角的平分线的性质课件

角平分线的性质角平分线的性质角平分线的性质1复习提问复习提问1 1、角平分线的概念、角平分线的概念一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。oBCA12复习提问1、角平分线的概念一条射线把一个角分成两个相等的角，2复习提问复习提问 2 2、点到直线距离、点到直线距离:从直线外一点从直线外一点到这条直线的到这条直线的垂线段垂线段的的长度长度，叫做叫做点到直线的距离。点到直线的距离。OPAB我的我的长度长度复习提问 2、点到直线距离:从直线外一点到这条直线的垂线3 如图如图,是一个平分角的仪器是一个平分角的仪器,其中其中AB=AD,BC=DC.将点将点A放在角的顶点放在角的顶点,AB和和AD沿着角的两边放下沿着角的两边放下,沿沿AC画一条画一条射线射线AE,AE就是角平分线就是角平分线.你能说明它的道理吗你能说明它的道理吗?CADB你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗?E角的平分线的作法角的平分线的作法证明：证明：在在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知）DC=BC（已知）（已知）CA=CA（公共边）（公共边）ACD ACB（SSS）CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 对应边相等）对应边相等）AC平分平分DAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点4尺尺规作角的平分作角的平分线观观察察察察领领悟作法，探索思考悟作法，探索思考悟作法，探索思考悟作法，探索思考证证明方法：明方法：明方法：明方法：A A画法：画法：以为圆心，适当以为圆心，适当长为半径作弧，交于，长为半径作弧，交于，交于交于分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 1/2 的长的长为半径作弧两弧在为半径作弧两弧在的内部交于的内部交于作射线作射线射线即为所求射线即为所求尺规作角的平分线观察领悟作法，探索思考证明方法：A5A A为什么为什么OCOC是角平分线呢？是角平分线呢？想一想：想一想：已知：已知：OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC。求证：求证：OCOC平分平分AOBAOB。证明证明：在：在OMCOMC和和ONCONC中，中，OM=ON OM=ON，MC=NC MC=NC，OC=OC OC=OC，OMC ONC OMC ONC（SSSSSS）MOC=NOC MOC=NOC 即：即：OCOC平分平分AOBAOBA为什么OC是角平分线呢？想一想：已知：OM=O6已知：如图，已知：如图，OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，PDOA，PEOB，垂足分别是，垂足分别是D，E。求证：求证：PD=PE证明：证明：PDOA，PEOB（已知）（已知）PDO=PEO=90（垂直的定义）（垂直的定义）在在PDO和和PEO中中 PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）PDO=PEO AOC=BOC OP=OP PDO PEO（AAS）角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。DP PEAOBC已知：如图，OC是AOB的平分线，点P在OC上，PDOA7角平分线的性质角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：用符号语言表示为：AOBPED12 1=2 1=2 PD OA PD OA，PE OBPE OBPD=PEPD=PE(角角的的平分线上的点到角的两边的平分线上的点到角的两边的距离相等距离相等)推理的理由有推理的理由有三个三个，必须写完全，不能必须写完全，不能少了任何一个。少了任何一个。角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等用符8角平分线的性质角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。BADOPEC定理应用所具备的定理应用所具备的条件条件：（1 1）角的平分线；）角的平分线；（2 2）点在该平分线上；）点在该平分线上；（3 3）垂直距离。）垂直距离。定理的作用：定理的作用：证明线段相等。证明线段相等。角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等。BADO9 如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知）=，()在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。BD CD（）如图，AD平分BAC（已知）10 如图，如图，DCAC，DBAB （已知）（已知）=，()在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。BD CD（）如图，DCAC，DBAB （已知）11 AD平分平分BAC,DCAC，DBAB （已知）（已知）=，（）DBDC在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的两边的距离相等。不必再证全等不必再证全等 AD平分BAC,DCAC，DBAB （已知）12如图，如图，OC是是 AOB的平分线，的平分线，又又 _ PD=PE ()PDOA，PEOBBOACDPE角的平分线上的点到角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的两边的距离相等练习如图，13 在在OAB中，中，OE是它的角平分线，且是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直分别垂直OA，OB，垂足为，垂足为C，D.求证：求证：AC=BD.O OA AB BE EC CD D 在OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB14 在在ABC中，中，C=90 ，AD为为BAC的平分线，的平分线，DEAB，BC7，DE3.求求BD的长。的长。EDCBA 在ABC中，C=90 ，AD为BA15 如图，在如图，在ABC中，中，C=90 AD是是BAC的平的平分线，分线，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=DF；求求证：证：CF=EBACDEBF 如图，在ABC中，C=90 AD是BA16这节课我们学习了哪些知识？这节课我们学习了哪些知识？1、“作已知角的平分线作已知角的平分线”的尺规作图法；的尺规作图法；2、角的平分线的性质：、角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。OC是是AOB的平分线的平分线,又又 PDOA,PEOB PD=PE (角的平分线上的点角的平分线上的点到角的两边距离相等到角的两边距离相等).EDOABPC几何语言几何语言:这节课我们学习了哪些知识？小 结1、“作已知角的17，1 1、在、在RtABCRtABC中，中，BDBD是角平分线，是角平分线，DEABDEAB，垂足为，垂足为E E，DEDE与与DCDC相等吗？为什么？相等吗？为什么？ABCDE 2 2、如如 图图,OC,OC是是 AOBAOB的的 平平 分分 线线,点点 P P在在 OCOC上上,PD,PD OA,PEOB,OA,PEOB,垂垂 足足 分分 别别 是是 D D、E,PD=4cm,E,PD=4cm,则则PE=_cm.PE=_cm.ADOBEPC知识应用知识应用，1、在RtABC中，BD是角平分线，DEAB，垂足为E181.1.如图，如图，DEABDEAB，DFBCDFBC，垂足，垂足分别是分别是E E，F F，DE=DF DE=DF，EDB=EDB=6060，则，则 EBF=EBF=度，度，BE=BE=。60BF2 2 如图，在如图，在ABCABC中，中，C=90C=90，DEABDEAB，1=21=2，且，且AC=6cmAC=6cm，那么线段，那么线段BEBE是是ABCABC的的 ，AE+DE=AE+DE=。角的平分线角的平分线6cm6cm练习练习1.如图，DEAB，DFBC，垂足分别是E，F，D193.已知已知ABC中中,C=900,AD平分平分 CAB,且且BC=8,BD=5,求点求点D到到AB的距离是多少？的距离是多少？ABCDE你会吗？你会吗？3.已知ABC中,C=900,AD平分 CAB,且B20例例 已知：如图，已知：如图，ABCABC的角平分线的角平分线BMBM、CNCN相交于点相交于点P P。求证：点求证：点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等.证明：证明：过点过点P作作PD、PE、PF分别分别垂直于垂直于AB、BC、CA，垂足为垂足为D、E、F BM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上上 PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理同理 PE=PF.PD=PE=PF.即点即点P到边到边AB、BC、CA的距离相等的距离相等ABCMNPDEF怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？例 已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证21 如图，如图，的的的外角的平分线与的外角的平分线与的外角的平分线相交于点的外角的平分线相交于点求证：点到三边、所在直线的距离相求证：点到三边、所在直线的距离相等等F FGH更上一层楼！更上一层楼！如图，的的外角的平分线与的外角的22 如图，由如图，由 于点于点 D，于点于点 E，PD=PE，可以得到什么可以得到什么结论结论？OBPE PD OA 到一个角的两边的距离相等到一个角的两边的距离相等的点，的点，在这个角的平分线上。在这个角的平分线上。已知：如图，已知：如图，垂足分别是，垂足分别是 A、B，PD=PE，求证：点求证：点P在在 的角平分线上。的角平分线上。BADOPE 如图，由 23 到角的两边的距离相等的点到角的两边的距离相等的点 在角在角的平分线上。的平分线上。已知：如图，已知：如图，垂足分别是垂足分别是 D、E，PD=PE，求证：点求证：点P在在 的角平分线上。的角平分线上。证明：证明：作射线OP 点点P在在 角的平分线上角的平分线上 在 RtPDO 和RtPEO 中，（HL）（全等三角形的对应角相等）OP =OP（公共边公共边）PD =PE （已已 知知 ）角平分线角平分线的判定的判定BADOPE 到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。24角平分线的判定角平分线的判定的应用书写格式：的应用书写格式：OP 是是 的平分线的平分线PD=PE （到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）DEOPAB角平分线的判定的应用书写格式：OP 是 25角平分线的性质：角平分线的性质：在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。角平分线的判定角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的到一个角的两边的距离相等的点，点，在这个角的平分线上。在这个角的平分线上。BADOPECPD=PEOP 是是 的平分线的平分线OP 是是 的平分线的平分线PD=PE用途：证线段相等用途：证线段相等用途：判定一条射线是角平分线用途：判定一条射线是角平分线角平分线的性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。26练一练练一练填空：填空：(1).1=2,DCAC,DEAB _(_)(1).DCAC,DEAB,DC=DE_(_ _)ACDEB121=2DC=DE到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等练一练填空：ACDEB121=2DC=DE到一个角的两27例例1.1.如图，在如图，在ABCABC中，中，D D是是BCBC的中点，的中点，DEABDEAB，DFACDFAC，垂足分别是，垂足分别是E E、F F，且，且BEBECFCF。求证：求证：ADAD是是ABCABC的角平分线。的角平分线。A AB BC CE EF FD D例1.如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DF281.1.已知：如图，已知：如图，BEACBEAC于于E E，CFAB CFAB于于F F，BEBE、CFCF相相交于交于D D，BD=CD BD=CD。求证：求证：AD AD平分平分BAC BAC。ABCFED课堂练习课堂练习1.已知：如图，BEAC于E，CFAB于F，BE、CF29拓展与延伸拓展与延伸2.已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在A的平分线上.A A A A A A ADNE BFMCA拓展与延伸2.已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD303、已知、已知PA=PB，1+2=1800，求证：求证：OP平分平分AOBAOBP12EF3、已知PA=PB，1+2=1800，AOBP12E31ABCPEDFMN例题例题2.2.如图，如图，ABCABC的角平分线的角平分线BMBM、CNCN相交于点相交于点P P。求证：点。求证：点P P也在也在AA的平分线上。的平分线上。证明：过点证明：过点P P作作PDABPDAB于于D D，PEBCPEBC于于E E，PFACPFAC于于F F证明：过点证明：过点P作作PD、PE、PF分别垂直分别垂直于于AB、BC、CA，垂足为，垂足为D、E、FBM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上（已知）上（已知）PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理同理 PE=PF.PD=PE=PF.即点即点P到边到边AB、BC、CA的距离相等的距离相等ABCPEDFMN例题2.如图，ABC的角平分线BM、CN32随堂练习随堂练习 1.已知：如图，已知：如图，ABC的的B的外角的平分线的外角的平分线BD和和C的外角平分线的外角平分线CE相交于点相交于点P。求证：点求证：点P在在BAC的平分线上。的平分线上。CA B P DE随堂练习 1.已知：如图，ABC的B的外角的平分线B332.如图，三条公路相交，现在要修建一加油站，使加如图，三条公路相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，问加油站该选在什么位油站到三条公路的距离相等，问加油站该选在什么位置上？置上？2.如图，三条公路相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公34例例1 1 已知：在等腰已知：在等腰RtABCRtABC中，中，AC AC BC BC，CC9090，ADAD平分平分 BAC BAC，DEABDEAB于点于点E E。求证：求证：BDBDDE DE ACAC变式变式 已知已知AB 15cm,求求DBE的周长的周长EDCBA例1 已知：在等腰RtABC中，AC BC，C90351、直线表示三条相互交叉的公路、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物现要建一个货物中转站中转站,要求它到三条公路的距离相等要求它到三条公路的距离相等,则可供选择则可供选择的地址有的地址有()A.一处一处 B.两处两处 C.三处三处 D.四处四处1、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它362 2、已知、已知:BDAM:BDAM于点于点D,CEAND,CEAN于点于点E,BD,CEE,BD,CE交点交点F,CF=BF,F,CF=BF,求证求证:点点F F在在AA的平分线上的平分线上.A A A A A A ADNE BFMCA2、已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,CE交点371 1、画一个已知角的角平分线；、画一个已知角的角平分线；及画一条已知直线的垂线；及画一条已知直线的垂线；2 2、角平分线的性质：、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等3 3、角平分线的判定结论：、角平分线的判定结论：到角的两边的距离相等的点在角平分线上。到角的两边的距离相等的点在角平分线上。课堂小结课堂小结1、画一个已知角的角平分线；及画一条已知直线的垂线；2、角平38判定：到角的两边的距离相判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。等的点在角的平分线上。QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上用数学语言表示为：性质：角的平分线上的点到角的两边的距离性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等相等.QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE用数学语言表示为：用数学语言表示为：判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。QDOA39