第2章系统的数学模型02资料课件

第三节第三节 传递函数的概念及基本环节的传递函数传递函数的概念及基本环节的传递函数 传递函数是描述系统运动规律的一种数学表达式。传递函数是描述系统运动规律的一种数学表达式。它是一个复变量函数。按传递函数，可以把工程中它是一个复变量函数。按传递函数，可以把工程中所遇到的元件、部件或系统用所遇到的元件、部件或系统用典型环节典型环节表示出来。表示出来。引用了传递函数的概念之后，可以更直观、更形象引用了传递函数的概念之后，可以更直观、更形象地表示一个系统的结构和系统各变量间的数学关系，地表示一个系统的结构和系统各变量间的数学关系，并使运算可以大为简化并使运算可以大为简化。一一.传递函数的概念传递函数的概念 线性定常系统的传递函数定义为：线性定常系统的传递函数定义为：当全部初始条件当全部初始条件为零时为零时（输入量施加于系统之前，系统处于稳定的（输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即工作状态，即t 0 时，输出量及其各阶导数也均为时，输出量及其各阶导数也均为0），），输出量输出量y(t)的拉氏变换的拉氏变换Y(s)与输入量与输入量x(t)的拉氏的拉氏变换变换X(s)之比叫做系统的传递函数之比叫做系统的传递函数G(s)。设线性定常系统输入为设线性定常系统输入为x(t)，输出为，输出为y(t)，描述系，描述系统的微分方程的一般形式为统的微分方程的一般形式为:（2-512-51）式中，式中，nm;an、bm均为系统结构参数所决定的定均为系统结构参数所决定的定常数常数。（。（n，m=0、1、2、3）如果变量及其各阶导数初值为零如果变量及其各阶导数初值为零如果变量及其各阶导数初值为零如果变量及其各阶导数初值为零，取等式两边拉，取等式两边拉，取等式两边拉，取等式两边拉氏变换后得氏变换后得氏变换后得氏变换后得 （2-522-52）根据传递函数的定义，系统的传递函数根据传递函数的定义，系统的传递函数G(s)为为(2-53)(2-53)特征方程特征方程X(s)=0 系统的系统的特征方程特征方程，特征根特征根。特征方程决定着系统的动态特性。特征方程决定着系统的动态特性。X(s)中中s的最高阶次等于系统的阶次。的最高阶次等于系统的阶次。当当s=0时时 系统的系统的放大系数放大系数或或增益增益！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。数项都为零。K 系统处于静态时，输出与输系统处于静态时，输出与输入的比值。入的比值。零点和极点零点和极点的根的根，称为传递函数的零点；称为传递函数的零点；的根的根，称为传递函数的极点；称为传递函数的极点；！系统传递函数的极点就是系统的特征根。！系统传递函数的极点就是系统的特征根。！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数！零、极点分布图零、极点分布图传递函数的传递函数的零、极点零、极点分布图分布图：将传递函数的零、极将传递函数的零、极点表示在复平面上的点表示在复平面上的图形。图形。零点用零点用“O”表示表示极点用极点用“”表示表示u 传递函数传递函数分母多项式分母多项式中中s的最高幂数代表了的最高幂数代表了系统的阶数，如系统的阶数，如s的最高幂数为的最高幂数为n则该系统为则该系统为n阶系统。阶系统。结论结论u 传递函数通过传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系统输入量与输出量之间的关系系来描述系统的固有特性。即以系统外部的输来描述系统的固有特性。即以系统外部的输入入输出特性来描述系统的内部特性。若输输出特性来描述系统的内部特性。若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s)决定。决定。u 传递函数是传递函数是复数复数s域中域中的系统的系统数学模型数学模型。其参。其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。输入形式无关。注意注意u 适用于线性定常系统适用于线性定常系统u 只适合于单输入单输出系统的描述只适合于单输入单输出系统的描述u 无法描述系统内部中间变量的变化情况无法描述系统内部中间变量的变化情况u 传递函数原则上不能反映系统在非零初传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律始条件下的全部运动规律u 传递函数中的各项系数和相应微分方程传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数构参数 例例例例 试写出具有下述微分方程式的传递函数。试写出具有下述微分方程式的传递函数。试写出具有下述微分方程式的传递函数。试写出具有下述微分方程式的传递函数。（）（）（）（）（）（）（）（）解：按（解：按（解：按（解：按（2-532-53）式，则传递函数为）式，则传递函数为）式，则传递函数为）式，则传递函数为 （）（）（）（）（）（）（）（）二、典型环节的传递函数二、典型环节的传递函数 设系统有设系统有b个实零点个实零点;d 个实极点个实极点;c 对复零点对复零点;e对复极点对复极点;v个零极点。个零极点。b+2c=m v+d+2e=n把对应于实数零点把对应于实数零点zi和实数极点和实数极点pj的因式变换成：的因式变换成：式中式中式中式中把对应于共轭复数零点、极点的因式变换成：把对应于共轭复数零点、极点的因式变换成：把对应于共轭复数零点、极点的因式变换成：把对应于共轭复数零点、极点的因式变换成：式中式中式中式中而而而而式中式中式中式中！串联！串联比例环节比例环节一阶微分环节一阶微分环节二阶微分环节二阶微分环节积分环节积分环节惯性环节惯性环节二阶振荡环节二阶振荡环节理想微分环节理想微分环节延迟环节延迟环节系统传递函数一般形式可以写成：系统传递函数一般形式可以写成：系统传递函数一般形式可以写成：系统传递函数一般形式可以写成：u 环节是根据微分方程划分的，不是具体环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件的物理装置或元件u 一个环节往往由几个元件之间的运动特一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成性共同组成u 同一元件在不同系统中作用不同，输入同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作输出的物理量不同，可起到不同环节的作用用1.比例环节（又称放大环节）比例环节（又称放大环节）比例环节的微分方程式为比例环节的微分方程式为比例环节的微分方程式为比例环节的微分方程式为 则传递函数为则传递函数为则传递函数为则传递函数为 （2-542-54）式中式中k比例系数比例系数 这类环节在工程中是很多的，比如齿轮系统中的这类环节在工程中是很多的，比如齿轮系统中的输出转速与输入转速的关系；杠杆中的输出位移输出转速与输入转速的关系；杠杆中的输出位移和输入位移的关系；电位计中的输出电压与输入和输入位移的关系；电位计中的输出电压与输入转角的关系；电子放大器中输出信号与输入信号转角的关系；电子放大器中输出信号与输入信号的关系等的关系等 常见的比例环节常见的比例环节常见的比例环节常见的比例环节2.惯性环节（又称非周期环节）惯性环节（又称非周期环节）惯性系统的传递函数是惯性系统的传递函数是惯性系统的传递函数是惯性系统的传递函数是式中，式中，式中，式中，y y为输出量；为输出量；为输出量；为输出量；x x为输入量。对上式进行拉氏为输入量。对上式进行拉氏为输入量。对上式进行拉氏为输入量。对上式进行拉氏变换得：变换得：变换得：变换得：惯性环节的微分方程是惯性环节的微分方程是惯性环节的微分方程是惯性环节的微分方程是式中，式中，式中，式中，K K为放大系数；为放大系数；为放大系数；为放大系数；T T 为时间常数。为时间常数。为时间常数。为时间常数。例例例例 如图如图如图如图2-122-12所示的所示的所示的所示的RCRC电路，当输入电压电路，当输入电压电路，当输入电压电路，当输入电压u ui i(t t)输输输输出电压出电压出电压出电压u uo o(t t)，i i为电流，为电流，为电流，为电流，R R为电阻，为电阻，为电阻，为电阻，C C为电容，通为电容，通为电容，通为电容，通过列写该电路的微分方程，进而通过拉氏变换求过列写该电路的微分方程，进而通过拉氏变换求过列写该电路的微分方程，进而通过拉氏变换求过列写该电路的微分方程，进而通过拉氏变换求得输出对输入的传递函数。得输出对输入的传递函数。得输出对输入的传递函数。得输出对输入的传递函数。图图图图2-122-12 RCRC电路电路电路电路解：按基尔霍夫定律建立回路电压方程式得到解：按基尔霍夫定律建立回路电压方程式得到解：按基尔霍夫定律建立回路电压方程式得到解：按基尔霍夫定律建立回路电压方程式得到 ：通过拉氏变换，求得电路的传递函数为通过拉氏变换，求得电路的传递函数为通过拉氏变换，求得电路的传递函数为通过拉氏变换，求得电路的传递函数为 式中式中式中式中 T T=RCRC为该电路的时间常数为该电路的时间常数为该电路的时间常数为该电路的时间常数例例例例 设有一个液压缸如图设有一个液压缸如图设有一个液压缸如图设有一个液压缸如图2-132-13 所示，它带动具有弹所示，它带动具有弹所示，它带动具有弹所示，它带动具有弹性系数为性系数为性系数为性系数为k k的弹性负载和阻尼系数为的弹性负载和阻尼系数为的弹性负载和阻尼系数为的弹性负载和阻尼系数为B Bc c的阻尼负载。的阻尼负载。的阻尼负载。的阻尼负载。试求以压力试求以压力试求以压力试求以压力p p为输入量，与以活塞位移为输入量，与以活塞位移为输入量，与以活塞位移为输入量，与以活塞位移x x为输出量为输出量为输出量为输出量的传递函数。的传递函数。的传递函数。的传递函数。图图图图2-132-13油缸负载系统油缸负载系统油缸负载系统油缸负载系统 解：液压缸的作用力解：液压缸的作用力解：液压缸的作用力解：液压缸的作用力F F 式中式中式中式中p p进油压力进油压力进油压力进油压力 A A液压缸工作面积液压缸工作面积液压缸工作面积液压缸工作面积 该力用于克服阻尼负载和弹性负载，即该力用于克服阻尼负载和弹性负载，即该力用于克服阻尼负载和弹性负载，即该力用于克服阻尼负载和弹性负载，即 式中式中式中式中x x 液压缸输出位移液压缸输出位移液压缸输出位移液压缸输出位移 B Bc c阻尼系数阻尼系数阻尼系数阻尼系数 K K 弹簧刚度弹簧刚度弹簧刚度弹簧刚度 合并以上两式，得液压缸的运动方程式：合并以上两式，得液压缸的运动方程式：合并以上两式，得液压缸的运动方程式：合并以上两式，得液压缸的运动方程式：传递函数为传递函数为传递函数为传递函数为 式中式中式中式中 3.微分环节微分环节 一阶微分环节一阶微分环节 理想微分环节理想微分环节二阶微分环节二阶微分环节二阶微分环节二阶微分环节式中，式中，式中，式中，T T为常数；为常数；为常数；为常数；为阻尼比。为阻尼比。为阻尼比。为阻尼比。对应于上面微分方程式的传递函数分别为对应于上面微分方程式的传递函数分别为 理想微分环节理想微分环节 一阶微分环节一阶微分环节 二阶微分环节二阶微分环节二阶微分环节二阶微分环节其中，若其中，若其中，若其中，若 具有实根时，具有实根时，具有实根时，具有实根时，二阶微分环节，实际上是两个一阶微分环节的串二阶微分环节，实际上是两个一阶微分环节的串二阶微分环节，实际上是两个一阶微分环节的串二阶微分环节，实际上是两个一阶微分环节的串联。联。联。联。例例 图示的电气环节，输入电压图示的电气环节，输入电压ui(t),输出电压为输出电压为uo(t)，试写出其传递函数。试写出其传递函数。解：按基尔霍夫定律建立回路解：按基尔霍夫定律建立回路解：按基尔霍夫定律建立回路解：按基尔霍夫定律建立回路电压方程式得到电压方程式得到电压方程式得到电压方程式得到 经拉氏变换后，整理，可经拉氏变换后，整理，可得传递函数为得传递函数为 式中式中式中式中 如果如果RC很小，传递函数可以近似写成很小，传递函数可以近似写成G(s)=Ts。可以。可以把该把该RC电路看成理想微分环节。电路看成理想微分环节。4.积分环节积分环节 积分环节的微分方程为积分环节的微分方程为积分环节的微分方程为积分环节的微分方程为 传递函数为传递函数为 具有上式传递函数的环节，称为具有上式传递函数的环节，称为具有上式传递函数的环节，称为具有上式传递函数的环节，称为积分环节积分环节积分环节积分环节。式中式中式中式中 T T积分时间常数。积分时间常数。积分时间常数。积分时间常数。例例 如图所示的油缸，其输入为流量如图所示的油缸，其输入为流量q，输出为油缸，输出为油缸活塞的位移活塞的位移x，试写出其传递函数。，试写出其传递函数。液压积分环节液压积分环节液压积分环节液压积分环节 解：活塞的速度为解：活塞的速度为解：活塞的速度为解：活塞的速度为 所以位移所以位移所以位移所以位移 式中式中式中式中A A活塞的面积活塞的面积活塞的面积活塞的面积 对上式取拉氏变换，并整对上式取拉氏变换，并整对上式取拉氏变换，并整对上式取拉氏变换，并整理，则得其传递函数为理，则得其传递函数为理，则得其传递函数为理，则得其传递函数为 ：注意：注意：注意：注意：位移对流量来说是积分环节，而速度对流量来位移对流量来说是积分环节，而速度对流量来位移对流量来说是积分环节，而速度对流量来位移对流量来说是积分环节，而速度对流量来说，则是一个比例环节。因此对一个具体的物理系统说，则是一个比例环节。因此对一个具体的物理系统说，则是一个比例环节。因此对一个具体的物理系统说，则是一个比例环节。因此对一个具体的物理系统而言，究竟是属于那一个环节，要看确定出而言，究竟是属于那一个环节，要看确定出而言，究竟是属于那一个环节，要看确定出而言，究竟是属于那一个环节，要看确定出输入量与输入量与输入量与输入量与输出量输出量输出量输出量后的传递函数而定。后的传递函数而定。后的传递函数而定。后的传递函数而定。例例 如图所示的无源网络，输入量为回路电流如图所示的无源网络，输入量为回路电流i,而输而输出量为出量为uc，试写出其传递函数。，试写出其传递函数。电气积分环节电气积分环节电气积分环节电气积分环节 解：电容器充电电流解：电容器充电电流解：电容器充电电流解：电容器充电电流i i与电容器两端的电压与电容器两端的电压与电容器两端的电压与电容器两端的电压u uc c关系为关系为关系为关系为 进行拉氏变换得进行拉氏变换得进行拉氏变换得进行拉氏变换得传递函传递函传递函传递函数为数为数为数为 5.振荡环节振荡环节 其微分方程式为其微分方程式为传递函数为传递函数为 在图在图2-1a所示的机械系统可以看作这种环节。所示的机械系统可以看作这种环节。对于平移机械系统，微分方程式为：对于平移机械系统，微分方程式为：其传递函数为其传递函数为其传递函数为其传递函数为 6.延迟环节延迟环节输出与输入关系具有延迟关系的环节，称为延输出与输入关系具有延迟关系的环节，称为延迟环节。该环节的输出滞后输入时间迟环节。该环节的输出滞后输入时间 后不失后不失真地复现输入，如图真地复现输入，如图2-10所示，其所示，其微分方程为微分方程为 传递函数为传递函数为传递函数为传递函数为 常见的机、电、液典型环节见附录常见的机、电、液典型环节见附录常见的机、电、液典型环节见附录常见的机、电、液典型环节见附录A A；机械网；机械网；机械网；机械网络及其络及其络及其络及其传递函数见附录传递函数见附录传递函数见附录传递函数见附录B B实际上，任何线性系统都可由实际上，任何线性系统都可由实际上，任何线性系统都可由实际上，任何线性系统都可由8 8种（或其中若干种）种（或其中若干种）种（或其中若干种）种（或其中若干种）典型环节构成，这典型环节构成，这典型环节构成，这典型环节构成，这8 8种典型环节的传递函数如下：种典型环节的传递函数如下：种典型环节的传递函数如下：种典型环节的传递函数如下：1 1、放大环节（或比例环节）、放大环节（或比例环节）、放大环节（或比例环节）、放大环节（或比例环节）2 2、理想微分环节、理想微分环节、理想微分环节、理想微分环节3 3、一阶微分环节、一阶微分环节、一阶微分环节、一阶微分环节4 4、二阶微分环节、二阶微分环节、二阶微分环节、二阶微分环节5 5、积分环节、积分环节、积分环节、积分环节6 6、惯性环节、惯性环节、惯性环节、惯性环节7 7、振荡环节、振荡环节、振荡环节、振荡环节8 8、延迟环节、延迟环节、延迟环节、延迟环节第四节第四节 系统框图及其简化系统框图及其简化 框图是系统中各个元件功能和信号流向的图解表示。框图是系统中各个元件功能和信号流向的图解表示。框图是系统中各个元件功能和信号流向的图解表示。框图是系统中各个元件功能和信号流向的图解表示。用框图表示系统的优点用框图表示系统的优点用框图表示系统的优点用框图表示系统的优点:1.1.只要依据信号的流向，将各环节的框图连接起来，只要依据信号的流向，将各环节的框图连接起来，只要依据信号的流向，将各环节的框图连接起来，只要依据信号的流向，将各环节的框图连接起来，就能容易地构成整个系统；就能容易地构成整个系统；就能容易地构成整个系统；就能容易地构成整个系统；2.2.通过框图可以评价每一个环节对系统性能的影响，通过框图可以评价每一个环节对系统性能的影响，通过框图可以评价每一个环节对系统性能的影响，通过框图可以评价每一个环节对系统性能的影响，便于对系统进行分析和研究。便于对系统进行分析和研究。便于对系统进行分析和研究。便于对系统进行分析和研究。框图和传递函数表达式一样包含了与系统动态性能框图和传递函数表达式一样包含了与系统动态性能框图和传递函数表达式一样包含了与系统动态性能框图和传递函数表达式一样包含了与系统动态性能有关的信息，但和系统的物理结构无关。因此，有关的信息，但和系统的物理结构无关。因此，有关的信息，但和系统的物理结构无关。因此，有关的信息，但和系统的物理结构无关。因此，不不不不同的物理系统，可以用同一框图表示同的物理系统，可以用同一框图表示同的物理系统，可以用同一框图表示同的物理系统，可以用同一框图表示；另外，由于；另外，由于；另外，由于；另外，由于分析角度的不同，对于同一系统，可以画出许多不分析角度的不同，对于同一系统，可以画出许多不分析角度的不同，对于同一系统，可以画出许多不分析角度的不同，对于同一系统，可以画出许多不同的框图。同的框图。同的框图。同的框图。结构框图结构框图将系统中各元件的将系统中各元件的名称或功用名称或功用写在写在框框图单元图单元中，并标明它们之间的连接顺序和信号流向，中，并标明它们之间的连接顺序和信号流向，主要用来说明系统构成和工作原理。主要用来说明系统构成和工作原理。函数框图函数框图把元件或环节的传递函数写在框图单元内，把元件或环节的传递函数写在框图单元内，并用表明信号传递方向的箭头将这些框图并用表明信号传递方向的箭头将这些框图单元连接起来，主要用来说明环节特性、单元连接起来，主要用来说明环节特性、信号流向及变量关系，便于分析系统。信号流向及变量关系，便于分析系统。一一.框图单元、比较点和引出点框图单元、比较点和引出点 1.框图单元框图单元如图如图2-14所示，图中指向框图单元的箭头表所示，图中指向框图单元的箭头表示输入，从框图出来的箭头表示输出，箭示输入，从框图出来的箭头表示输出，箭头上标明了相应的信号，头上标明了相应的信号，G(s)表示其传递函表示其传递函数。数。2.比较点比较点(相加点相加点)如图如图2-15 所示，比较点代表两个或两个以上的所示，比较点代表两个或两个以上的输入信号进行相加或相减的元件，或称比较器。输入信号进行相加或相减的元件，或称比较器。箭头上的箭头上的“+”或或“-”表示信号相加还是相减，表示信号相加还是相减，相加减的量应具有相同的量纲。相加减的量应具有相同的量纲。图图2-15比较点比较点 3.引出点引出点(分支点分支点)如图如图 2-16所示，分支点表示信号引出和测量所示，分支点表示信号引出和测量的位置，同一位置引出的几个信号，在大小的位置，同一位置引出的几个信号，在大小和性质上完全一样。和性质上完全一样。图图2-16引出点引出点 二、系统构成方式及运算法则二、系统构成方式及运算法则1.1.串联连接串联连接串联连接串联连接 各环节一个个顺序连接称为串联，如图各环节一个个顺序连接称为串联，如图各环节一个个顺序连接称为串联，如图各环节一个个顺序连接称为串联，如图2-172-17所示。所示。所示。所示。前一框图的输出为后一框图的输入。前一框图的输出为后一框图的输入。前一框图的输出为后一框图的输入。前一框图的输出为后一框图的输入。G G1 1(s s)、G G2 2(s s)为为为为各个环节的传递函数，综合后总的传递函数为：各个环节的传递函数，综合后总的传递函数为：各个环节的传递函数，综合后总的传递函数为：各个环节的传递函数，综合后总的传递函数为：由串联环节所构成的系统，当前后方框之由串联环节所构成的系统，当前后方框之间无负载效应时，它的总传递函数等于个间无负载效应时，它的总传递函数等于个环节传递函数的乘积。环节传递函数的乘积。当系统由当系统由n个环节串联而成时，总传递函个环节串联而成时，总传递函数为：数为：（2-55）式中式中Gi(s)第第i个串联环节的传递函数个串联环节的传递函数(i=1，2，n)2.并联连接并联连接 凡有几个环节的输入相同，输出凡有几个环节的输入相同，输出凡有几个环节的输入相同，输出凡有几个环节的输入相同，输出相加或相减的连接形式称为并联。图相加或相减的连接形式称为并联。图相加或相减的连接形式称为并联。图相加或相减的连接形式称为并联。图2-182-18为两个为两个为两个为两个环节的并联，共同的输入为环节的并联，共同的输入为环节的并联，共同的输入为环节的并联，共同的输入为X X(s s)，总输出为，总输出为，总输出为，总输出为:总的传递函数为总的传递函数为总的传递函数为总的传递函数为 并联环节所构成的总传递函数，等于各个并联环节所构成的总传递函数，等于各个并联环节传递函数之和（或差）。并联环节传递函数之和（或差）。推广到推广到n个环节并联，其总的传递函数等于个环节并联，其总的传递函数等于各并联环节传递函数的代数和，即各并联环节传递函数的代数和，即 （2-56）式中式中Gi(s)第第i个并联环节的传递函数个并联环节的传递函数(i=1，2，n)3.3.反馈连接反馈连接反馈连接反馈连接 将系统或某一环节的输出量，全部或部分地通过将系统或某一环节的输出量，全部或部分地通过将系统或某一环节的输出量，全部或部分地通过将系统或某一环节的输出量，全部或部分地通过反馈回路回馈到输入端，又重新输入到系统中去。反馈回路回馈到输入端，又重新输入到系统中去。反馈回路回馈到输入端，又重新输入到系统中去。反馈回路回馈到输入端，又重新输入到系统中去。反馈信号与输入信号相加的称为反馈信号与输入信号相加的称为反馈信号与输入信号相加的称为反馈信号与输入信号相加的称为“正反馈正反馈正反馈正反馈”，与，与，与，与输入信号相减的称为输入信号相减的称为输入信号相减的称为输入信号相减的称为“负反馈负反馈负反馈负反馈”。由图可见：由图可见：由图可见：由图可见：（2-572-57）（2-582-58）将将(2-58)式代入式代入(2-57)式，经整理后，式，经整理后，可得传递函数为：可得传递函数为：（2-59）（2-59）式中，传递函数分母的）式中，传递函数分母的“+”号号对应于负反馈情况，而对应于负反馈情况，而“-”号对应于正反号对应于正反馈情况。馈情况。前向通路：前向通路：前向通路：前向通路：信信信信号号号号沿沿沿沿箭箭箭箭头头头头方方方方向向向向从从从从输输输输入入入入直直直直到到到到输输输输出出出出，并并并并且且且且每每每每一一一一路路路路径径径径不要重复的通道。不要重复的通道。不要重复的通道。不要重复的通道。前向通路传递函数：前向通路传递函数：前向通路传递函数：前向通路传递函数：在在在在前前前前向向向向通通通通路路路路中中中中，所所所所有有有有经经经经过过过过的的的的环环环环节节节节的的的的乘乘乘乘积积积积。可可可可由由由由下下下下式计算：式计算：式计算：式计算：（2-60）反馈回路传递函数：反馈回路传递函数：H(s)称为反馈回路传递函数，它是信号沿着输出端称为反馈回路传递函数，它是信号沿着输出端进入，而回到输入端时所有经过的环节乘积，即进入，而回到输入端时所有经过的环节乘积，即（2-61）常用的几个术语常用的几个术语开环传递函数：开环传递函数：G(s)H(s)称为系统的开环传递函数，可表示为称为系统的开环传递函数，可表示为（2-62）注意注意：开环传递函数开环传递函数和和开环系统传递函数开环系统传递函数是不是不一样的。将（一样的。将（2-60）、（）、（2-62）代入（）代入（2-59）式）式中，则系统的闭环传递函数为中，则系统的闭环传递函数为：（2-63）当当H(s)=1时，我们将系统称为时，我们将系统称为单位反馈系统单位反馈系统或或全全反馈系统反馈系统。可以对输入量与干扰量单独地进行处理，然后再可以对输入量与干扰量单独地进行处理，然后再可以对输入量与干扰量单独地进行处理，然后再可以对输入量与干扰量单独地进行处理，然后再叠加，就可以得到总的输出叠加，就可以得到总的输出叠加，就可以得到总的输出叠加，就可以得到总的输出Y Y(s s)。同时存在输入量同时存在输入量X(s)与干扰量与干扰量N(s)时的系统时的系统在输入量在输入量X(s)的作用下可把干扰量的作用下可把干扰量N(s)看作为零，看作为零，系统的输出为系统的输出为YR(s)，则，则 (2-64)(2-64)在干扰量在干扰量N(s)作用下作用下可把输入量可把输入量X(s)看作为零看作为零，系统的输出为系统的输出为YN(s)，则，则 （2-65）在（在（2-64）式中，）式中，称称GR(s)为输出量对输入量的传为输出量对输入量的传递函数递函数，即，即 在（在（在（在（2-652-65）式中，）式中，）式中，）式中，称称称称GN(s)为输出量对干扰量的传为输出量对干扰量的传为输出量对干扰量的传为输出量对干扰量的传递函数递函数递函数递函数，即，即，即，即 系统总的输出量系统总的输出量系统总的输出量系统总的输出量 三、绘制系统框图的方法三、绘制系统框图的方法 1、列出描述系统各个环节的运动方程式，明确信、列出描述系统各个环节的运动方程式，明确信号的因果关系（输入号的因果关系（输入/输出）；输出）；2、假定初始条件等于零，对方程式进行拉氏变换，、假定初始条件等于零，对方程式进行拉氏变换，求出环节的传递函数，并将它们分别以方块的形求出环节的传递函数，并将它们分别以方块的形式表示出来；式表示出来；3、按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将、按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件的方框图连接起来，得到系统的方框图。各部件的方框图连接起来，得到系统的方框图。例例 绘制图示的二阶绘制图示的二阶RC回路的框图。回路的框图。解：首先列出系统原始方程解：首先列出系统原始方程 求出与上述方程式相对应的拉氏变换式求出与上述方程式相对应的拉氏变换式 例：绘制图示机械系统的框图。设作用力例：绘制图示机械系统的框图。设作用力fi(t)、位、位移移x(t)分别为系统的输入量、输出量。分别为系统的输入量、输出量。解：解：拉氏变换得拉氏变换得四、框图的变换法则四、框图的变换法则 系统可以由多个典型环节以不同方式系统可以由多个典型环节以不同方式联接，通常采用框图的变换法则将其联接，通常采用框图的变换法则将其变换成最基本的联接方式，最后可以变换成最基本的联接方式，最后可以轻而易举地得到系统的传递函数。轻而易举地得到系统的传递函数。序序序序号号号号原框图原框图原框图原框图等效框图等效框图等效框图等效框图说明说明说明说明1 1加法交加法交加法交加法交换律换律换律换律2 2加法结加法结加法结加法结合律合律合律合律3 3乘法交乘法交乘法交乘法交换律换律换律换律4 4乘法结乘法结乘法结乘法结合律合律合律合律表表2-3 框图变换法则框图变换法则序序序序号号号号原框图原框图原框图原框图等效框图等效框图等效框图等效框图说明说明说明说明5 5并联环并联环并联环并联环节简化节简化节简化节简化6 6相加点相加点相加点相加点前移前移前移前移7 7相加点相加点相加点相加点后移后移后移后移8 8分枝点分枝点分枝点分枝点前移前移前移前移序序序序号号号号原框图原框图原框图原框图等效框图等效框图等效框图等效框图说明说明说明说明9 9分枝点分枝点分枝点分枝点后移后移后移后移1010分枝点分枝点分枝点分枝点前移越前移越前移越前移越过比较过比较过比较过比较点点点点1111分枝点分枝点分枝点分枝点后移越后移越后移越后移越过比较过比较过比较过比较点点点点等效等效等效等效是这一框图与原框图不管内部联接如何变化，是这一框图与原框图不管内部联接如何变化，是这一框图与原框图不管内部联接如何变化，是这一框图与原框图不管内部联接如何变化，但从但从但从但从进入到框图的输入信号以及输出信号进入到框图的输入信号以及输出信号进入到框图的输入信号以及输出信号进入到框图的输入信号以及输出信号来看，来看，来看，来看，这些量都是不变的。这些量都是不变的。这些量都是不变的。这些量都是不变的。结论：结论：结论：结论：1 1、分支点可以互换；、分支点可以互换；、分支点可以互换；、分支点可以互换；2、相加点可以互换；、相加点可以互换；3、分支点可以前移或后移，但移动之后，需在、分支点可以前移或后移，但移动之后，需在此回路中乘或除以所跨接的传递函数；此回路中乘或除以所跨接的传递函数；4、相加点可以前移或后移，但移动之后，需在相加点可以前移或后移，但移动之后，需在此回路中除或乘以所跨接的传递函数；此回路中除或乘以所跨接的传递函数；注意：注意：注意：注意：前移是迎着信号输入方向移动；后移是顺前移是迎着信号输入方向移动；后移是顺前移是迎着信号输入方向移动；后移是顺前移是迎着信号输入方向移动；后移是顺着信号输出方向移动。着信号输出方向移动。着信号输出方向移动。着信号输出方向移动。五、系统传递函数的求法五、系统传递函数的求法 一个系统，只要可以画出框图联接方式，然后应用一个系统，只要可以画出框图联接方式，然后应用一个系统，只要可以画出框图联接方式，然后应用一个系统，只要可以画出框图联接方式，然后应用变换法则与基本连接公式，就很容易求得系统的传变换法则与基本连接公式，就很容易求得系统的传变换法则与基本连接公式，就很容易求得系统的传变换法则与基本连接公式，就很容易求得系统的传递函数。递函数。递函数。递函数。例例例例2-152-15试简化试简化试简化试简化如图如图如图如图2-20a2-20a所示系统的框图，并求系所示系统的框图，并求系所示系统的框图，并求系所示系统的框图，并求系统传递函数。统传递函数。统传递函数。统传递函数。解：解：1、A点后移，得到图点后移，得到图2-20b所示的方框图。所示的方框图。2、消去回路、消去回路，得到图，得到图2-20c所示的方框图。所示的方框图。3、消去回路、消去回路，得到图，得到图2-20d所示的方框图。所示的方框图。4、消去回路、消去回路，得到图，得到图2-20e所示的方框图。所示的方框图。所以所以例例例例 求出如图求出如图求出如图求出如图2-212-21所示框图的传递函数。所示框图的传递函数。所示框图的传递函数。所示框图的传递函数。图图图图2-21 2-21 a)解：解：1、图图2-21(a)的分支点的分支点A后移到分支点后移到分支点B处，因而得处，因而得到图到图2-23(b)所示的方框图。它包括三个回路，分别所示的方框图。它包括三个回路，分别以以、标明。标明。图图图图2-21 2-21 b)2、第、第回路的传递函数为：回路的传递函数为：以以F3(s)代替第代替第回路，从而得到图回路，从而得到图 2-21(c)图图图图2-21 2-21 c)3、第第回路的传递函数为：回路的传递函数为：以以F2(s)代替第代替第回路，从而得到图回路，从而得到图2-21(d)图图图图2-21 2-21 d)4、最后，得到系统的传递函数为、最后，得到系统的传递函数为 可以将其表示在图可以将其表示在图 2-21（e）的框图中。的框图中。图图 2-21（e）第七节第七节 信号流程图及梅逊公式信号流程图及梅逊公式 n 当系统很复杂时，框图的简化过程就显当系统很复杂时，框图的简化过程就显得很复杂。得很复杂。n 信号流程图是另一种分析复杂系统的有信号流程图是另一种分析复杂系统的有用工具，它可以不需要经过任何简化，直用工具，它可以不需要经过任何简化，直接采用梅逊公式求出系统的传递函数。接采用梅逊公式求出系统的传递函数。一、信号流程图及术语一、信号流程图及术语 二、信号代数运算法则二、信号代数运算法则三、系统信号流程图的画法三、系统信号流程图的画法 图图2-22（a）的框图可表示成图的框图可表示成图2-22(b)的的信号流程图。信号流程图。图图图图2-222-22框图与信号流程图框图与信号流程图框图与信号流程图框图与信号流程图 信号流程图中的输入节点表明框图的输入信号流程图中的输入节点表明框图的输入信号信号X(s)，输出节点表示了输出信号，输出节点表示了输出信号Y(s),支路的传输表示了传递函数。支路的传输表示了传递函数。反馈回路的框图与信号流程图的对应关系反馈回路的框图与信号流程图的对应关系 n 信号流程图中的信号流程图中的信号流程图中的信号流程图中的E E(s s)点为只有一个输出支路的混点为只有一个输出支路的混点为只有一个输出支路的混点为只有一个输出支路的混合节点，它对应于框图中的相加点合节点，它对应于框图中的相加点合节点，它对应于框图中的相加点合节点，它对应于框图中的相加点A A。n 信号流程图中的混合节点信号流程图中的混合节点信号流程图中的混合节点信号流程图中的混合节点Y Y(s s)对应于框图中的分对应于框图中的分对应于框图中的分对应于框图中的分支点支点支点支点B B。n 反馈回路中的传递函数反馈回路中的传递函数反馈回路中的传递函数反馈回路中的传递函数HH(s s)可用信号流程图中的可用信号流程图中的可用信号流程图中的可用信号流程图中的Y Y(s s)节点到节点到节点到节点到E E(s s)节点的传输表示，如为负反馈，传节点的传输表示，如为负反馈，传节点的传输表示，如为负反馈，传节点的传输表示，如为负反馈，传输前加输前加输前加输前加“”号。号。号。号。例试将图例试将图例试将图例试将图2-232-23的框图化为信号流程图。的框图化为信号流程图。的框图化为信号流程图。的框图化为信号流程图。图图图图2-23 2-23 框图框图框图框图图图图图2-24 2-24 信号流程图信号流程图信号流程图信号流程图解：图解：图解：图解：图2-232-23框图可化为图框图可化为图框图可化为图框图可化为图2-242-24的信号流程图。的信号流程图。的信号流程图。的信号流程图。例试将图例试将图例试将图例试将图2-252-25的框图化为信号流程图。的框图化为信号流程图。的框图化为信号流程图。的框图化为信号流程图。图图图图2-25 2-25 框图框图框图框图解：图解：图解：图解：图2-252-25框图可化为图框图可化为图框图可化为图框图可化为图2-262-26的信号流程图。的信号流程图。的信号流程图。的信号流程图。图图图图2-26 2-26 信号流程图信号流程图信号流程图信号流程图四、梅逊公式四、梅逊公式 在信号流程图上，利用梅逊公式可以直接计算出在信号流程图上，利用梅逊公式可以直接计算出在信号流程图上，利用梅逊公式可以直接计算出在信号流程图上，利用梅逊公式可以直接计算出来系统的传递函数。来系统的传递函数。来系统的传递函数。来系统的传递函数。梅逊公式可表示为：梅逊公式可表示为：梅逊公式可表示为：梅逊公式可表示为：（2-66）式中：式中：PK-第第K条前向通路的通路传递函数；条前向通路的通路传递函数；-信号流程图的特征式，可由下式计算信号流程图的特征式，可由下式计算（2-67）上上式中式中:为所有不同回路的传递函数之和；为所有不同回路的传递函数之和；:为每两个互不接触回路传递函数乘为每两个互不接触回路传递函数乘积之和；积之和；:为每三个互不接触回路传递函数为每三个互不接触回路传递函数乘积之和；乘积之和；K:第第K条前向通路特征式的余因式，其值条前向通路特征式的余因式，其值是除去与第是除去与第K条前向通路相接触回路传递函条前向通路相接触回路传递函数以后的数以后的 值。值。例例 试求出图试求出图2-24信号流程图表示的系统传递函数。信号流程图表示的系统传递函数。解：此例中仅有一条前向通路解：此例中仅有一条前向通路P1，三条反馈回路分别，三条反馈回路分别为为L1，L2及及L3，且，且L1及及L2互不接触（即为独立回路）互不接触（即为独立回路）所以所以所以所以 ：因为因为因为因为L L1 1，L L2 2及及及及L L3 3都同前向通路都同前向通路都同前向通路都同前向通路P P1 1相接触相接触相接触相接触 最后可求得系统的传递函数为：最后可求得系统的传递函数为：最后可求得系统的传递函数为：最后可求得系统的传递函数为：例例 试求出图试求出图2-27信号流程图所示系统的信号流程图所示系统的传递函数。传递函数。图图2-27 信号流程图信号流程图解：此例有三条前向通路，分别为解：此例有三条前向通路，分别为解：此例有三条前向通路，分别为解：此例有三条前向通路，分别为P P1 1，P P2 2与与与与P P3 3，还，还，还，还有四条反馈回路有四条反馈回路有四条反馈回路有四条反馈回路L L1 1，L L2 2，L L3 3与与与与L L4 4且且且且L L1 1与与与与L L2 2不接触。不接触。不接触。不接触。所以：所以：所以：所以：（全部回路都与（全部回路都与P1接触）接触）（全部回路都与（全部回路都与P2接触）接触）最后可以求出系统的传递函数：最后可以求出系统的传递函数：最后可以求出系统的传递函数：最后可以求出系统的传递函数：(L1与与P3不接触不接触)例例例例 利用梅逊公式求如图所示系统的传递函数。利用梅逊公式求如图所示系统的传递函数。利用梅逊公式求如图所示系统的传递函数。利用梅逊公式求如图所示系统的传递函数。图图图图2-282-28解：本系统只有一条向前通道，其传递函数为：解：本系统只有一条向前通道，其传递函数为：解：本系统只有一条向前通道，其传递函数为：解：本系统只有一条向前通道，其传递函数为：系统有五个反馈回路，其传递函数都是系统有五个反馈回路，其传递函数都是系统有五个反馈回路，其传递函数都是系统有五个反馈回路，其传递函数都是故：故：故：故：5 5个反馈回路之中，有个反馈回路之中，有个反馈回路之中，有个反馈回路之中，有6 6对彼此不接触的回路。这对彼此不接触的回路。这对彼此不接触的回路。这对彼此不接触的回路。这6 6对回路是：回路对回路是：回路对回路是：回路对回路是：回路1 1与与与与2 2；回路；回路；回路；回路2 2与与与与3 3；回路；回路；回路；回路1 1与与与与3 3；回路；回路；回路；回路3 3与与与与4 4回路回路回路回路1 1于于于于5 5和回路和回路和回路和回路4 4与与与与5 5。这。这。这。这6 6对彼此不接触的回对彼此不接触的回对彼此不接触的回对彼此不接触的回路，每对回路的传递函数之积都是：路，每对回路的传递函数之积都是：路，每对回路的传递函数之积都是：路，每对回路的传递函数之积都是：故：故：故：故：这五个反馈回路中，只有一组三个互不接触的回这五个反馈回路中，只有一组三个互不接触的回这五个反馈回路中，只有一组三个互不接触的回这五个反馈回路中，只有一组三个互不接触的回路。他们是回路路。他们是回路路。他们是回路路。他们是回路1 1、2 2、和、和、和、和3 3。故：。故：。故：。故：又又又又5 5个反馈回路都和向前通道接触，故：个反馈回路都和向前通道接触，故：个反馈回路都和向前通道接触，故：个反馈回路都和向前通道接触，故：利用公式可以求得系统的传递函数如下：利用公式可以求得系统的传递函数如下：利用公式可以求得系统的传递函数如下：利用公式可以求得系统的传递函数如下：5 5个反馈回路中，不存在四个以上互不接触的回个反馈回路中，不存在四个以上互不接触的回个反馈回路中，不存在四个以上互不接触的回个反馈回路中，不存在四个以上互不接触的回路。故特征式为：路。故特征式为：路。故特征式为：路。故特征式为：本章要解决的问题：本章要解决的问题：1 1怎样抽象一个具体自动控制系统怎样抽象一个具体自动控制系统怎样抽象一个具体自动控制系统怎样抽象一个具体自动控制系统;2 2基本数学工具（拉氏变换）基本数学工具（拉氏变换）基本数学工具（拉氏变换）基本数学工具（拉氏变换）;3 3数学模型的形式（经典的有三种：微分方数学模型的形式（经典的有三种：微分方数学模型的形式（经典的有三种：微分方数学模型的形式（经典的有三种：微分方程、传递函数、方框图）及其联系。程、传递函数、方框图）及其联系。程、传递函数、方框图）及其联系。程、传递函数、方框图）及其联系。本章内容：本章内容：1.1.掌握建立线性系统微分方程方法掌握建立线性系统微分方程方法掌握建立线性系统微分方程方法掌握建立线性系统微分方程方法2.2.掌握非线性系统的线性化基本原理掌握非线性系统的线性化基本原理掌握非线性系统的线性化基本原理掌握非线性系统的线性化基本原理3.3.掌握拉氏变换的概念掌握拉氏变换的概念掌握拉氏变换的概念掌握拉氏变换的概念4.4.掌握拉氏变换的基本性质掌握拉氏变换的基本性质掌握拉氏变换的基本性质掌握拉氏变换的基本性质5.5.掌握拉氏变换的方法掌握拉氏变换的方法掌握拉氏变换的方法掌握拉氏变换的方法6.6.掌握拉氏反变换的方法掌握拉氏反变换的方法掌握拉氏反变换的方法掌握拉氏反变换的方法7.7.掌握用拉氏变换及反变换解常系数线性微分掌握用拉氏变换及反变换解常系数线性微分掌握用拉氏变换及反变换解常系数线性微分掌握用拉氏变换及反变换解常系数线性微分方程方程方程方程8.8.掌握传递函数的基本概念掌握传递函数的基本概念掌握传递函数的基本概念掌握传递函数的基本概念9.9.掌握基本环节传递函数的计算方法掌握基本环节传递函数的计算方法掌握基本环节传递函数的计算方法掌握基本环节传递函数的计算方法10.10.掌握方框图的概念、建立及其等效变换方法掌握方框图的概念、建立及其等效变换方法掌握方框图的概念、建立及其等效变换方法掌握方框图的概念、建立及其等效变换方法本章重点本章重点1.数学模型的概念及其重要性；数学模型的概念及其重要性；数学模型的概念及其重要性；数学模型的概念及其重要性；2.系统数学模型的建立方法；系统数学模型的建立方法；系统数学模型的建立方法；系统数学模型的建立方法；3.拉普拉斯变换和反变换；拉普拉斯变换和反变换；拉普拉斯变换和反变换；拉普拉斯变换和反变换；4.传递函数、动态结构图及其等效变换；传递函数、动态结构图及其等效变换；传递函数、动态结构图及其等效变换；传递函数、动态结构图及其等效变换；5.同一系统数学模型的多样性及相互变换。同一系统数学模型的多样性及相互变换。同一系统数学模型的多样性及相互变换。同一系统数学模型的多样性及相互变换。本章难点本章难点1.1.控制系统微分方程的建立；控制系统微分方程的建立；控制系统微分方程的建立；控制系统微分方程的建立；2.2.传递函数的概念；传递函数的概念；传递函数的概念；传递函数的概念；3.3.结构图等效变换的正确运用结构图等效变换的正确运用结构图等效变换的正确运用结构图等效变换的正确运用4.4.用梅逊公式求系统的传递函数用梅逊公式求系统的传递函数用梅逊公式求系统的传递函数用梅逊公式求系统的传递函数。