述。其中大多数的物理现象，其关系方程又可用微分方程的形式获得，如质点运动方程和力学方程分别为：（3-1)(3-2)用来表征这些现象的一切物理量在空间相对应的各点和时间上相对应的各瞬间各自互成一定的比例关系。如以角标“”、“”表示两个现象发生在同一对应点和同一对应时刻的同类量，则参考式（3-1）、（3-2），有：相似理论与模型试验课件Page 28（3-3）式中均为相似常数。（3-3）式中Page 29各相似常数值不能任意选择，它们要服从于某种自然规律的约束。我们来研究式（3-1）。为此将有关的相似常数项改写为 （3-4）式（3-1）实际可用于描述彼此相似的两个现象。这时第一现象质点的运动方程为 （3-5）第二现象相对应质点的运动方程为(3-6)各相似常数值不能任意选择，它们要服从于某种自然规律的约束。Page 30将式（3-4）代入（3-6），亦即在基本微分方程中对变数作相似变换，可得（3-7）作相似变换时，为了保持基本微分方程（3-5）、（3-6）的一致性，需使故得（3-8）以后，我们把C称为相似指标相似指标，其意义在于：对于相似现象，它的数值为1。同时也说明，各相似常数不是任意选择的，它们的相互关系要受“C值为1”这一条件的约束。换言之，在cv、ct、cl三者中，只有二者可以是任意的，余者由（3-8）式确定。将式（3-4）代入（3-6），亦即在基本微分方程中Page 31这种约束关系还可以采取另外的形式，这时如将式（3-3）中的cv、ct、cl值代回式（3-8），便得 或 不变量 （3-9）同理，在研究式（3-2）时，可得 （3-10）或 （3-11）上两式的综合数群 和 ，都是不变量，它们反映出物理相似的数量特征，被称之为相似准则相似准则。这种约束关系还可以采取另外的形式，这时如将式（3-3）中的cPage 32应该注意：相似准则的概念 是“不变量”，而非“常量”。所说不变量，是因为相似准则这一综合数群只有在相似现象的对应点和对应时刻上才相等。若举式（3-9）为例，亦即 （3-12）如果由微分方程说明的现象，取同一现象的不同点，则因其物理变化过程的不稳定性，有：（3-13）应该注意：相似准则的概念是“不变量”，而非“常量”。所说不Page 33 所以，相似准则只能说成是不变量，不能说成是常量，而相似第一定理也就因此表述为：对于相似的现象，其相似准则的数值相同。同时还要注意，相似准则从概念上说是与相似常数不同的。二者虽然都是无量纲量，但存在着意义上的区别。相似常数是指在一对相似现象的所有对应点和对应时刻上，有关参量均保持其比值不变。而一当次对相似现象为另一对相似现象所替代，则尽管参量相同，这一比值确实不同了。所以，相似准则只能说成是不变量，不能说成是常量，而相Page 34例如，以最简单的平面三角形为例，它的三边具有同样的长度量纲。现在设想存在三个相似的平面三角形A、B、C(图3-1),它们构成三队相似现象A-B、B-C、和A-C。设各三角形的底长各为4、3、2厘米，则第一对相似现象的相似常数为4/3，第二队为3/2，第三对为2，即图3-1例如，以最简单的平面三角形为例，它的三边具有同样的Page 35与相似常数不同，相似准则是指一个现象中的某一量，它在该现象的不同点上具有不同的数值，担当这一现象转变到与它相似的另一现象时，则在相对应点和相对应时刻上保持相同的数值。相似准则与相似常数比较，其重要性在于它是总合地而不是个别地反映单个因素的影响，能更清楚地显示过程的内在联系。与相似常数不同，相似准则是指一个现象中的某一量Page 36 当用相似第一定理指导模型研究时，首先重要的是导出相似准则，然后在模型试验中测量所有与相似准则有关的物理量，借此推断原型的性能。但这种测量与单个物理量泛泛的测量不同。由于它们均处于同一准则之中，故在几何相似得以保证的条件下，可以找到物理量相似常数间的倍数（或比例）关系。模型试验中的测量，就在于以有限试验点的测量结果为依据，充分利用这种倍数（或比例）关系，而不着眼于测取各物理量的大量具体数值。当微分方程较简单时，找出相似准则并不困难。但当方程无从知晓时，或是很复杂时，应采用其它的方法。当现象的相似准则数超过一个时，问题便进入了相似第二定理的范畴相似理论与模型试验课件Page 373.2相似第二定理（相似第二定理（定理）定理）相似第二定理可表述为：设一个物理现象如果含有n个物理量,其中有k个为物理量是相互独立的，那么这n个物理量可表示成是相似准则1、2、n-k 之间的函数关系。按此定理，亦即f(1、2、n-k)=0 (3-14)以后把式（3-14）称作准则关系式或关系式，把式中的相似准则称作项。3.2相似第二定理（定理）Page 38 对于彼此相似的现象，在对应点和对应时刻上相似准则都保持同一值，所以它的关系式也应当是相同的。一般用下标“p”和“m”分别表示原型和模型，则关系式分别为：f1(1、2、n-k)p=0f2(1、2、n-k)m=0 (3-15)其中：1m=1p 2m=2p (3-16)(n-k)m=(n-k)p 式（3-16）的意义在于说明，如果把某现象的实验结果整理成（3-14）所示的无量纲的关系式，则该关系式便可推广到与它相似的所有其它现象上去。而在推广的过程中，由式（3-16）可知，并不需要列出各项间真正的关系方程（不论该方程发现与否）。Page 39 定理是可以证明的。严格说，式（3-14）所示的关系式可完整的表述为 （3-17）而当有j个物理量 为无量纲参量时，应完整地表示为 （3-18）关系式中的项在模型试验中有自变和应变之分。设在式（3-17）、（3-18）中因变的项为1，则可将该二式改写为 （3-19）（3-20）人们在实践中也常把 视作项，于是关系式（3-18）、（3-20）又回复到如式（3-14）、（3-19）所示的形式。定理是可以证明的。严格说，式（3-14）所示的关系Page 40 换句话说，就是这时把定理所指的n个物理量，理解成是全部有量纲的和无量纲的物理量的总和。如果一个现象同时存在两个本质上一致的因变项1和2（如土壤-机器系统中阻力项和沉降项）则式（3-19）可改写为同理，如果同时存在三个本质上一致的因变项则式（3-19）可改写为 （3-22）依次类推。注意，超过一个以上的因变项不能同时写在一个等式里，只能归纳写成 （3-23）（3-21）换句话说，就是这时把定理所指的n个物理量，理解成是全部Page 41 式（3-19）至（3-22）等号右侧的项均为自变项。既为自变，每个项中必定要有一个区别于其他项的独立变量，因此自变项又可称为独立项，因此项又可称为非独立项。设在二现象中，各独立项经过人为控制双双相等，则由于因变项（或非独立项）间存在着直接的换算关系，式（3-19）中与 相对应的 便可作为模型试验中预测原型性能的依据，或以此取得工程设计所需的各种数据。代表相似第二定理关系式（3-14），除了具有将实验结果向同类相似现象推广的功能，由于它是一个由多元的物理函数关系 （3-24）转化而来的少元的、具有无量纲项的准则关系式，还使它的实验次数较前大为减少，从而大大简化实验过程。式（3-19）至（3-22）等号右侧的项均为自变项Page 42 现在来粗浅解释所以能使变量由多元的n个降至少元的（n-k)个的本质原因。如同在相似第二定理中提到的，k是量纲相互独立的物理量的数目。但就其意义说来，应理解为能从n个物理量中一次提出的量纲相互独立的物理量的最大数目，故其值应等于同系统中基本量纲的数目。在一般工程系统中，基本量纲通常是三种，即长度量纲L，力量纲F(或质量量纲M），以及时间量纲T。但有时根据具体情况，可使基本量纲数从范畴意义上最大发展到六个：在量纲系统中再加入一个温度量纲。根据气体动力学理论，气体的绝对温度是分子运动的平均动能，亦即温度量纲从属于其他基本量纲。但如果问题不直接涉及分子运动情况（例如工程流体力学问题和一般的热力学、热工学问题），便可将温度选作为基本量纲。现在来粗浅解释所以能使变量由多元的n个降至少元的（nPage 43 同时采用力量纲F和质量量纲M。一般说，基本量纲F和M由于受牛顿第二定律的约束，不是相互独立的，只能二者择一，但是，如果在所讨论的特定问题中，不需要使用牛顿第二定律或允许忽略掉重力场的影响，F和M就相互独立了，可以同时用作基本量纲。如果在所讨论的问题中，不需要考虑热能和机械能的转换，即二者之间无需用焦耳定律联系起来，则可再增加一个热量量纲Q。同时采用力量纲F和质量量纲M。一般说，基本Page 44 现在，假设k值已定。k值不论指的是物理量或是基本量纲，如前所述，二者都具有量纲相互独立的性质。所谓量纲相互独立，是指任何两个物理量的代数结合（即袋鼠转变，如乘、除、改变指数等），都不能产生第三个物理量的量纲。k值的含义如此，我们就来简单设想n=k的特殊情况。这时由于所有参量的量纲都是相互独立的，故其自身便无以构成任一无量纲组合或相似准则。用数学式表达，亦即此时相似准则数为n-k=0。这是一种重要设想，因为它反过来说明，当nk时，相似准则数有可能是（n-k)个。这是从理论上说的。实际上，由于某种事前难以估计的原因，相似准则数也有大于（n-k)个的时候。为了科学说明问题，最好借助于量纲矩阵，通过矩阵求出子行列式不为零的最高阶数秩数，则该秩数便为k值。现在，假设k值已定。k值不论指的是物理量或是基本量纲，Page 45相似第二定理是十分重要的。但是，在它的指导下，模型实验结果能否正确推广，关键又全在于是否正确的选择了与现象有关的参量。对于一些负载的物理现象，由于缺乏微分方程的指导，就更是如此。相似第二定理是十分重要的。但是，在它的指导下，Page 463.3相似第三定理相似第三定理（相似逆定理）（相似逆定理）相似第三定理可表述为：“对于同一物理现象，如果单值量相似，而且有单值量所组成的相似准则在数值上相等，则现象相似。单值量，是指单值条件中的物理量，而单值条件是将一个个别现象从同类现象中区分开来。亦即将现象群的通解转变为特解的具体条件。单值条件包括几何条件、介质条件、边界条件和起始条件。几何条件许多具体现象都发生在一定的几何空间内，所以，参与过程的物体的几何形状和大小就应作为一个单值条件提出。例如，流体在管内流动，应给出管径d和管长l的具体数值。介质条件许多具体现象都是在具有一定物理性质的介质参与下进行的，所以，参与过程的介质，其物理性质应列为一种单值条件。3.3相似第三定理（相似逆定理）Page 47边界条件许多具体现象都必然受到与其直接为邻的周围情况的影响，因此，发生在边界的情况也是一种边界条件。起始条件许多物理现象，其发展过程直接受起始状态的影响。不一定每一种现象都会用到这四种单值条件，这要由现象的具体情况来确定。相似第三定理由于直接同代表具体现象的单值条件相联系，并且强调了单值量相似，所以就显示出它科学上的严密性。因为，它既照顾到单值量变化的特征，又不会遗漏掉重要的物理量。边界条件许多具体现象都必然受到与其直接为邻的周Page 48相似第一定理是从现象已经相似这一事实出发来考虑问题的，它说明是相似现象的性质。设有二现象相似，它们都符合质点运动的微分方程V=，如图3-2所示的两组相似曲线（实线）。得到：图3-2相似第一定理是从现象已经相似这一事实出发来考虑问题的，它说明Page 49 图中“1”、“2”为两现象的对应点。现在，设想通过第二现象的点1和点2，找出同类的另一现象第三现象，图中虚线所示。显然，第二、第三现象的曲线并不重合，故第三现象与第一现象并不相似，说明通过点1、点2的现象并不都是相似现象。为了使通过点1、点2现象取得相似，必须从单值条件上加以限制。如在这种情况下，加入初始条件：t=0，v=0，L=0。这样，既有初始条件的限制，又有单值量组成的相似准则 值一致，两个现象便必定走向相似。图中“1”、“2”为两现象的对应点。Page 50 由此看来，同样是 值相等，相似第一定理未必能保证现象的相似，而第三定理从单值条件上对它进行补充，保证了现象的相似。因此，第三定理是构成相似的充要条件。严格地说，这也是一切模型试验应遵循的理论基础。但在一些复杂现象中，很难确定现象的单值条件，仅能凭经验判断何为系统最主要的参量；或者虽然知道单值量，但很难做到模型和原型由单值量组成的某些相似准则在数值上的一致，这就使相似第三定理难以真正实行，并因而使模型试验结果带有近似的性质。Page 51同样的道理，如果相似第二定理中各项所包含的物理量并非来自某些现象的单值条件，或者说，参量的选择很可能不够全面、正确，则当将关系式所得的实验结果加以推广时，自然也就难以得出准确的结论。这个事实反过来说明，离开对参量（特别是主要参量）的正确选择，相似第二定理便失去了它存在的价值。同样的道理，如果相似第二定理中各项所包含的物理Page 52四、四、定理的证明定理的证明下面作一证明。设有一物理过程，它包含有n个正值的、不消失的（即不等于零的）物理量，构成如下式所示的函数关系 f1(s1,s2,sk,sk+1,sn-1,sn)=0 (4-1)或 sn=f2(s1,s2,sk,sk+1,sn-1)=0 (4-2)其中，前k项假定为一次提出的独立变量。做如前述，k值一般小于或等于基本量纲的数目或量纲矩阵的秩数。根据假定，如用下列符号代表前k项变量的量纲 （4-3）则显而易见，其余（n-k)个变量的量纲可以看成是前k项变量量纲的函数，即四、定理的证明Page 53（4-4）式中为各独立变量的具体测量单位，如厘米，秒，米/秒，公斤，千克米，等等。现将前k项变量分别乘以某一倍数可得（4-5）（4-4）式中Page 54根据式（4-5）、（4-3）得式中为各独立变量的新量纲；为各独立变量的新量纲便相应变为（4-6）（4-7）根据式（4-5）、（4-3）得（4-6）（4-7）Page 55举例说，项可这样导出全类推。将式(4-7)进行等效转换，可得其余（n-k）项变量与式（4-5）相应的倍数关系为（4-8）举例说，项可这样导出（4-8）Page 56将式（4-5）及（4-8）中的构成了物理过程经过改造的、新的变元系列。它们满足下列函数关系（4-9）或（4-10）注意，式（4-10）中的是任意的，不论选为何值都不会影响该式的成立。这样，为了减少式中的变元数目，可令（4-11）将式（4-5）及（4-8）中的Page 57将式(4-11)代入式(4-10),便得式（4-10）的改造形式（4-12）这里，k个“1”说明前k项变量的量纲都是“零指数”的。所谓零指数，当基本量纲为L、F、T时，是指LFT;当基本量纲为L、M、T时，是指LMT。余类推。根据量纲齐次性原理，一个能完善、正确地反映物理过程的数学方程，必定是量纲齐次的。因此对照式（4-12）中的前k项量纲为“零指数”、亦即无量纲的特征，其余的（n-k）项也必定是无量纲的。这时把它们叫做相似准则或项。将式(4-11)代入式(4-10),便得式（4-Page 58设式（4-12）中，(4-13)则必定（4-14）将式（4-13)、（4-14）代入式（4-12），便得定理的最后表达式为1=f(2,3,n-k)(4-15)在式（4-12)中，也可以直接证明所余的（n-k)项是无量纲的。下面以 一项为例作一说明。设式（4-12）中，Page 59将式（4-3）代入（4-4）得（4-16）因分别为参量的量纲，故根据式（4-16），比值必定是无量纲的，此即为式（4-15）中的1。其余各项可按同法推演。将式（4-3）代入（4-4）得Page 60五五、相似准则的导出方法相似准则的导出方法 作为相似第二定理的补充，必须找到相似准则的导出方法。相似准则的导出方法常用有：定律分析法、方程分析法、量纲分析法三种。从理论上说，三种方法可得到同样的结果，只是用不同的方法来对物理现象（或过程）作数学上的描述。五、相似准则的导出方法Page 615.1定律分析法定律分析法 这种方法要求人们对所研究的现象运用已掌握的全部物理定律，并能辨别其主次。一旦这个要求得到满足，问题的解决并不困难，而且还可获得数量足够的、反映现象实质的项。但这种方法的缺点是：只是就事论事，看不出现象的变化过程和内在联系，故作为一种方法，缺乏典型意义。由于必须要找出全部物理定律，所以对于未能全部掌握其机理的、较为复杂的物理现象，运用这种方法是不可能的，甚至无法找到它的近似解。常常会有一些物理定律，对于所讨论的问题表面看上去关系并不密切，但又不宜妄加剔除，而必须通过实验找出各各定律间的制约关系，决定哪个定律对问题来说是重要的，因此就在实际上为问题的解决带来不便。5.1定律分析法Page 625.2方程分析法方程分析法 这里所说的方程，主要是指微分方程，此外，也有积方程，积分微分方程。这种方法的优点优点是：结构严密，能反映对现象来说最为本质的物理定律，故结论可靠。分析过程程序明确，分析步骤易于检查。各种因素的影响地位一览无遗，有利推断、比较和检验。缺缺点点：在方程尚处于建立阶段时，需要人们对现象的机理有深入的认识。求解方程有时难以得到完整解。5.2方程分析法Page 63以上三种方法，方程分析法和量纲分析法目前应用较为广泛，其中又以量纲分析法为最。量纲分析法是解决近代工程技术问题的重要手段之一，它和方程分析法比较，凡是能用量纲分析法的地方，未必能用方程分析法；而在能用方程分析法的地方，必定能用量纲分析法。但定律分析法也在许多场合下得到采用，并且有时还显得十分方便。在相似分析中，并不排除将各种方法结合使用的可能性。以上三种方法，方程分析法和量纲分析法目前应用较为Page 645.3量纲分析法量纲分析法量纲分析法是在研究现象相似性问题过程中，对各种物理量的量纲进行考察时产生的。它的理论基础，是关于量纲齐次的方程的数学理论。一般来说，用于说明物理现象的方程方程，都是齐次的，这也是定理得以通过量纲分析导出的基础。但定理一经导出，便不再局限于带有方程的物理现象。这时根据正确选定的参量，通过量纲分析法考察其量纲，可求得和定理一致的函数关系式，并根据进行相似现象的推广。量纲分析法的这个优点，对于一切机理尚未彻底弄清，规律也未充分掌握的复杂现象来说，尤其明显。它能帮助人们快速地通过相似性实验核定多选参量的正确性，并在此基础上不断加深人们对现象机理和规律性的认识。5.3量纲分析法